第二编 专题1 第2讲 导数及其应用-【金版教程】2026年高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word

　　        　第2讲　导数及其应用

「考情研析」1.导数的几何意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点．　2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的一个重点．

(1)“在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上单调递增(减)”的充分不必要条件．

(2)可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充要条件是∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒为零．

(3)对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．

(4)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．

(5)导数综合问题中常用的不等式及其关系

考向1　导数的几何意义

例1 (1)已知函数f(x)的定义域为R，函数f(x＋1)是偶函数，当x＜时，f(x)＝ln (1－2x)，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为(　　)

A．   B．－ 

C．2   D．－2

答案：C

解析：根据题意，函数f(x)的定义域为R，函数f(x＋1)是偶函数，则f(1＋x)＝f(1－x)，两边同时求导，得f′(1＋x)＝－f′(1－x)，当x＜时，f(x)＝ln (1－2x)，求导可得f′(x)＝，则有f′(0)＝－2，又由f′(1＋x)＝－f′(1－x)，令x＝1，可得f′(2)＝－f′(0)＝2，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为2.故选C.

(2)若曲线f(x)＝有三条过点(0，a)的切线，则实数a的取值范围为(　　)

A．   B．

C．   D．

答案：B

解析：设该切线的切点为，则切线的斜率为k＝f′(x0)＝，所以切线方程为y－＝(x－x0)，又切线过点(0，a)，则a－＝(0－x0)，整理得a＝.要使过点(0，a)的切线有3条，需方程a＝有3个不同的解，即函数y＝的图象与直线y＝a在R上有3个交点．设g(x)＝，则g′(x)＝，令g′(x)>0⇒0<x<2，令g′(x)<0⇒x<0或x>2，所以函数g(x)在(0，2)上单调递增，在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减，且极小值、极大值分别为g(0)＝0，g(2)＝，如图．由图可知，当0<a<时，函数y＝的图象与直线y＝a在R上有3个交点，即过点(0，a)的切线有3条．所以实数a的取值范围为.故选B.

(3)(2025·河北秦皇岛抽测)若直线l同时是曲线f(x)＝aex(a>1)和曲线g(x)＝ex＋a的切线，则l的斜率的最小值为(　　)

A．1   B．2 

C．e   D．2e

答案：C

解析：设直线l与曲线f(x)＝aex、曲线g(x)＝ex＋a相切的切点分别为(x0，aex0)，(t，et＋a)，求导，得f′(x)＝aex，g′(x)＝ex，则aex0＝et，且＝＝et，aex0＝et两边取对数，整理得t－x0＝ln a，代入＝et，可得et＝，令h(a)＝，a>1，求导，得h′(a)＝，则当1<a<e时，h′(a)<0，当a>e时，h′(a)>0，故函数h(a)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，h(a)min＝h(e)＝e，所以l的斜率的最小值为e.故选C.

(4)已知曲线y＝ln x与y＝ax2(a>0)有公共切线，则实数a的取值范围为________．

答案：

解析：设公切线与曲线y＝ln x和y＝ax2的切点分别为(x1，ln x1)，(x2，ax)，其中x1>0.对于y