2.2～2.3 平行线的性质与判定 讲义 2024-- 2025学年北师大版七年级数学下册

第4讲 平行线的判定与性质 【教学目标】 1．掌握平行线的判定方法与性质； 2．能够灵活的运用平行线的判定方法与性质解决简单相关问题． 【教学重难点】 将复杂图形分解为基本图形，对已知条件和求证结论进行转化． 考点1：平行线的判定 知识点 1．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简述为：同位角相等，两直线平行． 2．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简述为：内错角相等，两直线平行． 3．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内错互补，那么这两条直线平行．简述为：同旁内角互补，两直线平行． 4．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．平行于同一条直线的两条直线平行． 考点2：平行线的性质 知识点 1．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．简述：两直线平行，同位角相等． 2．两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．简述为：两直线平行，内错角相等． 3．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．简述为：两直线平行，同旁内角互补． 方法技巧梳理： 1．平行线的“判定”是由角定线的位置关系；“性质”是由线定角的关系，条件与结论正好相反。 2．与平行线相关的问题一般都是直线平行的条件和平行线的特征的综合运用，主要体现在以下两个方面： （1）由角定角：已知角的关系判定两直线平行再由平行线的特征确定其它角的关系； （2）由线定线：已知两线平行的特征判定角的关系再由角的关系判定其它直线平行． 3．角的有关计算问题，可结合平行线的特征、补角、余角、角平分线的定义等知识通过列方程解决． 4．辅助线的添法：运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线(平行线)的常用技巧． ( A B E F C D )【例1】如图所示，已知∠ABF＝∠DCE，∠BFE＝∠FEC，求证：AB∥CD． ( 1 2 C D B A E F G )【变式】如图，已知CD∥EF，∠1＋∠2＝∠ABC，求证：AB∥GF． 【例2】如图，已知AB∥CD，∠EAF＝∠EAB，∠ECF＝∠ECD，求证：∠AFC＝∠AEC． ( A B E F C D ) 【变式】如图，已知AB∥CD，∠A＝57°，∠C＝39°，PB平分∠ABC，PD平分∠ADC． （1）求∠P的度数； ( A B C D P )（2）根据以上计算结果猜测∠P与∠A、∠C的关系； （3）若AB与CD不平行，其它条件不变，你猜测的结论还成立吗？请说明理由． 【能力提升】 1．如图，AB∥CD，∠BEF＝70°，则∠B＋∠F＋∠D＝_________°． ( A B E F D C ) ( F E A B C D ) ( A B C D E F G ) ( A B E C D F 1 2 ) 2．如图，AB∥EF，BC⊥CD，∠1＝30°，∠2＝45°，则∠CDE＝_________°． 3．如图，AB∥CD，∠B＋∠F＋∠D＝110°，∠G－∠E＝10°，则∠E＝_________°． 4．如图，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E＝100°，则∠BFD＝_________°． 5．如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O，过点O且EF∥BC． （1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数； （2）若∠BOC＝130°，∠EOB∶∠FOC＝3∶2，求∠ABC、∠ACB的度数． ( A B C E F O ) 6．如图，点E、F分别在直线AB、CD上，EG平分∠AEF，FG平分∠EFC，且∠GEF＋∠GFE＝90°． （1）求证：AB∥CD； （2）点H是直线CD上一点（不与点F重合），EI平分∠HEF交直线CD于I，判断∠EHF与∠GEI的数量关系，并说明理由． ( A B C D E F G H I ) 7．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补． （1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由； （2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH； （3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点，∠PHK＝∠HPK，PQ平分∠EPK交MN于点Q．问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由． ( A B C D M N E F 图3 P Q G K H ) ( A B C D 1 2 M N E F 图1 ) ( A B C D M N E F 图2 P G H ) 8．如图1，AB∥CD，G为AB、CD之间一点． （1）若GE平分∠AEF，GF平分∠EFC，求证：EG⊥FG； （2）如图2，若∠AEP＝ ∠AEF，∠CFP＝ ∠EFC，且FP的延长线交∠AEP的角平分线于点M，EP的延长线交∠CFP的角平分线于点N，猜想∠M＋∠N的结果，并证明你的结论； （3）如图3，若点H是射线EB之间一动点，FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，过点G作GQ⊥FM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论． ( A B C D E F G A B C D P M N E F A B C D E G H F M Q 图1 图2 图3 ) 9．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转至原位置，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转至原位置，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a－3|＋( a＋b－4 )2＝0．已知PQ∥MN，且∠BAN＝45°． （1）求a、b的值； （2）若两灯同时转动，在灯A射线第一次转到AN之前，两灯射出的光线交于点C，且∠C＝66°，求∠BAC的度数； （3）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光线互相平行？ ( M NN A B C P Q M NN A B P Q 备用图 ) 【学习评估】 1．如图，AB∥CD，∠A＝150，∠C＝140，则∠E的度数是（ ） ( A D 1 B C E F M N )A．50 B．60 C．70 D．75 ( E A B C D F P ) ( A B C D E ) 2．如图，AB∥CD，EP⊥EF，∠EFD的平分线与EP相交于点P，若∠BEP＝28，则∠EPF＝__________． 3．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别落在M、N的位置，若∠EFG＝56°，则∠1＝__________． ( A B C D E F G M H N P 30 ° 30 ° 50 ° )4．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯的角∠A是120°，第二次拐弯的角∠B是150°，第三次拐弯的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C＝__________°． ( D N C A B M F E ) ( B C A ) 5．如图，直线AB∥CD，∠EFA＝30°，∠FGH＝90°，∠HMN＝30°，∠CNP＝50°，则∠GHM＝__________°． 6．如图，直线AB∥CD，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝222°，则∠FME的度数是__________． 7．如图1，已知∠DAB＋∠ABC＋∠BCE＝360°． （1）求证：PD∥QE． （2）如图2，作∠BCF＝∠BCQ，CF与∠BAP的平分线交于点F，与AB交于点O，若∠AFC的余角等于2∠ABC的补角，∠AFC的补角与∠ABC的余角的差为100°，求∠AOC的度数． ( P D Q E O A B C F P D Q E A B C 图1 图2 ) 第4讲 平行线的判定与性质答案 ( A B E F C D G )【例1】证明：延长CE、AB交于点G ∵∠BFE＝∠FEC ∴BF∥CE ∴∠ABF＝∠BGC ∵∠ABF＝∠DCE ∴∠BGC＝∠DCE ∴AB∥CD 【变式】证明：过点B作BG∥CD，则∠1＝∠3 ( 1 2 C D B A E F G 3 4 G 5 H )∵∠1＋∠2＝∠ABC，∠3＋∠4＝∠ABC ∴∠2＝∠4 ∵BG∥CD，CD∥EF，∴BG∥EF 延长FE交AB于点H，则∠4＝∠5 ∴∠2＝∠5，∴AB∥GF 【例2】证明：过点E作EG∥AB，则∠1＝∠EAB，∠2＝∠ECD ( A B E F C D G 1 2 )∴∠AEC＝∠1＋∠2＝∠EAB＋∠ECD 同理，∠AFC＝∠FAB＋∠FCD ∵∠EAF＝∠EAB，∠ECF＝∠ECD ∴∠FAB＝∠EAB，∠FCD＝∠ECD ∴∠AFC＝∠EAB＋∠ECD＝( ∠EAB＋∠ECD )＝∠AEC 【变式】（1）∠P＝( ∠57°＋39° )＝48°；（2）∠P＝( ∠A＋∠C )；（3）成立 【能力提升】 1．250 2．105 3．50 4．130 5．（1）∠BOC＝115° （2）设∠EOB＝3α，∠FOC＝2α，则3α＋2α＋130°＝180°，∴α＝10° ∠ABC＝60°，∠ACB＝40° ( A B C D E F G H I )6．（1）证明：∵EG平分∠AEF，∴∠AEF＝2∠FEG ∵FG平分∠EFC，∴∠EFC＝2∠GFE ∵∠GEF＋∠GFE＝90° ∴∠AEF＋∠EFC＝2×90°＝180° ∴AB∥CD （2）∠EHF＝2∠GEI，理由如下： ∵FG平分∠EFC，∴∠EFC＝2∠GFE ∵EI平分∠HEF，∴∠HEF＝2∠IEF ∴在△HEF中，∠EHF＝180°－2∠GFE－2∠IEF＝2( 90°－∠GFE－∠IEF ) ∴在△GEF中，∠EHF＝180°－∠GFE－∠IEF－90°＝90°－∠GFE－∠IEF ∴∠EHF＝2∠GEI 7．（1）AB∥CD （2）证FP⊥EG即可 （3）不会变化，∠HPQ＝45°，理由如下 ∵∠PHK＝∠HPK，∴∠PKG＝2∠HPK ∴∠KPG＝180°－90°－2∠HPK＝90°－2∠HPK ∴∠EPK＝180°－∠KPG＝180°－( 90°－2∠HPK )＝90°＋2∠HPK ∵PQ平分∠EPK，∴∠QPK＝ ∠EPK＝ ( 90°＋2∠HPK )＝45°＋∠HPK ∴∠HPQ＝∠QPK－∠HPK＝45°＋∠HPK－∠HPK＝45° 8．（1）∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°， ∵GE平分∠AEF，GF平分∠EFC， ∴∠AEG＝∠FEG＝ ∠AEF，∠CFG＝∠GFE＝ ∠CFE， ∴∠FEG＋∠GFE＝90°，即EG⊥FG． （2）猜想：∠M＋∠N＝108°． 分别过M，N作MG∥AB，NH∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥MG∥NH∥CD， ∴∠AEM＝∠EMG，∠GMF＝∠MFC，∠AEN＝∠ENH，∠HNF＝∠NFC， ∴∠M＝∠AEM＋∠MFC，∠N＝∠AEN＋∠NFC， ( A B C D P M G N H E F )同理，∠EPF＝∠AEP+∠PFC， ∴∠M＋∠N＝∠AEM＋∠MFC＋∠AEN＋∠NFC， ∵EM平分∠AEN，FN平分∠MFC， ∴∠AEM＝ ∠AEN，∠NFC＝ ∠MFC， ∴∠M＋∠N＝ ∠AEN＋ ∠MFC＋∠MFC＋∠AEN＝ ( ∠MFC＋∠AEN )， ∵∠AEP＝ ∠AEF，∠CFP＝ ∠EFC， ∴∠MFC＋∠AEN＝ ( ∠AEF＋∠EFC )＝ ×180°＝72°， ∴∠M＋∠N＝ ( ∠MFC＋∠AEN )＝ ×72°＝108°． （3）猜想：∠FGQ＝ ∠EHF． ∵AB∥CD，∴∠EHF＋∠CFH＝180°， ∵GQ⊥MF，∴∠FGQ＝90°－∠GFQ， ∵FG平分∠EFH，MF平分∠EFC， ∴∠GFE＝ ∠EFH，∠QFE＝ ∠CFE， ∴∠GFQ＝ ∠CFH＝ ( 180°－∠EHF )＝90°－ ∠EHF， ∴∠FGQ＝90°－( 90°－ ∠EHF )＝ ∠EHF． 9．（1）∵|a－3|＋( a＋b－4 )2＝0，∴a－3＝0，a＋b－4＝0 ∴a＝3，b＝1 （2）设灯A射线转动时间为t秒 ∵∠BAN＝45°，∴∠BAM＝135°，∴∠BAC＝3t－135° ∵PQ∥MN，∴∠ABP＝∠BAM＝135°，∴∠ABC＝135°－t 在△ABC中，∠ABC＋∠BAC＋∠C＝180° ∴135°－t＋3t－135°＋66°＝180°，解得t＝57 ( M NN A B P Q 20 ° )∴∠BAC＝3t－135°＝36° （3）设A灯转动t秒，两灯的光线互相平行 ①当0＜t≤60时（即灯A射线转到AN之前） 平行光线是图中一组红色平行线，由角度关系可得： 3t＝20＋t，解得t＝10 ②当60＜t≤120时（即灯A射线转到AN之后） 平行光线是图中一组蓝色平行线，由角度关系可得： 3t－180＋20＋t＝180，解得t＝85 ③当120＜t＜160时（即灯A射线转到AM之后） 3t－360＝20＋t，解得t＝190＞160（舍去） 综上所述，A灯转动10秒或85秒时，两灯的光线互相平行 【学习评估】 ( D N C A B M F E G )1．C 2．59 3．112 4．150 5．40 6．148° 提示：延长FM交CD于点G 设∠ENF＝∠END＝α，∠FMB＝∠EMB＝∠FGD＝β 则∠E＝α＋β，∠F＝β－2α，代入2∠E＋∠F＝222°， 得2( α＋β )＋( β－2α )＝222°，3β＝222°，β＝74° ∠FME＝2β＝148° 7．（1）证明：过点B作BM∥PD ( P D Q E A B C M )则∠DAB＋∠ABM＝180° ∵∠DAB＋∠ABC＋∠BCE＝360°，∴∠MBC＋∠BCE＝180° ∴BM∥QE，∴PD∥QE （2）解：过点B作BM∥PD，过点F作FN∥PD 设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，则∠PAF＝x°，∠BCQ＝y° ∵PD∥QE，∴PD∥FN∥BM∥QE ∴∠AFN＝∠PAF＝x°，∠CFN＝∠FCQ＝2y， ∠ABM＝∠BAP＝2x°，∠CBM＝∠BCQ＝y° ∴∠AFC＝( x＋2y )°，∠ABC＝( 2x＋y )° ∵∠AFC的余角等于2∠ABC的补角，∴90－( x＋2y )＝180－2( 2x＋y ) ( P D Q E O A B C F N M )解得x＝30 ∠AFC的补角与∠ABC的余角的差为100° ∴180－( x＋2y )＝90－( 2x＋y )＋100 ∴y＝x－10＝20，∴∠AFC＝x＋2y＝70° ∴∠AOC＝30°＋70°＝100° 5 学科网（北京）股份有限公司 $$