幂的运算 寒假专项训练-2025-2026学年上学期 人教版 数学八年级上册

幂的运算 一、单选题 1．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算：等于（   ） A． B． C． D． 3．已知，， ，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．在比较和的大小时，老师给出了如下的方法： ， ， 因为，，所以． 请你仿照上面的方法比较和的大小关系为(    ) A． B． C． D．无法比较 二、填空题 5．已知，则的值为 ． 6．若，，则的值是 ． 7．若，则的值为 ． 8．规定两正数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．小慧在研究这种运算时发现：，例如：．证明如下：设，，，根据定义可得：，，，因为，所以，即，所以．请根据前面的经验计算：的值为 ． 9．新定义题  同底数幂的乘法法则为（其中为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数的一种新运算：．若，则 ． 10．若“*”是我们定义的一种新的运算符号，且规定．若，则的值为 ． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．计算： (1)； (2)． 13．（1）计算：①______；______； ②______；______． （2）根据乘方的定义和乘法交换律、结合律，可以作出如下推导：______ （3）猜想：当n为正整数时，______． （4）利用上述结论，求：①；② 14．已知：，，． 猜想：_________，_________（，均为正整数）． 运用上述结论计算： （1）； （2）． 15．比较下列各题中幂的大小： (1)比较，，，这4个数的大小关系； (2)已知，，，比较a、b、c的大小关系； (3)已知，，比较P，Q的大小关系； 16．求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 17．若且是正整数），则． 利用上面结论解决下面的问题： (1)，求的值； (2)如果，求的值； (3)若，用含的代数式表示． 18．尝试解决下列有关幂的问题： (1)若，求m的值； (2)若，求值； (3)若为正整数，且，求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 答案 C C C B 1．C 本题考查了整式的运算，利用合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的运算法则分别对各项进行运算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 、与不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 2．C 本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，把看作一个整体，先计算幂的乘方，再根据同底数幂乘法计算法则求解即可． 解： ， 故选：C． 3．C 本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键．根据幂的乘方法则变为同底数的幂，再比较即可． 解：，，， 、、的底数相同， ． 故选：C． 4．B 本题主要考查了幂的乘方运算和同底数幂乘法运算，有理数大小的比较，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则，准确计算． 解：， ∵ ∴， 故选：B． 5．81 解：， ， ． 故答案为：81． 6． 本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂相乘、求代数式的值，由幂的乘方与积的乘方得出，，由同底数幂相乘得出，即，从而得出，代入计算即可得解． 解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．4 本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，根据题意可得，再根据同底数幂的乘法以及幂的乘方的运算法则将式子变形为，再整体代入求值即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：4． 8．3 本题考查新定义、幂的运算，根据新定义得出，，，进而可得出答案． 解：设，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴ 故答案为：3． 9． 本题考查的是新定义运算，同底数幂的乘法，根据新定义运算的含义可得，再进一步计算即可． 解：∵， ∴， ， ∴， ； 故答案为：． 10．1 本题主要考查了同底数幂的乘法，理解新运算是解题的关键． 根据新运算的定义，将等式转化为同底数幂的形式，利用指数相等求解即可． 解：由题意得， ， 又∵， ∴ ， ∴， 解得． 故答案为：1． 11．(1) (2) (3) (4) （1）先运算幂的乘方，然后利用同底数幂的乘法计算解题； （2）先运算幂的乘方、同底数幂的乘法，然后合并同类项解题； （3）先运算幂的乘方、同底数幂的乘法，然后合并同类项解题； （4）先运算幂的乘方，然后利用同底数幂的乘法计算解题； （1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 本题考查幂的运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 12．(1)0 (2)0 本题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据积的乘方运算法则和同底数幂乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据幂的乘方运算法则和同底数幂乘法运算法则，进行计算即可． （1）解： ； （2）解： ． 13．（1）①，；②225，225；（2）；（3）；（4）①；② ； 本题考查有理数的乘方、有理数的乘法，掌握乘方的意义是解题的关键． （1）①根据乘方的意义直接计算即可； ②根据乘方的意义直接计算即可； （2）根据乘方的意义直接计算即可； （3）根据以上的规律猜想，并利用乘方的意义求解即可； （4）②逆用（3）中得到的结论计算即可；②变形后逆用（3）中得到的结论计算即可． （1）①；； ②；； 故答案为：36；36；225；225； （2） ， 故答案为：； （3）当n为正整数时，， 故答案为：； （4）① ； ② ． 14．，；（1）；（2） 根据已知运算法则即可求解． 解：，， 故答案为：，； （1）原式； （2）原式． 本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 15．(1)； (2)； (3)． （1）根据幂的乘方的逆用进行转换得、、，，比较即可； （2）根据幂的乘方的逆用进行转换得、、，比较即可； （3）依据积的乘方公式及同底数的幂的除法化简可得即可得结果． （1）解：， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ； （3） ． 此题考查了幂的乘方的逆用，积的乘方以及同底数幂的除法；解题的关键是利用相关公式将底数或指数统一． 16．(1)x的值为1 (2)184 本题考查了代数式求值、积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，将原式化为，进而即可求出的值； （2）根据幂的乘方的逆运算化简，然后把代入计算即可． （1）解：， ， 即， ， 解得； （2）解：， ， 原式． 17．(1) (2) (3) 本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方． （1）根据幂的乘方运算法则把化为底数为2的幂，解答即可； （2）根据同底数幂的乘法法则把变形为即可解答； （3）由可得，再将代入即可． （1）解：， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． 18．(1)15 (2)11或 (3)512 本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘法以及积的乘方，掌握同底数幂的除法法则，幂的乘法以及积的乘方法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘、除法法则，幂的乘方进行计算即可； （2）根据幂的乘法法则进行计算即可； （3）根据幂的乘方法则进行计算即可． （1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴或； （3）解：∵， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $