福建省厦门外国语学校2025-2026学年上学期九年级期末数学模拟试卷

福建省厦门外国语学校2025-2026学年度九年级（上) 期末数学复习试卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1.本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回. 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置 3. 答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效. 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1.下列事件中，属于随机事件的是() A.掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 B.从装有6个白球的袋中摸出一个红球 C.奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心D.明天太阳从西方升起 2.对于反比例函数y=的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是() A.k>0 B.k<0 C.k=0 D.任意实数 3.如图，直线a、b被三条互相平行的直线l1,l2,l3所截，AB=2,BC=1,则DE:DF=() A.1:3 B.2:3 C.1:2 D.2:1 4.如图，点A、B、C均在⊙0上，若LBA0=32°，则LACB的度数是() A.32 B.45° C.58° D.64° 5.将抛物线y=(x-1)2+2沿x轴折叠后得到的新抛物线的解析式为() A.y=(x+1)2-2 B.y=(x-1)2-2 C.y=-(x-1)2-2 D.y=(x+1)2+2 第1页，共8页 6.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E,交AD于点F,交CD的延长线于点G,若AF=2FD, 则器的值为() G D A月 B c D星 7.如图，扇形0AB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm,则这个圆锥的底面半径为() A B.V2cm c竖cm D.cm 8.一个8人小组参加集体跳长绳比赛，其中2人负责摇绳、站立的位置相距10m,剩余6人跳绳，他们都 站在同一直线上如图所示，当绳子摇到最高处时，绳子的形状近似于一条抛物线，摇绳的手距离地面都是 1m,绳子的最高点距离地面2m.根据平时训练的情况，当绳子摇到最高处时，这6名学生头顶离地高度（单 位：m)的范围如表所示 学生 y B D 头顶离地高度的 1.51-1.72 1.361.64 1.681.84 1.561.75 1.361.64 1.561.75 范围 学生头顶离地高度的范围将此次比赛中这6名学生站立的队列长度记为s(单位：m),若比赛中绳子都不会 碰到他们的头顶，根据表一的数据可求s的范围是() A.s<8 B.s<7 C.s<6 D.s<5 10m m 第2页，共8页 9.如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB,AD相切，且DE与⊙O相切于点E.若⊙O的半径为5，且AB=11, 则DE的长度为() A.5 B.6 C.√30 D. A D ·0 ⊙ C 10.在平面直角坐标系x0y中，五个点的坐标分别为A(-1,5),B(1,2),C(2,1),D(3,-1),E(5,5).若抛物线 y=a(x-2)2+k(a>O)经过上述五个点中的三个点，则满足题意的a的值不可能为() A昌 B c D 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积之比是· 12.x=1是方程x2+3x-m=0的一个根，m的值是· 13.如图，PA,PB分别切⊙0于点A,B,Q是优弧AB上一点，若∠P=40°，则∠Q的度数是 A 0 B 14.社团课上，同学们进行了“摸球游戏”.在一个不透明的盒子里装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、 白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程整 理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图如图所示，经分析可以估计盒子里黑 球的个数可能为一个. 摸出黑球的频率 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 摸球的总次数 第3页，共8页 15.如图，A,B是反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上的两点，若△OAB是等腰三角形，且0A=OB=2, ∠A0B=30°，则k的值是一· 16.如图，已知矩形ABCD,AB=3,BC=5,点N是边BC上一点，且BN=1,将矩形ABCD绕A顺时针旋转 (O°<<180)，得到矩形AEFG,点B的对应点是点E,点C的对应点是点F,点D的对应点是点G,连接CF 点M是CF的中点，连接MN,在旋转过程中，线段MW的最大值为一· M D C G E A 三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题8分) 解方程： (1)x2-4x-3=0: (2)x(x+1)=2(x+1). 18.(本小题8分) 先化简，再求值：(2+。)÷24a,其中a=V5-1. a 第4页，共8页 19.(本小题10分) 为继承和弘扬中华优秀传统文化，某校将八年级学生随机安排到以下四个场所参加社会实践活动. 因南通律物死 南通博物苑 南通城市博物馆 南通大剧院 南通美术馆 已知小明、小华、小丽都是该校八年级学生，求下列事件的概率： (1①)小明到南通博物苑参加社会实践活动： (2)小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动. 20.(本小题10分) 越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措.某校学生开展综 合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度.如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测 倾器，测得点M的仰角∠MBC=33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角LMEC= 45(点A,D与N在一条直线上)，求电池板离地面的高度MN的长.（结果精确到1米：参考数据si33°≈0.54， c0s33°≈0.84，tan33°≈0.65) CEB C- D 第5页，共8页 21.(本小题12分) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O为AC边上一点，连结OB.以OC为半径的半圆与AB边相切于点D,交AC 边于点E. B (1)求证：BC=BD. (2)若0B=0A,AE=2. ①求半圆0的半径. ②求图中阴影部分的面积. 22.(本小题12分) 根据以下素材，探索完成任务 如何设计警戒线之间的宽度 素材1 2 图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面 宽度AB=24米，拱顶离水面的距离为CD=4米. 拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3 所示，漏出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形如图3，测得相关 素材2 数据如下：EF=EK=1.7米，FK=3米，GH=U=1.26米，FG JK=0.4米. 为确保安全，拟在石拱桥下面的P,Q两处设置航行警戒线，要求如 下： 素材3 ①游船底部HI在P,Q之间通行： ②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.25米， 问题解决 在图2中建立合适的直角坐标系， 任务1 确定拱桥形状 并求这条抛物线的解析式： 任务2 设计警戒线之间的宽度 求PQ的最大值. 第6页，共8页 23.(本小题12分) 在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-2的图象过点A(1,t),B(2,t) (①)求的值： (②已知二次函数y=ax2+bx-2的最大值为1-a2, (①)求该二次函数的表达式： (甸若M(x1,m),N(x2,m)为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：-12=2-2 m x1-2 24.(本小题12分) 如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O.M是BC的中点，DM交AC于点G. (1)求证：AG=2GC: (2)设LBCD,LBDC的角平分线交于点I. ①当AB=6,BC=8时，求点I到BC的距离： ②若AB+AC=2BC,作直线G1分别交BD,CD于E,F两点，求是的值。 D A D 0 G 、G M C B M 备用图 第7页，共8页 25.(本小题12分) 如图1，己知AC,BD为⊙O的两条直径，连接AB,BC,OE1AB于点E,点F是半径OC的中点，连接EF. (1)设⊙O的半径为1，若LBAC=30°，求线段EF的长： (2)如图2，连接BF,DF,设OB与EF交于点P ①求证：P为EF中点； ②若∠BAC=45°，求证：DF=EF. D D 0 E B E 图 图2 第8页，共8页答案与解析 1.【答案】C 【解析】解：A、是必然事件，不符合题意； B、不可能事件，不符合题意； C、是随机事件，符合题意； D、是不可能事件，不符合题意： 故选：C 根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可， 本题考查的是随机事件的分类，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键，必然事件指 在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机 事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件. 2.【答案】A 【解析】解：根据当k>0时，反比例函数y=会的图象性质可知： 反比例函数y=奈的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小， ·k>0, 故选：A: 根据当k>0时，反比例函数y=奈的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小求解即可. 本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键。 3.【答案】B 【解析】解：：1//12//13， :AB:BC=DE:EF=2:1, DE:DF=2:3, 故选：B· 由平行线分线段成比例的性质可得AB:BC=DE:EF,进一步可求得DE:DF 本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键 4.【答案】C 【解析】解：：OA=OB, ÷∠0AB=∠AB0=32°， 第1页，共1页 ÷∠A0B=180°-32°-32°=116°， ·∠ACB=克∠A0B=58°， 故选：C。 利用三角形内角和定理求出∠AOB,再利用圆周角定理求解即可. 本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识， 属于中考常考题型. 5.【答案】C 【解析】解：根据题意，得 翻折后抛物线的解析式的解析式为：一y=(x-1)+2即y一-(x-1)-2 故选C 关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数 本题考查了二次函数图象与几何变换.总结：关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标坐标互为相反数.关 于y轴对称的两点纵坐标相同，横坐标坐标互为相反数， 关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数. 6.【答案】C 【解析】解：由AF=2DF,可以假设DF=k,则AF=2k,AD=3k, :四边形ABCD是平行四边形， :AD //BC,AB//CD,AB=CD, ·∠AFB=∠FBC=∠DFG,∠ABF=∠G, :BE平分∠ABC, ·∠ABF=∠CBG, ·∠ABF=AFB=∠DFG=∠G, AB=CD=AF=2k,DF=DG=k, ·CG=CD+DG=3k, AB/DG, ·△ABE∽△CGE, “器=器=發=， 故选：C. 第1页，共1页 由AF=2DF,可以假设DF=k,则AF=2k,AD=3k,证明AB=CD=AF=2k,DF=DG=k, 再利用相似三角形的判定和性质即可解决问题. 本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属 于中考常考题型 7.【答案】C 【解析】解：：小正方形方格的边长为1cm, :母线长为：22，圆心角为90°， ·扇形的弧长为： 90m×2y2 :圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， 2πr=V2π， 解得：r= cm, 故选C 根据格点求得扇形的母线长及扇形的圆心角，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆 锥的底面半径即可 本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确的利用圆锥的侧面展开扇形和圆锥的关系， 8.【答案】C 【解析】解：由题意，以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图： 年y 甲 2m 0 设抛物线解析式为y=ax2+bx+c, 由已知可得，(0,1（10,1)在抛物线上，且抛物线顶点为5,2) 第1页，共1页 C=1 100a+10b+c=1, 、25a+5b+c=2 a=-六 b=号 c=1 :抛物线的函数表达式为y=一宗x2+号x+1 将y=1.64代入y=-宗x2+号x+1得，1.64=-宗x2+号x+1 :X=2或x=8 :此次比赛中这6名学生站立的队列长度为：8一2=6(m),即此时B、E两位学生分别站在队列两侧。 .s<6 故选：C 依据题意，以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，再设抛物线解析式 为y=ax2+bx+c,又由已知可得，(0,1)，（10,1)在抛物线上，且抛物线顶点为5,2)，从而 1c=1 进而可得 a=- 100a+10b+c=1 故抛物线的函数表达式为y=一完x2+x十1将 ,25a+5b+c=2 b=子 (c=1 y=164代入y=-宗x2+x+1得，1.64=-完x2+号x+1求出x=2或x=8:则此次比赛 中这6名学生站立的队列长度为：8-2=6(m),即此时B、E两位学生分别站在队列两侧，则s<6,进而 可以判断得解。 本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把二次函数同实际生活结合起来. 9.【答案】B 【解析】解：如图，AB,AD,DE都与⊙0相切，连接0E,OF,OG, F B 第1页，共1页 :DE⊥OE,OG⊥AB,OF⊥AD,DF=DE, :四边形ABCD为正方形，AB=11, ÷∠A=90°，AB=AD=11, ·∠A=∠AG0=∠AF0=90°， :四边形AGOF为矩形， :0G=OF,⊙0的半径为5， ·四边形AGOF为正方形， ·AF=0G=5, ·DE=DF=11-5=6, 故选：B 连接0E,OF,OG,根据切线性质证四边形AG0F为正方形，根据正方形性质和切线长性质可得 DE=DF· 本题考查了切线的性质，正方形的性质，添加辅助线，利用切线长性质求解是解答本题的关键， 10.【答案】C 【解析】解：：抛物线y=a(x-2+k(a>0 :抛物线开口向上，对称轴为直线x=2 :A(-1,5,5,5),且岁=2. :点A、E同时在抛物线上或同时不在抛物线上. 当抛物线过A、E、B时， 11-2)2+k=2 把(1,2，A-1,5)代入得d-1-22+k=5' 解得a=是： 当抛物线过A、E、C时， 1-1-2)2+k=5 把A-1,5,C2,1)代入得2-2+k=1 解得a=音， 当抛物线过A、E、D时， 第1页，共1页 ((-1-2+k=5 把A-1,5,D3,-1)代入得a3-22+k=-1’ 解得a=是， 当抛物线过B、C、D时， 把C(2,1)代入解析式求得k=1, “y=ax-2)+1, 把B(1,2代入得a+1=2,解得a=1, 把D(3,1)代入得a+1=-1,解得a=-2, ·B、C、D三点不能同时在抛物线上， 综上，a的值可能为，寺，是，不可能为号， 故选：C. 根据已知点的坐标特征和抛物线的对称性得到：点A、E同时在抛物线上或同时不在抛物线上，然后分四种 情况利用待定系数法求得a的值，即可判断. 本题综合考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析 式，二次函数图象的对称性，分类讨论是解题的关键。 11.【答案】1：4 【解析】解：：两个相似三角形的相似比是1：2， …()2= 故答案为：1：4。 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出， 本题是一道考查相似三角形性质的基本题目，比较简单， 12.【答案】4 【解析】解：：x=1是方程x2+3x-m=0的一个根， ÷1十3-m=0, 解得：m=4, 故答案为：4. 根据题意可得：把x=1代入方程x2+3x-m=0中得：1+3-m=0,然后进行计算即可解答. 本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键 第1页，共1页 13.【答案】70 【解析】解：连接OA、OB, A :PA,PB分别切⊙0于点A,B, Q OA⊥PA,OB⊥PB, ·∠PA0=90°，∠PB0=90°， B ·∠A0B=360°-∠PA0-∠PB0-∠P=360°-90°-9 ÷∠Q=克∠A0B=克×140°=70°， 故答案为：70°· 连接OA、OB,根据切线的性质得到0A⊥PA,OB⊥PB,根据四边形内角和等于360°求出∠A0B,根 据圆周角定理计算即可· 本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键， 14.【答案】4 【解析】解：由图可知，摸到黑球的概率约为02， 亮=0.2， 解得：X=4, 故答案为：4 根据频率估计概率得出摸到黑球的近似概率，再根据概率公式进行计算即可求解. 本题考查用频率估计概率，正确记忆相关知识点是解题关键. 15.【答案】5 【解析】解：如图，作第一象限的角平分线0C,则反比例函数在第一象限分支关于直线OC对称， y D 0A=0B, :点A、B关于直线0C对称， 第1页，共1页 ÷∠A0C=∠B0C=∠A0B=15, 作AD⊥x轴，垂足为点D, :∠A0D=∠A0C+∠C0D=60°， ∠0AD=30°， 0D=0A=1'AD=5, A1,V3 :点A在反比例函数图象上， ·k=5 故答案为： 作第一象限的角平分线OC,根据图象对称性得到点A、B关于直线OC对称，作AD上x轴，垂足为点D, 可得到∠A0D=∠A0C十∠C0D=60°，利用解直角三角形得到点A坐标，继而求出k值， 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质，熟练掌握解直角三角形是关键 16.【答案】 渠+旺 【解析】解：连接AC,BD交于点O,连接OM,AF,过点0作OT⊥AC于点T,连接ON, B :ABCD是矩形， ÷OB=0C=0A=0D, :点M是CF的中点， :OM是△ACF的中位线， :0M=专AF=AC=0C :点M在以0为圆心，以0C为半径的圆上运动， AF=AC=AB2+BC2=32+52=34 :M0=V34' 第1页，共1页 :OT⊥AC,AB⊥BC, :0T//AB, ·△CTO∽△CBA, “器=器=$= T0=AB=,CT=BC=号， :BN=1, TN=2, 在Rt△TON中，ON=VTO2+TN=9, :线段NN的最大值为要+磨， 2 故答案：9+吗 2 17.【答案】解：(1)x2-4x-3=0, ·x2-4x=3, x2-4x十4=7， (x-2)2=7, x-2=±V7 解得：x1=2+V万，x2=2-V万： (2xx+1)=2x+1), :(x+1x-2)=0, ∴x+1=0或x-2=0, 解得：X1=-1,2=2. 18【答案】解：原式=（停+号： =时 =, 第1页，共1页 当a=V5-1时， 19.【答案】(1)图中社会实践活动分别用①，②，③，④，表示， 则小明到南通博物苑参加社会实践活动的概率为字； (②)列表如下：列表如下： 小丽 ③ ④ 小华 ① ①① ①② ①③ ①④ ② @① ②② ②③ @④ ③ ③▣ ③@ ③③ ③④ ④ ④① ④@ ④③ ④④ 共有16种等可能的结果数，其中小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的结果数有1种， 所以小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的概率为6、 20.【答案】解：延长BC交MN于点H,AD=BE=3.5米， 设MH=x米， 45 D :∠MEC=45°，故EH=x米， 在Rt△MHB中，tan/MBH==≈0.65解待x=65· MH 则MN=1.6+6.5=8.1≈8（米）： ·电池板离地面的高度MN的长约为8米。 第1页，共1页 福建省厦门外国语学校2025-2026学年度九年级（上） 期末数学复习试卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1.下列事件中，属于随机事件的是(    ) A. 掷一次骰子，朝上一面的点数大于 B. 从装有个白球的袋中摸出一个红球 C. 奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心 D. 明天太阳从西方升起 2.对于反比例函数的图象，在每一个象限内，随的增大而减小，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 任意实数 3.如图，直线、被三条互相平行的直线，，所截，，，则：(    ) A. ： B. ： C. ： D. ： 4.如图，点、、均在上，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 5.将抛物线沿轴折叠后得到的新抛物线的解析式为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，若，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.如图，扇形是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为，则这个圆锥的底面半径为(    ) A. B. C. D. 8.一个人小组参加集体跳长绳比赛，其中人负责摇绳、站立的位置相距，剩余人跳绳，他们都站在同一直线上如图所示，当绳子摇到最高处时，绳子的形状近似于一条抛物线，摇绳的手距离地面都是，绳子的最高点距离地面根据平时训练的情况，当绳子摇到最高处时，这名学生头顶离地高度单位：的范围如表所示    学生 头顶离地高度的范围 学生头顶离地高度的范围将此次比赛中这名学生站立的队列长度记为单位：，若比赛中绳子都不会碰到他们的头顶，根据表一的数据可求的范围是(    ) A. B. C. D. 9.如图，与正方形的两边，相切，且与相切于点若的半径为，且，则的长度为(    ) A. B. C. D. 10.在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为，，，，若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.如果两个相似三角形的相似比是：，那么它们的面积之比是        ． 12.是方程的一个根，的值是        ． 13.如图，，分别切于点，，是优弧上一点，若，则的度数是           ． 14.社团课上，同学们进行了“摸球游戏”在一个不透明的盒子里装有个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图如图所示，经分析可以估计盒子里黑球的个数可能为        个 15.如图，，是反比例函数的图象上的两点，若是等腰三角形，且，，则的值是        ． 16.如图，已知矩形，，，点是边上一点，且，将矩形绕顺时针旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连接点是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值为        ． 三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解方程： ； ． 18.本小题分 先化简，再求值：，其中． 19.本小题分 为继承和弘扬中华优秀传统文化，某校将八年级学生随机安排到以下四个场所参加社会实践活动． 已知小明、小华、小丽都是该校八年级学生，求下列事件的概率： 小明到南通博物苑参加社会实践活动； 小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动． 20.本小题分 越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为米，在测点处安置测倾器，测得点的仰角，在与点相距米的测点处安置测倾器，测得点的仰角点，与在一条直线上，求电池板离地面的高度的长．结果精确到米；参考数据，， 21.本小题分 如图，在中，，为边上一点，连结以为半径的半圆与边相切于点，交边于点． 求证：． 若，． 求半圆的半径． 求图中阴影部分的面积． 22.本小题2分 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计警戒线之间的宽度 素材 图为某公园的抛物线型拱桥，图是其横截面示意图，测得水面宽度米，拱顶离水面的距离为米． 素材 拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图所示，漏出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形如图，测得相关数据如下：米，米，米，米． 素材 为确保安全，拟在石拱桥下面的，两处设置航行警戒线，要求如下： 游船底部在，之间通行； 当载重最少通过时，游船顶部与拱桥的竖直距离至少为米． 问题解决 任务 确定拱桥形状 在图中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物线的解析式； 任务 设计警戒线之间的宽度 求的最大值． 23.本小题2分 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． 求的值； 已知二次函数的最大值为， 求该二次函数的表达式； (ⅱ)若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 24.本小题2分 如图，矩形中，对角线，相交于点是的中点，交于点． 求证：； 设，的角平分线交于点． 当，时，求点到的距离； 若，作直线分别交，于，两点，求的值． 25.本小题2分 如图，已知，为的两条直径，连接，，于点，点是半径的中点，连接． 设的半径为，若，求线段的长； 如图，连接，，设与交于点． 求证：为中点； 若，求证：． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $