第二编 专题2 专题培优 三角形中的“三线”及多边形问题-【金版教程】2026年高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word

大二轮专题复习冲刺方案　数学 专题培优　三角形中的“三线”及多边形问题 考向1　三角形的中线 例1　(2025·河南郑州二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b(cosA＋sinA)＝a＋c. (1)求B； (2)若a＝2，c＝5，AC，AB边上的中线BE，CF相交于点M. ①求BE； ②求cos∠EMF. 解：(1)由正弦定理，得sinB(cosA＋sinA)＝sinA＋sinC， ∴sinBcosA＋sinBsinA＝sinA＋sin(A＋B)， ∴sinBsinA＝sinA＋sinAcosB， ∵sinA≠0，∴sinB＝1＋cosB， ∴sin＝.∵－<B－<， ∴B－＝，即B＝. (2)①∵＝(＋)， ∴||＝ ＝＝， 即BE＝. ②在△BCF中，由余弦定理，得CF2＝BC2＋BF2－2BC×BF×＝，即CF＝. 解法一：由题意知，M是△ABC的重心， ∴CM＝CF＝，∴BM＝BE＝， 在△BMC中，由余弦定理，得 cos∠BMC＝＝， 即cos∠EMF＝. 解法二：∵＝－， ∴·＝·＝||2－·－||2＝3. ∴cos∠EMF＝cos〈，〉＝＝. 1．中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)． 推导过程：在△ABD中， cosB＝， 在△ABC中，cosB＝， 联立两个方程可得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)． 2．解决三角形中线问题的常用方法 (1)利用邻补角的余弦值互为相反数及余弦定理求解． (2)利用中线长定理求解，但要书写其证明过程． (3)利用向量法求解． (2025·浙江杭州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosC＝－. (1)求角B； (2)若△ABC外接圆的半径为，且AC边上的中线长为，求△ABC的面积和周长． 解：(1)由cosC＝－，得2bcosC＝2a－c， 由正弦定理，得2sinBcosC＝2sinA－sinC， 即2sinBcosC＝2sin(B＋C)－sinC， 化简得sinC＝2sinCcosB. 因为C∈(0，π)，sinC≠0，所以cosB＝， 又因为B∈(0，π)，所以B＝. (2)由正弦定理，得＝2，解得b＝3， 设D为AC边上的中点， 则AD＝CD＝，BD＝. 解法一：在△BCD中，cos∠CDB＝， 在△ABD中，cos∠ADB＝， 因为∠ADB＋∠CDB＝π， 所以cos∠ADB＋cos∠CDB＝0， 所以a2＋c2＝17， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB， 得9＝a2＋c2－ac，即ac＝8， 由三角形的面积公式，得 S△ABC＝acsinB＝2， 又(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝17＋2×8＝33， 所以a＋c＝， 所以△ABC的周长为3＋. 解法二：利用向量的加法法则，得 2＝＋， 两边平方，得42＝2＋2＋2·，即25＝c2＋a2＋ac， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB， 得9＝a2＋c2－ac， 两式相减，得16＝2ac，即ac＝8， 由三角形的面积公式，得 S△ABC＝acsinB＝2， 由25＝c2＋a2＋ac，得(a＋c)2－ac＝25， 故a＋c＝， 所以△ABC的周长为3＋. 考向2　三角形的角平分线 例2　(2025·江苏南通模拟)在△ABC中，已知tanA＝，sin(A－B)＝. (1)求B； (2)若AD为∠BAC的平分线，△ABC的面积为14，求AD. 解：(1)在△ABC中，tanA＝>0， 所以0<A<， 因为0<B<π，所以－π<A－B<， 因为sin(A－B)＝>0，所以0<A－B<， 所以cos(A－B)＝＝， 所以tan(A－B)＝＝， 所以tanB＝tan[A－(A－B)]＝＝＝1， 又因为0<B<π，所以B＝. (2)因为tanA＝，0<A<， 所以sinA＝，cosA＝， 所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝. 记△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 由正弦定理，得＝， 所以＝＝， 所以S△ABC＝bcsinA＝×c2×＝14， 解得c＝7(负值舍去)，所以b＝5. 又由cosA＝1－2sin2＝，得sin＝， 所以由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，得14＝c·ADsin＋b·ADsin， 所以14＝×AD＋×AD， 解得AD＝. 　解决与三角形的角平分线有关的问题的方法 (1)利用角平分线定理、找边之间的关系． (2)角平分线把大三角形分成两个小三角形，故可利用这两个小三角形的面积和为大三角形的面积求解． (3)在求三角形角平分线长的取值范围时，通常将角平分线的长表示为某角的三角函数，然后利用三角函数的取值范围求解． 已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝8，＝1＋，且a≠c. (1)求证：B＝2C； (2)已知点M在线段AC上，且∠ABM＝∠CBM，求BM的取值范围． 解：(1)证明：因为＝1＋， 即＝， 由正弦定理，可得 ＝＝， 又a≠c，即a－c≠0， 所以＝，整理得b2＝c2＋ac， 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB， 整理得c＝a－2ccosB， 由正弦定理，得sinC＝sinA－2sinCcosB， 故sinC＝sin(B＋C)－2sinCcosB＝sinBcosC＋sinCcosB－2sinCcosB＝sin(B－C)， 又△ABC为锐角三角形， 则C∈，B∈， 可得B－C∈， 所以C＝B－C，即B＝2C. (2)由题意知，BM平分∠ABC， 又B＝2C，所以C＝∠CBM， 则∠BMC＝π－C－∠CBM＝π－2C， 在△MCB中， 由正弦定理，得＝， 所以BM＝＝＝＝， 因为△ABC为锐角三角形，且B＝2C， 所以 解得<C<， 故<cosC<， 所以<BM<4. 所以BM的取值范围为. 考向3　三角形的高线 例3　(2025·河南郑州一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＋c2－a2＝bc，2sin(C－A)＝sinB. (1)求sinC； (2)设BC＝10，求BC边上的高． 解：(1)在△ABC中， ∵b2＋c2－a2＝bc， ∴cosA＝＝＝， 又A为三角形的内角，∴A＝. ∵2sin(C－A)＝sinB， ∴2sin＝sin， 展开，得(sinC－cosC)＝(cosC＋sinC)，整理，得sinC＝3cosC， 又sin2C＋cos2C＝1，且sinC>0，∴sinC＝. (2)由正弦定理，得＝， ∴AB＝·sinC＝×＝6， 由(1)，得sinC＝， 又sinC＝3cosC，∴cosC＝， ∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝， 设BC边上的高为h， 则h＝ABsinB＝6×＝12， ∴BC边上的高为12. (1)求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出三角形的面积和底边长度，有时也可把高放到直角三角形中，利用解直角三角形的知识解决． (2)若h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶. (2025·江西景德镇二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD，BE分别为BC，AC边上的高，＝，sin(C－B)＝2sinAcos2B. (1)求证：A＝2B； (2)若c＝，求a. 解：(1)证明：由A＋B＋C＝π，得C＝π－A－B， 则sin(C－B)＝sin(A＋2B)＝sinAcos2B＋cosAsin2B， 所以sinAcos2B＋cosAsin2B＝2sinAcos2B， 整理，得cosAsin2B－sinAcos2B＝0， 则sin(2B－A)＝0， 又A，B∈(0，π)，所以A＝2B或2B－A＝π， 当2B－A＝π时，可得A＝2B－π，C＝2π－3B， 则 解得<B<，则0<A<， 因为＝，且S△ABC＝a·AD＝b·BE，所以＝. 由正弦定理可知，＝， 则sinB<sinA，显然与0<A<<<B<矛盾， 所以2B－A＝π不符合题意，舍去， 所以A＝2B. (2)由(1)，可知＝，且A＝2B， 则＝＝＝， 解得cosB＝， 因为sin2B＋cos2B＝1， 所以sinB＝， 所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB＝， cosA＝cos2B＝2cos2B－1＝－， 所以cosC＝－cos(A＋B)＝×＋×＝， 设a＝4x，b＝3x，因为c＝， 由余弦定理，可知(4x)2＋(3x)2－2·4x·3x·＝， 因为x>0，解得x＝1，所以a＝4. 考向4　多边形问题 (2025·黑龙江齐齐哈尔二模)如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知∠AOD＝，AC＝3，BD＝6，且AD＝BC. (1)求BO的长； (2)若7sin＝8cos∠ODA－15，求cos∠ODA的值． 解：(1)设BO＝m，CO＝n， 则OD＝6－m，OA＝3－n， 在△OBC中，BC2＝m2＋n2－2mncos， 在△OAD中，AD2＝(6－m)2＋(3－n)2－2(6－m)(3－n)cos， 因为BC＝AD， 所以m2＋n2－mn＝(6－m)2＋(3－n)2－(6－m)(3－n)， 解得m＝3， 所以BO的长为3. (2)由(1)知，BO＝DO＝3， 设∠OCB＝α，∠OAD＝β，∠ODA＝θ， 在△OBC中，＝， 在△OAD中，＝， 所以sinα＝sinβ， 若α＝β，则△OBC≌△ODA， 所以CO＝AO＝， 所以θ＝，α＝β＝， 此时7sin＝8cosθ－15不成立， 所以α＋β＝π， 所以sin＝sin＝sin＝sin＝cos2θ， 所以7cos2θ＝8cosθ－15， 所以7(2cos2θ－1)＝8cosθ－15， 即7cos2θ－4cosθ＋4＝0， 解得cosθ＝. 所以cos∠ODA的值为. 　在多边形中研究或求与角有关的长度、角度、面积等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程(组)，解之可得，若研究最值，常使用函数或基本不等式． (2025·江西萍乡模拟)如图，在平面四边形ABCD中，D＝2B，CD＝3AD＝3，BC＝，cosB＝. (1)求四边形ABCD的周长； (2)求四边形ABCD的面积． 解：(1)因为cosB＝，D＝2B， 所以cosD＝cos2B＝2cos2B－1＝－， 在△ACD中，由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcosD＝1＋9－2×1×3×＝12， 在△ABC中，由余弦定理，得 cosB＝＝＝， 所以AB2－2AB－6＝0， 解得AB＝3， 所以四边形ABCD的周长为3＋＋4. (2)因为cosB＝，所以sinB＝， 所以S△ABC＝AB·BCsinB＝×3××＝3， 因为cosD＝－， 所以sinD＝， 所以S△ACD＝AD·CDsinD＝×1×3×＝， 所以四边形ABCD的面积为3＋＝4. 真题押题 1．(2023·新课标Ⅰ卷，17)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB. (1)求sinA； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 解：(1)∵A＋B＝3C，∴π－C＝3C，即C＝， 又2sin(A－C)＝sinB＝sin(A＋C)， ∴2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC， ∴sinAcosC＝3cosAsinC，∴sinA＝3cosA， 即tanA＝3，∴0<A<， 又sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝. (2)由(1)知，cosA＝，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＝， 由正弦定理得＝，可得AC＝＝2， ∴AB边上的高h＝AC·sinA＝2×＝6. 2．(2023·新课标Ⅱ卷，17)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tanB； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 解：(1)解法一：在△ABC中， 因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1， 则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4. 在△ABD中，∠ADB＝，由余弦定理得c2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB， 即c2＝4＋1－2×2×1×＝7， 解得c＝，则cosB＝＝， sinB＝＝＝， 所以tanB＝＝. 解法二：在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1，则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝， 解得a＝4. 在△ACD中，由余弦定理得b2＝CD2＋AD2－2CD·ADcos∠ADC，即b2＝4＋1－2×2×1×＝3，解得b＝， 有AC2＋AD2＝4＝CD2， 则∠CAD＝，C＝. 过A作AE⊥BC于点E，于是CE＝ACcosC＝，AE＝ACsinC＝，BE＝， 所以tanB＝＝. (2)解法一：在△ABD与△ACD中，由余弦定理得 整理得a2＋2＝b2＋c2，而b2＋c2＝8， 则a＝2， 又S△ADC＝××1×sin∠ADC＝，解得sin∠ADC＝1，而0<∠ADC<π，于是∠ADC＝，所以b＝c＝＝2. 解法二：在△ABC中，因为D为BC的中点，则2＝＋，又＝－，于是42＋2＝(＋)2＋(－)2＝2(b2＋c2)＝16，即4＋a2＝16， 解得a＝2，在△ABC中，由余弦定理， 得cos∠BAC＝＝＝－， 所以S△ABC＝bcsin∠BAC ＝bc＝bc ＝＝， 解得bc＝4. 则由解得b＝c＝2. 随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼．通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线．如图，A－B－C－A为某区的一条健康步道，AB，AC为线段，是以BC为直径的半圆，AB＝2 km，AC＝4 km，∠BAC＝. (1)求BC的长度； (2)为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道A－D－C(B，D在AC两侧)，其中AD，CD为线段．若∠ADC＝，求新建的健康步道A－D－C的路程最多可比原有健康步道A－B－C的路程增加多少长度？(精确到0.01 km) 解：(1)连接BC，在△ABC中，由余弦定理，得 BC＝ ＝ ＝2， 所以BC的长度为2 km. (2)记AD＝a，CD＝b，则在△ACD中，由余弦定理，得 a2＋b2－2abcos＝16， 即a2＋b2－ab＝16， 从而(a＋b)2＝16＋3ab≤16＋3， 所以(a＋b)2≤16， 则a＋b≤8，当且仅当a＝b＝4时，等号成立， 新建健康步道A－D－C的最长路程为8 km， 故新建的健康步道A－D－C的路程最多可比原有健康步道A－B－C的路程增加8－π－2≈1.39 km. 专题作业 基础题(占比50%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比20%) 题号 1 2 3 4 5 6 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ 对点 利用正、余弦定理、面积公式求角，求一边上的高 利用正弦定理求角；利用等面积法求角平分线的长 利用正、余弦定理求角的正弦值；利用向量法求中线长；利用等面积法、基本不等式求角平分线长的最大值 利用正、余弦定理、向量法求角，求中线长的取值范围 利用正弦定理求角；利用余弦定理、基本不等式求四边形面积的最大值 利用正弦定理求角的余弦值；利用角平分线定理证明垂直；利用余弦定理求边长 1．(2025·湖北十堰二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. (1)求C； (2)若a－b＝2，△ABC的面积为2，求边AB上的高． 解：(1)由正弦定理，得＝， 又＝，所以＝， 所以sinC＝1＋cosC， 整理，得2sin＝1，即sin＝， 又C∈(0，π)，所以C－∈， 所以C－＝，故C＝. (2)由△ABC的面积为2， 得absinC＝ab＝2，所以ab＝8. 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a－b)2＋ab＝22＋8＝12， 所以c＝2，设边AB上的高为h， 由ch＝2，解得h＝＝2. 2．(2025·山西吕梁一模)如图，已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB＋bcosA＝2ccosA. (1)求A； (2)若b＝4，c＝6，设AD为△ABC的角平分线，求AD的长． 解：(1)由acosB＋bcosA＝2ccosA，得 sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosA， 因为sinAcosB＋sinBcosA＝sin(A＋B)＝sinC， 所以2sinCcosA＝sinC， 又C∈(0，π)，故sinC>0，所以cosA＝， 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)因为S△BAD＋S△DAC＝S△BAC， 所以AB·ADsin∠BAD＋AD·ACsin∠DAC＝AB·ACsin∠BAC， 又因为AB＝c＝6，AC＝b＝4，∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝， 所以6AD×＋4AD×＝6×4×， 所以AD＝. 3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝. (1)求sinA； (2)若△ABC的面积为， ①已知E为BC的中点，且b＋c＝8，求△ABC底边BC上的中线AE的长； ②求角A的平分线AD长度的最大值． 解：(1)由正弦定理，得＝， 即c2＋b2－a2＝bc， 故cosA＝＝＝， 因为cosA>0，所以A∈， 所以sinA＝＝＝. (2)①由(1)，知sinA＝， 因为△ABC的面积为， 所以bcsinA＝，解得bc＝16， 又b＋c＝8，所以b＝c＝4， 由于＝(＋)， 所以2＝(2＋2＋2·)＝(c2＋b2＋2bccosA)＝＝×＝， 所以||＝，即AE＝. ②因为AD为角A的平分线， 所以sin∠BAD＝sin∠CAD＝sin， 因为S△ADB＋S△ADC＝S△ABC， 所以AD·csin＋AD·bsin ＝bcsinA＝bcsincos， 因为sin≠0，所以AD·(c＋b)＝2bccos， 由二倍角公式，得cosA＝2cos2－1， 则2cos2－1＝，解得cos＝， 又bc＝16，所以AD·(c＋b)＝2bccos＝2×16×＝， 因为b＋c≥2＝8，当且仅当b＝c＝4时，等号成立， 故＝AD·(c＋b)≥2·AD＝8AD， 故AD≤，所以AD长度的最大值为. 4．已知a，b，c分别为锐角三角形ABC三个内角A，B，C的对边，且cosB＋sinB＝. (1)求A； (2)若a＝，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 解：(1)根据正弦定理可得 cosB＋sinB＝， 即sinAcosB＋sinAsinB＝sinB＋sinC， 因为A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角， 所以C＝π－(A＋B)，sinB≠0， 所以sinAcosB＋sinAsinB＝sinB＋sin(A＋B)， 则sinAcosB＋sinAsinB＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB， 整理，得sinA－cosA＝1， 即sin＝， 又A∈，所以A－∈， 所以A－＝，即A＝. (2)因为D为BC的中点， 所以＝(＋)， 两边平方，得2＝(＋)2＝(2＋2＋2·)＝(c2＋b2＋bc)， 在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－bc＝3， 即b2＋c2＝3＋bc， 所以2＝(3＋2bc)＝＋bc， 在△ABC中， 由正弦定理，得＝＝＝＝2， 所以b＝2sinB，c＝2sinC， 所以bc＝4sinBsinC＝4sinBsin ＝2sinBcosB＋2sin2B＝2sin＋1， 因为△ABC为锐角三角形，所以0<B<且0<－B<，解得<B<， 所以<2B－<， 所以<sin≤1， 所以<2≤， 所以中线AD的取值范围是. 5．(2025·湖南岳阳二模)已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且bcos－asinB＝0，a＝1，D为△ABC外一点． (1)求角A； (2)若A，B，C，D四点共圆，求四边形ABDC面积的最大值． 解：(1)由bcos－asinB＝0及正弦定理，得sinBcos－sinAsinB＝0， 即sinBcos＝sinAsinB， 又sinB≠0， 故sin＝sinA＝2sincos， 因为A∈(0，π)， 所以∈， 所以sin≠0，cos＝， 所以＝， 所以A＝. (2)由题意知ABDC为圆内接四边形， 所以∠D＝π－∠A＝， 又a＝1，由余弦定理，得b2＋c2－bc＝1， 所以b2＋c2＝1＋bc≥2bc， 所以bc≤1， 同理可得，DC2＋DB2＋DB·DC＝1， 所以DC2＋DB2＝1－DB·DC≥2DB·DC，所以DB·DC≤， 所以四边形ABDC的面积为S＝bcsinA＋DC·DBsinD＝bc＋DC·DB≤×1＋×＝， 所以四边形ABDC面积的最大值为. 6．(2025·广东佛山调研)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a2－abcosC＝2bccosA，B＝.△ABC外一点E满足BE＝2AE，且∠AEB的平分线交AB于点D. (1)求cosA； (2)证明：CD⊥AB； (3)若c＝3，DE＝2，求CE. 解：(1)由正弦定理，得sin2A－sinAsinBcosC＝2sinBsinCcosA， 则sinA(sinA－sinBcosC)＝2sinBsinCcosA， 因为sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC， 代入化简，得sinAsinCcosB＝2sinBsinCcosA， 因为A，C∈(0，π)，故sinC≠0， 又B＝，所以sinA＝2cosA，则A∈. 故sin2A＝1－cos2A＝4cos2A， 解得cosA＝. (2)证明：如图，过点C作CG⊥AB，垂足为G. 由(1)可得tanA＝＝2， 则＝＝＝2， 由角平分线定理，有＝＝2， 故D，G重合，即CD⊥AB. (3)由(2)知AD＝1，BD＝2， 设BE＝2AE＝2x(x>0)． 在△ADE中，由余弦定理，得 cos∠ADE＝＝， 同理，cos∠BDE＝， 故＋＝0， 解得x＝. 又AD2＋AE2＝DE2， 故AE⊥AD，且∠ADE＝. 故∠CDE＝或(如图1，图2)， 因为∠DBC＝，CD⊥AB， 所以CD＝BD＝2， 由余弦定理，有CE2＝CD2＋DE2－2CD·DEcos∠CDE＝8－8cos∠CDE， 当∠CDE＝时，CE2＝8－8×＝8－4，解得CE＝－； 当∠CDE＝时，CE2＝8＋8×＝8＋4，解得CE＝＋. 故CE＝－或＋. 21 学科网（北京）股份有限公司 $