精品解析：辽宁省丹东市2025-2026学年高二上学期期末数学试题

上学期期末教学质量监测 高二数学 本试卷共19题，共150分，共4页.考试时间120分钟.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆的长轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的标准方程求得，从而求得长轴长. 【详解】因为椭圆的标准方程，所以该椭圆的焦点在轴上，且，则， 所以椭圆的长轴长为. 故选：D. 2. 直线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据互相垂直两直线方程系数的关系进行求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以. 故选：C 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 内含 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心距离、两圆的半径之间的关系进行判断即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， ， 因为， 所以两个圆相外切. 故选：B 4. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量共线的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为向量，，， 设，则， 所以. 故选：A 5. 已知直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB的中点为，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，设出点坐标，借助抛物线方程及弦中点坐标求出直线斜率，进而求出直线方程. 【详解】由直线l与抛物线交于A，B两点，设， 由弦AB的中点为，得，则直线的斜率， 所以直线l的方程为，即. 故选：A 6. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 【答案】C 【解析】 【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案. 【详解】首先确定相同得读物，共有种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种， 根据分步乘法公式则共有种， 故选：C. 7. 已知圆关于直线对称的圆记为D，点P在D上，，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】设关于直线的对称点为，利用对称关系求得圆D的方程，求得，进而可求得的最大值. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以， 所以圆关于直线对称的圆D的方程为， 又，所以， 又点P在圆D上，则的最大值为. 故选：D. 8. 记O为坐标原点，已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，若，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，根据椭圆的定义得，结合直角三角形的判定定理、椭圆的离心率公式进行求解即可. 【详解】设，则， 因为， 所以， 因为， 所以是直角三角形， 在直角三角形中， 有 ， 所以， 在直角三角形中， 有 . 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则向量，，共面 B. 若，，则 C. 若，则A，B，C，D共面 D. 若，则A，B，C，D共面 【答案】AC 【解析】 【分析】根据共面向量的定义、共线向量的定义，结合共面定理逐一判断即可. 【详解】A：因为，，， 所以， 即，所以由共面向量定理可以判断向量，，共面， 因此该选项命题正确； B：假设，所以存在，使得成立， 即， 因为空间向量，，不共面， 所以，显然不成立，假设不成立，因此本选项的命题不正确； C：因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D共面，所以本选项命题正确； D：， 因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D不共面，所以本选项命题不正确. 故选：AC 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据乘法的运算法则，结合赋值法、二项式系数公式逐一判断即可. 【详解】A：二项式展开式中最高次项的指数为， 所以展开式中最高次项的指数为， 所以，因此本选项说法正确； B：展开式中最高次项的指数为，系数为， 所以， 含项的系数为， 中，含项的系数， 所以，因此本选项说法正确； C：在中， 令，得， 令，得， 两式相减，得， 所以本选项说法不正确； D：由上可知，所以本选项说法正确. 故选：ABD 11. 已知O为坐标原点，过点的直线与抛物线交于P，Q两点，，，且是等边三角形，则（ ） A. C的准线为 B. 直线AB与C相切 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抛物线的准线方程、一元二次方程根的判别式，结合两点间距离公式、等边三角形的性质、一元二次方程根与系数的关系逐一判断即可. 【详解】A：由抛物线的方程可知，所以抛物线的准线方程为，所以本选项说法不正确； B：直线AB方程为，代入中， 得，因为， 所以直线AB与C相切，因此本选项说法正确； C：因为过点的直线与抛物线交于P，Q两点， 所以过点的直线的斜率存在且不为零， 因此设该直线方程为，与抛物线方程联立，得， 所以有， 设，则有， ， ，因此本选项说法正确； D：设的中点为，坐标为， 因为，所以点坐标为， 因为是等边三角形，所以， 由，所以直线的斜率为， 因为，所以， 于是有， 因为，所以， 点到直线的距离为， ， 因为， 所以， 所以本选项正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的渐近线方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线方程直接得到渐近线方程. 【详解】双曲线的渐近线方程为，即. 故答案为： 13. 有6个座位连成一排，安排3个人就座，恰有两人相邻的不同坐法共有________种．（结果用数字作答） 【答案】72 【解析】 【分析】根据特殊位置法，结合两人相邻，第3人的不同位置进行分类讨论进行求解即可. 【详解】设6个座位编号为， 第一步，从3个人中选两人相邻，共有种方法； 第二步，这相邻两人先选择位置，然后第3人按照要求进行选择， 若相邻两人选择座位，显然座位不能有人，因此第3人有种方式； 若相邻两人选择座位，显然座位不能有人，因此第3人有种方式； 若相邻两人选择座位，显然座位不能有人，因此第3人有种方式； 若相邻两人选择座位，显然座位不能有人，因此第3人有种方式； 若相邻两人选择座位，显然座位不能有人，因此第3人有种方式， 所以不同坐法共有种. 故答案为： 14. 若圆上到直线的距离为2的点有且仅有2个，则实数m的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】设圆到直线的距离为， 因为圆的半径为， 圆上到直线的距离为2的点有且仅有2个， 所以， 则有， 由， 由，或，解得，或， 所以，或， 所以实数m的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点． （1）求C的方程； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由焦点算出代入抛物线方程即可； （2）：过焦点的弦长，联立后用韦达定理计算即可. 【小问1详解】 因为直线过C的焦点，的焦点在x轴上， 故令，则，即抛物线焦点为，所以，即 所以C的方程为． 【小问2详解】 由联立得， 设，，所以 则． 16. 如图，在正三棱柱中，，D是的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面ABC所成角的正弦值． 【答案】（1） 取AC的中点O，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．取， 则，，，，， ，， ，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）取AC的中点O，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．取，利用空间向量的坐标运算计算可证明结论； （2）由（1）可求得平面的一个法向量与平面ABC的一个法向量，进而利用向量法可求得平面与平面ABC所成角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 设平面的法向量为， 由，可得，令，得， 所以平面的一个法向量为． 又是平面ABC的法向量， ，所以． 平面与平面ABC所成角的正弦值. 17. 已知点P是椭圆上的动点，过点P作轴，垂足为Q，点M满足，记点M的轨迹为C，O为坐标原点． （1）求C的方程； （2）已知直线与C交于A，B两点，若的面积为，求k的值． 【答案】（1） （2）或0或 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合代入法进行求解即可； （2）根据圆的弦长公式，结合点到直线距离公式、三角形面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 设点，，则． 由，，，得，． 将代入中，整理得； 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为d． 则，所以． 的面积．解得或． 当时，，解得． 当时，，解得或． 综上所述，k的取值为或0或． 18. 已知双曲线的 离心率为.右焦点为． （1）求的方程； （2）记的左右顶点分别为.过的直线与交于两点.在第一象限.直线与交于点.证明：点在定直线上． 【答案】（1） （2）证明: 证法一：设，， 直线：， 直线：， 由 得， 由， 得，故， 由 得， 由，得，故， 令，则， 由题设知， 则， 故， 由题意知，故， 又点满足且， 则，解之得， 所以点在定直线上； AI 证法二：由题意可知不垂直于轴， 设，， 可设：， 代入中，可得， 因为， ， 则， 由：，：，可得 ； 从而，故点在定直线上； 证法三：设，， 当直线的斜率存在时， 设：， 由 得， 所以，， 因为：，：， 联立方程解得 因为 所以， 当直线的斜率不存在时，：，所以， ：，： 联立方程解得，故点在定直线上． 【解析】 【分析】（1）由离心率和焦点坐标得到，，求出双曲线方程； （2）解法一：设，，直线：，直线：，分别与双曲线方程联立得到的坐标，由得到方程，求出，联立直线与直线，求出，得到答案； 解法二：设，，：，与双曲线方程联立得到两根之和，两根之积，故，表达出直线，，求出 ，从而求出，得到答案； 解法三：设，，当斜率存在时，设：，与双曲线方程联立得到两根之和，两根之积，表达出直线，，联立求出，计算出，从而得到，考虑直线的斜率不存在时，求出，得到结论. 【小问1详解】 依题意得，， 所以，， 所以的方程为； 【小问2详解】 略. 【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 19. 如图，已知菱形ADCB和菱形ADEF的边长均为2，M，N分别为AE、BD上的点，且． （1）用向量法证明：平面ABF； （2）设，，当MN的长度最小时，求AF与平面MND所成角的正弦值． 【答案】（1） 设，则有，， 所以 ， 因为平面ABF， 所以平面ABF． （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则，结合共面向量的判定定理进行证明即可； （2）法一：建立空间直角坐标系，运用空间向量夹角公式、结合二次函数的最值性质进行求解即可； 法二：运用基底法，结合空间向量线性运算法则，运用等积法进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：取AD的中点O，连接BO，FO，由题意，， 所以平面BOF， 从而平面平面ABCD． 以O为坐标原点，方向为x轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．则，，． 由，得，． 设，则，， 所以． 从而， 当时，MN取最小值，此时． 设为平面MND的法向量，则， 即，可取． 因为， 所以当MN的长度最小时， AF与平面MND所成角的正弦值为． 法二：以为基底，由题设，故． 设，则，， 所以． 故， 当时，MN取最小值， 此时M，N分别为AE、BD上的中点，平面MND就是平面BFD． 取AD的中点O，连接BO，FO，由题意，， 所以平面BOF，从而平面平面ABCD， 故F到平面ABD距离为． 可知面积为，面积为， 设A到平面BFD距离为d． 由得， 因此当MN的长度最小时，AF与平面MND所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上学期期末教学质量监测 高二数学 本试卷共19题，共150分，共4页.考试时间120分钟.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆的长轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 6 2. 直线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 内含 4. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 5 D. 5. 已知直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB的中点为，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 7. 已知圆关于直线对称的圆记为D，点P在D上，，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 6 8. 记O为坐标原点，已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，若，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则向量，，共面 B. 若，，则 C. 若，则A，B，C，D共面 D. 若，则A，B，C，D共面 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知O为坐标原点，过点的直线与抛物线交于P，Q两点，，，且是等边三角形，则（ ） A. C的准线为 B. 直线AB与C相切 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的渐近线方程是__________. 13. 有6个座位连成一排，安排3个人就座，恰有两人相邻的不同坐法共有________种．（结果用数字作答） 14. 若圆上到直线的距离为2的点有且仅有2个，则实数m的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点． （1）求C的方程； （2）求． 16. 如图，在正三棱柱中，，D是的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面ABC所成角的正弦值． 17. 已知点P是椭圆上的动点，过点P作轴，垂足为Q，点M满足，记点M的轨迹为C，O为坐标原点． （1）求C的方程； （2）已知直线与C交于A，B两点，若的面积为，求k的值． 18. 已知双曲线的 离心率为.右焦点为． （1）求的方程； （2）记的左右顶点分别为.过的直线与交于两点.在第一象限.直线与交于点.证明：点在定直线上． 19. 如图，已知菱形ADCB和菱形ADEF的边长均为2，M，N分别为AE、BD上的点，且． （1）用向量法证明：平面ABF； （2）设，，当MN的长度最小时，求AF与平面MND所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $