精品解析：四川省凉山州西昌市2025-2026学年高一上学期期末学科素养检测数学试题

2025-2026学年度上期期末学科素养检测 高一数学 注意事项： 1．本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试题卷4页，答题卡2页．全卷满分为150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的班级､姓名､考号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 4．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 5．考试结束后，将答题卡交回． 一､单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义直接计算即可得出结果. 【详解】因为集合 ，， 所以 故选：B 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由定义域的概念可得联立不等式组，计算可得结果. 【详解】由题意知，解得且，所以定义域为. 故选：D. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数诱导公式化简计算即可得出结果. 【详解】. 故选：A 4. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.7和5.2，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，则的值所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意由指数与对数的关系和指数的运算性质计算可得. 【详解】由题意可得，， 所以. 故选：D. 5. 设正实数满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正实数 满足 ， 所以， 当且仅当 （即 ）时取等号. 故选：A 6. 设函数，则函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由零点存在性定理判断即可. 【详解】和均为增函数，函数在区间上单调递增. 又，， 由零点存在性定理得，函数存在唯一零点在区间上. 故选：C. 7. 函数的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】题干为一复合函数求最值，利用换元法可将其转化为求二次函数和指数函数的最值. 【详解】令,通过配方可知,当时，取得最大值1， 又函数，由指数函数的单调性可知当取得最大值时，取得最大值为2. 故选：B. 8. 已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把问题转化为函数则，利用基本不等式和函数单调性求出最值代入条件即可求出实数的取值范围. 【详解】由题可知，若，使得， 则， ， 故在上单调递减，在上单调递增，故时取得最小值， ，，故， 又在区间上为单调递增函数，则取最小时，在区间上取得最大值， 即， ，解得：. 故选：C 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，有错选得0分；若本题正确答案为2项，则选对1个得3分；若本题正确答案为3项，则选对1个得2分，选对2个得4分． 9. 下列函数与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】通过函数定义域和解析式逐项判断即可. 【详解】A，的定义域为，的定义域为，不是同一函数，错误； B，的定义域为，的定义域为，且，同一函数，正确； C，由，得即的定义域为， 由得即的定义域为， 又，同一函数，正确； D，的定义域为，的定义域为，不是同一函数，错误， 故选：BC 10. 已知函数，则下列结论正确是（ ） A. B. 若，则在上单调递增 C. 为偶函数 D. 若的值域为，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用解析式求函数值判断A选项；由复合函数单调性判断B选项；由函数奇偶性的定义判断选项C；由函数值域得要取遍所有正数，分类讨论求a的取值范围判断D选项. 【详解】对于A：，A选项正确； 对于B：若，函数，函数，都是定义域上的增函数， 则由复合函数的单调性知，在区间内是增函数，B选项正确； 对于C：若存在实数，使得为偶函数，则， 即， ， 而偶函数定义要求等式对定义域内所有成立，不仅仅是， 故不存在实数使得为偶函数，C选项错误； 对于D：若的值域为，则要取遍所有正数， 所以或，解得，D正确． 故选：ABD 11. 已知函数,令函数，则下列选项正确的是（ ） A. 当时，函数有2个零点 B. 函数不可能有1个零点 C. 若函数有3个零点，则的取值范围为. D. 方程有5个根 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数解析式画出的图象，函数的零点个数，即与的交点个数，数形结合即可判断A、B，由图可知，再由对数的运算得到，即可判断C，由方程得到或，再数形结合即可判断D. 【详解】因为，则， 画出的图象如下所示： 函数的零点个数，即与的交点个数， 当时，由图可知与有个交点，故函数有个零点，故A正确； 当时与有个交点，即函数有个零点，故B错误； 若函数有3个零点，则， 由图可知，且，即，所以， 则， 所以的取值范围为，故C正确； 由，即， 即或， 由图可得有个实数根，有个实数根， 所以方程有5个根，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是画出函数图象，将函数的零点个数问题转化为函数与函数的交点问题. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算性质计算即可. 【详解】. 故答案为：. 13. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式对和进行化简，再根据化简结合求解即可. 【详解】， ， . 故答案为：. 14. 已知函数，则函数的图象与轴和直线围成的封闭区域的面积为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，分析函数的对称性，作出图形，结合对称性与三角形的面积公式可求得所求区域的面积. 【详解】首先求函数的定义域，由,得,解得,所以函数的定义域为, 又,所以, 所以函数的图象关于点对称，又,,记点，如下图所示： 结合函数的对称性可知，函数的图象与轴和直线围成的封闭区域的面积等于的面积， 故所求区域的面积等于. 故答案为：2. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或． （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）由集合的运算可得； （2）先由已知判断是的真子集，再由集合间的包含关系列不等式可得. 【小问1详解】 因为，所以或或 所以， 或 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，则是的真子集． 则或，所以或， 所以实数m的取值范围为或. 16 设函数． （1）求的最小正周期和单调区间； （2）求在区间的值域． 【答案】（1）最小正周期；在单调递减，无单调递增区间 （2） 【解析】 【分析】（1）由正切函数的周期公式和单调性可解； （2）由正切函数的单调性可得值域. 【小问1详解】 的最小正周期， ，解得， 在单调递减，无单调递增区间． 【小问2详解】 由（1）得在区间单调递减． ， 所以的值域为 17. 已知函数 （1）对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）函数恒成立问题结合二次函数的性质分类讨论即可得出参数范围； （2）讨论当，，三种情况不等式的解集，即可求得解集. 【小问1详解】 当时，成立， 当时，解得 综上所述实数的取值范围为 【小问2详解】 即 即 当时，，则 当时，，则 当时，，则 综上所述： 当时，解集为 当时，解集为 当时，解集为 18. 已知定义在上的函数对任意恒有，当时，． （1）求，判断函数奇偶性并说明理由； （2）判断的单调性，并证明； （3）若对任意的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），为奇函数，理由见解析 （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）令，可得的值，令，代入条件，根据奇函数的定义，即可得证. （2）根据单调性的定义，结合条件及的奇偶性，化简整理，即可得证. （3）由（2）可得对任意的恒成立，法一：根据对数的运算性质及对数函数的单调性，可得对任意的恒成立，利用换元法，结合二次函数的性质，即可得答案；法二：整理可得对任意的恒成立，利用换元法，结合对勾函数的性质，即可得答案. 【小问1详解】 令，则，解得； 为奇函数，理由如下： 定义域为关于原点对称， 令得，即， 所以为奇函数. 【小问2详解】 在上单调递增，证明如下： 任取且，则， 因为当时，， 所以， 又，即， 所以在上单调递增. 【小问3详解】 法一：由（2）得在上单调递增， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 因为在上单调递增， 所以，即对任意的恒成立， 令则， 令， 则， 解得，所以的取值范围. 法二：由（2）得上单调递增， 则对任意的恒成立， 则， 即对任意的恒成立， 则有， 令，则，所以有， 因为在上单调递增， 所以当，即时，取得最大值，最大值为， 所以有，则，所以的取值范围 19. 丹麦数学家Johan.Jensen在1905年提出：区间上连续函数为上凸函数充要条件是，都有，当或为一次函数时取“”，区间上连续函数为下凸函数充要条件是，都有，当或为一次函数时取“”；1906年Johan．Jensen将上述性质进行了推广：区间上连续函数为上凸函数充要条件是，都有，当或为一次函数时取“”；区间上连续函数为下凸函数充要条件是，都有，当或为一次函数时取“”． （1）判断函数在定义域内是下凸函数还是上凸函数（不用说明理由）； （2）①证明是上凸函数； ②求的最大值； （3），求证． 【答案】（1）是下凸函数 （2）①证明见解析 ；②12 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由下凸函数的定义即可判断； （2）①由上凸函数的定义即可判断；②由①结合函数是上凸函数．由即可求解； （3）构造，通过其为下凸函数，进而可求证. 【小问1详解】 在定义域内是下凸函数． ，当且仅当时取等号， 即， 故在定义域内是下凸函数． 【小问2详解】 ①证明：任取且 因为则， 当且仅当时取等号， 因为单调递增， 则 所以是上凸函数． ②因为： ， 因为 当且仅当时，即取等号， 所以，当且仅当取等号， 所以函数是上凸函数． ，当且仅当时等号成立， 所以时取到最大值12． 【小问3详解】 证明：令 因为， 则，所以为下凸函数； 则，则， 当且仅当时等号成立， 所以得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上期期末学科素养检测 高一数学 注意事项： 1．本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试题卷4页，答题卡2页．全卷满分为150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的班级､姓名､考号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 4．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 5．考试结束后，将答题卡交回． 一､单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.7和5.2，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，则的值所在区间是（ ） A. B. C. D. 5. 设正实数满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 设函数，则函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，有错选得0分；若本题正确答案为2项，则选对1个得3分；若本题正确答案为3项，则选对1个得2分，选对2个得4分． 9. 下列函数与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确是（ ） A. B. 若，则在上单调递增 C. 为偶函数 D. 若的值域为，则的取值范围为 11. 已知函数,令函数，则下列选项正确是（ ） A. 当时，函数有2个零点 B. 函数不可能有1个零点 C. 若函数有3个零点，则取值范围为. D. 方程有5个根 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ___________. 13. 若，则__________． 14. 已知函数，则函数的图象与轴和直线围成的封闭区域的面积为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或． （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 设函数． （1）求的最小正周期和单调区间； （2）求在区间的值域． 17 已知函数 （1）对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集． 18. 已知定义在上的函数对任意恒有，当时，． （1）求，判断函数的奇偶性并说明理由； （2）判断的单调性，并证明； （3）若对任意的不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 丹麦数学家Johan.Jensen在1905年提出：区间上连续函数为上凸函数充要条件是，都有，当或为一次函数时取“”，区间上连续函数为下凸函数充要条件是，都有，当或为一次函数时取“”；1906年Johan．Jensen将上述性质进行了推广：区间上连续函数为上凸函数充要条件是，都有，当或为一次函数时取“”；区间上连续函数为下凸函数充要条件是，都有，当或为一次函数时取“”． （1）判断函数在定义域内是下凸函数还是上凸函数（不用说明理由）； （2）①证明是上凸函数； ②求的最大值； （3），求证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $