探究与规律类 寒假专项训练-2025-2026学年 人教版 数学七年级上册

探究与规律类 一、单选题 1．按一定规律排列的单项式： ，…，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 2．观察这两组数：①；②．取每组数的第7个数，计算这两个数的和是（    ） A．60 B．85 C．92 D．100 3．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形数阵解释二项式展开式的各项系数，这一数学发现比欧洲早近年，此三角形被后人称为“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，两边上的数都是，其余每个数是它上方的（左右）两数之和．如，，．．．，若从第三行的“”开始，按箭头所指依次构成一列数：，，，，，，，，，，，则这列数中第个数是（    ） A．56 B．42 C．28 D．8 4．观察下列各式： ； ； ； …… 由此我们可以得到：（　　） A． B． C． D． 5．周末，赵宇在家用木棍摆六边形，如图，摆一个六边形需要根木棍，摆个六边形需要根木棍，摆个六边形需要根木棍，按此规律摆个六边形需要的木棍根数为（   ）    A．根 B．根 C．根 D．根 6．如图，正方形的边长为1，电子蚂蚁从点以1个单位长度/秒的速度沿正方形的边顺时针运动，同时电子蚂蚁从点以3个单位长度/秒的速度沿正方形的边逆时针运动，则电子蚂蚁和第2025次相遇在（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 7．五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5．若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从为第二次“移位”．若小宇从编号为4的顶点开始，第2019次“移位”后，那么他所处的顶点的编号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知整数，，，，…，满足下列条件：，，，，…，，以此类推，则的值为（   ） A．1010 B．1009 C．1011 D．2020 二、填空题 9．观察下列一组数：，4，，16，，64，…，请根据你发现的规律写出这组数的第n个数为 （用含n的代数式表示）． 10．在如图方格表中，，且两两互不相等，则满足条件的方格表共有 张． 11．围棋，起源于中国，古称“弈”，是棋类之鼻祖，距今已有4000多年的历史．现用围棋中的黑子摆出如图所示的正方形图案，则第11个正方形图案有黑子 个． 12．探索下列式子的规律：，，，…，请计算： ． 13．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为“三角形数”；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为“正方形数”，则第个“正方形数”可以用表示为 ．           14．填空： （1）按一定规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中第个数是 ，第个数（为正整数）是 ． （2）按一定规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中第个数是 ，第个数（为正整数）是 ． 三、解答题 15．如图所示，改变五子棋中黑棋的摆放方式，解答下列问题． (1)观察图①和图②，五子棋分别被直线和折线隔开摆放成4层，按照图中规律继续摆下去，第 n 层有__________个棋子； (2)数图中棋子的总个数可以有多种不同的方法：如：前2层棋子的个数和为或，因此可以得到，同样，前3层棋子的个数和为，前4层棋子的个数和为，… 根据上述规律，前n层棋子的个数和用含n的代数式可以表示为________________； (3)运用（2）中发现的规律，计算：． 16．观察下列图形．将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第次对折后得到的图形面积为．    (1)继续观察图形填空：设，计算___________，并在上面某个图中将表示的区域涂成阴影； (2)请根据上面图形计算：___________（直接写出结果） (3)观察图形并探索（　　）中各式的规律：试写出第个等式___________，并说明第个等式成立． 17．观察下列各式： ， ， ，…… (1)请写出第4个式子______． (2)若n为正整数，试猜想______． (3)试利用（2）中猜想的结论求的值． 18．观察下列三行数的规律，解答下列问题： ，4，m，16，，…； 0，6，，18，，…； ，2，，8，n，…． (1)m的值为 ，n的值为 ； (2)按照上述规律，第1行第6个数为 ，第2行第6个数为 ； (3)若第1行第9个数是a，第2行第9个数是b，第3行第9个数是c，求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A C C D B A 1．D 本题考查了单项式规律题，由所给的单项式可得，系数是，次数为奇数，则可求第个单项式为：．根据所给单项式的系数与次数的特点，确定单项式的规律是解题的关键． 解：由所给的单项式可得，系数为， 则第n个单项式的系数为， 由所给的单项式可得，次数为， 则第n个单项式的次数为， 第个单项式为：， 故选：D． 2．C 本题主要考查了数字类规律探索，找到两组数据的规律是解题关键．观察两组数据，可得第①数据，第个数为，第②数据，第个数为，然后求解即可． 解：根据题意，第①数据，第个数为， 则第7个数为， 第②数据，第个数为， 则第7个数为， ∴取每组数的第7个数，这两个数的和． 故选：C． 3．A 本题考查了数字类变化规律，由题意得出第24个数在从开始的第行的第个数，观察可得由从开始的第行的数依次为，，，，，，，由此即可得出答案． 解：，， 第24个数在从开始的第行的第个数， 观察可得：由从开始的第行的数依次为：，，，，， 由从开始的第行的数依次为：，，，，，， 由从开始的第行的数依次为，，，，，，， 第24个数为， 故选：A． 4．C 本题难度中等，主要考查学生总结归纳规律一般式，为中考常考题型，要求学生多做训练，提高归纳总结规律能力，运用到考试中去． 根据题中示例，当与另一个多项式相乘后，当所有多项式含a的项最高次数为n个时，则计算结果为． 解：根据题意得：， 故选：C 5．C 此题考查了图形的变化类，读懂题意，找出规律是解题的关键． 根据摆一个六边形需要木棍（根），摆个六边形需要木棍（根），摆个六边形需要木棍（根），摆个六边形需要木棍（根），然后当时代入即可． 解：摆一个六边形需要木棍（根）， 摆个六边形需要木棍（根）， 摆个六边形需要木棍（根）， ， ∴摆个六边形需要木棍（根）， ∴当时，需要木棍（根）， 故选：． 6．D 本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．根据题意可以得到前几次相遇的地点，从而可以发现其中的规律，由此即可得． 解：设电子蚂蚁和的运动时间为秒， 则当电子蚂蚁和第1次相遇时，，解得，此时电子蚂蚁运动距离为，相遇在点， 当电子蚂蚁和第2次相遇时，，解得，此时电子蚂蚁运动距离为，相遇在点， 当电子蚂蚁和第3次相遇时，，解得，此时电子蚂蚁运动距离为，相遇在点， 当电子蚂蚁和第4次相遇时，，解得，此时电子蚂蚁运动距离为，相遇在点， 当电子蚂蚁和第5次相遇时，，解得，此时电子蚂蚁运动距离为，相遇在点， 归纳类推得：每四次为一个循环， ∵， ∴电子蚂蚁和第2025次相遇的地点与第1次相遇的地点相同，即为点， 故选：D． 7．B 本题对图形变化规律的考查，根据“移位”的定义，找出每4次移位为一个循环组进行循环是解题的关键．根据“移位”的特点确定出前几次的移位情况，从而找出规律，然后解答即可． 解：根据题意，小宇从编号为4的顶点开始， 第1次移位到达点3， 第2次移位到达点1， 第3次移位到达点2， 第4次移位到达点4， …， 依此类推，4次移位后回到出发点， ． 所以第2019次移位为第504个循环组的第3次移位，到达点2． 故选：B． 8．A 本题主要考查了数字类的规律探，根据题意计算出前面几个数的值，则可得到，，，…，这一列数每两个数为一个循环，每个循环内的两个数相等，且每增加一个循环，对应循环的数就加1，据此规律求解即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ……， 以此类推可知，，，…，这一列数每两个数为一个循环，每个循环内的两个数相等，且每增加一个循环，对应循环的数就加1， ∵， ∴的值为， 故选：A． 9． 本题考查数字类规律探究，观察可知，奇数位数字为负，偶数位数字为正，每个位置的数字的绝对值为，即可得出结果． 解：观察可知：这组数的第n个数为； 故答案为：． 10．16 本题考查数字规律，根据两个数字之和最大为2，最小为，可知2和只能出现一次，先假设取到最值，可得到4种情况，再依次排列即可，熟练得到规律是解题的关键． 解：因为，所以两数之和可为， 又因为两两互不相等，故一定有一个数为2或， 不妨设，则，则只能一个为，另一个为0，有2种情况， 同理，若，则，则只能一个为1，另一个为0，有2种情况， 所以取到最值的情况有4种， 那么还有分别按照上述思路考虑， 故共有种， 故答案为：． 11． 本题考查了规律的猜想与归纳，大胆对规律进行猜想并根据题干内容进行证明并归纳是解题的关键．根据第1个正方形有个黑子，第2个正方形有个黑子，第3个正方形有个黑子推理出第个正方形有个黑子． 解：∵第1个正方形图案有黑子个数为：， 第2个正方形图案有黑子个数为：， 第3个正方形图案有黑子个数为：， ……， ∴第11个正方形图案有黑子个数为：， 故答案为：． 12． 本题考查了整式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意可推导一般性规律为：，即，，，……，，将等式左右同时相加得，，即，计算求解即可． 解：∵，，， ∴可推导一般性规律为：， ∴， ， ， …… ， ， 将等式左右同时相加得，， ∴， 解得，， 故答案为：． 13． 本题考查了图形类规律探索，从所给图形中发现并总结出一般规律是解题的关键． 从所给图形中可发现并总结出一般规律：第个“正方形数”为，由此即可得出答案． 解：由图可得： 第个“正方形数”为， 第个“正方形数”为， 第个“正方形数”为， 第个“正方形数”为， 第个“正方形数”为， 故答案为：． 14． 28 本题考查数字类规律探究，从已有数据中概括出相应的规律，是解题的关键： （1）观察可知，奇数位置的符号为负，偶数位置的符号为正，每个位置上的数字的绝对值为，即可得出结果； （2）观察可知，奇数位置的符号为正，偶数位置的符号为负，每个位置上的数字的绝对值为从1开始的连续的整数的和，即可得出结果． 解：（1）观察可知：奇数位置的符号为负，偶数位置的符号为正，且：， ∴第个数是， 第个数（为正整数）是； 故答案为：，； （2）观察可知，奇数位置的符号为正，偶数位置的符号为负，且：， ∴第个数是； 第个数（为正整数）是； 故答案为：28，． 15．(1) (2) (3)2500 此题主要考查了有理数的混合运算，图形的变化类，根据已知图形得出数字的变化规律是解题关键． （1）根据已知数据即可得出每一层棋子个数是连续的奇数，进而得出答案； （2）利用已知数据的规律即可得出答案； （3）利用（2）中发现的规律得出答案即可． （1）解：根据题意得：第一层有1个棋子， 第二层有个棋子， 第三层有个棋子， 第四层有个棋子， 第五层有个棋子， 第六层有个棋子， ……， 由此发现，第n层有个棋子， 故答案为：； （2）解：∵前2层棋子的个数和为或， 因此可以得到， ∵前3层棋子的个数和为，前4层棋子的个数和为，… ∴前n层棋子的个数和， 即前n层棋子的个数和用含n的代数式可以表示为． 故答案为：； （3）解：由（2）知，， 当，即时， ∴． 16．(1) (2) (3)，详见解析 本题主要考查了图形规律，列代数，有理数的乘方，正确找到图形的规律是解决此题的关键， （1）按题意计算画图即可得解； （2）由图找到数的规律进行计算即可得解； （3）由图找到数的规律进行计算即可得解； （1）解：画图如下，    ， 故答案为：； （2）解：由图知，      第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为 ； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分， …； 第2025次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分； 所有阴影部分的面积之和为 ， 最后空白部分的面积是 ， ∴， 故答案为：； （3）解：由图知，， ， ， ， ， ∴第个等式， 故答案为：． 17．(1) (2) (3) 本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意写出第4个式子即可； （2）根据题意可得规律从1到n的连续的正整数的立方和等于n的平方乘以的平方的四分之一，据此可得答案； （3）根据（2）的规律结合所求式子等于，进行求解即可． （1）解： 由题意得，第4个式子为； （2）解：第1个式子为， 第2个式子为， 第3个式子为， ……， 以此类推，第n个式子为， ∴ （3）解： ． 18．(1)， (2)64，66 (3) （1）观察可看出第一行的数分别是的1次方，2次方，3次方，4次方…且奇数项是负数，偶数项是正数，用式子表示规律为： ；第二行的数分别是第一行的每个数加2,用式子表示规律为：；第三行的数是第一行的每个数除以2，用式子表示规律为：．由此可求得m、n的值． （2）根据（1）中求得的规律即可求出第1行第6个数和第2行第6个数． （3）根据（1）中求得的规律先求出a、b、c的值，再代入中求值即可． 本题主要考查代数式的规律及有理数的乘方，熟练掌握代数式及有理数的乘方是解题的关键． （1）解：观察可看出第一行的数分别是的1次方，2次方，3次方，4次方…且奇数项是负数，偶数项是正数，用式子表示规律为： ；第二行的数分别是第一行的每个数加2,用式子表示规律为：；第三行的数是第一行的每个数除以2，用式子表示规律为：． 故，， 故答案为：， （2）解：按照上述规律，第1行第6个数为，第2行第6个数为， 故答案为：64，66 （3）解：根据上述规律可得 ， ， ， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $