河北省衡水市第二中学2025-2026学年高二上学期期末质量检测（一）数学试题

高二年级期末质量检测 数学（一）》 考试说明： 1.本试卷共150分。考试时间120分钟。 2.请将各题答案填在答题卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.已知曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程是y=5x+2,则f'(0)= A.5 B.-5 C.2 D.-2 2.抛物线3x2一4y=0的准线方程是 A= B.y=-1 C.x=3 -16 D.z=-j 6 3.已知f'a)是了)的号函数，若f,)=分则m f(xo-△x)-f(xo） Az--0 2△x A. c 4.已知双曲线C的实轴长是虚轴长的3倍，则C的离心率为 A.0 3 B.@ 3 n 5.已知等比数列{am}的公比为g,则“数列{am}是递增数列”是“g>0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.若函数f(x)=x2f'(1)十e,则f'(2)= A.e2+4e B.e2-4e C.e+2e D.e2-2e 7.在数列a,中，01=1，a,-a1十受+号+…+%，n∈N,若不等式 77 (n一1)am<k·2"-1对Hn∈N*恒成立，则实数k的取值范围是 A.(3,+ B.(1,+o) c.(,+∞ D.(2,十o) 8.记数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N”,am=2m+1,当且仅当m2+1≤n <m2+2m+2,m∈N,则S0= A.442 B.455 C.470 D.485 高二数学（一）第1页共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题中正确的是 A.函数f)。2的导函数是f(x)=一x十1) (x-2)2 且双曲线号-号-1的蒲近线方程是)一士 1 C.若数列a,}满足a1=2,a+1=an 1 n2+n 则a。=3n二2 2n n函数f)-十少在区间e,》上是或函数 l0.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a18·a19<0,则下列说法中正确的是 A.若S8>0,则a1>0 B.若S18>S1>S19,则a19十a20|>a17十a18 C.若S1,=S19,则S7<0 D.若S1g>S17,则a16十a17十a20十a21<0 11.已知数列{an}中，a1=3,an2十3am=3am+1,则 A.Hn∈N*,am+1≥am+3 B.{am}是递增数列 21 C.an 92_ 2n+9 D.数列{ 1 la,+3 的前n项和为}一1 3am+1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若曲线y=sin2ax在点(0,0)处的切线与直线x十2y+3=0垂直，则a= 13.已知函数fc)=3x-1」 一z+,正项等比数列a.满足a1os·ao:=,则 f(lna1)+f(lna2)+…+f(lna2o26）= 14.已知函数f(x)是定义在区间(0，十∞)上的可导函数，其导函数为f'(x),且满 足f)+fz>0,则不等式c+2026)fa+2026)<fD的解集为 2x x+2026 高二数学（一）第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 求下列函数的导数： (1)y=x3-2x (2)y=x+, 2x (3)y=sin2x coSI (4)y=2·1n(3x) 16.(本小题满分15分) 已知函数fx)=2a+1Dz-6lx-ax,且f'2)=0. (1)求b的值； (2)讨论f(x)的单调性. 17.(本小题满分15分) 已知点P(m,4)在抛物线C:y2=2px(p>0)上，F是C的焦点，PF=5. (1)求C的标准方程； (2)若l是C的准线，过点P作直线I的垂线，垂足为M,线段MF交C于点 N,且△PMF为锐角三角形，FN=AFM,求入的值及△PMF的外接圆 半径 高二数学（一）第3页共4页 18.(本小题满分17分) an 已知数列{am}满足a1=1,an+1= am十2 1)证明：数列+1 是等比数列，并求an; 2)设b,三21+十1，求数列6，的前n项和S 3)设c.=2,证明：之1< a i-1c8 19.(本小题满分17分) 已知辅回C:苦+号-1，过点Tl,作两茶动直线A,7H,分别交C于 两点A,B(A,B与T不重合)，且满足kA十飞B=0,其中kA,kB分别 为直线TA,TB的斜率. (1)若直线TA的斜率为1，求线段TA的长度； (2)求直线AB的斜率； (3)设直线TA与TB分别交x轴于点M,V,求证：MN的中点为定点. 高二数学（一）第4页共4页高二年级期末质量检测 数学（一）参考答案 1.A【解析】根据导数的几何意义，函数y=f(x)在x=0处的导数f'(0),就是曲线在点 P(0,f(0)处切线的斜率5.故选A. 2.B【解析】抛物线的标准方程为.x=4y,所以准线方程为y=-】故选B 3D【解析】由号数的定义得/6)m,)-A,所以 △x lim 。A)fx）-mf)-儿-A:-x故选D. △x→0 2△x 2△x0 △x 224 b 1+3 10 A【解析标】由题意知2a=3x2b,所议2，C的离心率0三中 故选A. 5A【解析】若等比数列a}是递增数列，则只之0或只<0，则必有g>0:若a=3, 9>1,0<q<1, 则{a}的公比q=3>0,但{a}是递减数列，所以数列{a}是递增数列是“q>0的充分不 必要条件.故选A. 6.B【解析】因为f(x)=x2f'(I)+e，,所以f(x)=2f'I)x+e,所以f(①)=2f'①+e,所以 f'(1)=-e,f'(x)=-2ex+e,f(2)=-4e+e2.故选B. 7.C【解析】已知a,=4+华+号++a,nN①，当n≥2时，a1=4+g+9++a②， 23 23 n-1 ①-②可得：当m2时，a0-丹，即品-号山4可得导-1，所以数列 1 是各项均为1的常数列，因此马=1，即a=n.将a,=n代入不等式(n-1)a<k2-1，得到 nn-)<k2对MeN恒成立，即k>”少对aEN恒成立设五-n,则 2-1 2n-1 高二数学（一)第1页 。,0冬6m-么只6-小>0，解得和<3，听以首m≤2时滋路：当3时 么=6：当n2≥4时，么)适减，所以么的最大简为么=4-子因为>”少x对nN恒成 2-1 3 立，所以>即ke四散选C 8.C【解析】由题意得，区间[2+1，m+2m+2)上的项数为(m2+2m+2）-(m2+1)=2+1, 所以当m确定时，有2m+1个连续的n,对应a,=2m+1.当m=0时，1≤n<2,则项数为1， 对应a=2×0+1=1;当m=1时，2≤n<5,则项数为3，对应a.=2×1+1=3;当m=2时， 5≤n<10,则项数为5，对应a。=2×2+1=5;当m=3时，10≤n<17,则项数为7，对应 a。=2×3+1=7;当m=4时，17≤n<26,则项数为9，对应a=2×4+1=9:当m=5时， 26≤n<37,则项数为11，对应an=2×5+1=11;当m=6时，37≤n<50,则项数为13，对 应a。=2×6+1=13;前7段的项数之和为1+3+5+7+9+11+13=49，因此，第50项属于m=7 的段，此时4=2×7+1=15，所以So=1×1+3×3+5×5+7×7+9×9+11×11+13×13+15=470. 故选C 9cD解折】因为f-e,所以r(y[e(+1)+e]x-2ex+)_(:-x-5列e x-2 (x-2)2 （x-2)2 故A错误； 对于B,双曲线的渐近线方程为y=±V6 x,故B错误： 对于C,由题意知a1-a.= 1111 n+n n(n+1)nn+I' 防以当m2时a41日4a名54-a行子4a】女担以 11 上式子相加可得a,-4=1】,所以a=4+1-13加2,1=1也符合，放c正确： n 2n 高二数学（一）第2页 对于D,令/-仁-5e<0,即x2,。。解得1面1+且x2,因 (x-2)2 x2-x-5<0, 2 2 为2引， 故D正确故选CD. 10.AB【解析】对于A,在等差数列a,}中，3=”4+a,所以S=84+a0,所以 2 2 a+a=2a+7d>0,又因为a48a4。<0,所以a与d异号，若a<0,d>0,则 48<0,4+ag<4+ag<0,矛盾，因此4>0，故A正确： 对于B,因为S1g>S,>Sg,所以as>0>Ag+ag,所以a。<0,d<0,从而 a,=a4g-d>0,a20=4,+d<0,又因为a4,+4,+a8+40=2ag+2a,<0, 所以-4g-a2o>4,+48’所以4，+ao>4,+4s,故B正确； 对于C,因为S,=Sg,所以Sg-S,=48+a4,=0,因为a4ga,<0,所以as与a,异号，但a4g 的正负不确定，S,37(6+a）_37×24374,所以3，的符号不确定，故C错误： 2 2 对于D,因为Sg>S17,所以48+41g>0,46+47+a20+a21=46+420+47+421=20a8+2Ag>0, 故D错误.故选AB 11.ABD【解析】对于A,因为4=3≥3，假设当n=k时，a≥3，那么当n=k+1时， 4=+3a≥号≥3，由数学归纳法可知meN,a≥3，因为G+3=3a,所以 33 《a-号3，所以ama3,枚A正确： 对于B,由A可知a1-双=矿>0，所以a}是递增数列，故B正确： 3 对fc,4-3,a-g+-6,4-6+2-18,a-5+3g-126号16 9 21 ×4+9, 3 3 3 2 故C错误； 高二数学（一）第3页 对于D,因为a+30=3a1,所以1=，3 3 11 ama+如，aa+3)aa+3,所以 11-1,所以数列(1)的前n项和 a4n+34na+1 4+3 12.1【解析】因为y=sin2x,所以y=2acos2ax,y'l=o=2a,所以曲线y=sim2ax在点(0,0) 的切线斜率为2a,因为曲线y=sn2ax在点(0,0)的切线与直线x+2y+3=0垂直，所以 2a习-l,解得a=l 1307解折】因为a号是下项等比数列，所以aas-an4t,nana- e2, 1 即ma+血a4s=n4+Indo==lha6+lna=-2,由f)=3x-1 ,则 x+1 fx)+f2-)=3x+-6-33-l3x+7-6+66,故 x+1-2-x+1x+1x+1x+1 f(Ina)+f (Indo2)=f(Ind)+f(Indzo2s)=..=f(Indzoz6)+f(Ina), 2[fna)+fna2)+..+fnao26)]= [f(lna)+f(血a26]+[f(血a,)+f(血aos】++[f(血a26)+f(lna)】 =2026[f(na)+f(nao6)门=12156，故fna)+fna,)++fna,o6)=6078 14-2026<<-2025y(写成范国也给分)【解析】因为四+/，0，所以 x2f'(x)+2xf(x)>0,设g(x)=x2f(x),则g(x)=x2f'(x)+2(x)>0,所以y=g(x)在 (0,+∞)上单调递增，对于不等式(x+2020fx+2020<_f0 ,整理得 x+2026 (x+2026)2f(x+2026)<1f(1),即g(x+2026)<g(1),根据函数的单调性及其定义域得 K+2026<1解得-2026<x<-2025,即原不等式的解集为{x-2026<t<-2025. x+2026>0, 高二数学（一)第4页 15.【解析】（1)因为y=x3-2x,所以y=3x2-2;…3分 (2)因为y=x2+1,所以y=2x- 1 2r2: …6分 2x (3)因为sin2x=2 sin xcos,所以y=n2_2 in co=2 2sinxx≠亚+k元，k∈Z, COSX coSx 2 所以-2coer号&=Z …10分 (4)因为y=21n(3x),所以y=21n2-1n(3x)+2…13分 16.【解折】1)因为f)=Qa+x-bhnx-)ar,所以fx)2a+1-。m, 所议f222+1名2a三1-名0，可得b=2.m4分 (2)由(1)知f(x)=2a+1-2-=-(a-1(x-2 2,(x>0…5分 当a=0时，f()=X二2，令f(x)>0,解得x>2,令f(x)<0,解得0<x<2, 所以f(x)的单调递增区间为(2，+o),单调递减区间为(0,2)：…7分 当a>0时，如果。2，即a>分令fe)>0,解得。x<2,所以1)的单词递销区间 为2 单调递减区间为0，和(2，+)： 如果=2，即a=子，则了()≤0，所以fy的单调递诚区间为(0，)： 如果。2.即0<a分令f()小0，解得2<x<,令<0，解得0<<2或> a 所以的单调笼区间为2，习》 单调递减区间为(0,2)和 m …11分 当a<0时，有r-1<0,令f"(x)>0,解得x>2,令f(x)<0,解得0<x<2, 高二数学（一）第5页 所以f(x)的单调递增区间为(2，+o),单调递减区间为(0,2)；…12分 综上所述，当a≤0时，f(x)在(2，+∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减： 当0<a<号时，在(2上单词谜增，在0,2)合网上单词递减： 当a=时，f)在(0，+)上单调递减 当a号时，儿)在[22上单调送城，在0日2+o)上单洞递减…15分 17.【解析】(1)由题意得P=m+号=5，解得m=5-号 所以点P的坐标为5-号4 …2分 代入C的方程得16=2p5-号 解得p=2或8，…4分 所以抛物线C的标准方程为y2=4x或y2=16x.…5分 (2)当抛物线C的方程为y2=4x时，准线1的方程为x=-1, 设准线与x轴的交点为K,过点N作准线1的垂线，交于点Q,则 MK=4,=2,MF=VM+KF=2W5,…7分 此时cos∠MPF= 5520-手0，所以PF是锐角且an☑F--图- 2×5×55 又因为PM=PF,所以△PM为锐角三角形，…9分 因为点N在抛物线上，所以N四_@_IKF1V5 ☑NMMF|5 高二数学（一）第6页 所以2= NF WF5-1 MF NF+MN 4 △P外接圆的半径R=，IMF= 2V55V5 2sin☑MPF …13分 44 2x 5 当抛物线C的方程为y'=16x时，同理可得M=4N5,此时coS∠MPF=25+25-80<0,与 2×5×5 △PMF为锐角三角形矛盾， 综上，2=51，△P八F外接圆的半径为5 4 …15分 18.【解析】(1)因为a1=8，,所以1=a+2=1+2 a,+2 a, 将上式形为12 …2分 an+ 又因为上+1=2，所以数列1+1小是以2为首项，2为公比的等比数列， a 所以1+1=2×21=2，所以a,=2 1 …4分 $ (2)由(1)知1+1=2°，所以6，=(2+1)×2， a 所以Sn=3×2+5×22+7×23++(2n+1)×2①， 2Sn=3×22+5×23+-+(2n-1)×2”+(2n+1)×2m②， ①-②得 -8,=3x2+2×2°+2×23++2x2-(2m+1x21=2+2x22 1-2 --（2n+1)×2a =-(2n-1)×2+1-2,…9分 高二数学（一）第7页 所以Sn=(2n-1)×21+2.…10分 (3)证明：由题知1=1 c.2"(2”-1 ,当n=1时，1=15 128 …1】分 当n=2时， 月1-1+1-2<5； …12分 白c,2'4×3128 当n≥3时，1=1<1x11 C2(22-12×22m1…14分 所以1=1+1+1x1+11 111,1,1,1 2212122"2*大 22m-1 11 7,2221-714611 7,4.15 211233223328 ，…16分 4 综上， 分1<得证…17分 C 8 19【解折】1D由题意得直线7的方程为y}x-1,即y=x行…1分 y=x+ 由 消y得7x2+4x-11=0,4=16+4×7×11=4×81>0,…3分 43 设A(5y),江(5).则=号+y= 所以4=1+1-x+T压+广4=1855分 (2》)设直线46的方程为mx-1+n个》-1， 高二数学（一)第8页 椭因方程整理可得3广+4，多}61H1》0, 所以3-+4〔6)1--F0,分 第理得(4+12y16+6m-1+6a+12m0c-1-》-0, 3)2 3 V- y 从而(4+12n 2 +(6n+12m) 2+3+6m=0,…9分 x-1 x- 则无4+8=二6t12四）=0，解得n=-2m,…1分 4+12n 所以-少-2my1，可得e 3) …13分 2 (3)设直线TA的斜率为，则直线TB的斜率为-k,所以直线TA的方程为y- 2=k(x-1), 令y=0,解得点M的横坐标xy=一 3山，所以M2十1,0B …15分 3 同理可得，点N的坐标为 +10, 设MN的中点为G(x,y), 2k 3+1+ 3 +1 则x=2h。2k=1,y=0,…16分 2 所以线段N的中点G为定点(1,0).…17分 高二数学（一)第9页高二年级期末质量检测 数学（一）评分细则 12.1【解析】因为y=sin2ar,所以y=2acos2ax,y'lk=o=2a,所以曲线y=sim2ar在点(0,0) 的切线斜率为2a,因为曲线y=sn2rx在点(0,0)的切线与直线x+2y+3=0垂直，所以 -1,解得a=1. 1360r8解折】因为a,}是正项等比数列，所以a4as=4aA=是，ha+lnan-n。-2, 即na+ln4s=ha+ln4==haa+ha=-2,由f0=3x-l,则 x+1 fx)+f-2-刘3x-l+63x-13-13x+7-6x+6-6,故 x+1-2-x+1x+1x+1x+1 f(Ina)+f(Indzo2c)=f(Ina)+f(Indzo2s)=-.=f(Indzoz)+f(Ina), 2[f(na)+f(na)++f(ndzoz)]= [f(Ina)+f(Indzo)+f(lnaz)+f(Inazo2s)++f(Idoxc)+f(Ina) =2026[f(na)+f(nao26)]=12156,故fna)+fna,)+.+fna26)=6078 14x-2026<x<-2025}(写成范围也给分)【解析】因为G田+fC四>0，所以 2x x2 x2(x)+2xf(x)>0,设g(x)=x2f(x),则g(x)=x2f(x)+2f(x)>0,所以y=g(x)在 (0,+∞)上单调递增，对于不等式(x+2026fx+2026<f0 整理得 x+2026 (x+2026)f(x+2026)<1f1),即g(x+2026)<g(1),根据函数的单调性及其定义域得 K+2026<1解得-2026<x<-2025,即原不等式的解集为x1-2026<x<-20253 x+2026>0, 15.【解析】（1)因为y=x3-2x,所以y=3x2-2;…3分 (2)因为y=x+立，所以y=2x 1 2r …6分 高二数学（一)第1页 (3）因为sin2x=2 sin xco,所以y=sn2x-2si血NCOs=2inxx≠+m,k∈Z COSX COSx 所以y'=2 cOSxx≠T+k红，keZ …10分 2 (4)因为y=2ln(3x),所以y=2m2-h(3x)+2 ,…13分 16.【解析】(1)因为fw)=(2a+1)x-bnx- 2m,所以fw)=2a+1b 所以02)）-2a1台2-1名-0，可得方-2.…4分 (2)由(1知f(x-2a+1-2-m=-（a-1儿x-2,（x≥0…5分 当a=0时，(x)=二2，令f(x)>0,解得x>2,令∫(x)<0,解得0<x<2, 所以f(x)的单调递增区间为(2，+o),单调递减区间为(0,2)；…7分 当a>0时，如果上<2，即a>}，令f(x)>0,解得二<x<2,所以f(x)的单调递增区间 为后 单调递减区间为0，和2，+)： 如果。=2，即a=子，则f(x)≤0，所以f()的单调递减区间为(0+o片 如果日2.即0<a<分令(0，解得2<x<石令1<0，解得0<x<2或> 所以八)单润造对K为2》 单调递减区间为(0,2)和 …11分 当a<0时，有x-1<0,令'(x)>0,解得x>2,令f'(x)<0,解得0<x<2, 所以f(x)的单调递增区间为(2，+∞)，单调递减区间为(0,2)；…12分 综上所述，当a≤0时，f(x)在(2，+o)上单调递增，在(0,2)上单调递减： 高二数学（一）第2页 当0<a<时，（在(2。）上单调选增，在02)后网上单阔递减： 当a=)时，fy)在(0，)上单调选减 当a>号时，心在22]小单调遂增，布0.2.+j止单酒遥减…15分 a 1.【解析】(D出题意得2-m+号-5，解得m=5-号 所以点P的坐标为5号4 …2分 代入C的方程得16=2p 5-1 ,解得p=2或8，…4分 所以抛物线C的标准方程为y2=4x或y2=16x.…5分 (2)当抛物线C的方程为y2=4x时，准线1的方程为x=-1, 设准线与x轴的交点为K,过点N作准线1的垂线，交于点Q,则 M=4,K=2,F|=MK+KFP=2W5,…7分 此时cos∠MPR=25+25-20-?0,所以∠MPr是锐角且in∠PF= 2×5×5 5 又因为PM=PF,所以△PMF为锐角三角形，…9分 因为点N在抛物线上，所以四= NO KF5 NMNM MF5 所以2= NF NF列 V5-1 MF NF+MN4 △PMF外接圆的半径R=、IM)=2V5_5V5 ;…13分 2sin∠MPF 44 2× 5 高二数学（一)第3页 当抛物线C的方程为y=16x时，同理可得=4W5,此时cos∠PF-25+25-80<0,与 2×5×5 △PMF为锐角三角形矛盾， 综上，A=5一，△P加外按圆的半径为55 …15分 4 4 18【解析】(1)因为a1=a,所以1=a+2=1+2, a,+2 a 将上式变形为1+1=2+2 …2分 an+ a. 又因为1+1=2，所以数列1+1是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以1+1=2×21=2，所以a,=2气 1 …4分 a (2)由(1)知1+1=2，所以6，=(2+1x2, an 所以S=3×2+5×22+7×23++(2n+1)×2"①， 2Sn=3×22+5×2+.+(2n-1)×2"+(2n+1)×2+②， ①-②得 -S.=3x2+2×2+2x2++2×2-(2n+1)×21=2+2×2-2 1-2 --(2n+1)x21 =-(2n-1×2+1-2,…9分 所以Sn=(2n-1)×2+1+2.…l0分 (3)证明：由题知11 …11分 c.2"(2”-1 ,当n=1时，1=15 C128 高二数学（一)第4页 当n=2时， C24x3128…12分 子1-1+1=75. 当n≥3时，11<1x11 6.2(2”-2×22…14分 所以空站京京六+时+ 1 一三 22m 11 -7+22丽-7+411 .7,4.15 2125322)2+3*328 十 …16分 4 综上， 1<得证.…17分 1C8 9【解析】(D由题意得直线A的方程为yx-1,即y三x+ …】分 1 y=x+ 由 2消y得7x+4-11=0,4=16+4×7×11=4×81>0，…3分 .43 设4(，)，T(Gy),则x=- 所以4=+-=+V压+广-4，=185 …5分 （2)设直线4B的方程为mx-1+n引=1， 椭圆方程整理可得3(x-+4-+6x-1+12-引=0， 防以--〔62a-小}o.时分 高二数学（一)第5页 整理得4-13+6m-j+om-1m--}0, 3)2 3 从而(4+12n 2 +(6n+12m)）2+3+6m=0,…9分 x-1 x-1 则k4+ka= (61+12=0,解得n=-21,…11分 4+12n 所以mx-少-2my引-山，可得系s=号 …13分 2 (3)设直线4的斜率为，则直线76的斜率为-，所以直线A的方程为y-；(x-少， （_3+1,0 令y0,解得点的坠标1，所以 …15分 同理可得，点N的坐标为 3 +1,0 设MN的中点为G(x,y), 2k 3 3 +1+ -+1 则x=2k。2k=1,y=0,…16分 2 所以线段MN的中点G为定点(1,0)…17分 高二数学（一）第6页