分式方程 寒假专项训练-2025-2026学年 人教版数学八年级上册

分式方程 一、单选题 1．已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 2．定义一种新运算“※”为：，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 3．题目：当时，定义一种新运算： 例：，．若，则的值为（） A． B． C．或0 D．0 二、填空题 4．已知关于x的方程有增根，则m的值为 ． 5．若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 三、解答题 6．解分式方程． (1)； (2)． 7．解方程： (1)； (2)． 8．解方程： (1) (2) 9．已知关于x的分式方程． (1)当分式方程有增根时，求m的值． (2)当分式方程的解为正数时，求m的取值范围． 10．已知关于的分式方程． (1)若方程的解为，求的值． (2)若方程的解为非负数，求的取值范围． 11．若关于x的分式方程的解大于1，求m的取值范围． 12．已知，关于x的方程：． (1)若方程无解，求m的取值； (2)若方程的解为整数，求整数m的取值． 13．已知某款电动汽车平均每公里的行驶费用比某款燃油车平均每公里的行驶费用少元．当两款车的行驶费用均为100元时，电动汽车可行驶的总里程是燃油车的4倍． (1)求这款电动汽车平均每公里的行驶费用． (2)电动汽车和燃油车每年的其他费用（含保险费、保养费等）分别为7500元和4500元．当两款车每年的行驶里程均为a公里时，电动汽车和燃油汽车的年度总费用之比为，求a的值． 14．在田径铁饼赛场上，使用机器狗送铁饼．某次运铁饼过程中，甲机器狗比乙机器狗每秒多跑0.5米，甲机器狗跑135米与乙机器狗跑120米所用时间相等．问乙机器狗这次运铁饼的速度是多少？ (1)小佳同学设乙机器狗这次运铁饼的速度是，可列方程为 ．小琪同学设甲机器狗这次运铁饼的所用时间是，可列方程为 ． (2)请你按照（1）中小佳同学的解题思路，写出完整的解答过程． 15．两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早到达顶峰． (1)求第二组的攀登速度； (2)第二组下山时为了缩短时间，准备加快速度，现有两种方案： ①前一半路程速度为，后一半路程速度为； ②返回速度始终保持为． 其中，且p，q均为正数，两种方案哪种平均速度更快? 16．铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． (1)求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 17．中国吉林地处“世界三大黄金玉米带”之一的核心种植区，为了提高玉米收割效率，计划引进甲、乙两种类型收割机． (1)若在相同时间内，1台甲型收割机能收割100公顷地，1台乙型收割机能收割120公顷地．1台乙型收割机比1台甲型收割机每天多收割公顷地，求甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地各是多少公顷． (2)若1台甲型收割机每天可以收割a公顷地，1台乙型收割机每天可以收割b公顷地，（其中）．现在要收割一块面积为S公顷的玉米试验田，有两种收割方案： 方案一：一半的面积由1台甲型收割机收割，另一半的面积由1台乙型收割机收割； 方案二：完成整个收割工作的前一半时间由1台甲型收割机收割，后一半时间由1台乙型收割机收割． ①小贺同学选择方案一，列了这样一个式子：， 化简后可得方案一所用时间是______天； 小蔓同学选择方案二，设t天可以完成，列方程， 解得所用时间是______天．（用含a、b、S的式子表示） ②请你判断哪种方案所用时间少，并说明理由． 18．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 19．形如（不为零，且两个解分别为， （）的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，，． 再如为十字分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，（其中，），求的最大值． 参考答案 题号 1 2 3 答案 C B D 1．C 本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可． 解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程； 故选：C． 2．B 本题考查了定义新运算、解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．根据定义新运算得到方程，再解分式方程求出的值即可． 解：由题意得，， 去分母，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解． 故选：B． 3．D 本题考查了新定义运算，分式的加减运算，解分式方程；根据定义，分和两种情况计算和，代入方程求解，并验证是否满足大小关系． ，且， 分两种情况讨论： 当时， ，， ， 即， 解得， 但，与矛盾，无解． 当时， ，， ， 即， 解得， 且，满足条件． ， 故选：D． 4． 本题主要考查了分式方程的增根，熟练掌握化分式方程为整式方程并能正确确定增根是解决此题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程计算即可求出的值． 解：去分母得：， ∵分式方程有增根， ∴， 解得， 把代入整式方程得． 故答案为：． 5．12 本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程等知识点，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤． 先解一元一次不等式组，求出x的取值范围，然后根据关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，求出a的取值范围，再解分式方程，根据关于y的分方程有非负整数解，列出关于a的不等式，求出a的值，从而求出答案即可． 解：， 解得， ∵一元一次不等式组有且只有4个整数解，即2，3，4，5， ∴， ∴ ∴或5或6或7或8或9， 解分式方程， ∴， ∴， ∵分式方程有非负整数解， ∴，为整数，即或2或4或或8， ∴或6或4或2或0， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴或4或2或0． ∵， ∴符合条件的整数a有4，8 ∴． 故答案为：12． 6．(1)无解 (2) 本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键，最后的检验是易错点． （1）先通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可； （2）先通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． （1）解：， ，解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程无解． （2）解：， ， ， ， ． 经检验，是原方程的解． 所以，原分式方程的解为． 7．(1)； (2)． 本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意需检验． （1）根据去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解，再检验即可解答． （2）根据去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解，再检验即可解答． （1）解： 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得， 检验：把代入最简公分母，， 故原分式方程的解为； （2）解： 变形为， 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得， 检验：将代入中可得， 故原方程的解为． 8．(1) (2)原分式方程无解 本题考查了解分式方程． （1）先去分母化为一元一次方程，再解方程并检验即可； （2）先去分母化为一元一次方程，再解方程并检验即可． （1）解：原分式方程整理得，， 去分母得， ， ， 经检验：是方程的解，原分式方程的解为． （2）解：原分式方程整理得，， 去分母得，， ， 经检验：是方程的增根，原分式方程无解． 9．(1) (2)且 本题考查了分式方程解的情况求参数，掌握分式方程无解的情况是解题关键． （1）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，即，代入整式方程计算即可求出m的值； （2）表示出分式方程的解，由分式方程的解是正数，求出m的范围即可． （1）解：去分母得：， 因为分式方程有增根，得到，即， 将代入整式方程得，， 即， 解得，； （2）解：由（1）知 ：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项，， 化系数为1，解得， 根据分式方程的解为正数，得到，且1， 解得：且． 10．(1) (2)且 本题主要考查解分式方程和一元一次不等式，解题的关键是注意分式方程隐含的分母不为零． （1）把方程的解代入方程求解即可； （2）根据分式方程的求解方法，注意分母不为零，且解为非负数的条件． （1）解：当时，， 解得． （2）解：， 去分母得， 解得， 分式方程有解且解为非负数，且， 且， 解得且． 11．且 先解分式方程得到解为，根据解大于1得到关于m的不等式再求出m的取值范围，然后再验算分母不为0即可． 解：方程两边同时乘以得到：， 整理得到：， ∵分式方程的解大于1， ∴，解得：， 又分式方程的分母不为0， ∴且，解得：且， ∴m的取值范围是m >0且m≠1． 故答案为：m >0且m≠1． 本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为0这个隐藏条件． 12．(1)或或 (2)或 本题考查了分式方程的增根，解分式方程． （）根据分式方程的解法得出，分当时方程有增根，当时原分式方程无解，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可． （1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； ∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （2）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 13．(1)这款电动汽车平均每公里的行驶费用为0.2元 (2)13500 本题考查了分式方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设电动汽车平均每公里的行驶费用为元，则燃油车平均每公里的行驶费用为元，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）由（1）得，燃油车平均每公里的行驶费用为（元），根据题意列出关于a的方程，求出a的值即可解答． （1）解：设电动汽车平均每公里的行驶费用为元，则燃油车平均每公里的行驶费用为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， 答：这款电动汽车平均每公里的行驶费用为0.2元； （2）解：由（1）得，燃油车平均每公里的行驶费用为（元）， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴a的值为13500． 14．(1)；0.5 (2)见解析 本题考查了分式方程的应用，根据题意正确的列方程是解题的关键． （1）根据甲机器狗比乙机器狗每秒多跑0.5米，甲机器狗跑135米与乙机器狗跑120米所用时间相等，分别列出分式方程即可； （2）设乙机器狗这次运铁饼的速度是，则甲机器狗这次运铁饼的速度是，根据甲机器狗跑135米与乙机器狗跑120米所用时间相等，列出分式方程，解方程即可． （1）解：小佳同学设乙机器狗这次运铁饼的速度是，可列方程为； 小琪同学设甲机器狗这次运铁饼的所用时间是，可列方程为； 故答案为：；； （2）解：设乙机器狗这次运铁饼的速度是，则甲机器狗这次运铁饼的速度是， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：乙机器狗这次运铁饼的速度是． 15．(1)第二组的攀登速度为 (2)方案②的平均速度更快，理由见解析 本题考查的是分式方程的应用，分式的混合运算，分式的值的大小比较； （1）设第二组的攀登速度为，则第一组的攀登速度为，根据他们比第二组早到达顶峰，再建立方程求解即可； （2）先求解方案①的平均速度为，由，进一步分析即可得到答案. （1）解：设第二组的攀登速度为，则第一组的攀登速度为， 由题意，得， 整理，得 解得 检验：当时，，且符合题意. 所以，原分式方程的解为 答：第二组的攀登速度为 （2）解：方案①的平均速度为， ∴， ，且p，q均为正数， ， 方案②的平均速度更快 16．(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天 (2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元 此题考查分式方程的应用，涉及方案决策问题，所以综合性较强． （1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解； （2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断． （1）解：设乙队单独完成这项工程需x天，那么甲队单独完成这项工作所需天数是天, 根据题意得:， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 因此，甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天； （2）解：设甲队和乙队合作a天完成． 根据题意得：， 解得：， 需要施工费用：（万元）． ∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元． 17．(1)甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地分别是4公顷和公顷 (2)①；；②方案二所用时间少，见解析 本题考查了分式方程的应用，分式的加减． （1）设甲型收割机每台每天收割的玉米地是公顷，根据时间相同列方程求解即可； （2）①根据题意直接计算即可；②用作差法比较即可． （1）解：设甲型收割机每台每天收割的玉米地是公顷， 则有：， 解得． 检验，当时，， ∴原分式方程的解为， 乙型收割机：（公顷）， 答：甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地分别是4公顷和公顷． （2）解：①方案一所用时间是：， 方案二：设共用了t天，由题意得， ， 解得． 故答案为：，， ②方案二所用时间少 理由：， 由题意知：，，，且， ∴，， ∴， ∴， ∴方案二所用时间少． 18．(1)一元一次方程与分式方程是“相似方程”； (2)不存在，理由如下 （1）先求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可判断； （2）根据题意用a表示出的值，再根据“相伴方程”的定义及a为正整数即可求出a的值．然后结合分式方程有意义进行分析，即可作答． 本题主要考查了一元一次方程，分式方程，按照定义求解方程是解题的关键． （1）解：一元一次方程与分式方程是“相似方程”，理由如下： ∵， 解得：， ∵， ∴ 解得：， 检验：是原分式方程的解 一元一次方程与分式方程是“相似方程”； （2）解：不存在，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 当时，即时，方程有意义 假设关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程” ∴ 则 解得 此时与相矛盾 ∴关于x的一元一次方程与分式方程不是“相伴方程” 19．(1)， (2) (3)8 本题考查完全平方公式，分式方程；理解十字分式方程的定义以及题目中的答题方法是解题的关键． （1）类比题目中十字分式方程的答题方法即可求解； （2）结合运用十字分式方程并代数运算即可求解； （3）把原方程变形为，再结合运用十字分式方程的解得到，，代入式子根据平方的非负性求解即可． （1）解：可化为， ∴，． （2）解∶∵十字分式方程的两个解分别为，， ∴，， ． （3）解：关于的十字分式方程可化为， 即， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最大值为8． 学科网（北京）股份有限公司 $