第二编 专题1 专题培优 抽象函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性-【金版教程】2026年高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word

大二轮专题复习冲刺方案　数学 专题培优　抽象函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性 考向1　与单调性、奇偶性相关的抽象函数问题 例1　(多选)(2025·江苏南京一模)已知函数f(x)满足对任意x，y∈R，xf(y)＋yf(x)＝f(xy)，且当0<x<1时，f(x)>0.下列说法正确的是(　　) A．f(0)＋f(1)＝0 B．f(x)为偶函数 C．当|x|>1时，xf(x)<0 D．f(x)在(1，＋∞)上单调递减 答案：ACD 解析：因为x，y∈R，xf(y)＋yf(x)＝f(xy)，令x＝0，y＝0，可得0f(0)＋0f(0)＝f(0×0)，所以f(0)＝0，令x＝1，y＝1，可得1×f(1)＋1×f(1)＝f(1×1)，所以f(1)＝0，所以f(0)＋f(1)＝0，A正确；由xf(y)＋yf(x)＝f(xy)，令x＝－1，y＝－1，可得－f(－1)－f(－1)＝f(1)，所以f(－1)＝0，令y＝－1，可得xf(－1)－f(x)＝f(－x)，即－f(x)＝f(－x)，所以f(x)为奇函数，B错误；当x≠0时，将xf(y)＋yf(x)＝f(xy)中的y用替换，可得xf＋f(x)＝f(1)＝0，即xf(x)＝－x3f，当x>1时，0<<1，由已知可得f>0，所以xf(x)<0，f(x)<0，又f(x)为奇函数，所以当x<－1时，f(x)>0，xf(x)<0，所以当|x|>1时，xf(x)<0，C正确；因为xf(y)＋yf(x)＝f(xy)，所以若xy≠0，则＋＝，任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，则－＝－f(x1)＝＋－＝f，因为x2>x1>0，所以>1，0<<1，所以－<0，所以<，所以函数在(1，＋∞)上单调递减，设y＝x·，当x>1时，y′＝＋x′，因为f(x)<0，所以<0，因为函数在(1，＋∞)上单调递减，所以′≤0，所以y′<0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递减，D正确．故选ACD. 1．判断抽象函数单调性的基本步骤 (1)凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论． (2)赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试． ①若给出的是“和型”抽象函数f(x＋y)＝…，判断符号时要变形为f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)； ②若给出的是“积型”抽象函数f(xy)＝…，判断符号时要变形为f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f. 2．关于函数奇偶性的常见结论 (1)函数奇偶性的运算规律：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇×(÷)奇＝偶；奇×(÷)偶＝奇；偶×(÷)偶＝偶． (2)复合函数y＝f(g(x))的奇偶性：内偶则偶，两奇为奇． (3)求导运算：若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则有f′(x)为偶函数，g′(x)为奇函数． 3．常见的抽象函数七大模型 (1)一次函数：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－b. (2)二次函数：f(a－x)＝f(a＋x)． (3)幂函数：f(xy)＝f(x)f(y)． (4)指数函数：f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(x－y)＝. (5)对数函数：f(xy)＝f(x)＋f(y)，f＝f(x)－f(y)． (6)正切函数：f(x±y)＝. (7)余弦函数：f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，f(x)＋f(y)＝2ff. (多选)(2025·河北邯郸一模)已知函数f(x)对任意的x，y∈R都有f(x＋y)－f(x－y)＝2f(y)，f(1)＝1，且当x>0时，f(x)>0，则下列结论正确的是(　　) A．f(5)＝1 B．f(x)是奇函数 C．f(2nx)＝2nf(x) D．不等式f(x2－x－2)>4的解集是(－∞，－2)∪(3，＋∞) 答案：BCD 解析：对于A，因为f(x＋y)－f(x－y)＝2f(y)，f(1)＝1，令x＝y＝0，则f(0)－f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0，令x＝y，则f(2x)＝2f(x)，则f(2)＝2f(1)＝2，令x＝3，y＝2，则f(5)－f(1)＝2f(2)，所以f(5)＝2f(2)＋f(1)＝4＋1＝5≠1，故A错误；对于B，令x＝0，则f(y)－f(－y)＝2f(y)，即f(－y)＝－f(y)，所以f(x)是奇函数，故B正确；对于C，令x＝y＝2n－1x，则f(2nx)－f(0)＝2f(2n－1x)，又f(0)＝0，所以f(2nx)＝2f(2n－1x)，所以f(2nx)＝2f(2n－1x)＝22f(2n－2x)＝…＝2nf(x)，故C正确；对于D，令x1＝x＋y，x2＝x－y，则y＝，设x1>x2，则x1－x2>0，又当x>0时，f(x)>0，则f(x1)－f(x2)＝2f>0，所以f(x1)>f(x2)，则函数f(x)在R上是增函数，又由f(2x)＝2f(x)，得f(4)＝2f(2)＝4，则不等式f(x2－x－2)>4，即f(x2－x－2)>f(4)，则x2－x－2>4，解得x<－2或x>3，即不等式f(x2－x－2)>4的解集是(－∞，－2)∪(3，＋∞)，故D正确．故选BCD. 考向2　与奇偶性、对称性相关的抽象函数问题 例2 (多选)(2025·河北衡水中学模拟)已知函数f(x)的定义域为I＝{x|x≠0}，∀x∈I，都有f(x)＝f＝3－f，则(　　) A．f(3)＝ B．函数f(3x)的图象关于点(0，3)中心对称 C．函数f(3x)的图象关于直线x＝对称 D．f(3i)＝3039 答案：ACD 解析：对于A，令x＝1，则f(1)＝f(3)＝3－f(1)，可得2f(1)＝3，解得f(1)＝，f(3)＝，故A正确；对于B，由f(x)＋f＝3，可得f(3x)＋f(3－x)＝3，所以函数f(3x)的图象关于点中心对称，故B错误；对于C，由f(x)＝f，可得f(3x)＝f(31－x)，所以函数f(3x)的图象关于直线x＝对称，故C正确；对于D，设g(x)＝f(3x)＝f＝g(1－x)　①，又g(x)＝f(3x)＝3－f＝3－g(－x)　②，由①②可得g(1－x)＝3－g(－x)，所以g(1＋x)＝3－g(x)，即g(x＋2)＝3－g(x＋1)＝3－[3－g(x)]＝g(x)，所以f(3x)＝f(3x＋2)，所以f(3)＝f(33)＝f(35)＝…＝f(32025)＝，f(1)＝f(32)＝f(34)＝…＝f(32024)＝，所以f(3i)＝2026×＝3039，故D正确．故选ACD. 　关于函数图象对称性的常见结论 (1)轴对称 ①若f(x＋a)＝f(－x)，则f(x)图象的对称轴为直线x＝； ②若f(x＋a)＝f(－x＋b)，则f(x)图象的对称轴为直线x＝. (2)中心对称 ①若f(x＋a)＝－f(－x)，则f(x)图象的对称中心为点； ②若f(2a－x)＝2b－f(x)，则f(x)图象的对称中心为点(a，b)； ③若f(x＋a)＋f(－x＋b)＝c，则f(x)图象的对称中心为点. (多选)若定义在R上的函数f(x)满足f(xy)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)，且值域为[－1，＋∞)，则下列结论正确的是(　　) A．f(0)＝－1 B．f(－1)＝0 C．f(x)为偶函数 D．f(x)的图象关于点(1，0)中心对称 答案：ABC 解析：对于A，令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)f(0)＋f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0或f(0)＝－1，令y＝0，得f(0)＝f(x)f(0)＋f(x)＋f(0)，由f(x)的值域为[－1，＋∞)，所以当f(0)＝0时，f(x)＝0，不符合题意，所以f(0)＝－1，故A正确；对于B，令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)f(1)＋f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0或f(1)＝－1，令y＝1，得f(x)＝f(x)f(1)＋f(x)＋f(1)，即f(1)[f(x)＋1]＝0，由f(x)的值域为[－1，＋∞)，所以f(1)＝0，令x＝y＝－1，得f(1)＝f(－1)f(－1)＋f(－1)＋f(－1)＝0，所以f(－1)＝0或f(－1)＝－2，由f(x)的值域为[－1，＋∞)，所以f(－1)＝0，故B正确；对于C，令y＝－1，得f(－x)＝f(x)f(－1)＋f(x)＋f(－1)，因为f(－1)＝0，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故C正确；对于D，若f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，则f(x)＋f(2－x)＝0，由于定义域为R，值域为[－1，＋∞)，若f(x0)＝2，则必有f(2－x0)＝－2，与题设矛盾，故D错误．故选ABC. 考向3　与对称性、周期性相关的抽象函数问题 例3　(多选)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x)，若函数f(2x－3)的图象关于点(2，1)对称，f(2＋x)－f(2－x)＝4x，且f(0)＝0，则(　　) A．函数f(x)的图象关于点(1，1)对称 B．f(x＋4)＝f(x) C．f′(1026)＝2 D.f(i)＝2499 答案：ACD 解析：对于A，设函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，则y＝f(x－3)的图象关于点(a＋3，b)对称，可得y＝f(2x－3)的图象关于点对称，因为函数f(2x－3)的图象关于点(2，1)对称，可得＝2，b＝1，解得a＝1，b＝1，所以函数f(x)的图象关于点(1，1)对称，所以A正确；对于B，由函数f(x)的图象关于点(1，1)对称，可得f(x)＋f(2－x)＝2，因为f(2＋x)－f(2－x)＝4x，所以f(x)＋f(x＋2)＝4x＋2，则f(x＋2)＋f(x＋4)＝4(x＋2)＋2＝4x＋10，两式相减，得f(x)－f(x＋4)＝－8，即f(x)＝f(x＋4)－8，所以B不正确；对于C，令g(x)＝f(x)－2x，可得g(x＋4)＝f(x＋4)－2(x＋4)＝f(x＋4)－2x－8，因为f(x)＝f(x＋4)－8，所以g(x)＝g(x＋4)，所以函数g(x)是以4为周期的周期函数，由g(x)＝f(x)－2x，可得g′(x)＝f′(x)－2，所以g′(1026)＝f′(1026)－2，因为函数g(x)是以4为周期的周期函数，则g′(x)也是以4为周期的周期函数，所以g′(1026)＝g′(2)＝f′(2)－2，由f(2＋x)－f(2－x)＝4x，可得f′(2＋x)×1－f′(2－x)×(－1)＝4，即f′(2＋x)＋f′(2－x)＝4，令x＝0，可得f′(2)＋f′(2)＝4，所以f′(2)＝2，所以g′(2)＝0，所以f′(1026)＝g′(1026)＋2＝g′(2)＋2＝2，所以C正确；对于D，因为f(0)＝0，且函数f(x)的图象关于点(1，1)对称，所以f(1)＝1，f(2)＝2，又因为f(2＋x)－f(2－x)＝4x，令x＝1，可得f(3)－f(1)＝4，所以f(3)＝5，再令x＝2，可得f(4)－f(0)＝8，所以f(4)＝8，由g(x)＝f(x)－2x，可得g(1)＝－1，g(2)＝－2，g(3)＝－1，g(4)＝0，可得g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＝－4，又函数g(x)＝f(x)－2x是以4为周期的周期函数，且f(x)＝g(x)＋2x，所以f(i)＝f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝g(1)＋g(2)＋…＋g(50)＋2×(1＋2＋…＋50)＝12×[g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)]＋g(1)＋g(2)＋2×(1＋2＋…＋50)＝12×(－4)－1－2＋2×＝2499，所以D正确．故选ACD. 1．与周期有关的几个结论 (1)若f(x＋a)＝f(x)，则f(x)的周期T＝|a|. (2)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则f(x)的周期T＝|a－b|. (3)若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝|2a|(周期扩倍问题)． (4)若f(x＋a)＝±，则f(x)的周期T＝|2a|(周期扩倍问题)． 2．周期性、对称性综合问题 (1)若f(a＋x)＝f(a－x)，f(b＋x)＝f(b－x)，其中a≠b，则f(x)的周期T＝2|a－b|. (2)若f(a＋x)＝－f(a－x)，f(b＋x)＝－f(b－x)，其中a≠b，则f(x)的周期T＝2|a－b|. (3)若f(a＋x)＝f(a－x)，f(b＋x)＝－f(b－x)，其中a≠b，则f(x)的周期T＝4|a－b|. 3．奇偶性、周期性综合问题 (1)已知f(x)为偶函数，f(x＋a)为奇函数，则f(x)的周期T＝4|a|. (2)已知f(x)为奇函数，f(x＋a)为偶函数，则f(x)的周期T＝4|a|. (多选)(2025·黑龙江哈尔滨一模)已知函数y＝f(2x＋1)的图象关于点(1，0)对称，函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝1对称，则下列说法正确的是(　　) A．4是f(x)的一个周期 B．f(x)是偶函数 C．f(k)＝1 D．f(1＋x)＋f(1－x)＝0 答案：ABD 解析：因为函数y＝f(2x＋1)的图象关于点(1，0)对称，所以f(2x＋1)＋f(2(2－x)＋1)＝0，即f(2x＋1)＋f(5－2x)＝0，用x代换上式中的2x，可得f(x＋1)＋f(5－x)＝0，所以f(x)的图象关于点(3，0)对称，因为函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝1对称，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，即f(x＋1)＝f(3－x)，又f(x＋1)＋f(5－x)＝0，所以f(3－x)＋f(5－x)＝0，所以f(3－(3－x))＋f(5－(3－x))＝0，所以f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，故A正确；因为f(x)＝－f(2＋x)，所以f(－x)＝－f(2－x)，因为函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数，故B正确；因为f(2＋x)＝－f(x)，所以f(1＋x)＝－f(x－1)，即f(1＋x)＋f(1－x)＝0，故D正确；因为f(x)的图象关于点(3，0)对称，所以f(2)＋f(4)＝0，因为f(2＋x)＝－f(x)，令x＝1，可得f(1)＝－f(3)，又f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(1)＝f(3)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，所以f(k)＝506×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＝f(1)＝0，故C不正确．故选ABD. 真题押题 1．(多选)(2023·新课标Ⅰ卷，11)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则(　　) A．f(0)＝0 B．f(1)＝0 C．f(x)是偶函数 D．x＝0为f(x)的极小值点 答案：ABC 解析：因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0＋0＝0，故A正确；对于B，令x＝y＝1，f(1)＝f(1)＋f(1)，则f(1)＝0，故B正确；对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0，令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确；对于D，解法一：不妨令f(x)＝0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误．解法二：当x2y2≠0时，对f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)两边同时除以x2y2，得到＝＋，故可以设＝ln |x|(x≠0)，则f(x)＝当x>0时，f(x)＝x2ln x，则f′(x)＝2xln x＋x2·＝x(2ln x＋1)， 令f′(x)<0，得0<x<e.令f′(x)>0，得x>e.故f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，因为f(x)为偶函数，所以f(x)在(－e，0)上单调递增，在(－∞，－e)上单调递减，显然，此时x＝0是f(x)的极大值点，故D错误．故选ABC. 2．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷，12)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若f，g(2＋x)均为偶函数，则(　　) A．f(0)＝0 B．g＝0 C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2) 答案：BC 解析：因为f为偶函数，所以f＝f，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，f＝f，即f(－1)＝f(4)，故C正确；因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f(x)＝f(3－x)，所以f′(x)＝－f′(3－x)，即g(x)＝－g(3－x)，所以g(x)的图象关于点对称，所以g＝0，g(1)＝－g(2)，又g(2＋x)为偶函数，所以g(2＋x)＝g(2－x)，函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(x)的周期T＝4×＝2，所以g＝g＝0，g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误；不妨取f(x)＝1(x∈R)，经验证满足题意，但f(0)＝1，故A错误．故选BC. (多选)已知f′(x)为定义在R上的函数f(x)的导函数，f(－1＋x)＋f(－1－x)＝0，f′(2x＋1)＋f′(－2x＋1)＝0，且f′(0)＝，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称 B．函数f′(x)的图象关于点(1，0)对称 C．f′(16)＝ D．if′(2i)＝0 答案：BCD 解析：对于A，f(x)的定义域为R，且f(－1＋x)＋f(－1－x)＝0，则函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称，A错误；对于B，由于f′(2x＋1)＋f′(－2x＋1)＝0，变形可得f′(x＋1)＋f′(－x＋1)＝0，则函数f′(x)的图象关于点(1，0)对称，B正确；对于C，f(－1＋x)＋f(－1－x)＝0，求导可得f′(－1＋x)－f′(－1－x)＝0，变形可得f′(x)＝f′(－2－x)，又由f′(x＋1)＋f′(－x＋1)＝0，则有f′(x)＝－f′(2－x)，故有f′(－2－x)＝－f′(2－x)，变形可得f′(4＋x)＝－f′(x)，故f′(x＋8)＝f′(x)，则有f′(16)＝f′(0)＝，C正确；对于D，f′(2)＝－f′(0)＝－，f′(4)＝－f′(0)＝－，f′(6)＝－f′(2)＝，故if′(2i)＝f′(2)＋2f′(4)＋3f′(6)＋4f′(8)＋…＋14f′(28)＋15f′(30)＝(－1－2＋3＋4－5－6＋7＋8－9－10＋11＋12－13－14＋15)×＝0，D正确．故选BCD. 专题作业 基础题(占比40%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比20%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ 对点 赋值法求抽象函数的函数值 利用抽象函数的奇偶性、对称性求值 抽象函数单调性的判断 利用抽象函数的奇偶性、周期性求值 利用抽象函数的图象与性质解决方程根的问题 抽象函数对称性、周期性的判断 利用抽象函数的奇偶性、对称性、周期性求值 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★★ ★★ ★★ ★★★ ★ ★★ ★★★ 对点 利用抽象函数的单调性求参数范围 抽象函数奇偶性的判断；利用赋值法、周期性求抽象函数的函数值 赋值法求函数值；抽象函数的奇偶性、对称性、周期性的综合 抽象函数的奇偶性、对称性、周期性的综合 利用抽象函数的对称性、单调性求不等式的解集 利用抽象函数的奇偶性、对称性、周期性求函数值 利用抽象函数的奇偶性、对称性、周期性求值 一、单选题 1．已知f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f＝2，则f(4)＝(　　) A．4 B．8 C．64 D．256 答案：D 解析：由f(x＋y)＝f(x)f(y)，当y＝x时，有f(2x)＝[f(x)]2，由f＝2，则有f(4)＝[f(2)]2＝[f(1)]4＝＝28＝256.故选D. 2．已知y＝f(x＋1)＋1为奇函数，则f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝(　　) A．－12 B．－10 C．－6 D．－5 答案：D 解析：函数y＝f(x)的图象可由函数y＝f(x＋1)＋1的图象向右平移1个单位长度、向下平移1个单位长度得到，因为函数y＝f(x＋1)＋1为奇函数，所以函数y＝f(x＋1)＋1的图象关于原点对称，所以函数y＝f(x)的图象关于点(1，－1)对称，得f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝[f(－1)＋f(3)]＋[f(0)＋f(2)]＋f(1)＝2×(－1)＋2×(－1)＋(－1)＝－5.故选D. 3．若函数f(x＋1)为奇函数，且在[0，2)上单调递增，则下列函数在(－1，0)上一定单调递增的是(　　) A．y＝f(x－1) B．y＝f(1－x) C．y＝f(2x＋1) D．y＝f(－x－1) 答案：C 解析：由f(x＋1)为奇函数，得函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，因为f(x＋1)在[0，2)上单调递增，所以f(x)在[1，3)上单调递增，所以f(x)在(－1，3)上单调递增．f(x－1)，x∈(－1，0)对应f(x)，x∈(－2，－1)，故A中函数在(－1，0)上不一定单调递增，A不符合题意；f(1－x)，x∈(－1，0)对应f(x)，x∈(1，2)，根据复合函数的单调性，知f(1－x)在(－1，0)上单调递减，B不符合题意；f(2x＋1)，x∈(－1，0)对应f(x)，x∈(－1，1)，满足题意，C符合题意；f(－x－1)，x∈(－1，0)对应f(x)，x∈(－1，0)，同理B选项，可知D不符合题意．故选C. 4．(2025·山东青岛一模)已知函数f(x)的定义域为R，若f(2x＋1)为偶函数，且f(x)＋f(4－x)＝2，f(1)＝2，则f(n)＝(　　) A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 答案：A 解析：由f(2x＋1)为偶函数，得f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，即f(1＋x)＝f(1－x)，则f(2－x)＝f(x)，所以f(2－x)＋f(4－x)＝2，即f(x)＋f(2＋x)＝2，则f(2＋x)＋f(4＋x)＝2，所以f(x＋4)＝f(x)，函数f(x)是周期为4的周期函数，由f(2＋x)＋f(x)＝2，得f(1)＋f(3)＝2，f(2)＋f(4)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，所以f(n)＝506×4＋f(1)＝2026.故选A. 5．定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且在[0，1]上单调递减，若方程f(x)＝1在(－1，0]上有实根，则方程f(x)＝－1在区间[3，11]上的所有实根之和是(　　) A．28 B．16 C．20 D．12 答案：A 解析：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又因为f(2－x)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x＋2)，即－f(x)＝f(x＋2)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，且其图象关于直线x＝1对称，又因为f(x)在[0，1]上单调递减，f(0)＝0，所以函数f(x)在[－1，0]上单调递减，即函数f(x)在[－1，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，又因为方程f(x)＝1在(－1，0]上有实根，所以方程f(x)＝－1在[0，1)上有实根，根据周期性作出函数f(x)在[－1，11]上的大致图象，如图所示．由图可知方程f(x)＝－1在区间[3，11]上有4个根，设为x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，则有x1＋x2＝5×2＝10，x3＋x4＝9×2＝18，所以x1＋x2＋x3＋x4＝28.故选A. 6．已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(x)为偶函数，且f(x)＋g(2－x)＝1，g(x)－f(x－4)＝3，则下列说法正确的是(　　) A．函数g(x)的图象关于直线x＝1对称 B．函数f(x)的图象关于点(－1，－2)对称 C．函数f(x)是以4为周期的周期函数 D．函数g(x)是以6为周期的周期函数 答案：C 解析：由f(x)＋g(2－x)＝1，得f(－x)＋g(2＋x)＝1，又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，进而可得g(2－x)＝g(2＋x)，因此可得g(x)的图象关于直线x＝2对称，由g(x)－f(x－4)＝3，可得g(8－x)－f(4－x)＝3，结合f(x)为偶函数，所以g(x)＝g(8－x)，故g(x)的图象关于直线x＝4对称，因此g(x)＝g(4－x)＝g(4＋x)，所以函数g(x)是以4为周期的周期函数，故D错误；由于f(x－2)＝g(x＋2)－3＝g(2－x)－3＝1－f(x)－3，故f(x)＝－f(x－2)－2，所以f(－x)＋f(x－2)＝－2且f(x)＝－f(x－2)－2＝－[－f(x－4)－2]－2＝f(x－4)，因此f(x)的图象关于点(－1，－1)对称，函数f(x)是以4为周期的周期函数，故B错误，C正确；根据f(x)是以4为周期的周期函数，由f(x)＋g(2－x)＝1，g(x)－f(x－4)＝3得g(x)＋g(2－x)＝4，所以函数g(x)的图象关于点(1，2)对称，故A错误．故选C. 7．(2025·江西南昌一模)已知可导函数f(x)的定义域为R，f′(x)是f(x)的导函数，且f(2x－1)为偶函数，f′(2x＋1)为奇函数，f′(0)＝1，则f′(2024)＋f′(2025)＋f′(2026)＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 答案：C 解析：因为函数f′(2x＋1)为奇函数，则f′(－2x＋1)＝－f′(2x＋1)，即f′(－2x＋1)＋f′(2x＋1)＝0，令t＝2x，则f′(1－t)＋f′(1＋t)＝0，所以函数f′(x)图象的对称中心为点(1，0)，且f′(2－t)＋f′(t)＝0　①，在①中，令t＝1，可得2f′(1)＝0，解得f′(1)＝0，在①中，令t＝0，可得f′(0)＋f′(2)＝0，因为函数f(2x－1)为偶函数，则f(－2x－1)＝f(2x－1)，令t＝2x，可得f(－t－1)＝f(t－1)，求导得－f′(－t－1)＝f′(t－1)，则f′(t)＋f′(－2－t)＝0　②，由①②可得f′(2－t)＝f′(－2－t)，令s＝－2－t，则f′(4＋s)＝f′(s)，所以函数f′(x)是周期为4的周期函数，所以f′(2024)＋f′(2025)＋f′(2026)＝f′(0)＋f′(1)＋f′(2)＝0.故选C. 8．已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－2，f(1)＝4，且当x>0时，f(x)>2，若存在x∈[1，2]，使得f(ax2－4x)＋f(2x)＝1，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：任取x1，x2，且x1<x2，则x2－x1>0，而当x>0时，f(x)>2，于是f(x2－x1)>2，又f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－2，因此f(x2)＝f(x1＋(x2－x1))＝f(x1)＋f(x2－x1)－2>f(x1)，则函数f(x)是增函数，而f(ax2－4x)＋f(2x)＝f((ax2－4x)＋2x)＋2＝f(ax2－2x)＋2＝1，于是f(ax2－2x)＝－1，令x＝y＝0，得f(0)＝2，令x＝1，y＝－1，得f(－1)＝0，令x＝－1，y＝－1，得f(－2)＝－2，令x＝－2，y＝－1，得f(－3)＝－4，令x＝y＝－，得f＝－1，即有f(ax2－2x)＝f，因此ax2－2x＝－，原问题即2a＝在[1，2]上有解，令t＝∈，则2a＝－3t2＋4t＝－3＋在t∈时有解，从而2a∈，a∈，所以a的取值范围是.故选D. 二、多选题 9．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)f(x－y)＝[f(x)]2－[f(y)]2，f(1)＝2，f(x＋1)为偶函数，则(　　) A．f(3)＝2 B．f(x)为奇函数 C．f(2)＝0 D.f(k)＝2 答案：BCD 解析：令x＝1，y＝0，则f(1)f(1)＝[f(1)]2－[f(0)]2，故[f(0)]2＝0，即f(0)＝0，令x＝0，y＝x，则f(x)f(－x)＝[f(0)]2－[f(x)]2，即f(x)[f(－x)＋f(x)]＝0恒成立，故f(－x)＝－f(x)，又函数f(x)的定义域为R，故f(x)为奇函数，故B正确；f(－1)＝－f(1)＝－2，又f(x＋1)为偶函数，故f(x＋1)＝f(－x＋1)，则f(3)＝f(－1)＝－2，故A错误；f(2)＝f(0)＝0，故C正确；f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，则f(x＋3)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，故函数f(x)的周期为4，f(4)＝f(0)＝0，则f(k)＝506×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝506×(2＋0－2＋0)＋2＋0＝2，故D正确．故选BCD. 10．(2025·江西南昌一模)已知f(x)是R上的连续函数，∀x，y∈R，有f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝1.则下列说法中正确的是(　　) A．f(0)＝0 B．f(x)为偶函数 C．f(x)的一个周期为6 D．点是f(x)图象的一个对称中心 答案：BCD 解析：因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(x)的定义域为R，关于原点对称．对于A，令x＝y＝0，则2f(0)＝[f(0)]2，解得f(0)＝0或f(0)＝2，若f(0)＝0，令y＝0，则f(x)＋f(x)＝2f(x)＝f(x)f(0)＝0，这与f(1)＝1矛盾，故f(0)＝2，故A错误；对于B，令x＝0，则f(y)＋f(－y)＝f(0)f(y)＝2f(y)，即f(－y)＝f(y)，可知f(x)是偶函数，故B正确；对于D，因为f(0)＝2，f(1)＝1，当x＝1，y＝1时，f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，故f(2)＝－1，当x＝2，y＝1时，f(3)＋f(1)＝f(2)f(1)，故f(3)＝－2，当x＝y＝时，f(3)＋f(0)＝，又f(0)＝2，故f＝0，当x＝时，f＋f＝ff(y)＝0，所以f＋f＝0，点是f(x)图象的一个对称中心，故D正确；对于C，因为f＋f＝0，即f＝－f，即f＝－f，则f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，故f(x)是以6为周期的周期函数，故C正确．故选BCD. 11．(2025·河南信阳二模)已知函数f(x)和其导函数g(x)的定义域都是R，若f(x)－x与g(2x＋1)均为偶函数，则(　　) A．f(0)＝0 B.的图象关于点(0，1)对称 C．g(2027)＝1 D．[g(1)－1]×[g(2)＋1]＋[g(2)－1]×[g(3)＋1]＋…＋[g(2027)－1]×[g(2028)＋1]＝0 答案：BD 解析：假设f(x)＝1＋x，g(x)＝1，则f(x)－x＝1，f(x)－x与g(2x＋1)＝1均为偶函数，则所设函数f(x)＝1＋x符合题意，此时f(0)＝1，故A错误；因为f(x)－x为偶函数，所以f(x)－x＝f(－x)＋x，即＋＝2，令h(x)＝，则h(x)＋h(－x)＝2，所以h(x)的图象关于点(0，1)对称，故B正确；因为g(2x＋1)为偶函数，所以g(2x＋1)＝g(－2x＋1)，所以函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，即g(1＋x)＝g(1－x)，即g(2＋x)＝g(－x)，因为f(x)－x＝f(－x)＋x，所以f′(x)－1＝－f′(－x)＋1，所以g(x)＋g(－x)＝2，则g(x)＋g(2＋x)＝2，故g(x＋2)＋g(4＋x)＝2，所以g(x＋4)＝g(x)，所以g(2027)＝g(3)，又g(－1)＝g(3)，g(0)＝g(4)，所以g(1)＋g(3)＝g(1)＋g(－1)＝2，所以无法确定g(2027)的值，故C错误；又g(2)＋g(－2)＝2，g(2)＝g(－2)，所以g(2)＝g(－2)＝1，由g(x)＋g(－x)＝2，得g(0)＋g(－0)＝2，则g(4)＝g(0)＝1，所以g(2)＋g(4)＝2，由g(x＋4)＝g(x)知函数g(x)的周期为4，则g(x)g(x＋1)的周期也为4，则[g(1)－1]×[g(2)＋1]＋[g(2)－1]×[g(3)＋1]＋…＋[g(2027)－1]×[g(2028)＋1]＝g(1)g(2)＋g(2)g(3)＋…＋g(2027)g(2028)－g(2028)＋g(1)－2027＝507[g(1)g(2)＋g(2)g(3)＋g(3)g(4)＋g(4)g(5)]－g(2028)g(2029)－g(2028)＋g(1)－2027＝507{[g(2)＋g(4)][g(1)＋g(3)]}－g(0)g(1)－g(0)＋g(1)－2027＝507×4－g(1)－1＋g(1)－2027＝0，故D正确．故选BD. 三、填空题 12．定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在(－∞，2]上单调递减，则不等式f(2x＋3)≤f(1)的解集为________． 答案：[－1，0] 解析：因为定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)在(－∞，2]上单调递减，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递增，所以不等式f(2x＋3)≤f(1)等价于|(2x＋3)－2|≤|1－2|，即(2x＋1)2≤1，得－1≤x≤0，即不等式f(2x＋3)≤f(1)的解集为[－1，0]． 13．(2025·江苏南通一模)已知y＝f(x)－3x是定义域为R的偶函数，f(x)的导函数f′(x)满足f′(1＋x)＝f′(1－x)，则f′(2026)＝________． 答案：3 解析：因为y＝f(x)－3x是定义域为R的偶函数，所以f(－x)－3(－x)＝f(x)－3x，即f(－x)＋3x＝f(x)－3x，对f(－x)＋3x＝f(x)－3x两边求导，得－f′(－x)＋3＝f′(x)－3，即f′(x)＋f′(－x)＝6.因为f′(1＋x)＝f′(1－x)，所以f′(x)的图象关于直线x＝1对称，则f′(x)＝f′(2－x)，用－x代替x，可得f′(－x)＝f′(2＋x)，将f′(－x)＝f′(2＋x)代入f′(x)＋f′(－x)＝6中，可得f′(x)＋f′(2＋x)＝6　①，用x＋2代替x，可得f′(x＋2)＋f′(x＋4)＝6　②，由②－①，得f′(x＋4)＝f′(x)，所以f′(x)是周期为4的周期函数，所以f′(2026)＝f′(4×506＋2)＝f′(2)．在f′(x)＋f′(－x)＝6中，令x＝2，可得f′(2)＋f′(－2)＝6，又f′(2)＝f′(－2)，所以f′(2)＝3，即f′(2026)＝3. 14．(2025·海南琼中中学模拟)若函数f(x)的定义域为R，且f(2x＋1)为偶函数，f(x－1)的图象关于点(3，3)中心对称，则f(i)＝________． 答案：6084 解析：因为函数f(x)的定义域为R，f(2x＋1)为偶函数，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，用x替换2x可得f(x＋1)＝f(－x＋1)，因为f(x－1)的图象关于点(3，3)中心对称，所以f(x＋3－1)－3的图象关于原点中心对称，所以f(x＋2)－3＋f(－x＋2)－3＝0，所以f(x＋2)＋f(－x＋2)＝6，又f(x)＝f(x－1＋1)＝f(－x＋1＋1)＝f(－x＋2)，f(－x＋2)＝6－f(x＋2)，所以f(x)＝6－f(x＋2)，故f(x＋2)＝6－f(x＋4)，所以f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，由f(x＋2)＋f(－x＋2)＝6，可得f(3)＋f(1)＝6，f(2)＝3，f(4)＋f(0)＝6，又f(4)＝f(0)，故f(4)＝3，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝12，所以f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)＝12，f(9)＋f(10)＋f(11)＋f(12)＝12，…，f(2025)＋f(2026)＋f(2027)＋f(2028)＝12，所以f(i)＝507×12＝6084. 1 学科网（北京）股份有限公司 $