绝对值相关计算 寒假专项训练-2025-2026学年 人教版 数学七年级上册

绝对值相关计算 一、单选题 1．若，则（ ） A．2 B．7 C．8 D．5 2．如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 3．知道式子的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离是3，则式子的最小值（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．绝对值的几何意义：表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，表示，两数在数轴上对应两点之间的距离．则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算.有如下结论： ①依次输入5，6，7，8，则最后输出的结果是2； ②若将5，6，7，8这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果中最大值是4； ③若将5，6，7，8这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果中最小值是0； ④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，则k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知x，a，b为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为3，则的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 7．如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 8．有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 9．有理数，，的位置如图所示，化简 ． 10．已知b、c满足，则的值是 ． 11．若x为有理数，则式子的最小值为 ． 12．的最小值为 ． 13．【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：已知代数式最小值为 . 三、解答题 14．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)若有理数均不等于零，试求的值． 15．在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，表示5在数轴上对应的点到原点的距离，可以表示为：；那么表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离． (1)若，则_______， ________； (2)若，则_______； (3)若，且x的值为整数，则x值为_______； 16．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．    利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　． (2)若，则　　　． (3)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 17．数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在相应位置，不写过程） (1)若，则______；若，则_______． (2)若，则能取到的最小值是_______，最大值是_______． (3)当到取最小值时，则的值为_______． (4)的最小值为_______． (5)若，求的值． 18．对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)1和2关于0的“美好关联数”为__________；和5关于2的“美好关联数”为__________； (2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于21的“美好关联数”为1，…则的最小值为__________． 19．若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为，即．利用数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，且．则 ； (4)若表示一个有理数，且，则有理数的取值范围是 ； (5)若表示一个有理数，则有最小值为 ，此时 ； (6)当时，则的最大值为 ． 20．【阅读理解】 表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离． (1)【概念理解】 代数式的几何意义是________（选择A或B），代数式最小值为________； （A）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数2的点的距离之和； （B）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数的点的距离之和； (2)【尝试应用】 若，则________； (3)【拓展延伸】 已知整数满足，则代数式的最大值和最小值分别为多少？ 21．我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为________，数x与-1所对应的点的距离为________； （2）求的最大值； （3）直接写出的最大值为______． 22．阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数和的两点和之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______； (2)若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； (3)当取最小值时，相应的数的取值范围是______； (4)求的最小值是______． 实际应用： (5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在______，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： (6)若数满足，求的最小值为______． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B C D C C D 1．D 本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质列式求出m、n，然后代入计算即可得解． 解：∵， ∴， 解得， ∴． 故选：D． 2．A 本题考查的是绝对值的非负性的含义，理解是解本题的关键． 根据的最小值是即可求解． 解： x为有理数，式子存在最大值， 当时，式子最大值为， 故选：A． 3．B 本题考查绝对值的意义，两点间的距离公式，根据绝对值的意义，得出的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和，说明当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离，求出结果即可． 解：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和， 当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离， 的最小值为， 故选：B． 4．C 本题考查了绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义是解题的关键． 根据绝对值的几何意义，在数轴上，分三种情况讨论：①当 时，②当时，③当时，依次计算做比较即可得到答案． 解：∵表示在数轴上到的距离减去到的距离， ①当 时，此时，因为到的距离就是与的差（大于）；，因为到的距离就是与的差（大于）； ； ②当时，，因为此时3大于，到3的距离是3与的差，，则，因为，所以，那么； ③当时，，，因为小于，到的距离是与的差的相反数，所以， 综上所述，， ∴的最大值为， 故选：C ． 5．D 此题考查了整数的奇偶性问题以及含有绝对值的最值问题，①根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差后取绝对值，将已知数据输入求出即可；②③根据运算规则可知最大值是4，最小值是0；④根据题意可得出只有3个数字，当最后输入最大值时结果得到的值最大，当首先将最大值输入则结果是最小值，进而分析得出即可． 解：根据题意可以得出：，，，故①符合题意； 对于5，6，7，8，按如下次序输入：5，7，8，6，可得：，， 全部输入完毕后显示的结果的最大值为6，最小值是0，故③符合题意； 按如下次序输入：5，7，6，8，可得：，， 全部输入完毕后显示的结果的最大值为4，故②符合题意； ④∵随意地一个一个的输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，k的最大值为10， ∴设b为较大数字，当时，，， 解得：， 故此时任意输入后得到的最小数为：，， 设b为较大数字，当时，，， 则，即，则， 故此时任意输入后得到的最小数为：，， 综上所述：k的最小值为6．故④符合题意． 故选：D． 6．C 本题考查了绝对值的性质，数轴上两点间的距离，代数式求值，熟练掌握数轴上绝对值的几何意义是解题的关键，根据题意由数轴上表示的几何意义，求出的值，代入即可得到答案． 解：∵的最小值为3， ∴到的距离与到的距离的和的最小值为3， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．C 本题考查的是绝对值的非负性的含义，理解的最小值是0是解本题的关键． 解：∵x为有理数式子存在最大值， ∴当，最大为2023， 故选C． 8．D 本题主要考查绝对值运算，①根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差后取绝对值，将已知数据输入求出即可；②根据运算规则，可以一次输入3，6，2，9，可得最大值是8；③根据运算规则，可每四个数输出结果为0，可得最大值为2025． 解：①根据题意可以得出：， 最后输出的结果是2，故①正确； ②对于2，3，6，9，可得：， 全部输入完毕后显示的结果的最大值是8，故②正确； ③依题意，分析可得先每四个数一组，使得输出结果为0， 可以依次输入1，3，4，2；5，7，8，6；9，11，12，10；⋯⋯2021，2023，2024，2022；2025， 根据运算规律可得结果的最大值是2025，故③正确； 所以说法正确的个数是3， 故选：D． 9．/ 本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算，正确根据数轴得到，是解题的关键．根据数轴上点的位置得到，由此化简绝对值即可． 由数轴可知，， 得， 则 ， 故答案为：． 10．// 本题考查了绝对值的性质，根据，得到, 代入计算即可． ∵， ∴， ∴， 故答案为：或或． 11．2024 此题主要考查了非负数的性质．直接利用绝对值的性质得出的最小值为0．进而得出答案． 解：∵， ∴时，取最小值，最小值为2024． 故答案为：2024． 12．3 本题主要考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离，理解绝对值的意义，掌握距离的求法是解题的关键． 由，可得表示在数轴上点x与1和之间的距离的和，即可求解． 解：， 表示在数轴上点x与1和之间的距离的和， 当时，有最小值． 故答案为：3． 13．225 本题考查了数轴的应用，数轴上两点之间的距离公式，再根据数轴的定义得代数式表示的意义，确定或16时，有最小值，再代值计算即可． 解：根据数轴的定义可知，代数式表示，表示点的点到1、2、3、30的距离之和， ∴当时，有最小值， 当时， ． 故答案为：225． 14．(1)1 (2) (3)2或0或 本题主要考查绝对值的化简，熟悉绝对值的化简方法是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法直接求绝对值，计算即可． （2）根据绝对值的化简方法直接求绝对值，计算即可． （3）先分同号和异号两种情况求绝对值，然后计算即可． （1）解：当时， ， ∴． （2）解：当时， ， ∴． （3）解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴的值为2或0或． 15．(1) (2)5或 (3) 本题考查数轴上点与点之间的距离和绝对值的非负性，解题的关键是掌握数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． （1）根据绝对值的非负性求解即可； （2）由可得或，求解方程即可； （3）根据点与点之间的距离的概念确定x的范围，取整即可． （1）若， 则，解得，，解得． （2）若， 则或， 解得或． （3）若， 表示数的点到数的点距离与到数的点的距离之和为5， ， x的值为整数， x值为． 16．(1) (2)1或 (3)5， 本题考查数轴、绝对值的意义，读懂题目信息、理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）根据数轴上A、B两点之间的距离即可解答； （2）分两种情况，将绝对值方程转化为两个方程求解，即得答案； （3）可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差，据此即可解答． （1）数轴上x和两点之间的距离表示为； 故答案为：． （2）   或， 或；   故答案为：1或． （3）式子可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差， ∴当时，有最大值5； 当时，有最小值．   故答案为：5；． 17．(1)， (2)， (3) (4) (5)或 本题考查了数轴，绝对值，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案； （2）表示的意义，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值； （3）根据绝对值几何意义求出最小值即可； （4）将 变形为的形式再求最值即可； （5）分三种情况讨论，即可求解． （1）表示数轴上表示x的点到表示和的距离相等，因此到和距离相等的点表示的数为， 表示数轴上表示x的点到表示和的距离相等，因此到和距离相等的点表示的数为， 故答案为：，； （2）表示的意义是数轴上表示x的点到表示和两点的距离之和为，可得，因此x的最大值为，最小值为；故答案为：，； （3）表示的意义是数轴上表示x的点到表示，和三点的距离之和，根据数轴直观可得，最小值为3， 由（2）可知， ∴当取最小值时，， 故答案为：； （4） 根据绝对值几何意义，当时，有最小值，最小值为 故 的最小值为：； 故答案为:； （5）当 时， ，去绝对值为： ， 当 时，去绝对值为：9(不成立)， 当 时，去绝对值为：， ， 综上，或． 18．(1)3，8； (2)6或0. (3) 本题以新定义题型为背景，考查了绝对值的计算和绝对值的几何意义，掌握相关结论是解题关键． （1）根据定义计算、即可求解； （2）解绝对值方程即可求解； （3）根据绝对值的几何意义得出的最小值，依此类推即可求解． （1）解：根据定义可得： 1和2关于0的“美好关联数”为：； 和5关于2的“美好关联数”为：； 故答案为：3，8； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：或 ∴的值为6或0. （3）解：由已知得：， ∵，， ∴的最小值； ， ∵，， ∴的最小值； 同理，，的最小值； ，的最小值；……； ∴，的最小值是， ∴的最小值为. 故答案为：． 19．(1)3 (2) (3)4 (4)或 (5)5， (6)3 本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）根据数轴上两点之间距离公式求解即可； （2）根据数轴上两点之间距离公式求解即可； （3）根据题意化简绝对值，即可获得答案； （4）根据数轴上两点之间距离公式可知所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数，1两点的距离之和，且当时，的最小值为，据此即可获得答案； （5）所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数3，，三个点的距离之和，结合数轴及绝对值的性质，即可获得答案； （6）将原式整理为时，结合数轴确定、的取值范围，即可获得答案． （1）解：数轴上表示2和5两点之间的距离是． 故答案为：3； （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为． 故答案为：； （3）当时，则． 故答案为：4； （4）所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数，1两点的距离之和， 当时，的最小值为， 所以时，有理数的取值范围是或． 故答案为：或； （5）所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数3，，三个点的距离之和， 当时， ， 则时，存在最小值，为； 当时， ， 则时，存在最小值，为； 当时， ， 则时，存在最小值，为； 当时， ， 则时，存在最小值，为， 综上所述，当时，有最小值为5． 故答案为：5，； （6）由（5）可知，当时，的最小值为， 当时，的最小值为， 而， 即时，，， 所以的最大值为3． 故答案为：3． 20．(1)B，6 (2)或5 (3)最大值为8，最小值为． 本题考查了绝对值与数轴的知识，读懂题目信息，掌握数轴上两点间的距离的求法是解题的关键，也是本题的难点． （1）理解为：在数轴上表示a的点到和4的距离之和，即可求解； （2）分情况讨论：当a在3的右边时，当a在3的左边时，当a在3与之间时，求解即可； （3）由，可得，，，据此求解即可． （1）解：理解为：在数轴上表示a的点到和4的距离之和， ∴当点a在和4之间的线段上，即时，有最小值， 最小值为：， 故答案为：B，6； （2）解：当a在3的右边时，，解得：， 当a在的左边时，，解得：， 当a在3与之间时，距离为，即不成立； 故答案为：或5； （3）解：，， 可得，，，， ∵， 而，故，，， 从而，，或， 当，，时，最大为， 当，，时，最小为， 最大值为8，最小值为． 21．（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20 （1）根据题意即可列式解答； （2）由x的取值范围分三种情况：①当x≤-1时，②当-1≤x≤1时，③当x≥1时，分别化简绝对值，再计算整式的值即可得到答案； （3）根据（2）得到规律，依次进行计算即可． （1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为， 数x与-1所对应的点的距离为， 故答案为：， ； （2）表示x到1之间的距离， 表示x到-1之间的距离， ①当x≤-1时，=1-x，=-1-x， ∴=（-1-x）-（1-x）=-2； ②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1， ∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2； ③当x≥1时，=x-1，=x+1， ∴=（x+1）-（x-1）=2， ∴的最大值为2 （3）由（2）知：的最大值为2， 由此可得： 的最大值为4， 的最大值是6， 的最大值是8， ∴的最大值是2+4+6+8=20 22．(1)3 (2)8 (3) (4)2 (5) (6) 本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义、有理数的加减，熟练掌握和运用绝对值的几何意义是运算解决本题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据a的取值范围，去绝对值符号，即可求得； （3）根据绝对值的意义即可求得； （4）根据绝对值的意义即可求得； （5）根据两点间的距离即可求得； （6）由题意可得：，，据此即可求得a、b的范围，即可求得． （1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为：， 故答案为：3； （2）解：数轴上表示数a的点位于与5之间， ， ， 故答案为：8； （3）解：表示数a到点1与2的距离之和， 当时，取最小值， 故答案为：； （4）解：表示数a到点1、2、3的距离之和， 当时，取得最小值，最小值为：， 故答案为：2； （5）解：点，，，，，…，中，最中间的点是， 故点P选在紧靠居民家，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小， 故答案为：； （6）解：表示数a到点1与3的距离之和， 当时，取得最小值； 表示数b到点4与的距离之和， 当时，取得最小值， 此时， ∵a的最小值为1，b的最小值为， 的最小值为：， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $