第二编 专题1 专题培优 抽象函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性-【金版教程】2026年高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word

专题培优　抽象函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性

考向1　与单调性、奇偶性相关的抽象函数问题

例1　(多选)(2025·江苏南京一模)已知函数f(x)满足对任意x，y∈R，xf(y)＋yf(x)＝f(xy)，且当0<x<1时，f(x)>0.下列说法正确的是(　　)

A．f(0)＋f(1)＝0

B．f(x)为偶函数

C．当|x|>1时，xf(x)<0

D．f(x)在(1，＋∞)上单调递减

答案：ACD

解析：因为x，y∈R，xf(y)＋yf(x)＝f(xy)，令x＝0，y＝0，可得0f(0)＋0f(0)＝f(0×0)，所以f(0)＝0，令x＝1，y＝1，可得1×f(1)＋1×f(1)＝f(1×1)，所以f(1)＝0，所以f(0)＋f(1)＝0，A正确；由xf(y)＋yf(x)＝f(xy)，令x＝－1，y＝－1，可得－f(－1)－f(－1)＝f(1)，所以f(－1)＝0，令y＝－1，可得xf(－1)－f(x)＝f(－x)，即－f(x)＝f(－x)，所以f(x)为奇函数，B错误；当x≠0时，将xf(y)＋yf(x)＝f(xy)中的y用替换，可得xf＋f(x)＝f(1)＝0，即xf(x)＝－x3f，当x>1时，0<<1，由已知可得f>0，所以xf(x)<0，f(x)<0，又f(x)为奇函数，所以当x<－1时，f(x)>0，xf(x)<0，所以当|x|>1时，xf(x)<0，C正确；因为xf(y)＋yf(x)＝f(xy)，所以若xy≠0，则＋＝，任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，则－＝－f(x1)＝＋－＝f，因为x2>x1>0，所以>1，0<<1，所以－<0，所以<，所以函数在(1，＋∞)上单调递减，设y＝x·，当x>1时，y′＝＋x′，因为f(x)<0，所以<0，因为函数在(1，＋∞)上单调递减，所以′≤0，所以y′<0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递减，D正确．故选ACD.

1．判断抽象函数单调性的基本步骤

(1)凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论．

(2)赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试．

①若给出的是“和型”抽象函数f(x＋y)＝…，判断符号时要变形为f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)；

②若给出的是“积型”抽象函数f(xy)＝…，判断符号时要变形为f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f.

2．关于函数奇偶性的常见结论

(1)函数奇偶性的运算规律：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇×(÷)奇＝偶；奇×(÷)偶＝奇；偶×(÷)偶＝偶．

(2)复合函数y＝f(g(x))的奇偶性：内偶则偶，两奇为奇．

(3)求导运算：若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则有f′(x)为偶函数，g′(x)为奇函数．

3．常见的抽象函数七大模型

(1)一次函数：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－b.

(2)二次函数：f(a－x)＝f(a＋x)．

(3)幂函数：f(xy)＝f(x)f(y)．

(4)指数函数：f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(x－y)＝.

(5)对数函数：f(xy)＝f(x)＋f(y)，f＝f(x)－f(y)．

(6)正切函数：f(x±y)＝.

(7)余弦函数：f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，f(x)＋f(y)＝2ff.

(多选)(2025·河北邯郸一模)已知函数f(x)对任意的x，y∈R都有f(x＋y)－f(x－y)＝2f(y)，f(1)＝1，且当x>0时，f(x)>0，则下列结论正确的是(　　)

A．f(5)＝1

B．f(x)是奇函数

C．f(2nx)＝2nf(x)

D．不等式f(x2－x－2)>4的解集是(－∞，－2)∪(3，＋∞)

答案：BCD

解析：对于A，因为f(x＋y)－f(x－y)＝2f(y)，f(1)＝1，令x＝y＝0，则f(0)－f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0，令x＝y，则f(2x)＝2f(x)，则f(2)＝2f(1)＝2，令x＝3，y＝2，则f(5)－f(1)＝2f(2)，所以f(5)＝2f(2)＋f(1)＝4＋1＝5≠1，故A错误；对于B，令x＝0，则f(y)－f(－y)＝2f(y)，即f(－y)＝－f(y)，所以f(x)是奇函数，故B正确；对于C，令x＝y＝2n－1x，则f(2nx)－f(0)＝2f(2n－1x)，又f(0)＝0，所以f(2nx)＝2f(2n－1x)，所以f(2nx)＝2f(2n－1x)＝22f(2n－2x)＝…＝2nf(x)，故C正确；对于D，令x1＝x＋y，x2＝x－y，则y＝，设x1>x2，则x1－x2>0，又当x>0时，f(x)>0，则f(x1)－f(x2)＝2f>0，所以f(x1)>f(x2)，则函数f(x)在R上是增函数，又由f(2x)＝2f(x)，得f(4)＝2f(2)＝4，则不等式f(x2－x－2)>4，即f(x2－x－2)>f(4)，则x2－x－2>4，解得x<－2或x>3，即不等式f(x2－x－2)>4的解集是(－∞，－2)∪(3，＋∞)，故D正确．故选BCD.

考向2　与奇偶性、对称性相关的抽象函数问题

例2 (多选)(2025·河北衡水中学模拟)已知函数f(x)的定义域为I＝{x|x≠0}，∀x∈I，都有f(x)＝f＝3－f，则(　　)

A．f(3)＝

B．函数f(3x)的图象关于点(0，3)中心对称

C．函数f(3x)的图象关于直线x＝对称

D．f(3i)＝3039

答案：ACD

解析：对于A，令x＝1，则f(1)＝f(3)＝3－f(1)，可得2f(1)＝3，解得f(1)＝，f(3)＝，故A正确；对于B，由f(x)＋f＝3，可得f(3x)＋f(3－x)＝3，所以函数f(3x)的图象关于点中