15.3.1 等腰三角形 寒假专项训练-2025-2026学年上学期初中数学人教版八年级上册

等腰三角形 一、单选题 1．如图，在中，为钝角，，，点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.当是等腰三角形时，运动的时间是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，、的角平分线交于点O，过点O，且，分别交、于点M、N．若，，则的长是（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 3．如图，在中，，垂直平分，若，，则的长度为(   ) A．6 B．7 C．8 D．9 4．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，扶手的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（    ） A． B． C． D． 5．已知中，，D为上的任意一点，于E，于F，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 6．如图，在中，是的中线，是的角平分线，交的延长线于点F，则的长（   ） A．5 B．6 C． D． 二、填空题 7．如图，，，则的度数为 ．    8．如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，且，垂足为C，连接，若，则的面积为 ．    9．如图，在等边三角形中，，．若，，则线段的长为 ． 10．如示意图，在△ABC中，AC＝BC，AE⊥BC于点E，过点B作∠ABC的角平分线BF交AE于G，点D是射线BF上的一个动点，且点D在△ABC外部，连接AD．∠C＝2∠ADB，当△ADG为等腰三角形，则∠C的度数为 11．如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，则的值为 ． 12．（1）如图1，，平分，则的形状是 三角形． （2）如图2，平分，，，则 ． （3）如图3，在中，是角平分线，交于点D．若，，则 ． （4）如图4，在中，与的平分线交于点F，过点F作，分别交，于点D，E．若，，，则的周长为 ． （5）如图5，在中，，，分别是和的平分线，且，，则的周长是 ． 13．如图，在与中，与相交于点D．给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 三、解答题 14．如图，在中，，平分交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，求的度数． 15．如图，在中，，点是边的中点，以为底边向上作等腰，使得，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 16．如图，在中，，点D是上一点，于点E，于点F． (1)若点D是的中点，求证：； (2)若，求的度数． 17．如图，在中，垂直平分于点，是边的垂直平分线交于点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 18．如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使． (1)求证：为等腰三角形； (2)过点D作于点M，若，求的长． 19．（1）已知：如图（1），在中，，的平分线交于点M，过点M的直线，分别与，交于点D，E．求证：． （2）将（1）题条件“的平分线”改为“的外角平分线”，如图（2）所示，你能推断出，，存在的数量关系式吗？请证明你的推断． 20．已知在中，，点D是边上一点，． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 21．如图，在中，，为延长线上一点，为上一点，． (1)求证：； (2)若是的中线，交于点，求证：． 22．如图，和是等腰直角三角形，，，垂足为F． (1)求证：； (2)判断和的位置关系，并说明理由； (3)求证：． 23．在等腰直角中，，点D在边上，过点B作射线的垂线，垂足为点E． (1)如图1，过点C作射线的垂线，垂足为点F，求证：； (2)在射线上取点G，使，连接，，与交于点H．如图2，若，，求线段的长． 24．【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线． (1)【理解】如图1，在中，，，图中两对等角三角形为_____；_____． (2)【尝试】如图2，在中，平分，，求证：为的等角分割线； (3)【应用】在中，，是的等角分割线，请直接写出的度数． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D A D A C A 1．D 本题考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用．熟练掌握等腰三角形的性质，一元一次方程的应用是解题的关键． 设运动时间为，由题意知，，，则，由为钝角，是等腰三角形，可得，即，计算求解，然后作答即可． 解：设运动时间为， 由题意知，，， ∴， ∵为钝角，是等腰三角形， ∴，即， 解得，， 故选：D． 2．A 此题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线性质的应用．根据平行线的性质和角平分线的定义先证出，从而得出，即可求出的值． 解：∵， ∴， ∵、的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 3．D 本题考查了垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质．根据含30度角的直角三角形的性质得出，求得，进而根据垂直平分线的性质得出，根据，即可求解． 解：∵在中，，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 故选：D． 4．A 本题考查含30度角的直角三角形的性质，过C作于E，则，． 解：过C作于E，则，， ， ， ， ， 故选：A． 5．C 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和性质，利用等腰三角形底角相等的性质和角所对的直角边等于斜边一半的性质，推导与的关系，以及与的关系，从而求出的值，即可作答． 解：依题意，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴ 在中，， 在中，， ∴， 故选：C． 6．A 本题考查等腰三角形、直角三角形的性质．利用平行线找出等角等边，灵活运用直角三角形性质是解题关键． 根据是等腰三角形，且为中线，平分，可得，再由，则，，根据和直角三角形性质可求解． 解：是等腰三角形，且为底边中点， ，， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：A． 7．/18度 本题考查了等边对等角、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．设，先根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得，，再根据等边对等角和外角的性质求解即可． 解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．9 本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，过A作于H，过E作于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 解：过A作于H，过E作于F，   ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：9． 9．2 过点E作于点H，根据是等边三角形，，得到是等边三角形，已知，得到，结合，得到，在中，求得，表示出，根据即可求得线段的长，继而得到的长． 本题主要考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，含有角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 解：过点E作于点H， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 10．90°或108° 设∠ADB＝x，则∠C＝2x，从而可求得∠EAB＝x，∠ABF＝∠ABC＝45°﹣x，所以∠AGD＝∠EAB+∠ABF＝x+45°﹣x＝45°+x，再分三种情况：①当AD＝DG时，∠DAG＝∠DGA；②当AD＝AG时，∠ADG＝∠AGD；③当AG＝DG时，∠GAD＝∠ADG＝x，分别求解即可． 解：设∠ADB＝x，则∠C＝2x， ∵AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA＝＝90°﹣x， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EAB＝x， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠ABC＝45°﹣x， ∴∠AGD＝∠EAB+∠ABF＝x+45°﹣x＝45°+x， △ADG为等腰三角形时，存在三种情况： ①当AD＝DG时，∠DAG＝∠DGA， 即x+45°+x+45°+x＝180°， x＝45°， ∴∠C＝90°， ②当AD＝AG时，∠ADG＝∠AGD， x＝45+x， x＝90°， ∴∠C＝180°（不符合题意，舍去）， ③当AG＝DG时，∠GAD＝∠ADG＝x， 2x+45+x＝180， x＝54°， ∴∠C＝108°， 综上，∠C的度数为90°或108°． 本题考查等腰三角形的性质，角平分线与三角形内角和定理，三角形外角的性质，分类讨论思想的应用是解题的关键． 11．13 本题考查了角平分线的定义和性质，根据题意证明，进而可得，即可得出答案． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：13． 12．（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5） 本题考查角平分线的定义、平行线的性质及等腰三角形的判定． （1）根据角平分线的定义、平行线的性质及等腰三角形的判定即可解决问题． （2）根据角平分线的定义及平行线的性质即可解决问题． （3）根据角平分线的定义及平行线的性质即可解决问题． （4）根据角平分线的定义得出，，再利用平行线的性质得出，，进而得出，，进一步得出，，最终将的周长转化为即可解决问题． （5）根据角平分线的定义及平行线的性质得出，，进而将的周长转化为的长即可解决问题． 解：（1）， ，， 平分， ， ， ， 是等腰三角形， 故答案为：等腰； （2）平分， ． ， ， ， ． ， ． 故答案为：3． （3）平分， ． ， ， ， ． ，， ． 故答案为：12． （4）平分， ， ， ， ， ． 同理可得，． ，， ． 故答案为：30． （5）平分， ， ， ， ， ． 同理可得，． ， ． 故答案为：． 13．①③④ 此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识．证明，进一步即可作出正确的判断． 解：在和中， ∴，故①正确， ∴， ∴，故③正确， ∴， ∵， ∴，则④结论正确， 与的关系不能确定，故②不正确， 故答案为：①③④． 14．(1)见解析 (2) 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线定义，平行线的判定与性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据等边对等角得，再证明，进而可证； （2）由平行线的性质得°，由角平分线的定义得，即可求出的度数． （1）证明：， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ； （2）， ， ， ， 平分， ， ， ． 15．(1) (2)见解析 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由等腰，可得，由题意知，，则，根据，计算求解即可； （2）如图，作于，则，证明，则，进而可得． （1）解：∵以为底边向上作等腰， ∴， 由题意知，， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）证明：如图，作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．(1)见解析 (2) 本题考查了等腰三角形的性质、垂线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由等腰三角形的性质可得，，证明，即可得出； （2）先求出，由垂线的定义可得，求出，由等边对等角得出，即可得解． （1）证明：如图，连接， ，，点是的中点， ∴，， ， ， ， ∴； （2）解：， ， ， ， 在中，， ∴， ， ， ∴． 17．(1)见解析 (2) 本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （）由线段垂直平分线的性质可得，从而得出，即可得证； （）由线段垂直平分线的性质可得，点是的中点，得出为的平分线．求出，由等腰三角形的性质可得，即可得解． （1）证明：∵为线段的垂直平分线， ∴， ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵垂直平分于点， ∴，点是的中点， ∴为的平分线， ∴， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴ ∵为等腰三角形， ∴， ∴． 18．(1)见解析 (2)4 本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据角平分线的定义得，结合平行线的性质可证，然后根据等腰三角形的判定方法即可得解； （2）利用等腰三角形的性质求得，再利用等腰直角三角形的判定和性质即可求解． （1）证明：平分， ， 又， ， ， 为等腰三角形； （2）解：如图， 为等腰三角形，， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 则的长为4． 19．（1）见解析；（2）能，，证明见解析． 本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用线段的和差关系以及等量关系即可解答； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用线段的和差关系以及等量关系即可解答． 证明：（1）∵，的平分线、交于点M， ∴，． ∵， ∴，． ∴，． ∴，． ∴． ∵， ∴． （2）能， ∵，的平分线、交于点M， ∴，． ∵， ∴，． ∴，． ∴，． ∴． ∵， ∴． 20．(1)见解析 (2)①见解析；②或 本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，结合图形分情况讨论是解决问题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得∠，从而可得，然后根据等量代换可得．再根据等角对等边可得，即可解答； （2）①根据垂直定义可得，从而可得，然后设，则，利用（1）的结论可得，最后利用三角形内角和定理可得，即可解答； ②根据三角形的外角性质可得，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答． （1）解：∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； ②∵是的一个外角， ∴， 分三种情况： 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴不存在， 综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或． 21．(1)见解析 (2)见解析 （1）由，得，因为，，所以，由，得，所以； （2）作交的延长线于点，则，而，且，所以，可证明，根据全等三角形的性质可得，所以，再证明，即可证得． （1）证明：， ， ，， ， ， ， ； （2）证明：如下图所示， 作交的延长线于点， 则，， ，， ， 是的中线， ， 在和中，， ， ， ， 在和中，， ， ． 本题主要考查了等腰三角形的性质、等角的补角相等、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形． 22．(1)见解析 (2)，见解析 (3)见解析 本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键． （1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可得出，根据邻补角的定义，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可得出，进而证明，即可得出结论； （3）延长到，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论． （1）证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴； ∴， ∴； （2）解：，理由如下， ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， （3）证明：延长到，使得， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∵，   ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．(1)见解析 (2) 本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握性质定理是解题的关键； （1）由余角的性质可得，再加上以及直角即可证明； （2）过点C作射线的垂线，垂足为点F，由（1）可得，即可得到 ，，进一步可证明，得到；由可得，得到，得到 ，BG=2AE，即可求得答案． （1）证明：∵等腰直角中，， ∴， ∵，， ∴， ，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）过点C作射线的垂线，垂足为点F，由（1）可得， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 24．(1)与，与，与（任填两对即可） (2)证明见解析 (3)或或或 本题是三角形综合题，考查了等角三角形的定义、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据等角三角形的定义解答即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据等角三角形、等角分割线的定义证明即可； （3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． （1）解：∵，， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴与，与，与是等角三角形； （2）证明：∵在中，，， ∴， ∵为角平分线， ∴， 在中，， ∴，，， ∴与是等角三角形， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴为的等角分割线； （3）解：当是等腰三角形，如图，时，， ∴， ∴； 当是等腰三角形，如图，时，， ∴， ∴， ∴； 当是等腰三角形，的情况不存在， 当是等腰三角形，如图，时， ∴， 当是等腰三角形，如图，时，， 设，则，， 由题意得，， 解得，， ∴， 当是等腰三角形，的情况不存在， ∴的度数为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $