精品解析：广西壮族自治区梧州市苍梧县2026-2027学年九年级上学期10月期中数学试题

2026年梧州市苍梧县九年级上学期期中检测 数学 （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班别、姓名、准考证号填写在答题卡上，按要求粘贴条形码． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解关于的一元二次方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若一元二次方程的常数项为，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. 0 5. 对二次函数y=2(x-3)2-4的图象,下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为(-3，-4) B. 与y轴的交点坐标为（0，-4） C. 当时，随增大而减小 D. 最小值是y=-4 6. 若点与点关于原点中心对称，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 5 7. 若关于x的一元二次方程mx2﹣x=有实数根，则实数m的取值范围是(　　 ) A. m≥﹣1 B. m≥﹣1且m≠0 C. m＞﹣1且m≠0 D. m≠0 8. 二次函数的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的图象大致是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方形中，为正方形内一点，连接，使，再连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线，下列结论中：①；②；③；④．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 若关于x的一元二次方程的一个实数根为2，则m的值为___________． 14. 抛物线的顶点坐标是_______________. 15. 如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标为________ 16. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形． （1）若和关于原点O 成中心对称，画出； （2）将绕着点A 顺时针旋转，画出旋转后得到的． （3）求的面积 19. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，分别记为， （1）求m的取值范围． （2）若，求m的值． 20. 已知抛物线与x轴交于点，且过点． （1）求指物线的解析式和顶点坐标； （2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线上，并写出平移后相应的抛物线解析式． 21. 如图， 已知是等边三角形， 在外有一点 D， 连接， 将绕点A按顺时针方向旋转得到，与交于点 F，． （1）求的大小； （2）连接， 若，，， 求的长． 22. 某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）试确定y与x之间的函数关系式； （2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？ （3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围． 23. 如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年梧州市苍梧县九年级上学期期中检测 数学 （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班别、姓名、准考证号填写在答题卡上，按要求粘贴条形码． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A. 是轴对称图形，不是中心对称图形．故A选项错误； B. 不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故B选项错误； C. 不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故C选项错误； D. 是轴对称图形，也是中心对称图形．故D选项正确. 故选D. 【点睛】本题考查中心对称图形，轴对称图形. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】A. 是一元一次方程； B. 是一元二次方程； C. 是一元一次方程； D. 是二元二次方程； 故答案选：B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的定义. 3. 用配方法解关于的一元二次方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用完全平方公式进行配方即可得到答案． 【详解】解：， ∴， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握配方法进行化简． 4. 若一元二次方程的常数项为，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】令常数项为0求出m的值，代入检验即可． 【详解】解：∵一元二次方程（m-1）x2+（m2+1）x+m2-1=0的常数项为0， ∴m2-1=0，即m=1或-1， 当m=1时，m-1=0，不合题意，舍去， 则m=-1， 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 5. 对二次函数y=2(x-3)2-4的图象,下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为(-3，-4) B. 与y轴的交点坐标为（0，-4） C. 当时，随增大而减小 D. 最小值是y=-4 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解答：解：由二次函数y＝2（x−3）2−4可知，开口向上．对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，−4），抛物线有最小值−4，当x≥3时，y随x增大而增大，故A、C错误，D正确； 令x＝0，则y＝14，抛物线与y轴的交点为（0，14），故B错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性． 6. 若点与点关于原点中心对称，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点关于原点对称的性质．关于原点对称的点，横坐标和纵坐标均互为相反数． 根据点A和点B的坐标，求解m和n，再求． 【详解】解：∵点与点关于原点中心对称， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D． 7. 若关于x的一元二次方程mx2﹣x=有实数根，则实数m的取值范围是(　　 ) A. m≥﹣1 B. m≥﹣1且m≠0 C. m＞﹣1且m≠0 D. m≠0 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到m≠0且∆≥0，即（-1）2-4×m×（-）≥0，求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：原方程可变形为mx2﹣x﹣=0， ∵关于x的一元二次方程mx2﹣x=有实数根， ∴， 解得：m≥﹣1且m≠0， 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2-4ac；当∆＞0，方程有两个不相等的实数根；当∆=0，方程有两个相等的实数根；当∆＜0，方程没有实数根． 8. 二次函数的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的规律作答即可． 【详解】二次函数的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位 得到的函数关系式是 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象平移的规律，即上加下减，左加右减，熟练掌握平移规律是解题的关键． 9. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为， 根据题意得：． 故选：A． 10. 抛物线的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质进行分析求解即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由抛物线得：，， ∴抛物线开口向下，与轴交点在负半轴上， ∴图象大致是： 故选：． 11. 如图，正方形中，为正方形内一点，连接，使，再连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，连接由等腰三角形的性质可得，由旋转的性质可证明，即可求解． 【详解】解：连接如图： 是正方形， ， ，， ， ， ， 由绕点逆时针旋转得到， 得，， ，， ， ， ， ． 故选：D． 12. 二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线，下列结论中：①；②；③；④．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与x轴交点个数判断即可． 【详解】解：①由图象可知：，， ∴，故①正确； ②由图象可知：， ∴，故②正确； ③∵抛物线对称轴为直线， ∴，即，故③错误， ④∵抛物线对称轴为直线，， 又当时，， ∴当时，，故④错误； ∴正确的一共有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 若关于x的一元二次方程的一个实数根为2，则m的值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，解题的关键是根据根的定义代入求值． 将根代入方程即可求解． 【详解】解：将代入方程，得， 解得． 故答案为：6． 14. 抛物线的顶点坐标是_______________. 【答案】 【解析】 【详解】解：抛物线的顶点坐标是. 15. 如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形变化-旋转、全等三角形的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图，过点P作轴于点D，过点轴于点，构造全等三角形，然后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图，过点P作轴于点D，过点作轴于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，设的边上的高为，根据的面积等于四边形面积的，列出方程，求得，即可求解． 【详解】解：设的边上的高为， 长方形的长为，宽为， ， 的面积等于四边形面积的， ， 即， 解得， 动点从点出发沿运动， 点的坐标为或 故答案为或 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键． （）利用因式分解法解一元二次方程即可； （）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ∴，． 18. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形． （1）若和关于原点O 成中心对称，画出； （2）将绕着点A 顺时针旋转，画出旋转后得到的． （3）求的面积 【答案】（1） 如图，即为所求作； （2） 如图，即为所求作； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了网格作图——旋转变换，掌握旋转变换作图是解题的关键． （1）关于原点O 成中心对称，横纵坐标均互为相反数，找到A、B、C的对应点，顺次连接即可； （2）找到A、B、C的对应点，顺次连接即可； （3）根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ． 19. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，分别记为， （1）求m的取值范围． （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2）m的值是 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． （1）根据方程有实数根得出，解之可得． （2）利用根与系数的关系可用m表示出和的值，根据条件可得到关于m的方程，可求得m的值． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ∴ ， 解得， 故m的取值范围是； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可得，， ， ， ， 解得， 故m的值是． 20. 已知抛物线与x轴交于点，且过点． （1）求指物线的解析式和顶点坐标； （2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线上，并写出平移后相应的抛物线解析式． 【答案】（1）， （2）①向下平移5个单位，，②向左平移个单位， 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质、二次函数的平移等知识． （1）利用待定系数法求出函数解析式，化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）根据二次函数平移的规律进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点，可设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得：， 故抛物线解析式为， 即， ∵， ∴顶点坐标； 【小问2详解】 平移方法有： ①向下平移5个单位，得到：， 理由：把代入得出， ∵顶点坐标； ∴向下平移5个单位，抛物线的顶点为， 即向下平移5个单位，得到：，平移后抛物线的顶点落在直线上； ②向左平移个单位，得到：， 理由：把代入得出， ∴向左平移个单位，抛物线的顶点为， 即向左平移个单位，得到：，平移后抛物线的顶点落在直线上． 21. 如图， 已知是等边三角形， 在外有一点 D， 连接， 将绕点A按顺时针方向旋转得到，与交于点 F，． （1）求的大小； （2）连接， 若，，， 求的长． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． （1）由旋转的性质可得，由三角形的内角和定理可求解； （2）连接，可证是等边三角形，可得，由旋转的性质可得，可得，由勾股定理可求解． 【小问1详解】 解：∵将绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵将绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）试确定y与x之间的函数关系式； （2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？ （3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围． 【答案】（1） y＝－x＋120；（2） Q＝﹣x2+170x﹣6000，当试销单价定为70元时，该商店可获最大利润，最大利润是1000元；（3）单价为60≤x≤70的整数． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法将图中点的坐标求出一次函数解析式即可； （2）根据利润＝（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式； （3）令函数关系式Q≥600，解得x的范围，利用“获利不得高于40%”求得x的最大值，得出销售单价x的范围． 【详解】（1）设y＝kx+b，根据题意得： 解得：k＝﹣1，b＝120． 所求一次函数的表达式为y＝﹣x+120． （2）利润Q与销售单价x之间的函数关系式为：Q＝（x﹣50）（﹣x+120）＝﹣x2+170x﹣6000；Q＝﹣x2+170x﹣6000＝﹣（x﹣85）2+1225； ∵成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%，∴50≤x≤70，∴当试销单价定为70元时，该商店可获最大利润，最大利润是1000元． （3）依题意得：﹣x2+170x﹣6000≥600，解得：60≤x≤110． ∵获利不得高于40%，∴最高价格为50（1+40%）＝70，故销售单价x的取值范围是60≤x≤70的整数． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据利润＝（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，运用二次函数解决实际问题，比较简单． 23. 如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由顶点设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标； （3）根据，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值和最小值，从而得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得，（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； 【小问2详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴， ∴点B的坐标为； 【小问3详解】 解：， 点的纵坐标为0.5， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 当时，要使，则， 当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， 的最小值为2， 综上所述，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $