精品解析：广东省深圳外国语学校2025-2026学年高三上学期第16周周测数学试题（1.22）

深圳外国语学校2026届高三年级统一测试 数学第十六次周测 命题人：林国炜 审题人：邬靖翔 时间：1月22日 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（　　） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的公差为，若，则（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 4. 已知是偶函数，则（　　） A. 2 B. C. 1 D. 0 5. 已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，则的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 6. 已知，且，则（　　） A. B. C. D. 7. 一个圆锥的底面直径为2，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数若关于的方程在区间内有2027个不同的实数根，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选题）某计步软件的后台数据显示，其用户的每日步数近似服从正态分布，则下列结论正确的是（　　） 附：若随机变量，则． A. 约有95%的用户每日步数在3600到10800之间 B. 每日步数多于5400和多于9000的用户比例大致相等 C. 若某人每日步数为9000，则其步数超过了大约84%的用户 D. 随机抽取100名用户，他们每日步数的方差接近1800 10. 我们称为正割函数，为余割函数，设函数，则（　　） A. 的定义域为 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点对称 D. 的值域为 11. 如图，在四棱锥中，平面，且底面为平行四边形，的中点为，点分别在棱上（均与不重合），且，四点共面，记四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数___________． 13. 已知抛物线上一点到的焦点及对称轴的距离分别为2和，则___________． 14. 已知且，若函数在上单调递增，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共3小题，共 47分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某中学为了提升课堂教学效果，提出了“学为中心”的理念，同时提出了新的公开课评价标准，为了得到高一年级位教师对新评价标准是否赞同的真实反馈，学校教研处利用“西蒙斯模型”进行网上问卷调查:在微信中开发了一个随机数模拟小程序，当教师点击 “抽取” 键，手机屏幕将出现数字的快速随机滚动，并最终等可能的生成当中的一个数，每个教师抽取两次.规定“若抽取的两个数奇偶性不同， 则按方案填写问卷，否则按方案填写问卷”. 方案:若第一次抽到的是偶数且第二次抽到的是奇数，则在问卷中填“”，否则填“”； 方案:若对新评价标准赞同，则在问卷中填“”，否则填“”. 当所有教师完成问卷调查后，统计填“”与填“”的比例.用频率估计概率，即可得到高一年级位教师对新评价标准赞同比例的估计值. （1）若用表示按方案填写问卷的人数，求的数学期望； （2）若所有调查问卷中，填“”的问卷有份，试估计高一年级位教师对新评价标准的赞同比例(用分数表示). 16. 如图，，分别为双曲线的左、右焦点.分别为双曲线左、右支上位于轴上方的点，且满足，设直线与相交于点. （1）若，求直线的斜率； （2）当点在双曲线上运动时， （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）证明：点在一个椭圆上运动，并求出该椭圆方程. 17. 某工厂为监控生产线上的产品质量，设置了（）个等间隔的质量检测时间点，编号从到，相邻时间点间隔为小时.每天质量监控部门会从这个时间点中随机选取若干个时间点（至少选取一个）去进行产品抽检，选取的抽检时间点中最小编号为（最早抽检时间），最大编号为（最晚抽检时间）.称为抽检时间跨度，是抽检方案设计中的关键参数，它反映了抽检在时间轴上的覆盖范围. （1）当时，求； （2）求和； （3）求的表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳外国语学校2026届高三年级统一测试 数学第十六次周测 命题人：林国炜 审题人：邬靖翔 时间：1月22日 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解出集合，再进行交集运算即可． 【详解】根据题意，解得集合，而集合，所以． 故选：A． 2. 若复数满足，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算化简复数，利用复数的模长公式可求得的值. 【详解】因为，所以， 故. 故选：C. 3. 已知等差数列的公差为，若，则（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】由题意知，，又，故． 故选：C 4. 已知是偶函数，则（　　） A. 2 B. C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性运算，结合正弦函数奇偶性求出值. 【详解】函数是R上的偶函数，而是奇函数， 则函数是奇函数，，解得，此时是奇函数， 所以. 故选：D 5. 已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，则的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出椭圆、双曲线的离心率，根据它们的离心率互为倒数求出的值，进而求出双曲线的渐近线方程. 【详解】椭圆的离心率为， 双曲线的离心率为， 因为双曲线与椭圆的离心率互为倒数，所以， 解得，故双曲线的方程为，所以，渐近线方程为． 故选：A 6. 已知，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先逆用两角和的正弦公式可得的值，再根据同角三角函数的基本关系可得的值，最后利用倍角公式即可得解. 【详解】因为 ， 又， 所以， 所以． 故选：B. 7. 一个圆锥的底面直径为2，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，可得当该球为圆锥的外接球时，球的表面积最小，设球的半径为，再根据勾股定理求出球的半径可得答案. 【详解】由题意知，当该球为圆锥的外接球时，球的表面积最小， 圆锥的底面半径为，体积为高， 设球的半径为，由图可得，解得， 故球的表面积的最小值为 故选：C 8. 已知函数若关于的方程在区间内有2027个不同的实数根，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先作出上的图象，令，再将问题转化为方程有一个根在内，另一个根在内.令，利用实根分布即可求解. 【详解】先作出在上的图象，再扩展到整个定义域，画出大致图象如下． 当时，方程在内有2026个实根； 当时，方程在内有1个实根， 令，因为方程在区间内有2027个不同的实数根， 所以方程有一个根为，另一个一个根在内，此时,符合题意； 或者有一个根在内，另一个根在内， 令，则， 即 解得,综上可得． 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选题）某计步软件的后台数据显示，其用户的每日步数近似服从正态分布，则下列结论正确的是（　　） 附：若随机变量，则． A. 约有95%的用户每日步数在3600到10800之间 B. 每日步数多于5400和多于9000的用户比例大致相等 C. 若某人每日步数为9000，则其步数超过了大约84%的用户 D. 随机抽取100名用户，他们每日步数的方差接近1800 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意知，再由正态分布的性质计算即可． 【详解】设用户每日步数为， 对于A，，故A正确； 对于B，，二者显然不相等，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，正态分布的参数表示随机变量的方差，如果随机抽取部分样本进行统计，与1800接近的是标准差，而不是方差，故D错误. 故选：AC 10. 我们称为正割函数，为余割函数，设函数，则（　　） A. 的定义域为 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点对称 D. 的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用函数解析式有意义可解得函数的定义域，可判断A选项；利用余弦型函数的周期性可判断B选项；利用余弦型函数的对称性可判断C选项；利用余弦型函数的基本性质可求出的值域，可判断D选项. 【详解】由题意得． 对于A，要使有意义，必有，则，即， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，因为的最小正周期为， 且， 所以的最小正周期为，故B正确； 对于C，因为， 所以的图象关于直线对称，故C错误； 对于D，当时，，则， 即的值域为，故D正确． 故选：ABD. 11. 如图，在四棱锥中，平面，且底面为平行四边形，的中点为，点分别在棱上（均与不重合），且，四点共面，记四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据棱锥的结构特征与体积计算，利用空间向量，可得答案. 【详解】连接． 设， 则， 因为四边形是平行四边形，为的中点， 所以． 由四点共面，可知存在实数，满足， 即， 所以则，化简得， 由，得，同理可得，所以． 对于AB，由题意知，又， 所以，故A错误，B正确； 对于C，同理可得，所以，故C正确； 对于D， 因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积定义求解即得. 【详解】由是夹角为的两个单位向量，得， 由，得，即，所以. 故答案为：4 13. 已知抛物线上一点到的焦点及对称轴的距离分别为2和，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的定义结合题设条件推得点的坐标，代入抛物线方程求解即得. 【详解】由抛物线上的点到的焦点的距离为2可得点到的准线的距离为2，即， 又点到的对称轴的距离为，所以， 将点代入抛物线方程，可得，整理得， 解得或（不合题意，舍去）． 故答案为：. 14. 已知且，若函数在上单调递增，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得对任意的恒成立，设，利用导数结合题意推得，将其化成，设，利用导数求出其最大值即得. 【详解】根据题意，可得对任意的恒成立． 设，则． 若，则在上单调递增， 当且时，，不符合题意． 若，令，得， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 所以，所以． 设，（），则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，即的最大值为， 此时． 故答案为：. 四、解答题：本题共3小题，共 47分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某中学为了提升课堂教学效果，提出了“学为中心”的理念，同时提出了新的公开课评价标准，为了得到高一年级位教师对新评价标准是否赞同的真实反馈，学校教研处利用“西蒙斯模型”进行网上问卷调查:在微信中开发了一个随机数模拟小程序，当教师点击 “抽取” 键，手机屏幕将出现数字的快速随机滚动，并最终等可能的生成当中的一个数，每个教师抽取两次.规定“若抽取的两个数奇偶性不同， 则按方案填写问卷，否则按方案填写问卷”. 方案:若第一次抽到的是偶数且第二次抽到的是奇数，则在问卷中填“”，否则填“”； 方案:若对新评价标准赞同，则在问卷中填“”，否则填“”. 当所有教师完成问卷调查后，统计填“”与填“”的比例.用频率估计概率，即可得到高一年级位教师对新评价标准赞同比例的估计值. （1）若用表示按方案填写问卷的人数，求的数学期望； （2）若所有调查问卷中，填“”的问卷有份，试估计高一年级位教师对新评价标准的赞同比例(用分数表示). 【答案】（1）24 （2） 【解析】 【分析】（1）先算单次抽奇偶不同的概率，再用二项分布求期望； （2）用全概率公式，结合已知条件反推方案②的赞同概率. 【小问1详解】 每名教师每次抽取到偶数的概率为，抽取到奇数的概率为， 每名教师两次抽取到的数字奇偶性不同的概率， 则位教师中按方案填写问卷的人数， 所以的数学期望. 【小问2详解】 记事件为“按方案填写问卷”，事件为“按方案填写问卷”，事件为“在问卷中填“”. 由(1)知， ，由全概率公式， 则，解得， 所以根据调查问卷估计，高一年级位教师对新评价标准的赞同比例为. 16. 如图，，分别为双曲线的左、右焦点.分别为双曲线左、右支上位于轴上方的点，且满足，设直线与相交于点. （1）若，求直线的斜率； （2）当点在双曲线上运动时， （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）证明：点在一个椭圆上运动，并求出该椭圆方程. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：分别延长线段与双曲线交于，由于， 由双曲线的对称性可知，，四边形是平行四边形，其中心为原点， 关于原点对称，故， 设，且， 联立，，， 所以. 由两点距离公式，， 所以， 由韦达定理，， （ii）证明：设，由(i)知，即：， 由双曲线的定义知，， 由于，根据平面几何知识，， 所以， ， 由椭圆定义知，点在以为焦点，长轴长为的椭圆上， 由得，其方程为， 所以当点在双曲线上运动时，点在椭圆上运动. 【解析】 【分析】（1）先由平行关系得到线段比例与纵坐标关系，设出直线方程并联立双曲线方程，再通过消元与代数运算求出直线斜率. （2）（ⅰ）利用双曲线的对称性得到线段等量关系，设直线方程并联立双曲线，结合韦达定理与两点距离公式，化简证明表达式为定值. （ⅱ）先由(i)的结论得到线段长度关系，再结合双曲线定义与平行线分线段成比例，推出点P到两焦点的距离之和为定值，最后根据椭圆定义确定椭圆方程. 【小问1详解】 双曲线两个焦点坐标为， 由可知，，故， 两条平行线设为， 分别与联立，得， 进而有 将②-①×9得，，代入①式得， 因为，所以，故，所求斜率为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 17. 某工厂为监控生产线上的产品质量，设置了（）个等间隔的质量检测时间点，编号从到，相邻时间点间隔为小时.每天质量监控部门会从这个时间点中随机选取若干个时间点（至少选取一个）去进行产品抽检，选取的抽检时间点中最小编号为（最早抽检时间），最大编号为（最晚抽检时间）.称为抽检时间跨度，是抽检方案设计中的关键参数，它反映了抽检在时间轴上的覆盖范围. （1）当时，求； （2）求和； （3）求的表达式. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）当时，，则可取，再求出相应的概率，即可列出分布列，即可求解； （2）分别求出时子集数量有个和时，子集数量有个，从而可得；同理可求得，即可求解； （3）由题可求得，再结合错位相减即可求出，由对称性可知，则可求出，即可求解. 【小问1详解】 记个等间隔的质量检测的时间点为，则，每天选若干个时间点进行检测等价于考虑集合的非空子集. （1）当时，， 所有抽检的结果为：共7种情况， 当时，符合的有共种情况，则， 当时，符合的有共种情况，则， 当时，符合的有共种情况，则， 从而的分布为： 1 2 3 因此． 【小问2详解】 所有抽检子集的总数为个， ：表示最小编号不超过，即或． 当时，这要求编号在子集中，且编号不在子集中，这样的子集数量有个，从而有； 当时，这要求编号在子集中，这样的子集数量有个，从而有． 从而有． ：表示最大编号至少有，即或． 当时，这要求编号在子集中，且编号不在子集中，这样的子集数量有个， 从而有； 当时，这要求编号在子集中，这样的子集数量有个，从而有． 从而有． 【小问3详解】 ：表示最小编号为，这要求在子集中，不在子集中，这样的子集的个数有个， 因此， 所以． ①-②相减得： 所以， 所以． 由对称性可知， 所以， ， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $