第二编 专题1 第5讲 利用导数研究不等式问题-【金版教程】2026年高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word

　　　第5讲　利用导数研究不等式问题

「考情研析」以导数为工具，通过研究函数的单调性、极值和最值求解不等式问题是高考的热点题型．

1．函数不等式的类型与解法

(1)∀x∈D，f(x)≤k⇔f(x)max≤k；

∃x∈D，f(x)≤k⇔f(x)min≤k.

(2)∀x∈D，f(x)≤g(x)⇔[f(x)－g(x)]max≤0；∃x∈D，f(x)≤g(x)⇔[f(x)－g(x)]min≤0.

2．含两个未知数的不等式(函数)问题的常见题型及具体转化策略

(1)∀x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a，b]上的最小值>g(x)在[c，d]上的最大值．

(2)∃x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a，b]上的最大值>g(x)在[c，d]上的最小值．

(3)∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a，b]上的最小值>g(x)在[c，d]上的最小值．

(4)∃x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a，b]上的最大值>g(x)在[c，d]上的最大值．

(5)∃x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)＝g(x2)⇔f(x)在[a，b]上的值域与g(x)在[c，d]上的值域交集非空．

(6)∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，f(x1)＝g(x2)⇔f(x)在[a，b]上的值域⊆g(x)在[c，d]上的值域．

(7)∀x2∈[c，d]，∃x1∈[a，b]，f(x1)＝g(x2)⇔f(x)在[a，b]上的值域⊇g(x)在[c，d]上的值域．

3．两个常用不等式

(1)ln x≤x－1.

(2)ex≥x＋1.

考向1　利用导数证明不等式

例1　已知函数f(x)＝ln x＋－ax，函数g(x)＝＋－2aex＋1.

(1)当a>0时，求f(x)的单调区间；

(2)已知a≥，当ex>时，求证：g(x)<0；

(3)已知n为正整数，求证：＋＋＋…＋＋>ln 2.

解：(1)∵f(x)＝ln x＋－ax，

∴f′(x)＝－－a＝.

①当a≥时，Δ＝1－4a2≤0，

则f′(x)≤0恒成立，则f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；

②当0<a<时，令f′(x)>0，

解得x∈，

则f(x)的单调递增区间为.

令f′(x)<0，解得x∈∪，

则f(x)的单调递减区间为，.

综上，当a≥时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；

当0<a<时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，.

(2)证明：欲证g(x)＝＋－2aex＋1<0，

需证x＋ln (2x)－2axex＋<0，

即需证ln (2xex)－2axex＋<0.

令t＝2xex，即需证ln t－at＋<0，

设h(t)＝ln t－at＋，

∵ex>，∴t＝2xex>1，

由(1)知，当a≥时，h(t)的单调递减区间为(1，＋∞)，

∴h(t)<h(1)＝0，故g(x)<0.

(3)证明：由(2)知，当t>1，a＝时，ln t<，令t＝＋1(n∈N*)，则ln <＝＝2·<，

即ln (n＋2)－ln n<，

∴ln (n＋3)－ln (n＋1)<，

ln (n＋4)－ln (n＋2)<，

ln (n＋5)－ln (n＋3)<，

…

ln (2n＋1)－ln (2n－1)<，

ln (2n＋2)－ln (2n)<，

以上各式相加，得

ln (2n＋2)＋ln (2n＋1)－ln n－ln (n＋1)<2，

∴＋＋＋…＋＋>ln ＝ln >ln 2.

　利用导数证明不等式的常用方法