第二编 专题2 专题培优 三角形中的“三线”及多边形问题-【金版教程】2026年高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word

专题培优　三角形中的“三线”及多边形问题

考向1　三角形的中线

例1　(2025·河南郑州二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b(cosA＋sinA)＝a＋c.

(1)求B；

(2)若a＝2，c＝5，AC，AB边上的中线BE，CF相交于点M.

①求BE；

②求cos∠EMF.

解：(1)由正弦定理，得sinB(cosA＋sinA)＝sinA＋sinC，

∴sinBcosA＋sinBsinA＝sinA＋sin(A＋B)，

∴sinBsinA＝sinA＋sinAcosB，

∵sinA≠0，∴sinB＝1＋cosB，

∴sin＝.∵－<B－<，

∴B－＝，即B＝.

(2)①∵＝(＋)，

∴||＝

＝＝，

即BE＝.

②在△BCF中，由余弦定理，得CF2＝BC2＋BF2－2BC×BF×＝，即CF＝.

解法一：由题意知，M是△ABC的重心，

∴CM＝CF＝，∴BM＝BE＝，

在△BMC中，由余弦定理，得

cos∠BMC＝＝，

即cos∠EMF＝.

解法二：∵＝－，

∴·＝·＝||2－·－||2＝3.

∴cos∠EMF＝cos〈，〉＝＝.

1．中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)．

推导过程：在△ABD中，

cosB＝，

在△ABC中，cosB＝，

联立两个方程可得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)．

 

2．解决三角形中线问题的常用方法

(1)利用邻补角的余弦值互为相反数及余弦定理求解．

(2)利用中线长定理求解，但要书写其证明过程．

(3)利用向量法求解．

(2025·浙江杭州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosC＝－.

(1)求角B；

(2)若△ABC外接圆的半径为，且AC边上的中线长为，求△ABC的面积和周长．

解：(1)由cosC＝－，得2bcosC＝2a－c，

由正弦定理，得2sinBcosC＝2sinA－sinC，

即2sinBcosC＝2sin(B＋C)－sinC，

化简得sinC＝2sinCcosB.

因为C∈(0，π)，sinC≠0，所以cosB＝，

又因为B∈(0，π)，所以B＝.

(2)由正弦定理，得＝2，解得b＝3，

设D为AC边上的中点，

则AD＝CD＝，BD＝.

解法一：在△BCD中，cos∠CDB＝，

在△ABD中，cos∠ADB＝，

因为∠ADB＋∠CDB＝π，

所以cos∠ADB＋cos∠CDB＝0，

所以a2＋c2＝17，

由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，

得9＝a2＋c2－ac，即ac＝8，

由三角形的面积公式，得

S△ABC＝acsinB＝2，

又(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝17＋2×8＝33，

所以a＋c＝，