江苏省扬州市宝应县画川高级中学2026届高三上学期第一次模拟数学试题

画川高级中学2026届高三年级阶段性模拟试题 数 学 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．椭圆经过和两点，则椭圆的焦距为（    ） A． B． C． D． 2．下列命题是真命题的是（    ） A．两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 B．正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形 C．经过不共线的三个点的球有且只有一个 D．直棱柱的侧面是矩形 3．已知向量，，若，则（      ） A． B．2 C． D．6 4．已知数列是等比数列，记数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．1 D．3 5．已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（   ） A． B． C．2 D． 6．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数及其导数的定义域均为，在上单调递增，为奇函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数（e为自然对数底数），若关于x的不等式有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（   ） A．已知关于的回归方程为，则样本点的残差为 B．数据4，6，7，7，8，9，11，14，15，19的分位数是14 C．已知随机变量，若最大，则的取值集合是 D．，，，和，，，的方差分别为和，若且，2，3，，则 10．定义在上的函数满足，当时，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数是偶函数 C．函数在上单调递增 D．函数在上有最大值4 11．已知曲线的方程为，则下列说法正确的有（   ） A．曲线关于原点对称 B．若曲线上的点，则 C．若曲线与曲线有公共点，则 D．若点在曲线上，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．一组从小到大排列的数据：，若删去前后它们的百分位数相同，则 ． 13．若在上单调递减，则实数的取值范围为 ． 14．在一个不透明的袋子中装有4个形状大小相同，颜色互不相同的小球．某人先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），假设每次摸到球的各种不同情况等可能，第一次摸取后记下摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也记下摸到的小球颜色．则“两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的概率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)n为正整数，当时，曲线在点处的切线记为，直线与y轴交点的纵坐标记为，证明：. 16．如图，在四棱锥中，平面，，，，M，N分别为线段，上的点（不在端点）. （1）当M为中点时，，求证：面； （2）当M为中点且N为中点时，求证：平面平面； （3）当N为中点时，是否存在M，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长，若不存在，说明理由. 17．甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该挑战比赛共分关，规则如下：首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者关都挑战成功，挑战比赛结束.若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响. (1)已知甲先上场，， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求； (2)如果关都挑战成功，那么比赛挑战成功.试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由. 18． 已知椭圆 与圆 在第一、第四象限分别交于 Q、P 两点，且满足 (1)求椭圆γ的标准方程； (2)A 是椭圆上的一点，若存在椭圆的弦 BC 使得 ，求证:四边形OABC 的面积为定值. 19．一般地，任何一个复数（a，）可以写成，其中r是复数的模，是以x轴非负半轴为始边，射线OZ为终边的角，称为复数的辐角.我们规定在范围内的辐角称为辐角主值，通常记作argz，如，，.发现，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数辐角的和.考虑如下操作：从写有实数0，1，的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设n为正整数，重复n次上述操作，可得到n个复数，将它们的乘积记为. (1)写出一次操作后所有可能的复数； (2)当，记的取值为X，求X的分布列； (3)求为实数的概率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《江苏省2026届高三年级第一次模拟考试数学》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B A A B C A AD AD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】求出、的值，可得出的值，由此可得出椭圆的焦距. 【详解】由题意可得，解得，，则， 因此，椭圆的焦距为. 故选：D. 2．D 【分析】利用空间几何体的结构，依次分析选项即可得到答案. 【详解】对于A，两个四棱锥不一定可以拼成一个四棱柱，A错误． 对于B，正三棱锥的底面是等边三角形，侧面是等腰三角形，不一定是等边三角形，B错误． 对于C，经过不共线的三个点只能确定一个平面，经过不共线的三个点的球有无数个，C错误． 对于D，直棱柱的侧面是矩形，D正确． 故选：D 3．B 【分析】利用向量共线列方程，由此求得. 【详解】由于，所以. 故选：B 4．A 【分析】根据数列是等比数列，可知数列为等差数列，由等差数列的性质求解即可. 【详解】则为常数，所以为常数， 知数列为等差数列， 由，知，又， 所以公差， 故. 故选：A 5．A 【分析】对两边求导可得，先求出，进而可得答案. 【详解】函数的定义域为，是偶函数， 则， 两边同时求导可得：， 当时，， 求导可得，则有， 又由， 令可得：， 则曲线在点处的切线斜率为. 故选：A 6．B 【分析】用对数函数的单调性比大小即可. 【详解】因为在定义域上都是单调递增函数， 所以，即. 故选：B 7．C 【分析】先由为奇函数得到，再由的单调性可推得的单调性，再比较的大小即可得解. 【详解】因为为奇函数，所以， 令，则，故， 又在上单调递增， 所以当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 因为，，， 所以，，， 因为， 由于，故上式等号不成立，则， 又，所以，即，即， 同理可得，所以， 所以. 故选：C. 8．A 【解析】若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出的最小值，分别画出与的图象，结合图象可得. 【详解】解：， ∴， 设， ∴， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ∴， 当时，，当，， 函数恒过点， 分别画出与的图象，如图所示， ， 若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值， ∴且，即，且 ∴， 故实数m的最大值为， 故选：A 【点睛】本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力. 9．AD 【分析】根据残差、百分位数、二项分布、样本方差等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，样本点的残差为，故A正确； 对于B，因为， 所以分位数是，故B错误； 对于C，若最大，则， 解得，所以的取值集合是，，故C错误； 对于D，若且，2，3，，则，2，3，， 所以，故D正确． 故选：AD 10．AD 【分析】采用赋值法，令可求，判断A的真假；再令，可探索与的关系，判断B的真假； 利用函数单调性的概念，结合函数的奇偶性，可判断函数在上的单调性，判断C的真假； 结合函数的单调性，奇偶性及，，可求函数在的最大值，判断D的真假. 【详解】由得，令得，故A正确； 的定义域为，令，得，即，所以是奇函数，故B错误； 取，且，则，结合已知得，即， 又因为是奇函数，所以，即，所以在上单调递减，故C错误； 因为在上单调递减，所以在上有最大值，为，故D正确. 故选：AD 11．ACD 【分析】对于A利用替换思想通过方程没变化，去判断曲线关于原点对称，对于B利用代换消元去得到新的不等式，再通过已知条件去证明是否成立，对于C，利用方程组消元，再通过分类讨论来分离参变量和去绝对值，最后构造函数求值域即可判断，对于D，则利用放缩思想，即正数大于负数，从而得证． 【详解】对于，用替换方程不变，则曲线关于原点对称，故选项正确； 对于，由，点是曲线上的点，则， 所以上式等价于， 而方程中，即，所以不恒成立，故选项错误； 对于，由曲线方程，可知函数为偶函数， 故曲线关于轴对称，故只需要分析情形两曲线有公共点， 则把代入得， , 当时，， 构造函数，则， 因为，所以， 即在上单调递增， 又因为，当时，， 所以的值域为， 则方程有解的充要条件是，此时满足， 当时，， 构造函数，则， 因为，所以，即 故函数在上单调递减， 又因为，当时，， 所以函数的值域为， 则方程有解的充要条件是，此时不满足， 所以综上可得：，故选项正确； 对于，由点在曲线上得：， 则， 所以 ,故选项正确． 故选：． 12． 【分析】根据百分位数计算规则得到第百分位数，从而得到方程，解得即可. 【详解】原来有10个数据，，原来第百分位数为， 删去后有9个数据，，则第百分位数， 依题意可得，解得． 故答案为： 13． 【分析】根据题意得知，不等式在上恒成立，由参变量分离法得出，求出函数，在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为在上单调递减， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立，令， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 14． 【分析】应用分步乘法原理及分类加法原理结合组合数的运算，最后结合古典概型计算求解. 【详解】某人先后两次任意摸取小球，每次至少摸取1个小球，则每次摸球的情况有种， 所以先后两次任意摸取小球共有种情况； 两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下的情况有： 第一次摸取1个球，第二次摸取4个球，情况共有种； 第一次摸取2个球，第二次摸取3个球，情况共有种； 第一次摸取3个球，第二次摸取2个球，情况共有种； 第一次摸取4个球，第二次摸取1个球，情况共有种； 因为每次摸到球的各种不同情况等可能， 所以两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色， 且恰有一种颜色两次都被记下的概率为. 故答案为：. 15．(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）对函数求导，讨论、研究函数对应的单调性； （2）对函数求导，应用导数几何意义得处的切线为，进而得到切线与y轴交点纵坐标为，利用导数证在上恒成立，最后应用放缩法、等差数列前n项和公式证明结论. 【详解】（1）由题设且， 当时，，此时在上单调递减； 当时，时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由题设，则， 则，， 此时在处的切线方程为， 与y轴交点纵坐标为； 所以， 对于且，则，即在上单调递增， 所以，即， 所以，得证. 16．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，. 【分析】（1）取中点E，连结，，推导出，，从而平面平面，由此能证明面. （2）以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面平面. （3）假设存在存在，使得直线与平面所成角的正弦值为..推导出，求出平面的法向量，利用向量法能推导出，即可得解. 【详解】解：（1）证明：取中点E，连结，， ∵在四棱锥中，平面，， ，，M为中点，， ∴，， ∵，，∴平面平面， ∵平面，∴面. （2）证明：以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 设平面的法向量， 则，取，得， 平面的法向量， ∵，∴平面平面. （3）解：假设存在存在，使得直线与平面所成角的正弦值为，. 则，解得，，，∴， 则，，， 设平面的法向量， 则，取，得， ∵直线与平面所成角的正弦值为， ∴， 整理，得，解得（舍）或， ∴存在M，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时 【点睛】此题考查线面平行的判定和面面垂直的判定，考查线面角，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题 17．(1)①；② (2)概率相同，理由见解析 【分析】（1）①记甲先上场且两关都没成功的概率为.甲每关不成功概率是，乙每关不成功概率是.再结合独立事件乘法公式计算即可； ②取值有，，.求出对应概率，再按期望算法算出期望. （2）设甲先出场成功概率为，乙先出场成功概率为.把和展开成式子，对应部分相等，所以，即甲、乙先出场成功概率一样. 【详解】（1）①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为，则. ②依题可知，的可能取值为，则 ， 所以. （2）设甲先出场比赛挑战成功的概率为，乙先出场比赛挑战成功的概率为， 则 由， 得 因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同. 18．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆和圆的对称性可得，，再代入椭圆和圆的方程中，解方程组求出和的值即可； （2）设，，易知四边形是平行四边形，设直线的方程为，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理，弦长公式以及椭圆的方程，推出，再利用点到直线的距离公式，表示出四边形的面积，然后化简即可得定值． 【详解】（1）由对称性知，， 因为，，所以△是边长为1的等边三角形， 因为位于第一象限，所以,， 代入椭圆的方程有， 代入圆的方程有， 联立解得，， 所以椭圆的标准方程为． （2）证明：设，，则直线的斜率为，且，即， 因为，所以四边形是平行四边形，， 设直线的方程为，,，,， 联立，得， 所以，， 所以， 因为， 所以， 整理得，即， 而点到直线的距离为， 所以四边形的面积，为定值． 19．(1)1，i，，，， (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，直接得到结果； （2）根据题意，由条件可得X的取值为1，，2，3，，4，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列； （3）根据题意，由条件可得或，分别得到一次操作后得到的复数的辅角主值，然后在次操作中，分别设得到i，的次数为，的次数为，的次数为，即可得到，然后得到与之间的关系，即可得到结果. 【详解】（1）一次操作后可能的复数为：1，i，，，，， （2）一次操作后复数的模所有可能的取值为是：1，1，，，2，2 由，故X的取值为1，，2，3，，4 ，，. ，，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 P （3）若为实数，则或. 而1，i，，，，的辅角主值分别是0，，0，，，， 设在n次操作中，得到i，的次数为，得到的次数为，得到的次数为， 于是， 从而，即 因此，所有的概率即为是3的倍数的概率，下面研究与之间的关系. （ⅰ）是3的倍数，且第次操作得到的复数是1，i，，（概率为）； （ⅱ）被3除余1，且第次操作得到的复数是（概率为）； （ⅲ）被3除余2，且第次操作得到的复数是（概率为）； 因此由全概率公式可以得到： 变形得，其中，故 【点睛】关键点睛：本题主要考查了复数与离散型随机变量以及数列的综合应用，难度较大，结合数列的递推关系式从而得到与之间的关系. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $