数轴与线段上的动态问题 寒假专项训练-2025-2026学年 人教版 数学七年级上册

数轴与线段上的动态问题 1．【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，O为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点N所对应的数为___________． 【问题探究】（2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为1？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点，则我们有等分点公式：点M对应的数为___________．（其中n为正整数） 2．（1）如图1，已知线段上有一点B，点D为的中点，，则的长度为______； （2）如图1，已知线段上有一点B，点D为的中点，，猜想的长度（用含a、b的代数式表示），并说明理由； （3）如图2，已知数轴上有一点A表示的数为，点A的右侧有三点B、C、D，，．若点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，点D以每秒1个单位长度的速度向左运动；三个点同时运动，当点C运动到A点时，三个点都停止运动．设运动的时间为t秒，试求当t为何值时，B、C、D中的一点是另外两点为端点的线段的中点？ 3．如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为． (1)求点与点之间的距离； (2)当为何值时，，并求出此时点表示的数； (3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值． 4．已知是关于的二次多项式，且二次项系数和一次项系数分别为和．如图，在数轴上点，，所对应的数分别是，，，为原点，数轴上有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向终点运动，设运动时间为． (1)　　　　，　　　　，　　　　． (2)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴上点和点之间往复运动． ①当为何值时，点第一次与点重合？ ②当点运动到点时，点的运动停止，求此时点一共运动了多少个单位长度，并求出此时点在数轴上所表示的数． ③设点，所对应的数分别是，，当时，，求的值． 5．如图，在数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数a，b，c，且a，b，c满足式子；如图：动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点P运动5秒后，长度为6个单位的线段（M为线段左端点且与点B重合，N为线段右端点）从B点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点N到达点C后，线段立即以同样的速度返回向左运动，当点M到达点B后线段再以同样的速度向右运动，如此往返．设点P运动时间为t秒． (1)求a，b，c的值； (2)当　 　秒时，点P与点C重合，并求出此时线段上点N所表示的数； (3)记线段的中点为Q，在运动过程中，当点P与点Q的距离为1个单位时，求t的值． 6．如图，点P是定长线段上一点，从点从点B同时出发分别以每秒厘米的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），并满足下列条件： ①关于m、n的单项式与的和仍为单项式； ②在运动过程中，总有． (1)直接写出：_______，_______； (2)求出的值，并说明理由： (3)在运动过程中，分别是的中点，运动t秒时，恰好满足，求此时的值． 7．如图，点A，B，C，D是同一直线上从左到右依次排列的四点，，，且a，b满足：，． (1) ， ； (2)线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动． ①求运动多少秒时，线段重合的长度为2； ②当点B和C重合时，线段立即以原来2.5倍的速度向右运动，线段的运动状态不变，若线段向右运动过程中，式子的值为定值n，请求m和n的值． 8．已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为，点B表示的数为6．若动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)当时，点M表示的数是____________，点N表示的数是____________； (2)当时，求t的值； (3)若点C为的中点，点D为的中点，当点M、N在线段上运动，且点M在点N的左侧时，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 9．点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 10．直线l上有三个点A、B，C，，，点M从点A已发，沿直线l以每秒的速度向点C运动，到达点C后立即原速返回到点A；点N从点B出发，沿直线l以每秒的速度向点C运动，到达点C后停止，若运动过程中某一时刻满足（且为正整数），则称此时是点M、N的一次“n时刻”．点M，N同时出发，直到点M返回点A运动结束，设运动时间为ts． (1)当时，点M，N到达“______分时刻； (2)当t为何值时，点M，N到达”3分时刻”？ (3)当______时，点 M、N到达“8分时刻”？ (4)进一步探究发现点M、N到达“n分时刻”的次数随着n的变化而变化，请直接写出对于n的每一个值点M、N到达“n分时刻”的次数． 11．已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题： (1)当点P运动5秒时，______，______，______． (2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离： ______，______，______． (3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (4)如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 12．如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）． (1)请用含t的代数式表示线段的长． (2)当点B是线段的中点时，求t的值． (3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？ (4)运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由． 13．如图，点在线段上，，，动点从点出友，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点与点相遇时，求的值． (2)当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． (3)当时，求的值． 参考答案 1．（1）；（2）；（3） （1）由非负数的性质可得，，求解，，再利用中点公式可得答案； （2）由点所对应的数为，点所对应的数为，再利用中点坐标公式建立方程求解即可； （3）①由题干信息，归纳可得答案． 解：（1）∵， ∴，， 解得：，， ∴点对应的数为，点对应的数为， ∴的中点N所对应的数为； 故答案为： （2）由（1）知，，， 则点所对应的数为，点所对应的数为． 则中点所对应的数为， 解得：． （3）∵数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点，∴点M对应的数为． 故答案为： 本题考查的是新定义的含义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，整式的加减运算，非负数的性质，理解题意，熟练的表示各数是解本题的关键． 2．（1）11；（2），理由见解析；（3）当t的值为、或8时，B、C、D中的一点是另外两点组成的线段的中点． 本题考查了一元一次方程的应用，线段中点公式，关键是要运用中点公式建立一元一次方程． （1）由点D为的中点，可求得的长，再根据，即可解答； （2）结合第一问和中点公式可以猜想的长度，然后再运用线段的和差证明即可； （3）先分别表示出，，，最后分情况结合中点公式列出一元一次方程求出时间t即可． （1）解：如图1：∵， ∴， ∵D是的中点， ， ； （2）解：，理由如下： 如图1：∵， ∴， ∵D是的中点， ， ∴． （3）解：A表示，点表示5，点C表示21，点D表示17， 当运动的时间为t秒时，点B表示，点C表示，点D表示，点，，， ①当点C在点D的右侧，即，解得：， ∴当时，如图2所示，D是的中点， 由题意可得：， 即，解得：，不符合题意，舍去； ②当点C在点D的左侧且点C在点B的右侧，即，解得：， ∴当时，如图3所示，C是的中点， 由题意可得：，即， 解得：，符合题意； ③当点C在点B的左侧且点D在点B的右侧，则，解得：， ∴当时，如图4所示，B是的中点， 由题意可得：， 即，解得∶，符合题意； ④当点D在点B的左侧到停止前，则，解得：， ∴当时，如图5所示，D是的中点，， 由题意可得：， 即，解得，符合题意． 综上所述，当t的值为、或8时，B、C、D中的一点是另外两点组成的线段的中点． 3．(1) (2)的值为或，点表示的数为或 (3) （）根据点表示的数为， 得，即得，进而可得点表示的数为，再根据两点间距离公式计算即可； （）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的 数为， 进而可得，解方程即可求解； （）由得，即得当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示 的数为，点表示的数为，得到，即可得，据此即可求解； 本题考查了数轴上的动点问题，两点间距离公式，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）解：∵点表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∵点在原点的两侧， ∴点表示的数为， ∴ ； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得，， 即或， 解得或， 当时，； 当时，； 答：当的值为或时，，此时点表示的数为或； （3）解：若，则， 当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵点变速后，若线段的长度始终是一个定值， ∴， ∴． 4．(1)，， (2) ① ②点一共运动了个单位长度，此时点在数轴上所表示的有理数为 ③ （1）根据二次多项式的定义，列方程求解即可； （2）①点从点到点用时秒，从点到点用时秒，此时点运动了个单位长度在的中点处，根据“点第一次与点重合”，列方程求解即可； ②求得运动时间，然后根据“运动路程时间速度”解答即可； ③当时，确定，的值，然后化简绝对值并解方程即可求出的值． （1）解：根据二次多项式的定义可得：，，， 解得：， 故答案为：，，； （2）解：①∵点表示的数是，点表示的数是， ， ， ， ∴点从点到点用时:（秒）， 点从点到点用时:（秒）， 此时点运动的长度为：个单位长度， ∴点在的中点， 设再经过秒两点第次重合，则有，， 解得：， （秒） 答：当时，点第一次与点重合； ②∵点表示的数是，点表示的数是， ， ∴点从点到点用时：（秒）， 则点一共运动了个单位长度， ， ∴此时点在数轴上所表示的有理数为：； ③当时，点在上，点在上运动， ，， ， ， 即：， 解得：． 本题主要考查了多项式，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，化简绝对值等知识点，读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系正确列出方程并求解是解题的关键． 5．(1)，，14 (2)22，11 (3)或15 （1）根绝绝对值的非负性求解； （2）根据数轴上两点间距离公式计算出，根据线段的运动速度及方式确定点P与点C重合时点N所在位置； （3）在运动过程中：点P所表示数为：，点Q的起始位置所表示数为：，分，，三个阶段，表示出点Q所表示的数，根据列绝对值方程，解方程即可． （1）解：∵，，，， ∴，，， ∴，，， ∴，，； （2）解：当秒时，点P与点C重合， ∵A所表示数为，C所表示数为14， ∴， ∴点P从A运动到点C所用时间为：（秒）， 故答案为：22； 线段的运动时间为（秒）， 线段从B运动到C所用时间为：（秒）， ∵数轴上点N起始位置所表示数为：， ∴线段运动17秒后，点N所表示数为：； （3）解：点Q的起始位置所表示数为：； 在运动过程中：点P所表示数为：， ①当，即时，点Q第一次由B向C运动， 点Q所表示数为：， ， 解得（舍去）或（舍去）； ②当，即时，点Q第一次由C向B运动， 点Q所表示数为：， 即：， 解得或； ③当，即时，点Q第二次由B向C运动， 点Q所表示数为：， ， 解得（舍去）或（舍去）， 综上所述：t的值为或15． 本题考查数轴上的动点问题，解一元一次方程的应用，数轴上两点间距离公式，绝对值的非负性等，难度较大，用含t的式子表示出不同阶段点Q所表示的数是解题的关键． 6．(1)1，2 (2)3 (3) 本题考查了线段的和差倍分，一元一次方程的应用，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． （1）根据同类项的定义列方程即可得到结论； （2）设，则，根据题意列方程即可得到结论； （3）设，由（2）知，，根据题意得到，①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，列方程即可得到结论． （1）解：∵关于、的单项式与的和仍为单项式， ∴单项式与是同类项， ∴， 故答案为：1，2； （2）设运动了t秒，则 设，则，      故答案为：3； （3）设，由（2）知，， ①当点在线段上时，， 解得：， ②当点在线段的延长线上时，， 解得：，(不合题意，舍去)， 综上所述，． 7．(1)6；3 (2)①秒或秒；② 本题主要考查了非负数的性质，两点间的距离，一元一次方程的应用，熟练运用数轴上两点之间的距离，分类讨论，是解题关键． （1）根据非负数的性质即可求得答案； （2）①设运动时间为t秒，当时，根据，得，解得；当时，得，解得；②设相遇后运动时间为x秒，则，根据为定值n，得，得，． （1）解：∵，且，， ∴，， ∴； 故答案为6，3； （2）解：①设运动时间为t秒， 当时， ∵点经过的路程为，点经过的路程为t，， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴， 解得； 故运动秒或秒时，线段重合的长度为2； ②设相遇后运动时间为x秒， ∵运动路程为，运动路程为， 则， ∴，， ∴， ∵的值为定值n， ∴， ∴， ∴． 故． 8．(1)，4 (2)t的值为3或5 (3)，理由见详解 （1）根据点的运动列式即可求解； （2）分别表示点M表示的数为，点N表示的数为，分点M在点N左侧和点M在点N右侧两种情况分类列出方程，解方程即可求解； （3）当点M在点N的左侧时，，，即可求出，，根据中点定义得到，，，进而得到，即可得到，整理得到． （1）解：当时，点M表示的数是，点N表示的数是． 故答案为：，4； （2）解：由题意得，点M表示的数为，点N表示的数为， 当点M在点N左侧时，，解得； 当点M在点N右侧时，，解得． 所以当时，求t的值为3或5； （3）解：． 证明：如图，当点M在点N的左侧时，，， 所以， 所以， 因为点C为的中点，点D为的中点， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以． 本题考查了数轴上点的运动，一元一次方程的应用，与中点有关的线段的计算等知识，根据题意用含t的式子表示点表示的数和线段的长度是解题关键． 9．（1）3（2）①②（3）当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点 本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，线段中的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． （1）根据新定义，确定线段的长度，然后求点表示的数即可； （2）①利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； ②利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； （3）采用分类讨论的思想，根据动点的运动轨迹，结合新定义下的线段长度关系，列方程求解即可． 解：（1）， 根据题意得，， ∴表示的数是； （2）①点C在线段上时， 如图所示， ∵线段，的中点分别为点M，N， ∴， 又， ∴； ②点C在线段的延长线上时，当时，， 如图所示，此时，点是线段的中点，即点与点重合， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； （3）点运动到终点所需时间为秒，点运动到终点所需时间是秒，设运动时间为秒，讨论如下： ①如图所示，当时，根据题意得， ， 解得； ②如图所示，当时，根据题意得， 解得； ③如图所示，当时，根据题意得， 解得（舍去）； ④如图所示，当点到达点折返回来后，时，根据题意得， 解得； 综上，当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 10．(1)2 (2)或 (3)或或或 (4)见解析 本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）当时，，，可得，从而，进而可以判断得解； （2）根据M和N的运动时间进行分类讨论，然后用含t的式子表示出的长度，再根据题意可知，建立方程求解即可； （3）同（2）方法； （4）同上述方法可知当时，有2个对应的t；当时，有3个对应的t；当时，有4个对应的t． （1）解：当时，，，如图： ， ， ∴． 点M，N到达“2分时刻”． 故答案为：2； （2）解∶当时，； 当时，； 当时，； 当M、N两点重合时，或， 解得或， 点M，N到达“3分时刻”，． ①当 时， ， ∴， 解得 ； ②当时， ， ∴， 解得 ，不合题意，舍去； ③当 时， ， ∴， 解得 ，不合题意，舍去； ④当时， ， ∴， 解得 ； ⑤当时， ， ∴， 解得 （舍去）； 综上所述，当t为或时，点M、N达到“3分时刻”； （3）解∶ 当时，； 当时，； 当时， ； 若时，则， 当M、N两点重合时， 或， 解得或， ①当 时， ， ∴， 解得 ； ②当时， ， ∴， 解得 ； ③当 时， ， ∴， 解得 ； ④当时， ， ∴， 解得 ； ⑤当时， ， ∴， 解得 （舍去）； 综上所述，当t为或或或时，点M、N达到“8分时刻”； 故答案为：或或或； （4）解∶ 同（3）的方法可知，当时，有2个对应的t； 当时，有3个对应的t； 当时，有4个对应的t． 11．(1)，11，22 (2) (3)经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4 (4)12或25 （1）可立即求得的长度、点P表示的有理数，则可求得的长度； （2）当点P运动了t秒时，可立即求得的长度、点P表示的有理数，则可的长度； （3）设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等，由（2）知，得到关于t的方程，解方程即可； （4）先求出P、Q两点在不同段的运动时间，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，利用距离相等关系，列出关于t的方程，进行求解即可． （1）解：当时，点P运动了10个单位长度， 则，点P表示的有理数为， ； 故答案为：，11，22； （2）解：当点P运动了t秒时，，点P表示的有理数为， ∴； 故答案为：； （3）解：设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等， 则得：， 解得：， 此时点P表示的有理数为； 即经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4； （4）解：点P在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动的时间为（秒）；点Q在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动时间为（秒）； ①当时，如图，则P在线段上，表示的数为；Q在线段上，表示的数为， 由题意得：， 解得：， 不合题意，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当时，如图，P都在线段上，P表示的数为，Q在线段上，表示的数为， 则，方程无解， 此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ③当时，如图，P、Q都在线段上， 两点重合，P、Q两点到点B的距离相等； 此时P表示的数为，Q表示的数为， 所以， 得； 符合题意，即不存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当时，如图，P仍在线段上，点Q在线段上， 此时点Q在点O的左侧，点P在点O的右侧，同在点B的左侧，且，所以P、Q两点到点B的距离不可能相等； ⑤当时，如图，P在射线上，Q在射线上，P表示的数为，Q表示的数是， 所以，解得； 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为12秒或25秒， 故答案为：12或25． 本题主要是考查了数轴上两点间的距离，数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路． 12．(1)当时，；当时， (2) (3)能重合， (4) （1）根据题意，点P每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，当时，秒过后，点P运动的路程为，结合，得，得到 ；当时，秒过后，点P运动的路程为，结合，得，得到即． （2）设点P、Q出发t秒钟后，点B是线段的中点．根据题意得到等量关系：列式计算即可； （3）假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则，列式计算即可； （4）需要分类讨论：当点P在点Q左侧和右侧两种情况下的t的值． （1）解：根据题意，点P的速度为每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵， ∴， ∴； 当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵，， ∴即． （2）解：根据题意，点P每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为， 当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵， ∴， ∴； ∵点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动． ∴秒过后，点Q运动的路程为， ∵点B是线段的中点． ∴， ∴， 解得， 即点P、Q出发秒钟后，点B是线段的中点． （3）解：假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则， ∴． 解得：； 故点P、Q出发秒钟后，点P和点Q重合． （4）解：当点P在点Q左侧时，线段与线段的长度不可能相等． 当点P在点Q右侧时，设点P、Q出发t秒钟后，线段与线段的长度相等，根据题意，得， 解得：． 当时，线段与线段的长度相等． 本题考查了一元一次方程的应用，线段的中点，线段的和差，数轴，列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 13．(1) (2)当或时，点与点之间的距离为个单位长度 (3) 本题考查了线段的和差计算，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． （1）根据，依题意，，根据点与点相遇时，解方程即可求解； （2）分相遇前和相遇后分别列出方程，解方程即可求解； （3）分点在线段上和线段上，分别讨论，列出方程，解方程即可求解． （1）解：∵点在线段上，，， ∴， 依题意，， 当点与点相遇时， 解得：； （2）解：相遇前点与点之间的距离为个单位长度时， ， 解得：， 相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，则 ， 解得：， 综上所述，当或时，点与点之间的距离为个单位长度； （3）∵， 当在线段上时，，此时， ∵， ∴， 解得：（舍去） 当在线段上时，，此时， ∵， ∴， 解得：， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $