一元一次方程的实际应用 寒假专项训练-2025-2026学年 人教版 数学七年级上册

一元一次方程的实际应用 1．实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为，用两个相同的管子在容器的高度处（即管子底端离容器底）连通．现三个容器中，只有甲中有水，水位高，如图所示、，若每分钟同时向乙和丙注入等量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升，则注水 分钟后，甲与乙的水位高度之差是． 2．已知A，B，C三地依次在同一条直线上，A，C两地距离465千米，A，B两地距离330千米． (1)现有甲、乙两车分别从A，B两地相向而行，两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的3倍，若甲车比乙车提前1小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少千米/小时？ (2)如果甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，向C地行驶，两车保持（1）中的速度，求经过多少小时两车相距30千米？ 3．列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解） 第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人． (1)若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒A的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 4．某开发公司生产若干件某种新产品，需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品．已知甲、乙两个工厂每天分别能加工这种产品16件和24件，甲单独加工这批产品比乙单独加工这批产品要多用20天，且若由甲单独做，公司需付甲每天的加工费用80元；若由乙单独做，公司需付乙每天的加工费用120元． (1)设甲单独加工这批新产品要用x天，则乙单独加工这批新产品要用_______天； (2)在（1）的条件下，求这批新产品的件数； (3)若公司董事会制定了如下方案：可以由每个工厂单独完成，也可以由两个工厂同时合作完成，但在加工过程中，公司需派一名工程师到工厂进行技术指导（若两个工厂同时合作，只需派一名工程师到工厂指导），并由公司为其提供每天10元的午餐补助．请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并通过计算说明理由． 5．超市零食区共有薯片、饼干、坚果三种零食共100袋，其中薯片数量是饼干数量的，坚果有40袋．进货补充后，饼干的总库存数量是薯片总库存数量的．已知坚果的总库存数量是200袋，薯片的总库存数量比坚果的总库存数量多． (1)求超市零食区原有薯片与饼干各有多少袋？ (2)求进货补充后，超市零食区薯片的总库存和饼干的总库存分别是多少袋？ (3)超市计划将这些零食全部售出，若薯片进价每袋4元，饼干进价每袋2元，坚果进价每袋3.5元．薯片售价每袋6元，饼干售价每袋3元，坚果售价每袋5元．预计在出售过程中，平均每种零食会有因包装破损不能出售，超市全部出售完是赚钱还是赔钱？赚了多少元或赔了多少元？ 6．据了解第二届“澳新杯”篮球赛在12月2日圆满结束，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如下表）： 小明同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙完成下列问题： (1)从表中可以看出，负一场积______分，胜一场积_______分； (2)某班在比完12场的前提下，胜场总积分能等于其负场总积分的2倍吗？请说明理由． 7．某游乐园有如表A，B，C三种购票方式： 种类 购票方式 A 一次性使用门票，每张15元 B 年票每张元，持票者每次进入游乐园无需再购买门票 C 年票每张80元，持票者进入游乐园时需每次再购买6元的门票 (1)某游客一年中进入该游乐园共有a次，分别求三种购票方式一年的费用．（用含a的代数式表示） (2)某游客一年中进入该游乐园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请通过计算说明． (3)已知甲、乙、丙三人分别按A，B，C三种方式购票，且他们一年中进入该游乐园的次数相同．一年中，若甲所花的费用与乙所花费用相等，求丙在这一年中进入该游乐园所花的费用． 8．我国公民的“身份号码”共有18位数字，它是由6位区域码，8位出生日期码，3位顺序码，1位校验码构成．例如，某公民的身份号码如图①所示，其中最后一位“X”不是英文字母，而是罗马数字，表示10． 校验码是按照特定的算法得来的，计算方法为： 第一步：将身份号码的前17位数字分别乘以各自对应的系数，如下表所示： 区域码 出生日期码 顺序码 位数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 系数 7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 5 8 4 2 第二步：将这17位数字和系数相乘的结果相加，再除以11，算出余数．每个余数分别对应下表中的一个号码，这个号码便是校验码． 余数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 校验码 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2 回答下列问题： (1)某人身份号码为“3201022000010113”，若A的值为4，则校验码B的值为_________；若校验码B的值为8，则A的值为_________． (2)某人身份号码为“320102200C010112”，已知D的值是C的值的2倍，请写出最后的校验码E的值，并说明理由． (3)如图②，图示中的身份号码被磨损掉了两个数字，若它们的差为1，请直接写出被磨损掉的两个数字． 9．为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市将居民用管道天然气用气量及价格分为三档，其中： 用气量 年用气量 价格 第一档 不超出的部分 3.0 第二档 超出，不超出的部分 a 第三档 超出的部分 (1)若甲用户2024年前三个月已使用天然气，则应缴费________元． (2)若乙用户2024年已使用天然气，则应缴费________元．（用含a的代数式表示） (3)已知丙用户2024年用气量为，当时，请用含x的代数式表示丙用户这一年的燃气费． 10．在清冰雪工作中，某驻哈武警部队出动兵力600人参加三条街路的清冰雪劳动，其中A街路清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加B街路和C街路的清冰雪劳动，并且参加B街路清冰雪的人数是参加C街路的清冰雪人数的． (1)求参加A街路清冰雪劳动共有多少人？ (2)求参加B街路和C街路的清冰雪劳动各有多少人？ (3)在A街路清冰雪过程中，因有其它工作需要，调走了此处的兵力后，附近的居民主动参加劳动，此时在A街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人，求参加清冰雪劳动的居民有多少人？ 11．《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题． 12．哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． (1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ (2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 参考答案 1．， 由题意得注水1分钟，丙的水位上升，设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差为2cm，则可分：①当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，②当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，然后分类求解即可． 解：∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为，且注水1分钟，乙的水位上升， ∴注水1分钟，丙的水位上升， 设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差为2cm，则可分： ①当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，则有： ∴，解得：； ∵， ∴此时丙容器已向乙容器溢水， ∵分钟，cm，即经过分钟丙容器的水达到管子底部，乙的水位上升cm， ∴， 解得：； ②当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时， ∵乙的水位到达管子底部的时间为：分钟， ∴， 解得：； 综上所述：开始注入，分钟的水量后，甲乙的水位高度之差是2cm； 故答案为，． 本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 2．(1)甲、乙两车的速度分别是90千米/小时和30千米/小时 (2)经过小时两车相距30千米 本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设乙车速度为x千米/小时，则甲车的速度是千米/小时，根据题意列出方程求解即可； （2）设经过小时两车相距30千米，然后进行分类讨论：当两车相遇前，当两车相遇后，乙车到达地后，分别列出方程求解，再结合实际即可解答． （1）解：设乙车速度为x千米/小时，则甲车的速度是千米/小时， 根据题意：， 解得， 千米/小时， 答：甲、乙两车的速度分别是90千米/小时和30千米/小时； （2）解：甲到达地所需要的时间：（小时）， 乙到达地所需要的时间：（小时）， ∴甲先到达地， 设经过t小时两车相距30千米， ①两车相遇前： ； ∵， 不合题意，舍去； ②两车相遇后： ； ， 不合题意，舍去； ③当乙车到达地后：， ， ∵， ∴符合题意； 答：经过小时两车相距30千米． 3．(1)生产盲盒A的工人人数为600人； (2)该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套． 本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为人，根据该工厂共有1000名工人，列出方程，解方程即可； （2）设安排m人生产盲盒A，则安排人生产盲盒B，根据2个盲盒A和3个盲盒B组成，列出方程，解方程即可． （1）解：设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为人， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：生产盲盒A的工人人数为600人； （2）解：设安排m人生产盲盒A，则安排人生产盲盒B， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套． 4．(1) (2)这批新产品的件数为960 (3)两个工厂同时合作完成时，既省时又省钱，见解析 本题主要考查一元一次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程．对于要求最符合要求类型的题目，应将所有方案，列出来求出符合题意的那一个即可． （1）根据“甲单独加工这批产品比乙单独加工这批产品要多用20天”列式 ； （2）根据题意找出等量关系：总产品数相等，列出方程求解即可． （3）应分为三种情况讨论：①由甲厂单独加工；②由乙厂单独加工；③由两场厂共同加工，分别比较三种情况下，所耗时间和花费金额，求出即省钱，又省时间的加工方案． （1）解：根据题意，得乙单独加工这批新产品要用天， 故答案为：； （2）解：设甲单独加工这批产品用x天， 由题意得，， 解得：， （件）， 答：这个公司要加工960件新产品； （3）解： ①由甲厂单独加工：需要耗时为（天），需要费用为：（元）； ②由乙厂单独加工：需要耗时为 （天），需要费用为：（元）； ③由两家工厂共同加工：需要耗时为 （天），需要费用为：（元）． 因为，， 所以，甲、乙合作同时完成时，既省钱又省时间． 5．(1)超市零食区原有薯片袋，饼干袋 (2)补充后，超市零食区薯片的总库存是袋，饼干的总库存是袋 (3)超市全部出售完是赚钱，赚了元 本题考查一元一次方程的实际应用，有理数乘法的实际应用，有理数四则运算的实际应用． （1）设超市零食区原有饼干袋，则超市零食区原有薯片袋，根据超市零食区原有薯片、饼干、坚果三种零食共100袋，坚果有40袋，列出一元一次方程求解即可； （2）根据进货补充后，坚果的总库存数量是200袋，薯片的总库存数量比坚果的总库存数量多，即可求出薯片的总库存数量，再根据饼干的总库存数量是薯片总库存数量的即可求出饼干的总库存数量； （3）先求出总的进货货款，再求出总的销售额，作差即可解答． （1）解：设超市零食区原有饼干袋，则超市零食区原有薯片袋， 根据题意，得， 解得， 则（袋）， 答：超市零食区原有薯片袋，饼干袋； （2）解：根据题意，薯片的总库存数量为（袋）， 饼干的总库存数量为（袋）， 答：补充后，超市零食区薯片的总库存是袋，饼干的总库存是袋； （3）解：根据题意，总的进货货款为 （元） 总的销售额为 （元） （元） 答：超市全部出售完是赚钱，赚了元． 6．(1)1，2 (2)若该班在12场，胜了6场，则其胜场积分是负场积分的2倍． 本题考查了一元一次方程的应用． （1）由表中最后一行的信息可知，12场全负积分为12分，由此可得负一场积1分；结合表中第一行的信息即可求得胜一场积2分； （2）设该班胜了场，则该班负了场，胜的场次共积分，负的场次共积分，由题意可得方程：，解方程即可得到答案. （1）解：由表中最后一行的信息可知，某班12场全负积分为12分， ∴负一场的积分为：（分）； 设胜一场积分，则由表中第一行信息可得：， 解得：， ∴胜一场积2分； 故答案为：1，2； （2）解：设该班胜了场，根据题意可得： ，解得：， ∴若某班赛完全部12场，胜了6场，则该班的胜场积分是负场积分的2倍． 答：若该班在12场，胜了6场，则其胜场积分是负场积分的2倍． 7．(1)A种购票方式：元；B种购票方式：元；C种购票方式：元． (2)选择B种购买方式比较优惠 (3)元． 本题考查了列代数式以及代数式求值，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据表格给出的购票方式即可求解； （2）将分别代入（1）中所得代数式即可求解； （3）设他们一年中进入该游乐园的次数为x，根据甲所花的费用与乙所花费用相等列方程求出x，再利用C种购票方式的费用即可求出丙在这一年中进入该游乐园所花的费用． （1）解：A种购票方式：元； B种购票方式：元； C种购票方式：元． （2）解：选择B种购买方式比较优惠，理由如下： 当时，元；元． 而， 所以，选择B种购买方式比较优惠． （3）解：设他们一年中进入该游乐园的次数为x，根据题意得， 解之得，． ∴（元）， 答：丙在这一年中进入该游乐园所花的费用为元． 8．(1)，； (2)校验码E的值为7，理由见解析； (3)被磨损掉的两个数字分别为和或者和． 本题考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，准确理解校验码的特定的算法是解题关键． （1）根据校验码的特定的算法计算即可； （2）设C的值是（为整数），则D的值是，根据校验码的特定的算法得出，即可得到答案； （3）分两种情况求解：①若磨损掉的第一个数字为，第二个数字为时；若磨损掉的第一个数字为，第二个数字为时，根据校验码的特定的算法，分别列方程求解即可． （1）解： ， 若A的值为4，则 校验码B的值为； 若校验码B的值为8，则17位数字和系数相乘的结果相加，再除以11，余数为， 或， 或， 或（舍）， 故答案为：，； （2）解：校验码E的值为7，理由如下： 设C的值是（为整数），则D的值是， ，， ， ， ， 校验码E的值为7； （3）解：①若磨损掉的第一个数字为，第二个数字为时， 则， 校验码E的值为8， ， 解得：， 被磨损掉的两个数字分别为和； 余数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 校验码 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2 ②若磨损掉的第一个数字为，第二个数字为时， 则， 校验码E的值为8， ， 解得：， 被磨损掉的两个数字分别为和； 综上可知，被磨损掉的两个数字分别为和或者和． 9．(1)600 (2) (3)当丙用户用气量不超过时，支出的燃气费为元；当丙用户用气量超过不超过时，支出的燃气费为元；当丙用户用气量超过时，支出的燃气费为元 （1）甲用户年前三个月已使用天然气，不超过，直接用用量×第一档单价即可求出费用； （2）乙用户2024年已使用天然气，需将用量分为两部分：第一档的和第二档的，分别按对应单价计算后求和，得到含的代数式即可； （3）对三档分类讨论费用计算．已知，需根据用量的不同范围，分别计算各档的费用并汇总，体现分类讨论的数学思想． （1）解：甲用户使用天然气，因为不超过，价格为元. 故费用为：（元）. （2）解：乙用户年已使用天然气，为两段缴费：不超过和在和之间两段进行缴费：(元)； （3）解：丙用户用气量不确定，需进行分类讨论： 当时： 缴费：元； 当时： 缴费：（元）， 当时， （元） 当时： 缴费： 当时， （元） 综上所述：丙用户这一年的燃气费为：当丙用户用气量不超过时，支出的燃气费为元；当丙用户用气量超过不超过时，支出的燃气费为元；当丙用户用气量超过时，支出的燃气费为元 本题主要考查了列代数式，解答的关键是理解清楚题意，找到其中的数量关系． 10．(1)240人 (2)B街路：144人；C街路：216人 (3)72人 本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是理解题意，找出相等关系． （1）直接将计算即可； （2）设未知数，利用总人数为600列出方程即可； （3）根据在A街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人列出方程即可． （1）解：（人）， ∴参加A街路清冰雪劳动共有240人； （2）解：设参加C街路的清冰雪劳动有x人， ， ， ∴参加B街路的清冰雪劳动有144人，C街路的清冰雪劳动有216人； （3）设参加清冰雪劳动的居民有y人， ， ， ∴参加清冰雪劳动的居民有72人． 11．小和尚有人，大和尚有人． 本题考查了一元一次方程的实际应用，设小和尚有人，则大和尚有人，根据个馒头列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 解：设小和尚有人，则大和尚有人， 由题意得，， 解得， （人）， 答：小和尚有人，大和尚有人． 12．(1)天 (2)元 本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键； （1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送，乙车效率为每天运送，据此设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可； （2）根据甲车队每天的租金元，比乙车队少元，计算求解即可； （1）解：设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾， 根据题意得：， 解得：， 答：甲、乙两车合作还需要天运完垃圾． （2）解：乙队一共工作了天，甲队一共工作了天， ， 答：运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金元． 学科网（北京）股份有限公司 $