精品解析：河南省义马市2026届高三上学期期末诊断性考试数学试题

2025～2026学年度第一学期期末诊断性考试 高三数学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 5.考察内容：高考全部内容． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1. 已知全集，集合或，，则Venn图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合补集以及交集的概念，结合Venn图，即可求得答案. 【详解】集合或，故， 由Venn图可知影部分表示的集合为. 故选：A 2. 若，，复数所对应的点在实轴上，则实数等于（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】计算出，根据对应的点在实轴上得到方程，求出的值. 【详解】，， ， 又所对应的点在实轴上， ，． 故选：C 3. 在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为，那么这组数据的第75百分位数为（  ） A. 38 B. 39 C. 40 D. 41 【答案】B 【解析】 【分析】根据第75百分位数的定义计算可得答案. 【详解】8场比赛的得分从小到大排列为：25，29，30，32，37，38，40，42， 因为，所以第75百分位数为. 故选：B. 4. 已知向量，的夹角为150°，且 ，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助向量模长与数量积的关系与数量积的计算公式计算即可得. 【详解】因为， 所以. 故选：D 5. 抛掷一枚质地均匀的硬币，一直到出现正面向上时或抛满100次时结束，设抛掷的次数为，则随机变量的数学期望（ ） A. 大于2 B. 小于2 C. 等于2 D. 与2的大小无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知有第 次结束抛掷的概率为，第100次结束的概率为，再应用离散随机变量期望的求法、错位相减法及等比数列前n项和公式求. 【详解】由题意，在第 次结束抛掷的概率为，第100次结束的概率为， 所以， 则， 故 ， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据题意得到100次中各次结束抛掷对应的概率为关键. 6. 给正六边形的六条边涂色，现有3种不同的颜色可以选择，要求相邻两条边颜色不同，则不同的涂法有（ ）种 A. 99 B. 96 C. 66 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】对三条边所涂颜色的种数进行分类讨论，确定另外三条边所涂颜色的方法种数，利用分步乘法和分类加法计数原理可得结果. 【详解】第一类，三条边用同一种颜色， 先涂有种方法，再涂有种方法，再涂有种方法， 再涂有种方法，共有方法数为种； 第二类，三条边用种颜色， 由三条边用种颜色，可得必有条边涂同一种颜色， 先涂有种方法，再涂，，有种方法， 共有方法数为种； 第三类三条边用种颜色， 先涂有种方法，再涂有种方法，再涂有种方法， 再涂有种方法，共有方法数为种； 由分类加法计数原理可得，共有方法数种． 故选：C． 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点在上，且，若的面积为16，的离心率为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出半焦距，由可得为直角三角形，结合勾股定理、面积公式、双曲线定义以及离心率的定义计算即可得解. 【详解】设的半焦距为， 因为，所以， 所以点在为圆心半径为的圆上， 于是为直角三角形，且， 设，，则，所以， 又，，且， 所以，即， 所以， 又，所以，所以 ， 所以的方程为. 故选：B. 8. 设函数，令，，，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再根据指对数运算性质比较自变量的大小，利用函数的单调性，即可比较函数值大小， 【详解】，因为的定义域为， 且，所以是偶函数， 令，因在上单调递增， 又，当时，，即在上单调递增， 由复合函数的单调性知在上单调递增. 又，，， 因， 由，可得， 即，故可得，即． 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 为偶函数 B. 恰有2个单调区间 C. 的最小值为 D. 值域是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义可判断A，根据函数的单调性可判断BCD. 【详解】根据题意，设 对于A，的定义域为 ，且，则为偶函数，A正确； 对于B，，易得在上单调递增，在 上单调递减，B正确； 对于C，由于，则，不存在最小值，C错误； 对于D，，则，则的值域为，D正确． 故选：ABD 10. 已知是抛物线 的焦点，直线 经过点交抛物线于A、B两点，则下列说法正确的是（ ） A. 以 为直径的圆与抛物线的准线相切 B. 若，则直线 的斜率 C. 弦 的中点的轨迹为一条抛物线，其方程为 D. 若，则的最小值为18 【答案】AD 【解析】 【分析】A：利用抛物线的定义求得 的中点M准线的距离即可判断；B：联立直线与抛物线，然后由条件和根与系数的关系即可判定；C：设，结合选项AB可得：，，消去m即可判定；D：可得结合基本不等式即可判定. 【详解】A：由抛物线的方程可得焦点，准线方程为：， 设，则 的中点， 利用焦点弦的性质可得，而 的中点M准线的距离： ， 以 为直径的圆与该抛物线的准线相切，因此A正确； B：设直线 的方程为，联立， 整理可得：，易知，可得， ，解得， ，解得， ，因此B不正确； C：设，结合A、B可得：， ，消去m可得：，因此C错误； D：若，则抛物线 ，不妨设 ，， ， 当且仅当时取等号，因此D正确． 故选：AD． . 【点睛】方法点睛：直线 与抛物线 交于两点，与对称轴交点，则，进而可以使用基本不等式求与有关的最值问题. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 若是棱的中点，则过 三点的平面截正方体所得的截面图形是三角形 D. 若与平面 所成的角为，则 【答案】BD 【解析】 【分析】取的中点为，连接，设外接圆圆心为，四面体的外接球球心为，连接，过作，交于，求出的外接圆半径，从而求得四面体外接球半径后得球面积判断A，由棱锥体积公式判断B，作出截面图形判断C，建立如图所示的空间直角坐标系，求出线面角判断D． 【详解】对于A，如图所示，连接，取的中点为，连接， 设外接圆圆心为，四面体的外接球球心为，连接， 在中，设其外接圆半径为 ，由正弦定理知， ，所以，即 ，依题易得，故， 且和同对弦，故四点共圆， 则，设外接球半径为，过作，交于， 由正方体性质知平面，而平面，则， 又平面，则，所以是矩形，则， 则在中，，即，①， 在中，，即②， 联立①②，解得，故外接球的表面积为，故错误； 对于B，连接 ，因为, 平面平面，所以平面，又点是棱上的动点（含端点）， 所以点到平面的距离为定值，设为， 则，为定值，故B正确； 对于C，如图，延长交延长线于点，连接交于点，连接， 四边形为过 的平面截正方体所得的截面图形，故C错误； 对于D，以A为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则， 则， 设平面 的法向量，则， 令，则，故，则 ， 当时，，当时，， 当且仅当 时等号成立，又，故D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：立体几何中涉及到几何体的截面问题时，一般根据平面的基本性质作出截面，然后解决问题，涉及到空间角问题一般可能建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数列的周期性即可求解. 【详解】由且，可得，，， 可得数列是以3为周期的周期数列，则． 故答案为： 13. 已知正三棱柱的底面边长为6，侧棱长为3，点在该三棱柱的表面上（不包含顶点处）运动，若，则的轨迹长度为________. 【答案】. 【解析】 【分析】由题意知，点在以线段为直径的球与正三棱柱表面的交线上，如图，分别分析球与三棱柱表面的交线求解. 【详解】由题意知，点在以线段为直径的球与正三棱柱表面的交线上，如图，取的中点，过点作，垂足为， 在等边中，为的中点， 在正三棱柱中，平面， 平面，， ，， 平面， 平面， 连接 ，取 的中点，连接，， 平面， 点到平面的距离为， 在平面中，点在以为圆心，以为半径的圆上， 又点在该三棱柱的表面上（不包含顶点处）运动， 点在侧而的运动轨迹为 ，其长度为， 同理，点在侧面的运动轨迹为，共长度为， 点在上底面的运动轨迹为，其长度为， 点在下底面的运动轨迹为，其长度为， 综上，的轨迹长度为. 故答案为：. 14. 已知定义在上的函数，设，，是三个互不相同的实数，满足，则 的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】画出的图象，数形结合得到，，，由 得，得到，又，则，最后求出即可. 【详解】不妨设，由于在上严格单调递减， 在上严格单调递增，在上严格单调递减， 又，，结合图象可知，，， 所以，由 得，， 取，所以，所以，又， 所以，可得，则 的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，设函数. （1）若 ，求的值； （2）设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且________，求的取值范围.从下面两个条件中任选一个，补充在上面的空隔中作答. ①；②；注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】（1）； （2）选①和②答案都是. 【解析】 【分析】（1）结合向量坐标乘法及三角恒等变换，将化简成，再解方程求出的值即得解； （2）结合正弦定理、三角恒等变换及三角形角的范围，可解出的值，即可求出的范围，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 解：因为，， 所以 ， 当 时，， 所以或. 所以 或. 当 ， 时，； 当时，. 综合得. 【小问2详解】 解：若选①， 由正弦定理可得， 即， 即， 由于，所以，解得， 由于 ，得，所以， 所以，得， 即的取值范围是. 若选②， 由正弦定理可得， 即， 由于，所以，由于 ，得，所以， 所以，得， 即的取值范围是. 16. 如图，在四棱锥中，底面 是矩形，. （1）证明：平面 平面 . （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为四边形是矩形， 所以，， 因为，，平面 ， 所以 平面 ， 平面 ， 因为 平面 ，所以平面 平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角向量法计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知， 是直角三角形， 所以， 在中，， 所以是直角三角形，即 ， 因为 ， 平面 ， 所以平面 ， 即两两互相垂直， 以点为坐标原点， 所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设平面 的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面 的一个法向量为， 平面 的一个法向量可以为， 设平面 与平面 夹角， 则， 所以平面 与平面 夹角的余弦值为. 17. 华容道是古老的中国民间益智游戏，以其变化多端、百玩不厌的特点与魔方、独立钻石一起被国外智力专家并称为“智力游戏界的三个不可思议”.华容道游戏是通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方中部，从出口逃走，不允许跨越棋子，还要设法用最少的步数把曹操移到出口.小华准备参加市里的华容道横刀立马项目大赛.赛前小华进行了15天的训练，经统计得30分钟的通关关数y（道）与训练天数x（天）有如下数据： x（天） 3 6 9 12 15 y（道） 61 82 91 104 112 通过分析发现30分钟的通关关数y（道）与训练天数x（天）线性相关. （1）求x与y的样本相关系数（结果四舍五入到0.001）； （2）①求30分钟的通关关数关于训练天数的经验回归方程（的结果四舍五入到0.01）； ②若小华准备按照这种方式继续训练15天，然后直接参加华容道横刀立马项目大赛，请估计小华结束训练时在30分钟内能通关多少道（结果四舍五入到个位）？ 参考公式：样本相关系数，回归直线方程中，，. 参考数据：，，，. 【答案】（1）0.984 （2）①；②177道. 【解析】 【分析】（1）先求出，结合参考数据套样本相关系数公式求解即可； （2）由回归直线方程的公式，求出和，得到回归方程，再对试验结果进行预测. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 ①， 所以. 所以y关于x的经验回归方程为， 即30分钟的通关关数关于训练天数的经验回归方程为. ②15天后， ，则， 所以预估小华结束训练时在30分钟内能通关177道. 18. 已知椭圆上右顶点到右焦点的距离为，且右焦点到直线的距离等于短半轴的长. （1）求椭圆C的方程； （2）设P（4，0），AB是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q； （3）在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M、N两点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）[-4，] 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义和性质解出、、，即可得解； （2）利用点斜式方程得出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用根与系数之间的关系得出点、的坐标之间的关系，再利用点斜式表示直线的方程，进而即可证明过定点； （3）分类讨论直线是否与轴垂直，与椭圆方程联立得出点的坐标之间的关系，再表示出，进而即可求出其取值范围． 【小问1详解】 由题意可得解得， 椭圆的方程为 ； 【小问2详解】 由题意直线 的斜率存在，设直线的方程为，， 则， 联立，消去得， 直线与椭圆有两个不同的交点， ， ，． 直线的方程为， 令， 则， 故直线过定点； 【小问3详解】 ①当直线与轴重合时，，，； ②当直线与轴不重合时，设直线的方程为，，， 联立消去得， 则恒成立， 可得，， ， ， ， ， 的取值范围是， 综上可知：的取值范围是． 【点睛】方法点睛：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 19. 已知函数 ． （1）若 ，求曲线在处的切线方程； （2）若 对任意 恒成立，求a的取值范围； （3）证明： ． 【答案】（1） ； （2） ； （3） 由（2）可知，当时， 在 单调递减， 且时， ，即， 令，则，所以， 即， 所以 . 【解析】 【分析】（1）求出及，由点斜式求得切线方程； （2）由 分析需满足条件，得到 ，再说明时不满足条件； （3）由（2）得，令可得，累加证明. 【小问1详解】 当时， ， ，即切点坐标为， 又可得，即切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即 ； 【小问2详解】 当 时，若单调递减，则 满足条件， 因此需 在 恒成立，即在 恒成立， 所以 设 ， 则当 时， 恒成立（当且仅当时取等号）， 所以在 单调递增，所以 ， 所以 ，得 ； 当时， ， ， 所以存在， ， 则当时， ，单调递增，此时 ，不满足条件， 综上可知，实数的取值范围为 . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期期末诊断性考试 高三数学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 5.考察内容：高考全部内容． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1. 已知全集，集合或，，则Venn图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 若，，复数所对应的点在实轴上，则实数等于（ ） A. B. 2 C. D. 1 3. 在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为，那么这组数据的第75百分位数为（  ） A. 38 B. 39 C. 40 D. 41 4. 已知向量，的夹角为150°，且 ，，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 抛掷一枚质地均匀的硬币，一直到出现正面向上时或抛满100次时结束，设抛掷的次数为，则随机变量的数学期望（ ） A. 大于2 B. 小于2 C. 等于2 D. 与2的大小无法确定 6. 给正六边形的六条边涂色，现有3种不同的颜色可以选择，要求相邻两条边颜色不同，则不同的涂法有（ ）种 A. 99 B. 96 C. 66 D. 60 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点在上，且，若的面积为16，的离心率为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，令，，，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 为偶函数 B. 恰有2个单调区间 C. 的最小值为 D. 值域是 10. 已知是抛物线 的焦点，直线经过点交抛物线于A、B两点，则下列说法正确的是（ ） A. 以为直径的圆与抛物线的准线相切 B. 若，则直线的斜率 C. 弦的中点的轨迹为一条抛物线，其方程为 D. 若，则的最小值为18 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 若是棱的中点，则过 三点的平面截正方体所得的截面图形是三角形 D. 若与平面 所成的角为，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足若，则______． 13. 已知正三棱柱的底面边长为6，侧棱长为3，点在该三棱柱的表面上（不包含顶点处）运动，若，则的轨迹长度为________. 14. 已知定义在上的函数，设，，是三个互不相同的实数，满足，则 的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，设函数. （1）若 ，求的值； （2）设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且________，求的取值范围.从下面两个条件中任选一个，补充在上面的空隔中作答. ①；②；注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 16. 如图，在四棱锥中，底面 是矩形，. （1）证明：平面 平面 . （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 华容道是古老的中国民间益智游戏，以其变化多端、百玩不厌的特点与魔方、独立钻石一起被国外智力专家并称为“智力游戏界的三个不可思议”.华容道游戏是通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方中部，从出口逃走，不允许跨越棋子，还要设法用最少的步数把曹操移到出口.小华准备参加市里的华容道横刀立马项目大赛.赛前小华进行了15天的训练，经统计得30分钟的通关关数y（道）与训练天数x（天）有如下数据： x（天） 3 6 9 12 15 y（道） 61 82 91 104 112 通过分析发现30分钟的通关关数y（道）与训练天数x（天）线性相关. （1）求x与y的样本相关系数（结果四舍五入到0.001）； （2）①求30分钟的通关关数关于训练天数的经验回归方程（的结果四舍五入到0.01）； ②若小华准备按照这种方式继续训练15天，然后直接参加华容道横刀立马项目大赛，请估计小华结束训练时在30分钟内能通关多少道（结果四舍五入到个位）？ 参考公式：样本相关系数，回归直线方程中，，. 参考数据：，，，. 18. 已知椭圆上右顶点到右焦点的距离为，且右焦点到直线的距离等于短半轴的长. （1）求椭圆C的方程； （2）设P（4，0），AB是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q； （3）在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M、N两点，求的取值范围. 19. 已知函数 ． （1）若 ，求曲线在处的切线方程； （2）若 对任意 恒成立，求a的取值范围； （3）证明： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $