专题05 二次函数中的对称性与最值问题（专项训练）（安徽专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第三章函数 专题05 二次函数中的对称性与最值问题（专项训练） 目 录 刷考点精准巩固，扫清盲区 提能力聚焦过程，优化策略 测综合跨界融合，挑战创新 比较函数值大小 对称性问题(2种) 根据对称性求参数的值 二次函数中的对称性与最值问题 根据对称性求最值 最值问题(2种) 配方法求最值 考点 考点一：比较函数值的大小 1.(2025四川绵阳一模)已知函数y=-2x24x-4的图像上有A(-1,y1)、B(1,y2)、C(-2y3)三点， 则y1、y2、y的大小关系为() A.yy2y3 B.y2yys C.yy3-y D.ysyy2 2.(2025山西晋中.二模)若点A(-1y1),B(2y2),C(3y3)都在二次函数y=x2-4x-n的图象上，则 y1,y2,y的大小关系是() A.y y2 y3 B.y3 y2y C.ysy<y2 D.y2<ys<y 3.(2025福建漳州·三模)已知抛物线y=ax2+2ax+c(a>0)过点 A(2-my1)B(m-6V2)C(-1V3),若点A在对称轴右侧，则y1y2V的大小关系为(） A.y2 y y3 B.y2 y3 y C.ys y2y D.ys y y2 4.(2025陕西西安模拟预测)已知一个二次函数图象经过P1(-3,y1),P2(-1y2),P3(2,y3), P4(3,y4),其中y12y2y4,则y,y2y3中最值情况是() A.y最大，y3最小 B.y最小，y最大C.y3最小，y最大D.y最小，y3 最大 5.(2025江苏南通一模)已知点(-1y1),（2y2),（4y3)都在抛物线y=-x2+2x+c上，则y1,y2 1/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y的大小关系是() A.y3 y1 y2 B.y y2 y3 C.y2y1 ys D.y Vs V2 解|题技巧 (1)确定二次函数开口方向和对称轴； (2)分别计算各点距离对称轴的距离，从而确定函数值的大小 考点二：根据对称性求参数的值 6.（2025安徽滁州·三模)在平面直角坐标系中，已知抛物线的表达式为y=x2-(2t+4+3t+2.(t是常 数) (1)若该抛物线可由抛物线y=x2向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，求t的值. (2)已知该抛物线经过点(-1，m),点(on)抛物线上任意一点，恒有n≥m ①若该抛物线经过点M(a1b1),N(a2b2),-2<a1<-1且1<a2<2时，判断b1和b2的大小关系并说明理由. ②若该抛物线经过点P(sy3)Q(4-sy4)且s≠4-s,求证：y3十y4>2 7.(2025安徽安庆模拟预测)抛物线y=x2+mx+n的顶点纵坐标与抛物线y,=-2-mx的顶点纵坐标之 和为4. (1)求n的值： 2)已知A(st)为抛物线y:=x2+mx+n上一点，B(P,9)为抛物线y,=-x2-mx上一点. (i)若仅存在一个正数s,使得s+t=0,求p十q的最大值； ()若p=s+2,且当1<s<2时，总有t十q<4,求m的取值范围， 8.(2025安徽蚌埠.三模)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax-3a(a>0)与x轴交于点A,B(点 A在点B左边)，与y轴交于点C. (1)求点A,B的坐标； (2)若线段MN的端点为M(4,5),N(8,5),当抛物线与线段MN有交点时，求a的取值范围； (3)若a=1,当t≤≤4时，y的最大值与最小值的差为4，求t的值. 9.(2025·安徽淮北二模)在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y=x2-2x+t2-t. ()求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示） (2)点P(8y),Q(x2y2)在抛物线上，其中t-11≤t+2,82=1-t, ①若y1的最小值是-2，求y1的最大值： ②若对于x12,都有yy2,求出t的取值范围。 10.(2025·安徽六安·三模)已知抛物线y=-x2十bx+c. (1)请用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含b,c的代数式表示）. (2)已知点M,N是该抛物线上的两个不同的点. 2/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (i)如果点M的坐标为(2by),点N的坐标为(3，y2),且y1y2,求b的取值范围： (i)如果点M的坐标为(t-5,-5),点N的坐标为(t+3,-5),当px≤q时，y的最大值为11，最小值为 2,请求出q一p的取值范围 解|题技|巧 通常包括定轴动区间和动轴定区间两种类型，针对定轴动区间，先确定对称轴，在分类讨论对称轴在动 区间的左侧、中间和右侧的情况；针对动轴定区间，同样是用参数表示出对称轴，在分类讨论。 考点三：根据对称性求最值 11.(2025安徽安庆二模)已知二次函数y=a(x-2)(x+a-1)(a为常数，且a≠0). (1)若二次图象经过坐标原点，请求出此时函数图象的顶点坐标： (2)二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,当点C的纵坐标取到最大值时，求出此时△ABC的 面积： (3)当2≤Sx≤3时，函数在x=3处取得最大值，请直接写出a的范围. 12.(2025安徽铜陵一模)已知点(-m,0)和(3m,0)在二次函数y=ax2+bx+2(a,b是常数，a≠0) 的图象上 (1)当m=1时，求a和6的值； (2)若二次函数的图象经过点A(-n,2)且点A不在坐标轴上，当-3<m<1时，求n的取值范围； (3)求证：3b2+8a=0· 13.(2025·云南丽江一模)已知二次函数y=x2+bx+c的图像经过点(-4，c). (1)求b的值 (2)当-4≤x≤2时，函数有最大值m和最小值n.若品+晋=-2，求c的值. 14.(2025·浙江·模拟预测)己知关于x的二次函数y=ax2+bx-3a (1)若函数图象过点(0，-3)，(2,5)， ()求二次函数的解析式： ()当-2x≤1时，求函数的最小值与最大值： (2)当-4≤x≤0时函数值y有最小值-2，若函数图象向右平移3个单位过坐标原点，求a的值. 15.(2025四川成都一模)已知a,b是实数，函数y=2+ax十b,当-1≤sx≤1时，记函数y的最大值为M (1)若b=一1，-2≤a≤2，求M的取值范围， (2)若≥2，求M的最小值. 考点四：配方法求最值 16.(2025安徽马鞍山三模)已知点O是平面直角坐标系的原点，点P是抛物线y=x2-2mx+m2-2的顶 3/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点。 (1)当m=1时，直接写出直线OP的函数表达式： ； (2)若点(1，a),(5,b)都在抛物线上，求证：a+b≥4： (3)若A(0,2),B(2,2)且抛物线与线段AB有公共点，求m的取值范围 17.(2025·安徽池州模拟预测)己知抛物线y=2x2+bx+c(b,c是常数)过点A(810),B(820). (1)若x1=1x2=2,则抛物线y=2x2+bx十c的对称轴为直线x=; (2)若x1+x2=2m,2m2+bm十c=-2,求b+c的最小值： (3)若x1=n,x2=n+2,P是抛物线y=2x2+bx十c与直线y=x-n(n是常数)交点的横坐标，求p-n的值 18.(2025·安徽合肥二模)已知抛物线y=ax2+bx+C交x轴于A(-4,0),B两点，交y轴于点C(0,4),对称 轴为x=一昌. (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当-3≤x≤时，求y的取值范围； (3)将抛物线y=ax2+bx+c向上平移m(m>0)个单位长度，平移后的抛物线与直线AC相交于M、N(点M在 N点的左边)两点，若2MN≤3AC,求m2-2m的最大值 19.(2025安徽安庆·二模)如图，抛物线y=-x2+号x+4与坐标轴分别交于A,B,C三点，P是第一象 限内抛物线上的一点且横坐标为m. (I)连接AP,交线段BC于点D. ①当CP与x轴平行时，求器的值； ②当CP与x轴不平行时，求器的最大值： (2)连接CP,是否存在点P,使得∠BC0+2∠PCB=90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由. 20.(2025安微宿州·三模)己知抛物线C1y=a(x+1)2+4经过点(-3,0)，点P(y)是抛物线C1上的任 意一点，则点P(+3,y)在抛物线C2上. (1)求抛物线C2的解析式： (2)点A(m,n)在抛物线C1上，点B(m+t-2,n+h)在抛物线C2上. ①已知h=t-5,t≠一2m+2,求t的值； ②已知m=t,求h的最大值. 4/7 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解|题技|巧 (1)二次函数最值问题一般是列出函数解析式或用二次三项式表达出参数，进行配方，结合自变量的取 值范围确定最大值或最小值。 能力 21.(2025·安微一模)已知实数a,b满足2a-3b-6=0,且a≥0，b≤1，则下列判断正确的是() A.a+b的最大值为6 B.ab的最小值为1 C.a+b2的最大值为号 D.a2-b的最小值为2 22.(2025安微蚌埠一模)已知三个不重合的点A(n,y1)B(2n-1y,),C(-2y)均在抛物线 y=ax2+bx十c(a≠0)上，且2an+b=0,点B,C在抛物线对称轴异侧.若y,y2y3,则n的取值范围 为() A.n>1 B.n<-2 C.n<-2或n>1D.-2<n<1 23.（2025广东惠州·三模)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=6,则的最大值为」 24.（2025安微合肥.一模)定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标一半的点，则把该函数称为“半值 函数”，该点称为“半值点”.例如：“半值函数”y=X+1,其“半值点”为(-2，-1). (1)函数y=景的图象上的半值点”是 (2)若关于x的函数y=x2+(m-k+号)x+号的图象上存在唯一的“半值点”，且当-1≤m≤1时，n的最小 值为k,则k的值为 25.(2025·安徽滁州三模)已知抛物线y=-x2+bx(b<0)的顶点纵坐标比抛物线y=-x2+2x+1的顶点 纵坐标大2. (1)求b的值； (2)点M(&y1)在抛物线y=-x2+2x+1上，点N(81+1,y1+k)在抛物线y=-x2+bx上. (i)求k关于x1的表达式： (ⅱ)当x1满足-2≤81≤3，求k的最小值. 26.（2025·安微滁州三模)已知二次函数y=m(x+3m-1)(x-m+3)(m是常数，m≠0). (1)当m=1时，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标； (2)若此函数图象对称轴为直线x=2,求函数的最大值； (3)若此二次函数的顶点坐标为(s,),当m≠1时，求2的最小值. 27.(2025安微模拟预测)己知抛物线Ly=ax2+2x-3经过点A(2,5). 5/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线L1的顶点坐标： (2)平移抛物线L1,使其顶点在直线y=-2x+6上，得到抛物线L2 (ⅰ)若抛物线L2的顶点关于坐标原点0的对称点在抛物线L1上，求抛物线L2的解析式： (i)若点M(6-t,m),N(t-3,n)在抛物线L2上，当t>号时，都有m≥n,求抛物线L2顶点纵坐标的最 大值， 28.(2025安徽蚌埠.三模)已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴为直线x=1,且与x轴交于点A(-1,0)、 B两点，与y轴交于点C (1)求抛物线解析式及顶点坐标： (2)已知点P抛物线对称轴上一点，若S△PCA=4,求P点的坐标： (3)若抛物线y=x2+(b+m)x+3+n上仅存在一个点Q(&1y),使得2x1+y=0,若0≤m≤2，求n的最 大值. 29.（2025·安徽毫州模拟预测)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2-2mx+3. (1)若该抛物线的对称轴为直线x=1,求其顶点坐标； (2)已知该抛物线的对称轴位于y轴右侧. ①当0≤x≤3时，y的最小值为-1，求m的值： ②若M(t-2,a),N(4,b),P(t,a)都是该抛物线上的点，且ab<3,求t的取值范围. 30.(2025·安微合肥三模)二次函数y=-2+bx十c(C≠0)的图象与x轴交于A(810)和B(820)两点. (1)当81=-1时，b+c=5. ①求b,c的值； ②当m≤m+2时，函数最大值和最小值的差为12，求m的值； (2)当81=2x2时，若存在实数s,使得b十c≤s恒成立，求满足条件的s的取值范围. 综合 31.(2025安徽蚌埠.二模)已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点(6y1). (①)若y=3,求此时抛物线的对称轴： (2)若该抛物线经过点(-1，-1)，当-1x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； 3)若当a>0时，点(m-4y2)（my2)都在该抛物线上，且y2y1<3,求m的取值范围. 32.(2024浙江温州·三模)二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(810),B(820)且812 (1)当81=2，且b+c=-6时， ①求b,c的值 ②当-2≤x≤t时，二次函数y=X2+bx十C的最大值与最小值的差为4，求t的值； 6/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若&1=3x2,求证：b-c≤3 33.(2025安徽模拟预测)抛物线y=一x2+bx+c顶点坐标为(tm)且过点(5,0). (1)t=2时，求抛物线解析式： (2)在(1)的条件下，点P位于抛物线在y轴右侧的图像上，求点P到直线y=一2x+3距离的最大值： (3)当1≤≤3,0≤x≤4时，求y的最小值的取值范围. 7/7 第三章 函数 专题05 二次函数中的对称性与最值问题（专项训练） 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：比较函数值的大小 1．（2025·四川绵阳·一模）已知函数的图像上有、、三点，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，由二次函数解析式可知，抛物线开口向下，对称轴为 ，比较三点到对称轴的距离，距离越小，函数值越大． 【详解】解： ， ，抛物线开口向下，对称轴 ， 三点坐标为：，， 计算点到对称轴的距离： ， ， 点距离最小，点次之，点距离最大， 开口向下， ． 故选： B． 2．（2025·山西晋中·二模）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的增减性，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； 通过计算二次函数在各点的函数值，可得其大小关系． 【详解】解：∵ 二次函数为， ∴ 当时，； 当时，； 当时，． ， ． 故选：D． 3．（2025·福建漳州·三模）已知抛物线过点，若点在对称轴右侧，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；抛物线开口向上，对称轴为直线，点C在对称轴上为顶点，y值最小；点A在对称轴右侧，点B在对称轴左侧，且点B离对称轴更远，故y值最大；然后问题可求解． 【详解】解：∵抛物线（）的对称轴为直线，且开口向上， ∴点在对称轴上，为顶点，故最小， ∵点在对称轴右侧， ∴，即， ∴点的横坐标，故在对称轴左侧， ∵点离对称轴的距离为 点离对称轴的距离为， ∵， ∴点离对称轴更远，故； 综上，； 故选D． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知一个二次函数图象经过，，，，其中，则，，中最值情况是（   ） A．最大，最小 B．最小，最大 C．最小，最大 D．最小，最大 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由图象过和，可得抛物线的对称轴是直线，然后分抛物线开口向上与开口向下进行讨论分析可以判断得解． 【详解】解：由题意，图象过和， 抛物线的对称轴是直线， 若抛物线开口向上，则顶点为最低点，离对称轴越远的点函数值越大， 到对称轴的距离为，和到对称轴的距离均为2， 又由于开口向上， 最大，且， 对于，其到对称轴的距离为，是四个点中最近的， 最小， 即最大，最小， 若抛物线开口向下，则顶点为最高点，但此时应小于，与条件矛盾， 综上，抛物线开口向上时结论成立， 最大，最小． 故选：A． 5．（2025·江苏南通·一模）已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标，解题的关键是先确定二次函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性判断即可． 【详解】解：抛物线， 其图象开口向下，对称轴为直线， 在对称轴右侧随的增大而减小， 点，，都在抛物线上， 点关于直线的对称点在抛物线上，且， ， 故选：A． 解｜题｜技｜巧 （1）确定二次函数开口方向和对称轴； （2）分别计算各点距离对称轴的距离，从而确定函数值的大小 考点二：根据对称性求参数的值 6．（2025·安徽滁州·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的表达式为．（t是常数） (1)若该抛物线可由抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，求t的值． (2)已知该抛物线经过点，点抛物线上任意一点，恒有 ①若该抛物线经过点且时，判断和的大小关系并说明理由． ②若该抛物线经过点且，求证：． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②证明见解析 【分析】本题考查二次函数的平移，二次函数的图像和性质，二次函数的最值； （1）根据二次函数的平移得到二次函数的解析式，然后根据二次函数的对应系数相等解答即可； （2）① 根据题意可得对称轴为直线，求出t值，得到抛物线的解析式，然后根据二次函数的增减性解答即可； ②把两点代入函数解析式，求出和的值，然后求和化为关于s的二次函数，根据二次函数的最值解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ，解得． （2）解：根据题意可知抛物线的对称轴是直线，解得． ∴抛物线的表达式为． ①，理由如下： ， ， ． ， ． ∴点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离． 又∵抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小 ． ②证明：抛物线经过点且， 点是这条抛物线上不同的两点． ，． ． ， ， ， ． ． 7．（2025·安徽安庆·模拟预测）抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4． (1)求的值； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线上一点． （i）若仅存在一个正数，使得，求的最大值； （ii）若，且当时，总有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）分别求出抛物线与抛物线的顶点坐标，建立关于n的方程求解即可； （2）（i）由（1）得，根据题意得到，即，由仅存在一个正数，使得，则关于的一元二次方程，有两个相等的正数根，求出，，得到，即可解答；（ii）根据题意求出， ，由，得到，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4， ∴，即； （2）解：（i）由（1）知， ∴抛物线， ∵为抛物线上一点， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵仅存在一个正数，使得， ∴关于的一元二次方程，有两个相等的正数根， ∴，即， 解得：， 当时，，解得：（舍去，不符合题意）； 当时，，解得：（符合题意）； ∴， ∴， ∵为抛物线上一点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值； （ii）∵，，且为抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（2025·安徽蚌埠·三模）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A，B(点A在点B 左边)，与y轴交于点C． (1)求点A，B的坐标； (2)若线段的端点为，，当抛物线与线段有交点时，求a 的取值范围； (3)若，当时，y的最大值与最小值的差为4，求t的值． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴交点问题． （1）根据题意分别求得的坐标即可； （2）将分别代入解析式，得出的值，结合函数图象，即可求解； （3）根据题意得出当时，，当时，，当时，，分，，，三种情况建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， ∴，； （2）解：∵ 对称轴为直线， ∵线段的端点为，， 当抛物线经过时，， 解得：， 当抛物线经过时，， 解得：， ∴当抛物线与线段有交点时，则； （3）解：若，则抛物线解析式为， 顶点为，抛物线图象关于对称， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∵时，的最大值与最小值的差为， 当时，则， 解得：或（舍去）， 当时，y的最大值为，最小值为，则（舍去） 当时，y的最小值为， 则，即， 解得：（舍去）或（舍去） 综上，t的值为． 9．（2025·安徽淮北·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示） (2)点，在抛物线上，其中，， 若的最小值是，求的最大值； 若对于，都有，求出的取值范围． 【答案】(1)； (2) ， 或． 【分析】（）通过配方配成顶点式即可求解； （）由抛物线对称轴为，，当时，的最小值为，求出，然后代入即可求解； 当时，取最大值，最大值为，当时，，根据有，则，再解出的范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：抛物线对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向上 ∵， ∴当时，的最小值为， ∵的最小值是， ∴， ∴，， 当时，； ∵，， ∴当时，取最大值，最大值为， 当时，， 对于，均有， ∴， ∴， ∴或， 解得或． 10．（2025·安徽六安·三模）已知抛物线． (1)请用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含b，c的代数式表示）． (2)已知点M，N是该抛物线上的两个不同的点． （i）如果点M的坐标为，点N的坐标为，且，求b的取值范围； （ii）如果点M的坐标为，点N的坐标为，当时，y的最大值为11，最小值为2，请求出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为，顶点坐标为 (2)（i）；（ii） 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用配方法将抛物线变形为，即可解答； （2）（i）由（1）知抛物线对称轴为，结合抛物线开口方向，只需令得，建立不等式组，求解即可；（ii）根据题意，求出，代入解析式令，由题意得方程的解为，求出，，得到抛物线解析式为，再利用抛物线性质结合题意即可解答． 【详解】（1）解：， 则抛物线的对称轴为，顶点坐标为； （2）解：（i）由（1）知抛物线对称轴为， ∵抛物线中，， ∴抛物线开口向下， ∵点M的坐标为，点N的坐标为，且， ∴， 当时，解得：， 此时，，解得：， ∴； 当时，不等式组无解； 当时，解得：， 此时，，解得：， ∴不存在此种情况； 当时，解得：， 此时，，解得：， ∴； 综上，b的取值范围为； （ii）根据题意， ∴， ∴， 令，则， 由题意得方程的解为， ∴，， ∴，， 两式相减：，解得， 则，， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴当时，抛物线有最大值， ∵当时，y的最大值为11，最小值为2， 令，则， 解得：或， ∴当时，，则； 当时，，则； 综上，的取值范围为． 解｜题｜技｜巧 通常包括定轴动区间和动轴定区间两种类型，针对定轴动区间，先确定对称轴，在分类讨论对称轴在动区间的左侧、中间和右侧的情况；针对动轴定区间，同样是用参数表示出对称轴，在分类讨论。 考点三：根据对称性求最值 11．（2025·安徽安庆·二模）已知二次函数（为常数，且）． (1)若二次图象经过坐标原点，请求出此时函数图象的顶点坐标； (2)二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，当点的纵坐标取到最大值时，求出此时的面积： (3)当时，函数在处取得最大值，请直接写出的范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （）将代入函数解析式求得函数解析式，然后配方成顶点式即可求解； （）令，则，则，，故，当时，，当时，有最大值，然后利用面积公式即可求解； （）分当时，当时两种情况，然后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入可得， 解得（舍去）， ∴函数解析式为 ∴此时函数图象的顶点坐标； （2）解：令，则， 解得：，， ∴， 当时，， ∴当时，有最大值 ∴， ∴此时的面积为； （3）解：由得，则与轴交点为，， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，开口向上，且， ∴抛物线的对称轴直线必在点的左侧， 当离对称轴越远，的值越大，即时，函数在处取得最大值， ∴，解得， 当时，开口向下，且，当离对称轴越远，的值越小， ∴抛物线的对称轴直线必在点的右侧，而当对称轴直线位于之间时，函数不可能在处取得最大值， ∴当时，函数在处取得最大值， 解得：， ∴的取值范围为或． 12．（2025·安徽铜陵·一模）已知点和在二次函数（，是常数，）的图象上． (1)当时，求和的值； (2)若二次函数的图象经过点且点不在坐标轴上，当时，求的取值范围； (3)求证：． 【答案】(1)， (2)且 (3)证明见解析 【分析】（1）当时，二次函数的图象过点和，把点和代入解析式，得，解方程组即可求出和的值； （2）由的图象过点和可得抛物线的对称轴为直线，由于的图象过点和且点不在坐标轴上，因而由函数图象的对称性可得，即且，由可得，由此即可得出的取值范围； （3）由抛物线的图象过点和可得抛物线的对称轴为直线，即，由点和在二次函数（，是常数，）的图象上可得，，得，即，进而可得，于是结论得证． 【详解】（1）解：当时，二次函数的图象过点和， 把点和代入解析式，得： ， 解得：， ，； （2）解：的图象过点和， 抛物线的对称轴为直线， 的图象过点，，且点不在坐标轴上， 由函数图象的对称性可得：， ，且， ， ， 且； （3）证明：抛物线的图象过点，， 抛物线的对称轴为直线， ， 点和在二次函数（，是常数，）的图象上， ， ，得：， 即：， ， ． 13．（2025·云南丽江·一模）已知二次函数的图像经过点． (1)求的值． (2)当时，函数有最大值和最小值．若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次函数的图像与性质，分式方程的解法. （1）把点代入即可得到答案. （2）由（1）可得抛物线为：，可得抛物线的对称轴为直线，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得：. （2）解：∵， ∴二次函数为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，函数的最小值， ∵， 当时，函数有最大值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，经检验符合题意. 14．（2025·浙江·模拟预测）已知关于x的二次函数 (1)若函数图象过点，， 求二次函数的解析式； 当时，求函数的最小值与最大值； (2)当时函数值y有最小值，若函数图象向右平移3个单位过坐标原点，求a的值． 【答案】(1)二次函数的解析式为；ⅱ， (2)或 【分析】本题考查了二次函数的解析式、最值即函数平移相关知识．熟练掌握二次函数的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 利用函数过的两个点，代入坐标列方程组，可求出二次函数的系数，进而得到解析式； ⅱ先将函数化为顶点式，确定对称轴和开口方向，再结合给定区间，判断最值的位置； 根据函数平移规律确定原函数过的点，代入得到系数关系，再结合对称轴和给定区间的最小值，分情况讨论a的取值． 【详解】（1）已知函数图象过点，， 将代入函数得：，即，解得， 将，代入函数得：， 即，，解得， 二次函数的解析式为； 根据知，二次函数的对称轴为直线，且二次项系数，函数图象开口向上， 当时，y取得最小值，， 比较和到对称轴直线的距离，，， 离对称轴更远． 当时，， （2）函数图象向右平移3个单位过坐标原点，根据函数平移规律“左加右减”，则原函数过点 将代入得： ，即，，化简得， 二次函数的解析式为，其对称轴为， 时函数值y有最小值，分情况讨论： 当时，函数图象开口向上，对称轴直线在范围内， 当时，y取得最小值 将，代入函数得：，即，，解得， 当时，函数图象开口向下，在范围内，函数在端点处取得最小值． 比较和时的函数值： 当时， ； 当时，， ， ， 则当时，y取得最小值，解得， 当时，时，，符合时在端点处取得最小值的情况． 15．（2025·四川成都·一模）已知，是实数，函数，当时，记函数的最大值为． (1)若，，求的取值范围． (2)若，求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】根据函数表达式求出、和时函数值关于的表达式，然后根据的取值范围分别比较这三个函数值的大小即可求出的取值范围． 首先判定当时函数图象的对称轴位于的取值范围边缘之外，然后求出或时函数值的表达式，根据二次函数的性质得出的取值为这两个函数值的较大者，再根据的取值范围通过数轴上两点间的距离大小关系求出的最小值． 【详解】（1）解：函数对称轴为直线， ， ， 当时， 函数图象与图象相同； 当时， 函数的图象与函数的图象相同； 对于函数， 当时，； 当时，； 当时，； 根据二次函数随的变化规律，函数的最大值取与中的较大值， 当时，， ，则； 当时，， ，则． 故的取值范围为：； （2）解：函数的对称轴为直线， ， ∴或， ∴或， 当时， 函数的最大值是当或时的函数值； 对于函数， 当时，； 当时，； 取与的较大者， 与可以看作数轴上的点到点与的距离． 如下图所示， ，当时，取得最小值：． 故的最小值为． 考点四：配方法求最值 16．（2025·安徽马鞍山·三模）已知点O是平面直角坐标系的原点，点P是抛物线的顶点． (1)当时，直接写出直线OP的函数表达式：______； (2)若点，都在抛物线上，求证：； (3)若，且抛物线与线段AB有公共点，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)或． 【分析】（1）依据题意，当时，抛物线为，从而其顶点P为，又设直线OP为，则，即，进而可以得解； （2）依据题意，分别将点，代入抛物线，则，，故，从而可以判断得解； （3）依据题意，分别将点A，B坐标代入解析式求出临界值，得解． 【详解】（1）解：由题意，当时，抛物线为， 其顶点P为 又设直线OP为， ∴， 即 直线OP的函数表达式为 故答案为： （2）证明：点，都在抛物线上， ， 又对于任意实数m都有， ； （3）解：， 抛物线顶点坐标为， 抛物线随m值的变化而左右平移， 将代入，得， 解得或， 将代入，得， 解得或， 时，抛物线对称轴在点A左侧，抛物线与线段有交点， 时，抛物线对称轴在点A右侧，抛物线与线段有交点． 或 17．（2025·安徽池州·模拟预测）已知抛物线（b，c是常数）过点． (1)若，则抛物线的对称轴为直线______； (2)若，求的最小值； (3)若是抛物线与直线（是常数）交点的横坐标，求的值． 【答案】(1) (2)4 (3)0或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数图象性质，二次函数与轴的交点问题等，解题的关键是熟练掌握二次函数图象性质，二次函数与轴的交点． （1）先求出，再求出抛物线的对称轴即可； （2）先求出抛物线的对称轴为直线再由，可得抛物线顶点纵坐标为．即．则．从而得出．再求解即可； （3）先得出抛物线的对称轴为直线，则抛物线表达式可转化为．代入得可得，令，则．整理得，解得，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ， 抛物线的对称轴为直线， 故答案为：； （2）解： 抛物线的对称轴为直线 ， 抛物线顶点纵坐标为． 即．则． ． 即的最小值为； （3）解：， 抛物线的对称轴为直线， 则抛物线表达式可转化为．代入得 ， 令，则． 整理得， 解得， 的值为0或． 18．（2025·安徽合肥·二模）已知抛物线交轴于，两点，交轴于点，对称轴为． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当时，求的取值范围； (3)将抛物线向上平移个单位长度，平移后的抛物线与直线相交于（点在点的左边）两点，若，求的最大值． 【答案】(1)，顶点坐标 (2) (3) 【分析】（）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，进而可求出顶点坐标； （）根据二次函数的性质解答即可求解； （）利用待定系数法求出直线的解析式，又由点的坐标可得，联立函数解析式可得，即可得，得到，再根据二次函数的性质可求出的最大值； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴为，且与轴交于， ， 解得， ∴， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：，， 当时，取最大值，的最大值为， ，且函数图象的开口向下， ∴当时，取最小值，， ∴； （3）解：设直线的解析式为， ， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由，整理得， ， ， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为． 19．（2025·安徽安庆·二模）如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． (1)连接AP，交线段BC于点D． ①当CP与x轴平行时，求的值； ②当CP与x轴不平行时，求的最大值； (2)连接CP，是否存在点P，使得，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在， 【分析】（1）①分别求出抛物线与坐标轴的三个交点，利用平行线分线段成比例定理即可求解； ②过点P作交BC于点Q；由B，C的坐标可求得直线的解析式；根据点P的横坐标为m，可得点P与Q的坐标，进而表示出，由平行线分线段成比例定理得到关于m的二次函数，即可求得最大值； （2）假设存在点P使得，即．过点C作轴交抛物线于点F，则由角的关系可得；延长CP交x轴于点M，易得为等腰三角形，求得点M的坐标，进而求得直线CM的解析式，与二次函数联立即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：①对于，令，则， ∴； 令，解得， ∴， 则； 轴，， ，解得或1， ， ， 轴， ． ②如图，过点P作交BC于点Q， 设直线BC的解析式为：． 把点B的坐标代入得：，解得， 直线BC的解析式为：． 设点P的横坐标为m， 则． ， ， ， 当时，的最大值为． （2）解：存在满足题意的点P，且； 假设存在点P使得，即． 过点C作轴交抛物线于点F， ， ， 延长CP交x轴于点M， 轴， ， ， 为等腰三角形， ， ， ； 设直线CM的解析式为：， 把点M的坐标代入得：，解得， 直线CM的解析式为：， 令， 解得或（舍）， ∴存在点P满足题意，此时． 20．（2025·安徽宿州·三模）已知抛物线经过点，点是抛物线上的任意一点，则点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． ①已知，，求的值； ②已知，求的最大值． 【答案】(1) (2)①5；②12 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出的解析式，平移求出抛物线的解析式即可； （2）①根据点在抛物线上，得到，，把代入，求解即可；②将代入，转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ，解得， 抛物线； 由题意知，抛物线是由抛物线向右平移3个单位长度得到的， 抛物线的解析式为． （2）点在抛物线上， ，即． 点在抛物线上， ， ，化简得， ． ①， ， ， ， ， ． ， ， ． ②， ． ， 的最大值为12． 解｜题｜技｜巧 （1）二次函数最值问题一般是列出函数解析式或用二次三项式表达出参数，进行配方，结合自变量的取值范围确定最大值或最小值。 21．（2025·安徽·一模）已知实数，满足，且，，则下列判断正确的是（    ） A．的最大值为6 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为2 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值，解一元一次不等式，由题意可得，，结合，求出，，表示出，，再求出范围即可判断AB，表示出，，再结合二次函数的性质即可判断CD． 【详解】解：由得，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，，故A，B选项都错误； ， ∵， ∴当时，取最大值，为，故C选项正确；， ∵， ∴当时，取最小值，为，故D选项错误； 故选：C． 22．（2025·安徽蚌埠·一模）已知三个不重合的点均在抛物线 上，且，点 ，在抛物线对称轴异侧．若 ，则的取值范围为（   ） A． B． C．或n>1 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是求出对称轴，确定抛物线开口向下，，为抛物线的顶点．根据，推出抛物线的对称轴为：，得到，为抛物线的顶点，再根据，以及二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为：， ∴，为抛物线的顶点， ∵， ∴， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵点，在抛物线对称轴异侧， ∴①或② 解①得，，解②得， 故选：C． 23．（2025·广东惠州·三模）已知抛物线的对称轴为直线，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式．分情况讨论，当抛物线与轴有交点时，设一个交点坐标为，由对称轴为直线，求得另一个交点坐标为，利用根与系数的关系求得，利用二次函数的性质求解即可；当抛物线与轴没有交点时，根据一元二次方程的根的判别式求解即可． 【详解】解：当抛物线与轴有交点时， 设抛物线与轴的一个交点坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， 即方程的两个根为和， 由根与系数的关系得， ∴， ∵， ∴当时， ∴有最大值为； 当抛物线与轴没有交点时， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 此时， 整理得， ∴和同号， ①若，时， ∵， ∴， 此时无最大值，不符合题意，舍去； ②若，时， ∵， ∴， 此时无最大值，不符合题意，舍去； 综上，有最大值为； 故答案为：． 24．（2025·安徽合肥·一模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标一半的点，则把该函数称为“半值函数”，该点称为“半值点”．例如：“半值函数”，其“半值点”为． （1）函数的图象上的“半值点”是 ． （2）若关于x的函数的图象上存在唯一的“半值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为 ． 【答案】 和 0或 【分析】本题主要考查二次函数与反比例的函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）设函数的图象上的“半值点”的坐标是，则可求出，然后问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可分当时，当时，当时，进而根据二次函数的最值问题可进行求解． 【详解】解：（1）设函数的图象上的“半值点”的坐标是，则有： ， 解得：， ∴函数的图象上的“半值点”的坐标是和， 故答案为和； （2）由题意得：， 整理得：， ∴，即， 此时可看作是n与m成二次函数关系， 即当时，n有最小值， ∵， ∴当时，则n的最小值为0，即，符合题意； 当时，此时n随m的增大而增大， ∴当时，n有最小值k，即，（此时方程无解）； 当时，此时n随m的增大而减小， ∴当时，n有最小值k，即， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述：k的值为0或； 故答案为0或． 25．（2025·安徽滁州·三模）已知抛物线的顶点纵坐标比抛物线的顶点纵坐标大2． (1)求b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． （ⅰ）求k关于的表达式； （ⅱ）当满足，求k的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，顶点坐标公式，点的坐标和解析式的关系，一次函数的性质等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质． （1）利用顶点坐标公式进行求解即可； （2）（ⅰ）根据点的坐标和函数解析式的关系列出式子进行整理即可； （ⅱ）根据一次函数解析式的性质，分析其增减性即可得出最值． 【详解】（1）解：对于抛物线，由顶点横坐标公式，得其顶点横坐标为．将代入，得，即顶点坐标为． 抛物线的顶点横坐标为，代入抛物线得顶点纵坐标为． 抛物线的顶点纵坐标比抛物线的顶点纵坐标大2，， 即，解得． ， ； （2）解：（ⅰ）点在抛物线上，则． 点在抛物线上，则． ， ， 将代入可得： ， 即； （ⅱ）为一次函数，，k随的增大而减小， 由于，所以当时，． 的最小值为． 26．（2025·安徽滁州·三模）已知二次函数 (m是常数，)． (1)当时，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标； (2)若此函数图象对称轴为直线，求函数的最大值； (3)若此二次函数的顶点坐标为，当时，求的最小值． 【答案】(1)； (2)192 (3) 【分析】本题主要查了二次函数的性质： （1）把代入，即可求解； （2）令，可得函数图象与x轴交于点，再由对称轴为直线，可得，即可求解； （3）求出函数图象与x轴交于点，再由顶点坐标为．可得，，然后代入结合二次函数的性质解答，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴函数的表达式为 ∴顶点坐标为 ． （2）解：令，则， ∴， ∴函数图象与x轴交于点， ∵对称轴为直线， ，解得：． ∴． ∵， ∴当时，函数有最大值192． （3）解：∵令，则， ∴． ∴函数图象与x轴交于点， ∵顶点坐标为． ∴， 此时， ． ∴当 时，函数有最小值． 27．（2025·安徽·模拟预测）已知抛物线经过点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)平移抛物线，使其顶点在直线上，得到抛物线． （ⅰ）若抛物线的顶点关于坐标原点的对称点在抛物线上，求抛物线的解析式； （ⅱ）若点，在抛物线上，当时，都有，求抛物线顶点纵坐标的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）抛物线的解析式为或；（ⅱ）3 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移问题，一次函数图象上的点的坐标特点，熟知二次函数的相关知识是解题的关键。 （1）利用待定系数法求解函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）设抛物线的顶点的横坐标为，则抛物线的顶点坐标为，根据关于原点对称的点横纵坐标互为相反数可推出点在抛物线上将代入，得，解方程即可得到答案； （ⅱ）设抛物线的顶点的横坐标为，由（ⅰ）得，则可得到，，进而得到，根据，，得到，则，再由抛物线的顶点的纵坐标为，可得当时，取最大值，最大值为． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 解得， ∴抛物线解析式为， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：（ⅰ）设抛物线的顶点的横坐标为， 抛物线的顶点在直线上， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线的解析式为， 点关于坐标原点的对称点为，且点在抛物线上 ∴将代入，得， 整理，得， 解得，， 抛物线的解析式为或；                    （ⅱ）设抛物线的顶点的横坐标为， 由（ⅰ）得， ，在抛物线上， ，， ， ， ， ， ， ， ， 抛物线的顶点的纵坐标为， 当时，取最大值，最大值为． 28．（2025·安徽蚌埠·三模）已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点、两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标： (3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求的最大值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)P点的坐标为或 (3) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、面积问题、二次函数的最值等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）根据对称轴求出，利用求出，得到，即可得到函数解析式； （2）设与y轴交于点D，利用面积得到或，求出一次函数解析式，求出与对称轴的交点即可； （3）由题意得：，仅存在一个点，使得，即抛物线与直线仅有一个交点，得到，根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：由题意得即， 把代入得， 解得， ， ， ∴顶点坐标为 （2）设与y轴交于点D， ， 又，对称轴为直线， ， 或， 设直线，由得 解得 ∴， 当时， ∴， 由同理可得得，得到 综上P点的坐标为或． （3）由题意得：， 仅存在一个点，使得， 抛物线与直线仅有一个交点， ， 整理得， ， ， 又，当时，随着的增大而减小， ∴时，n最大为． 29．（2025·安徽亳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若该抛物线的对称轴为直线，求其顶点坐标； (2)已知该抛物线的对称轴位于轴右侧． ①当时，的最小值为，求的值； ②若都是该抛物线上的点，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①的值为，②的取值范围为：或． 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质的应用； （1）根据抛物线的对称轴求解，进一步可得顶点坐标； （2）①如图，该抛物线的对称轴位于轴右侧，可得，当时，顶点的纵坐标最小，当时，当时，最小，再进一步求解即可； ②由题意可得，，，抛物线的对称轴为直线，，由，可得：，，整理得：，设，如图，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线，该抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为：． （2）解：①如图，该抛物线的对称轴位于轴右侧， ∴， 当时，顶点的纵坐标最小， ∴， 解得：（舍去）； 当时， 当时，最小， ∴， 解得：，不符合题意，舍去， 综上：当时，的最小值为，的值为； ②∵都是抛物线上的点， ∴，，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵，即， 解得：， ∵， ∴， 解得：，即， 解得：， 综上：， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 设，如图， 当时， 解得：或， ∴当时，或， ∵， ∴的取值范围为：或． 30．（2025·安徽合肥·三模）二次函数的图象与轴交于和两点． (1)当时，． ①求，的值； ②当时，函数最大值和最小值的差为，求的值； (2)当时，若存在实数，使得恒成立，求满足条件的的取值范围． 【答案】(1)①；②当或时，函数最大值和最小值的差为； (2)． 【分析】（1）①将代入得到，结合，解二元一次方程组即可得解； ②先结合二次函数的图象与性质得到在直线左侧，随的增大而增大；在直线右侧，随的增大而减小，分三种情况考虑：当时；当时；当，时，找到各自情况的最大值和最小值即可求出的值； （2）根据根与系数的关系得，，结合可得，利用配方法可得，要使恒成立，即可得的取值范围为． 【详解】（1）解：①将代入中，可得，即， 联立，解得； ②由①知，抛物线表达式为，则抛物线的对称轴为直线， ， 在直线左侧，随的增大而增大；在直线右侧，随的增大而减小， 当，即时，都在对称轴左侧， 此时在处，有最小值，在处，有最大值， 代入可得：，解得； 当时，都在对称轴右侧， 此时在处，有最大值，在处，有最小值， 代入可得：， 解得； 当，，即时， 此时在处，有最大值，最大值为， 若最大值与最小值差为，则最小值为， 令，则， 解得或， 若，则不在的范围内，故舍去， 若，即，则不在的范围内，故舍去， 综上所述，当或时，函数最大值和最小值的差为． （2）解：由题意可知，，， ， 代入可得，， ，， ， ． 恒成立， 的取值范围为． 31．（2025·安徽蚌埠·二模）已知抛物线经过点． (1)若，求此时抛物线的对称轴； (2)若该抛物线经过点，当时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； (3)若当时，点 都在该抛物线上，且，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或． (3)或 【分析】（1）把代入解析式，确定a，b的关系，再根据对称轴为直线，计算解答即可； （2）根据经过点，确定抛物线的对称轴，分和两种情况求解即可； （3）根据题意，确定，结合，构造不等式且．求解不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点就是， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴对称轴为直线． （2）解：∵根据经过点， ∴， ∴， ∴对称轴为直线． 当时，抛物线开口向上， ∴抛物线的对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴当时，范围在对称轴的右侧，满足y随x的增大而增大， 解得， ∴a的取值范围是； 当时，抛物线开口向下， ∴抛物线的对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴当时，范围在对称轴的左侧，满足y随x的增大而增大， ∵， 解得， ∴a的取值范围是； 综上所述，当时，y随x的增大而增大，a的取值范围是或． （3）解：当时，抛物线开口向上， ∵抛物线经过点， ∴． ∵点 都在该抛物线上， ∴两点是对称点，， ∴对称轴为直线． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． ∴． ∵， ∴且， ∴且， ∴且， 解得且． 令， 当时， 解得， 画函数图象如下： 故时，m的取值范围是或， 综上所述，符合题意的m的取值范围是或． 32．（2024·浙江温州·三模）二次函数的图象与x轴交于点，且． (1)当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； (2)若，求证：． 【答案】(1)①，；② (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的性质； （1）①依题意，，解方程组即可求解； ②根据①得出解析式，对称轴为直线，进而分，，两种情况求得最小值，根据题意建立方程，解方程即可求解； （2）由题意得：，，将代入，得出  ，得出，代入得，进而 ，即可得证． 【详解】（1）解：①依题意，， 解得，； ②， 对称轴为直线，，抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 依题意，， 方程无解； 当时， 最小值为， 最大值为， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，； （2）∵，，   ∴，   ∴， 由题意得：，， ∴， ∴，     ∴， ∵，　 ∴，即， ∴把，代入， 得； ∴． 33．（2025·安徽·模拟预测）抛物线顶点坐标为且过点． (1)时，求抛物线解析式； (2)在（1）的条件下，点P位于抛物线在y轴右侧的图像上，求点P到直线距离的最大值； (3)当，时，求y的最小值的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的解析式、二次函数的最值、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点，灵活运用相关性质知识是解题的关键． 本题主要考查了二次函数的综合应用、相似三角形的判定与性质等知识点 （1）由二次函数的性质以及已知条件可得，即；然后将代入求得即可； （2）先求得抛物线与x轴交于，与y轴交于，直线与x轴交于，与y轴交于，易得；如图：过点P作轴交于M，于N，易证，由相似三角形的性质可得，，则，易得，最后根据二次函数的性质求解即可； （3）先得到抛物线的解析式为，然后根据分情况解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点坐标为，， ∴对称轴，解得：， ∴， ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式． （2）解：∵， ∴抛物线与x轴交于，与y轴交于， ∵直线，当时，， ∴直线与x轴交于，与y轴交于， ∴， ∴， 如图：过点P作轴交于M，于N， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴ ∵ ∴最大值为，即点P到直线距离的最大值为． （3）解：∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线可表示为， ∵抛物线过点， ∴ ∴ ∴， ①当时，y在时取最小值，即， ②当时，y在x＝0时取最小值即， ∵， ∴当时，y在或4时取最小值，即． 综上：求y的最小值的范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $