精品解析：北京市延庆区2025-2026学年高一上学期期末数学试卷

2026北京延庆高一（上）期末 数学 2026.01 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则集合（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式化简集合,即可根据并集的定义求解. 【详解】由可得， 故， 故选：C 2. 下列函数在其定义域内是增函数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数，反比例函数的单调性可判断选项. 【详解】对于A，因为，所以为减函数，A不正确； 对于B，因为为增函数，所以为减函数，B不正确； 对于C，由反比例函数的单调性可知在区间和上分别递增，但在定义域内不是增函数，C不正确； 对于D，因为，所以在上为增函数， 又，所以为奇函数，所以在区间上也是增函数， 即在定义域内是增函数. 故选：D 3. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由零点存在性定理结合函数的单调性判断. 【详解】因为与均在R上单调递增，所以在R上单调递增， 又，， 所以的唯一零点在内. 故选：B. 4. 已知向量，在平面直角坐标系中的位置如图所示，则的值为（ ）． A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形得出向量的坐标，利用模长的坐标表示可求答案. 【详解】由图可知，，，所以， 所以. 故选：C 5. 已知，，，则实数a，b，c大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性可得，，，即可得答案. 【详解】由题意得，， ，即，故. 故选：B. 6. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算即可求出答案. 【详解】如图，与交于点，由题意得为的中点， 则. 故选：C. 7. 下图的茎叶图记录了甲、乙两名学生六次数学测验的成绩（百分制）． 给出下列四个结论： ①甲同学成绩的极差比乙同学成绩的极差大； ②甲同学成绩的中位数比乙同学成绩的中位数小； ③甲同学成绩的分位数比乙同学成绩的分位数小； ④甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差大． 其中所有正确结论的序号是（ ）． A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据极差、中位数、百分位数、方差的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】甲的成绩为：61，72，89，90，93，95， 乙的成绩为：77，82，85，87，92，93， 甲的极差为，乙的极差为，故①正确； 甲的中位数为，乙的中位数为，故②错误； 甲的分位数：，取第项； 乙的分位数：，取第4项87，故③错误； 甲的平均分为， 甲的方差为， 乙的平均分为， 乙的方差为， 因，故④正确； 综上，正确结论为①④. 故选：A 8. 设且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据指数函数、对数函数的单调性，得出底数的取值范围，从而得到答案. 【详解】条件1：根据指数函数的单调性，底数时，函数单调递减，因此：； 条件2：根据对数函数的单调性，函数  为增函数，则底数时，解得 ，结合题干条件且，可得 ：且； 故“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的充分而不必要条件. 故选：A. 9. 某农业公司年初用98万元购进一辆大型农业多用途收割机，已知该收割机累计使用年所需的各种费用（单位：万元）与使用时间n（，单位：年）之间的函数关系式为，该收割机每年的总收入为50万元．问该收割机第几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有使用费用为正值）（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 分析】由题意得，即，求解不等式估算即可. 【详解】由题意有：，即， 所以，解得， ，可得， 所以该收割机第3年开始盈利， 故选：B. 10. 已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本函数的图象与性质，得出的图象，再结合条件及图象，即可求解. 【详解】因为，当时，，易知在区间上单调递增，且， 当时，，对称轴为，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 图象如图所示，由，得到或（舍）， 又在区间上既有最大值，又有最小值，由图知，，， 所以选项A，B和C错误，选项D正确， 故选：D. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于利用基本函数的图象与性质，求作出的图象，再数形结合，即可求解. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 一个半径为3的扇形中，圆心角为，则扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式求得正确答案. 【详解】圆心角，对应， 所以扇形面积为. 故答案为： 12. 函数的图象向左平移3个单位长度得到函数的图象，若函数、的图象关于直线对称，则此时______，______． 【答案】 ①. ②. ，. 【解析】 【分析】由图象平移写出，根据指对数函数的关系及反函数的性质写出，即可得. 【详解】由题设，其图象关于直线对称后对应的函数为且. 故答案为：；， 13. 已知幂函数的图象经过点，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】待定系数法求得，再计算即可. 【详解】设，因为幂函数的图象经过点， 所以，即，解得， 即，故. 故答案为： 14. 在平行四边形ABCD中，点N在线段BD上，，点M为AB的中点．若M，N，C三点共线，则此时______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量线性运算，结合共线定理即可求解. 【详解】, , 由于M，N，C三点共线，故, 因此，解得 故答案为： 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①对于任意实数a，在上单调递减； ②存在实数a，使得有三个零点； ③对于任意实数a，对于任意，都存在且，使成立； ④存在实数a，使得关于x的不等式的解集为． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据函数的定义域、奇偶性、单调性、零点、不等式等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】的定义域是，，是偶函数， 当时，是增函数， 所以当时，是减函数， 所以对于任意实数a，在上单调递减，①正确. 由于在上单调递减，在上单调递增，所以至多有个零点， 不存在实数，使得有三个零点，②错误. 由于在上单调递减，在上单调递增， 所以对于，不存在且，使，③错误. 对于④，要使关于x的不等式的解集为， 根据函数的单调性、奇偶性可知，，解得， 所以存在，的解集为，④正确. 故答案为：①④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知甲、乙、丙三人的投篮命中率分别为，如果他们三人每人投篮一次，假设三人每次投篮是否命中相互之间没有影响． （1）求三人都没命中的概率； （2）求恰有一人命中的概率； （3）求至少有两人命中的概率． 【答案】（1）0.06 （2）0.29 （3）0.65 【解析】 【分析】（1）设事件A：甲投篮命中；事件B：乙投篮命中；事件C：丙投篮命中，利用独立事件和对立事件的概率公式即可求解； （2）设“恰有一人命中”为事件D，即，利用独立事件和对立事件的概率公式即可求解； （3）设“至少有两人命中”为事件E，即，利用独立事件和对立事件的概率公式即可求解. 【小问1详解】 设事件A：甲投篮命中；事件B：乙投篮命中；事件C：丙投篮命中， 甲，乙，丙各投篮一次，三人都没命中的概率为 所以甲，乙，丙各投篮一次，三人都没命中的概率为； 【小问2详解】 设“恰有一人命中”为事件D， 所以甲，乙，丙各投篮一次，恰有一人命中的概率为； 【小问3详解】 设“至少有两人命中”为事件E， 所以甲，乙，丙各投篮一次，至少有两人命中的概率为． 17. 求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）2 （2）25 （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数运算求得正确答案； （2）根据指数运算求得正确答案； （3）根据根式、指数、对数运算求得正确答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 . 18. 某校有初中生1800人，高中生1200人.为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取100名学生作为样本，统计了他们课外阅读时间，然后按“初中生”和“高中生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：，，，，，并分别加以统计，得到如图所示频率分布直方图． （1）求图中a的值： （2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数； （3）假设同组中的每个数据都用该组区间的右端点值代替，试估计全校高中生组本学期课外阅读时间的平均数； （4）记阅读时间在的初中生组样本为A组，高中生组样本为B组，学校决定在A组和B组中随机抽取2名同学进行访谈，求这2名同学中恰有1人在A组的概率． 【答案】（1） （2）870 （3）30.5小时 （4） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图所有矩形的面积之和为1计算即可； （2）根据分层抽样估计初中生与高中生中阅读时间不小于30个小时的学生频率，再估计总体情况即可； （3）根据频率分布直方图估计平均数的方法计算即可； （4）根据题意得初中生组样本为A组3人，高中生组样本为B组2人，再根据古典概率模型写出基本事件数，结合古典概率模型公式计算求解即可. 【小问1详解】 解：因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1， 所以，解得． 所以a的值为 【小问2详解】 解：由分层抽样知：抽取的初中生有60名，高中生有40名． 因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为， 学生约有人， 同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时学生频率为， 学生人数约有人． 所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有人． 【小问3详解】 解： 估计高中生组本学期课外阅读时间的平均数30.5小时 【小问4详解】 解：初中生组中，阅读时间在的学生频率为， 样本人数为人． 高中生组中，阅读时间在小时的学生样本人数为人． 记初中生组样本为A组3人分别为，， 高中生组样本为B组2人分别为， 则任选2人的样本空间可记为共包含10个样本点． 记M：1人在A组，则 M包含的样本点个数为6． 所以． 这2名同学中恰有1人在A组的概率为． 19. 已知函数． （1）判断的奇偶性并证明； （2）判断的单调性并说明理由； （3）若对任意恒成立，求x的取值范围． 【答案】（1）奇函数，证明见解析； （2）增函数，理由见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用奇偶性的定义判断证明即可； （2）由指数函数、复合函数的单调性判断即可； （3）利用函数的奇偶性和单调性得对任意恒成立，列不等式求参数范围. 【小问1详解】 为奇函数，证明如下： 因为定义域为，且，所以为奇函数； 【小问2详解】 在是增函数，理由如下： 因为在是增函数，所以在是减函数， 所以在是增函数，故在是增函数， 所以在是增函数； 【小问3详解】 由（1）（2）可知为奇函数且在是增函数， 又，所以， 所以对任意恒成立， 令，，只需，解得， 所以，则x的取值范围为. 20. 设函数． （1）当时，求的值域； （2）当时，的最小值为3，求m的值； （3）当时，函数的图象恒在直线的下方，求b的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数性质确定的取值范围，再结合对数函数单调性求解的值域. （2）先判断函数的单调性，得出其在给定区间上的最小值点，再根据最小值为3求出的值. （3）将函数图象位置关系转化为不等式恒成立问题，通过换元法将函数转化为关于新变量的函数，求该函数的最大值，进一步求解的取值范围. 【小问1详解】 因为当时，， 因为．所以， 所以， 所以的值域为. 【小问2详解】 因为函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 因为，的最小值为，所以只需，即， 所以在区间上的最小值为， 又因为当时，的最小值为3， 所以．故. 【小问3详解】 当时，函数，的定义域为， 因为函数的图象恒在直线的下方， 所以在恒成立， 即在恒成立， 即在恒成立， 令，则， 则，即，， 令，， 由二次函数性质可知，当时，， 即，解得， 所以的取值范围为. 21. 对于集合，定义函数 对于两个集合，，定义运算． （1）若，，写出与的值，并求出； （2）证明：； （3）证明：运算具有交换律和结合律，即，． 【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）由新定义的元素即可求出与的值,再分情况求出； （2）对x是否属于集合,分情况讨论,即可证明出； （3）利用（2）的结论即可证明出*运算具有交换律和结合律． 【详解】解：（1）,, ,, ； （2）①当且时,, 所以 ．所以, 所以, ②当且时,,, 所以．所以, 所以, ③当且时,,． 所以．所以． 所以． 综上,； ④当且时, ． 所以．所以． 所以． （3）因为, , 所以． 因为, , 所以． 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,考查了新定义问题,是难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026北京延庆高一（上）期末 数学 2026.01 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则集合（ ）． A B. C. D. 2. 下列函数在其定义域内是增函数的是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ）． A. B. C. D. 4. 已知向量，在平面直角坐标系中位置如图所示，则的值为（ ）． A. B. 2 C. D. 5. 已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则（ ）． A. B. C. D. 7. 下图的茎叶图记录了甲、乙两名学生六次数学测验的成绩（百分制）． 给出下列四个结论： ①甲同学成绩的极差比乙同学成绩的极差大； ②甲同学成绩的中位数比乙同学成绩的中位数小； ③甲同学成绩的分位数比乙同学成绩的分位数小； ④甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差大． 其中所有正确结论的序号是（ ）． A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ①③④ 8. 设且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 某农业公司年初用98万元购进一辆大型农业多用途收割机，已知该收割机累计使用年所需的各种费用（单位：万元）与使用时间n（，单位：年）之间的函数关系式为，该收割机每年的总收入为50万元．问该收割机第几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有使用费用为正值）（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 一个半径为3的扇形中，圆心角为，则扇形的面积为______． 12. 函数图象向左平移3个单位长度得到函数的图象，若函数、的图象关于直线对称，则此时______，______． 13. 已知幂函数的图象经过点，则______． 14. 在平行四边形ABCD中，点N在线段BD上，，点M为AB的中点．若M，N，C三点共线，则此时______． 15 已知函数，给出下列四个结论： ①对于任意实数a，在上单调递减； ②存在实数a，使得有三个零点； ③对于任意实数a，对于任意，都存在且，使成立； ④存在实数a，使得关于x的不等式的解集为． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知甲、乙、丙三人的投篮命中率分别为，如果他们三人每人投篮一次，假设三人每次投篮是否命中相互之间没有影响． （1）求三人都没命中的概率； （2）求恰有一人命中的概率； （3）求至少有两人命中的概率． 17. 求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 18. 某校有初中生1800人，高中生1200人.为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取100名学生作为样本，统计了他们课外阅读时间，然后按“初中生”和“高中生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：，，，，，并分别加以统计，得到如图所示频率分布直方图． （1）求图中a的值： （2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数； （3）假设同组中的每个数据都用该组区间的右端点值代替，试估计全校高中生组本学期课外阅读时间的平均数； （4）记阅读时间在的初中生组样本为A组，高中生组样本为B组，学校决定在A组和B组中随机抽取2名同学进行访谈，求这2名同学中恰有1人在A组的概率． 19. 已知函数． （1）判断奇偶性并证明； （2）判断的单调性并说明理由； （3）若对任意恒成立，求x的取值范围． 20. 设函数． （1）当时，求的值域； （2）当时，的最小值为3，求m的值； （3）当时，函数的图象恒在直线的下方，求b的取值范围． 21. 对于集合，定义函数 对于两个集合，，定义运算． （1）若，，写出与的值，并求出； （2）证明：； （3）证明：运算具有交换律和结合律，即，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $