专题04 函数中的线段和差与角度问题（专项训练）（安徽专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第三章函数 专题04 函数中的线段和差与角度问题（专项训练） 目 录 刷考点精准巩固，扫清盲区 提能力聚焦过程，优化策略 测综合跨界融合，挑战创新 线段和差的最值问题 线段和差问题(2种) 周长问题 函数中的线段和差与角度问题 特殊角的存在性问题 角度问题(2种) 角度相等问题 考点 考点一：线段和差的最值问题 1.(2025安徽合肥三模)抛物线y=-3x2+bx+c顶点为A(2,1),抛物线y2=-x244x+d与y轴交于点B ,直线AB经过点C(1,0) (1)求b,c,d的值； (2)已知点P(m,n)和Q(3m-4,3n),且点P在抛物线y1上. (i)判断点Q(3m-4,3n)是否在抛物线y2上，说明理由： ()过点P、Q分别向x轴作垂线，交直线AB于点D、E,当m≥2时，求PD-QE的最大值. 2.(2025·安徽马鞍山三模)如图，抛物线y=ax2+十bx与直线y=-X+b交于A,B两点，且点A的坐标为 (4,0),点B的横坐标为1. 1/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (①)求抛物线的函数表达式， (2)P为直线AB上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥y轴交直线AB于点Q. (i)当线段PQ取最大值时，求点Q的坐标： (i)在(i)的条件下，过点A作AF⊥PQ交直线PQ于点F,若抛物线y=ax2+bx+c(c>0)与线段QF只 有一个交点，直接写出c的取值范围. 3.(2025安徽芜湖三模)如图1，已知二次函数y=ax2+2ax-4(a>0)的图象与x轴交于A、B两点（点 A在点B的左侧)，与y轴交于点C,且经过D(得，-器). 图1 图2 图3 (I)求该二次函数的表达式： (2)如图2，点E为该抛物线的顶点，将此抛物线沿射线E0方向平移，点E平移后的对应点为F,记h=X:一 ,若要使FD区轴，求h的值； (3)如图3，设点P为该抛物线在第三象限内图象上的一动点，过点P作PNLx轴，垂足为N,连接AC交PN于 点Q,求PQ+CQ的最大值. 4.(2025·安徽模拟预测)在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=ax2+bx十C(a≠0)与x轴交于 A(-3,0),B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,3),点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点（不与点A, C重合). B B 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)如图，过点P作PQLAC于点Q,当PQ的值最大时，求点P的坐标及PQ的最大值； (3)过点P作x轴的平行线交直线AC于点M,连接CP,将△CPM沿直线CP翻折，当点M的对应点N恰好 落在y轴上时，请求出此时点M的坐标. 2/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(2025·安微阜阳三模)如图，抛物线y=ax2+bx+C与x轴交于A(-2,0),B(4,0)两点，与y轴交于 点C(O,3),连接BC.D是在第一象限内的抛物线上的一个动点，连接0D,交线段BC于点E. (1)求该抛物线的表达式； (②)若点E在该抛物线的对称轴上，求0E的长： (3)过点D作y轴的平行线，交BC于点F,求DF的最大值， 解题技巧 (1)设出动点坐标，通常只设横坐标，纵坐标用横坐标表示； (2)用未知数表示出各线段的长度 (3)根据题意进行相加或相减，配方求最大值或最小值 (4)如果是将军饮马模型可以做对称点，求出直线解析式进行求解。 考点二：周长问题 6.(2025安徽合肥三模)已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于0(0,0)，A(6,0)点，顶点为B. ()求该抛物线的解析式。 (2)如图，C点坐标(3,3)，D为抛物线对称轴上一动点，过点D的直线EF平行x轴交抛物线于E、F两点（点 E在点F的左侧). ①若BD十EF=8,求点E坐标： ②若以EF为边构造矩形EFGH(G、H在线段AC、OC上)，求该矩形周长的最大值. 7.(2025·安微宣城二模)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x(k≠0)与抛物线y=ax2+c(a≠0)交 于A(一4,3)，B两点，点B的横坐标为1. 3/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求直线AB和抛物线的解析式： (2)点M是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A,B重合），过点M作x轴的平行线，与直线AB交于点 N,连接MO.设点M的横坐标为m ①当点M在x轴上方，m为何值时，△MON是等腰三角形： ②当点M在x轴下方，m为何值时，△MON的周长最大，最大值是多少？ 8.(2025安微滁州二模)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx-4与x轴交于点A(-2,0),B(4,0),与 y轴交于点C (①)求抛物线的函数表达式： (2)点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PD⊥x轴于点D,交BC于点E,作PF⊥BC于点F. ()是否存点P,使得BE=EF.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； ()求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标. 9.(2025安微宿州一模)如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,且 图象经过点(-1,4)，(2，-5)，连接AC B ○ (1)求a,b的值. (2)P是抛物线y=ax2+bx+3上的一点，且位于x轴上方，是否存在点P,使得△PAB的面积恰好为4？若 存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由 (3)M(不与点A,C重合)是线段AC上的一个动点，过点M作MD⊥x轴，垂足为D.延长DM,交抛物线 于点E,过点E作EFLAC,垂足为F,求△MEF周长的最大值， 10.(2025·甘肃武威一模)如图，抛物线y=-x2+bx+C与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点， 4/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求该抛物线的解析式： (2)求(1)中抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)设(1)中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小？若存 在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 考点三：特殊角的存在性问题 11.(2024四川广安.中考真题)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点A 坐标为(-1,0)，点B坐标为(3,0). E (1)求此抛物线的函数解析式. (2)点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D,过点P作y轴的垂线，垂足为 点E,请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明 理由. (3)点M为该抛物线上的点，当∠MCB=45时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标 12.(2024安徽滁州一模)已知抛物线y=-x2+(2n+1)x+3n+1交x轴于点A(-1,0)和点B,交y 轴于点C. 5/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求抛物线的函数解析式： (2)如图1，已知点P是位于BC上方的抛物线上的一点，作PM⊥BC,垂足为M,求线段PM长度的最大值： (3)如图2，已知点Q是第四象限抛物线上一点，∠ACQ=45°，求点Q的坐标. 13.(2025黑龙江模拟预测)综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中抛物线y=-号x2+bx+c经过点A(-5,0)和点B(1,0),交y轴于C. D yA 图1 图2 (I)求抛物线的解析式及顶点D的坐标： (2)若P为y轴上的一动点，且PA-PD的值最大，则点P坐标为 (3)点E在第二象限抛物线上，且2∠DBE=∠DBA,求出点E的坐标； (4)如图2，连接AD、BD,点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN=∠DBA,MN交线段AD于点 N,是否存在这样的点M,使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由； (⑤)点F在x轴下方，∠AF0=45°，则BF最小值为 14.(2025山东烟台·模拟预测)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与直线AB相交于点A(-6,0) ,B(0,6),交x轴正半轴于点C(2,0)· 6/14 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B M 图1 图2 ()求该抛物线的函数表达式： (2)如图1，点P为直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PMIAB于点M,过点P作PNLy轴于点N,求 2√2PM+PN的最大值及此时点P的坐标 (3)如图2，点G是线段0B的中点，将原抛物线沿射线CB方向平移√10个单位长度，在平移后的抛物线上存 在点K,使得∠GAK=45°，请写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出其中一个的求解过程. 15.(2025江苏常州三模)如图，抛物线y=2x2+bx+c与x轴交于A(-2,0)、B(6,0)两点，与y轴交于 点C.直线1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E,点D的坐标为(4,3). D D B (备用图) (1)求抛物线与直线1的函数表达式： (2)若点P是抛物线上的点且在直线1上方，连接PA、PD,求当△PAD面积最大值时点P的坐标及该面积 的最大值； (3)若点9是y轴上的点，且∠ADQ=45°，求点Q的坐标. 解|题技巧 45°角的问题通常是做自垂线构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质或构造一线三垂直模型 进行求解 考点四：角度相等问题 16.（2025安徽宿州模拟预测)已知抛物线y=ax2+6ax十b(a<0)与x轴交于点A(-1,0)和点B,顶点 为C (1)求该抛物线的对称轴和点B的坐标， (②)抛物线的对称轴与x轴交于点D,若点P是该抛物线上的一点，BP恰好平分线段CD, ①)求点P的坐标.（用含a的式子表示） ()连接CP,AP,当LCPB=∠PAB时，求a的值. 7/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 17.(2025·安徽池州·三模)如图，已知抛物线y=-x2+2ax十3a与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C, 且点B的横坐标等于点C的纵坐标. (1)求该抛物线的解析式及点A的坐标； (2)设M(m,n)为直线BC上一点， ①当△AMC为直角三角形时，求n的值； ②当0<m<3时，已知点A关于y轴的对称点为A',射线AM交抛物线于点P.若∠PMC=∠AMC,求点P 的横坐标 18.(2025广东·一模)如图，已知抛物线y=a(x-2)2+1与x轴从左到右依次交于AB两点，与y轴交于 点C,点B的坐标为(3,0)，连接ACBC P 备用图 (1)求此抛物线的解析式； (②)若P为此抛物线的对称轴上的一个动点，连接PA、PB、PC,设点P的纵坐标表示为m. 试探究： ①当m为何值时，|PA-PC的值最大？并求出这个最大值. ②在P点的运动过程中，∠APB能否与∠ACB相等？若能，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由 19.(2025浙江杭州模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线 y=ax2+bx+5(a≠0)与x轴交于点A(-5,0)、B(2,0),与y轴交于点C 8/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 O A O 备用图 (1)求抛物线的解析式： (②)点D为第二象限抛物线上一点，连接CD、BD,BD交OC于点W,设点D的横坐标为t,△WDC的面积为S, 求S与t之间的函数解析式： (3)在(2)的条件下，DHx轴于点H,点E为0H上一点，连接ED并延长至点F,使得FD=DE连接 BF、HF,延长BD交FH于点G,连接CG,若tanDBA-=,∠FBA=2∠FHD,求直线CG的解析式. 20.(2025内蒙古通辽二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4的图象交x轴于点 A(-4,0)和B(1,0),交y轴于点C.点D(0,2),连接AD. (①)求抛物线的解析式： (2)点P是在第二象限内抛物线上一个动点，连接AC,PC,PA,当△PCA的面积最大时，求点P的坐标和 △PCA的面积最大值； (3)抛物线上是否存在一点E,使得∠ABE=2∠DAB,若存在，求点E坐标；若不存在，说明理由. 解题技巧 角度相等问题通常是做平行线，构造等腰三角形；设出动点用未知数表示出等腰三角形的两腰长，列出 方程，求出坐标 能力 21.(2025.宁夏固原三模)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于 点C.点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D 9/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求该抛物线的表达式： (2)求点D和点M的坐标； (3)若点H是x轴上一动点，分别连接MH,DH,求MH十DH的最小值 22.(2025.甘肃定西三模)如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于AB(-3,0)两点，与y轴交于 C(0,-3),直线y=X十m经过点B,且与y轴交于点D,与抛物线交于点E. B NO 图1 图2 (1)求抛物线y=x2+bx+c的表达式： (2)连接BC,CE,求△BCE的面积； (3)如图2，直线BE与抛物线对称轴交于点F,在x轴上有M,N两点(M在N的右侧)，且MN=2,若将线段 MN在x轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长最小，求出此时周长的最小值 23.(2025·内蒙古鄂尔多斯·三模)如图，抛物线y=ax2十bx-1(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B,与y 轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D(3,0),过点B作直线x轴，过点D作DE⊥CD,交直线于点E. (1)求抛物线的解析式： 10/14 第三章 函数 专题04 函数中的线段和差与角度问题（专项训练） 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：线段和差的最值问题 1．（2025·安徽合肥·三模）抛物线顶点为，抛物线与y轴交于点B，直线经过点 (1)求b，c，d的值； (2)已知点和，且点P在抛物线上． （i）判断点是否在抛物线上，说明理由； （ii）过点P、Q分别向x轴作垂线，交直线于点D、E，当时，求的最大值． 【答案】(1)，， (2)（i）在；见解析；（ii） 【分析】（1）由二次函数的顶点得，，求出、，再用待定系数法求出直线的解析式，即可求解． （2）（i）将的坐标代入，求出、的关系，将代入，即可求解； （ii），，设直线与抛物线的另一个交点为，联立二者解析式可求，当时，解得，此时与重合，分类讨论：①当时， ②当时，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线顶点为， ，， 解得：，， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 直线的解析式， 当时，， ， 抛物线与y轴交于点B， ， 故：，，； （2）解：（i）在，理由如下： 由（1）得， ， 点P在抛物线上， ， 当时， ， ， 点在抛物线上； （ii）过点P、Q分别向x轴作垂线，交直线于点D、E， 当时， ， ，， 设直线与抛物线的另一个交点为， 联立， 解得：或， ， 当时，解得：， 此时与重合， ①当时，如图 ， ， ， ，， 当时， 的最大值为：； ②当时，如图 ， ， ， ， 此时的最大值小于； 综上所述：的最大值为． 2．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，抛物线与直线交于A，B两点，且点的坐标为，点的横坐标为1． (1)求抛物线的函数表达式． (2)为直线上方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点． （ⅰ）当线段取最大值时，求点的坐标； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，过点作交直线于点，若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）先求出直线的表达式为，然后求出点的坐标为，将点代入，求出，即可得出答案； （2）（ⅰ）过点作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，则点的横坐标也为，得出，，求出， 根据二次函数的最值，得出当时，取得最大值，求出结果即可； （ⅱ）先求出当抛物线经过点时，，当抛物线经过点时，，得出答案即可． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 解得， 直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为，                                ， ， 将点代入，得， 解得， 抛物线的表达式为． （2）解：（ⅰ）如图，过点作轴于点，交直线于点． 设直线与轴交于点，则点的坐标为． ， ． ，， ， ， 设点的横坐标为，则点的横坐标也为， ，， ，         当时，取得最大值， ， 点的纵坐标也为． 令， 解得， 点的坐标为．                        （ⅱ）由题意，得点的坐标为．                                         如图，当抛物线经过点时， ， 解得， 当时，， 此时抛物线与线段有两个交点， 当抛物线经过点时， ， 解得， 当时，， 此时抛物线与线段有一个交点， 综上所述，若抛物线与线段只有一个交点，则． 3．（2025·安徽芜湖·三模）如图1，已知二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，且经过． (1)求该二次函数的表达式； (2)如图2，点为该抛物线的顶点，将此抛物线沿射线方向平移，点平移后的对应点为，记，若要使轴，求的值； (3)如图3，设点为该抛物线在第三象限内图象上的一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接把把代入二次函数，解得，即可作答． （2）先把解析式化为顶点式得，再求出直线的解析式为，运用平移的性质，则点平移后得到点．因为且轴，，解得．即可作答． （3）先得出点的坐标为，点的坐标为．再求出直线的解析式为：．设点的坐标为，则点的坐标为．则，因为 ，则，整理得．故，因为，当时，有最大值． 【详解】（1）解：依题意，把代入二次函数， 得， 得． 二次函数解析式为． （2）解：由（1）得， 则 ， ∵点为该抛物线的顶点， ， 设直线的解析式为， 把代入， 得， 解得， 直线的解析式为， ∵此抛物线沿射线方向平移，点平移后的对应点为， 记，即如果抛物线向右平移个单位长度，则向上平移个单位长度， ∴把代入得， 点平移后得到点， 又∵， 当轴时，可得， 解得． （3）解：如图所示，过点作轴于点， 把代入，得， ∴点的坐标为， 把代入， 得， 整理得， ∴，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，分别代入， 得， 解得， 则直线的解析式为：， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ， ， 即， ， ， 当时，有最大值． 4．（2025·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，点P是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点A，C重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点P作于点Q，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； (3)过点P作x轴的平行线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点N恰好落在y轴上时，请求出此时点M的坐标． 【答案】(1) (2)当的值最大时，点P的坐标为，的最大值为 (3) 【分析】1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为，作轴交直线于，交轴于点，求出，得到，由平行线的性质可得，解直角三角形可得，即当取得最大值时，也取得最大值，设，则，表示出，再由二次函数的性质求解即可； （3）设交轴于点，由平行线的性质结合折叠的性质可得，即可得出和都是等腰直角三角形，设，则，，求出，得到，代入二次函数解析式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴交直线于，交轴于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当取得最大值时，也取得最大值， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，此时有最大值为，也取得最大值为， 当时，，即； 当的值最大时，点P的坐标为，的最大值为； （3）解：如图，设交轴于点， ∵轴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴和都是等腰直角三角形， 设， ∴，， ∴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴． 5．（2025·安徽阜阳·三模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接．D是在第一象限内的抛物线上的一个动点，连接，交线段于点E． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点E在该抛物线的对称轴上，求的长； (3)过点D作y轴的平行线，交于点F，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）先求出直线的表达式为，抛物线的对称轴是直线，可得点E的坐标是，再由勾股定理得，即可求解； （3）设点D的坐标为，则点F的坐标为，，可得，最后由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：分别将点，，代入， 得解得 ∴该抛物线的表达式为； （2）解：设直线的表达式为． 将点代入，得，解得， ∴直线的表达式为． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴点E的坐标是， ∴； （3）解：设点D的坐标为， 则点F的坐标为，， ∴ ， ∵，， ∴当时，DF`有最大值，最大值是． 解｜题｜技｜巧 （1）设出动点坐标，通常只设横坐标，纵坐标用横坐标表示； （2）用未知数表示出各线段的长度 （3）根据题意进行相加或相减，配方求最大值或最小值 （4）如果是将军饮马模型可以做对称点，求出直线解析式进行求解。 考点二：周长问题 6．（2025·安徽合肥·三模）已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求该抛物线的解析式． (2)如图，点坐标，为抛物线对称轴上一动点，过点的直线平行轴交抛物线于、两点（点在点的左侧）． ①若，求点坐标； ②若以为边构造矩形（、在线段、上），求该矩形周长的最大值． 【答案】(1) (2)①；②该矩形周长的最大值为 【分析】本题考查了待定系数法的应用，二次函数与几何综合； （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出B点坐标，设，则，表示出和， ①根据列方程求出m，进而可得点坐标； ②易得直线解析式，则可知，，用含m的式子表示出矩形的周长，再利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：与轴交于、， ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）∵， ∴， 设，则， ，， ①， ， 解得：（舍去）或， ； ②∵ ∴直线解析式为， ∴， ， 设矩形周长为， 则， ∴当时，的最大值为． 7．（2025·安徽宣城·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为1． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上的一动点（不与点，重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接．设点的横坐标为． 当点在轴上方，为何值时，是等腰三角形； 当点在轴下方，为何值时，的周长最大，最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)①当时，是等腰三角形；②当时，的周长最大，最大值为 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）①当是等腰三角形时，判断出只有，设出点M的坐标，用建立方程组求解即可； ②先表示出，然后建立的周长关于的函数关系式，确定出最大值即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为； 当时，， ∴， 将点，代入，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①设，则，当点M在x轴上方时，，，是钝角， ∵过点M作x轴的平行线，与直线交于点N， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴当时，是等腰三角形； ②设，则，当点M在轴下方时，，， ∵过点M作x轴的平行线，与直线交于点N， ∴， ∴，， ， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为． 8．（2025·安徽滁州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作轴于点D，交于点E，作于点F． （i）是否存点P，使得．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （ii）求周长的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)（i）不存在，理由见解析；（ii）周长的最大值为，． 【分析】（1）根据题意设抛物线为，可得，再进一步求解即可； （2）（i）如图，求解，证明，，结合，可得，求解直线为，设，则，可得，，再建立方程求解即可； （ii）由（i）得：，，可得周长，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点， ∴设抛物线为， ∴， 解得：， ∴抛物线为：． （2）解：（i）如图， ∵抛物线为：， ∴当，则，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 此时重合，不符合题意； ∴不存点P，使得． （ii）由（i）得：，， ∴周长， ∵， ∴当时，周长最大， 最大值为， 此时， ∴． 9．（2025·安徽宿州·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且图象经过点，，连接． (1)求a，b的值． (2)P是抛物线上的一点，且位于x轴上方，是否存在点P，使得的面积恰好为4？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． (3)M（不与点A，C重合）是线段上的一个动点，过点M作轴，垂足为D．延长，交抛物线于点E，过点E作，垂足为F，求周长的最大值． 【答案】(1)， (2)存在．点， (3)的周长的最大值为 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的面积综合题、二次函数的周长线段综合题，数形结合是解题的关键． （1）把点，分别代入函数解析式得到方程组，解方程组即可； （2）设点，根据题意得到，解一元二次方程即可得到答案； （3）求直线的解析式为．设点，则点，得到，，则的周长．根据二次函数的性质即可求出答案． 【详解】（1）∵二次函数的图象经过点，， ∴ 解得 （2）存在．由（1），得，， ∴二次函数的解析式为． 令，得， 解得，． ∵二次函数的图象与x轴交于点A，B， ∴点，， ∴． 设点， ∴， ∴， 解得，， ∴点，． （3）令，得， ∴点， 设直线AC的解析式为 解得 ∴直线的解析式为． 设点，则点， ∴． ∵点， ∴． ∵， ∴． ∵轴， ∴∥轴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长 ． ∵ ∴当时，的周长有最大值，最大值为， ∴的周长的最大值为． 10．（2025·甘肃武威·一模）如图，抛物线与轴交于两点， (1)求该抛物线的解析式； (2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)对称轴是直线，顶点坐标为 (3)存在， 【分析】本题考查了二次函数的图形及性质、待定系数法求解析式以及利用对称轴性质解决最短路径： （1）用待定系数法求解析式即可； （2）将解析式化为顶点式，根据顶点式求出对称轴及顶点坐标； （3）利用轴对称的性质，将求周长最小值问题转化为求两点之间线段最短的问题，点在对称轴上，而点和点关于对称轴对称，因此，的周长，当三点共线时，最小，其值为线段的长度，因此，点是直线与对称轴的交点． 【详解】（1）解：将代入抛物线中，得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为：． （2） ， 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为． （3）存在． 解：连接交对称轴于点，连接， 两点关于抛物线的对称轴对称， 直线与的交点即为点，此时的周长最小， ，抛物线交轴于点， 当时，，即， 设直线的解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， 的解析式为：， 在对称轴上， 当时，，即． 考点三：特殊角的存在性问题 11．（2024·四川广安·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． (3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； （2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可； （3）如图，以为对角线作正方形，可得，与抛物线的另一个交点即为，如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则，设，则，求解，进一步求解直线为：，直线为，再求解函数的交点坐标即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 设， ∴， ∴ ； 当时，有最大值； 此时； （3）解：如图，以为对角线作正方形， ∴， ∴与抛物线的另一个交点即为， 如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴, ∴， 由可得： ∴， 解得：， ∴， 设为：， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：或， ∴， ∵，，，正方形， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴， 综上：点的坐标为或. 12．（2024·安徽滁州·一模）已知抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，已知点P是位于上方的抛物线上的一点，作，垂足为M，求线段长度的最大值； (3)如图2，已知点Q是第四象限抛物线上一点，，求点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)的最大值为； (3)点Q的坐标为． 【分析】（1）将点代入，求得，即可得解； （2）求得点和的坐标，推出，作轴于点，交于点，得到是等腰直角三角形，，设，求得关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可； （3）作交于点，作轴于点，求得，证明，利用正切函数的定义求得，证明是等腰直角三角形，求得，再求得直线的解析式，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：当时，； 当时，， 解得或； ∴，， ∴， ∴， 作轴于点，交于点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴有最大值，最大值为； （3）解：作交于点，作轴于点， ∵，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理直线的解析式为， 联立得， 解得或； 当时，， ∴点Q的坐标为． 13．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)若P为y轴上的一动点，且的值最大，则点P坐标为______； (3)点E在第二象限抛物线上，且，求出点E的坐标； (4)如图2，连接、，点M在线段上（不与A、B重合），作，交线段于点N，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； (5)点F在x轴下方，，则最小值为______． 【答案】(1)， (2) (3) (4)存在这样的点，使得为等腰三角形；或 (5) 【分析】本题主要考查二次函数的性质、求二次函数解析式、圆周角定理、二次函数与几何综合等知识点，根据所求的最值构造合适的辅助线是解题的关键． （1）将和点代入抛物线求出抛物线解析式，再将解析式化为顶点式即可； （2）首先将的值最大转化为点A，D，P在同一条直线上，再求出直线的解析式即可得到点P的坐标； （3）首先将转化为为的平分线，再构造辅助线，利用直线与抛物线的交点即为点E，求解直线的解析式即可； （4）首先利用得到，此时可以得到的关系式，进而分类讨论为等腰三角形的情况，求解的值即可； （5）首先利用得到点F在圆上，再构造辅助圆求解圆心的坐标和半径，再将最小值转化为点外一点到圆上一点的最短距离，即为，再利用两点间的距离求解的长即可求解最小值． 【详解】（1）解：∵经过点和点， ∴抛物线的解析式为； ∵， ∴点； （2）解：如图，∵在中，， ∴当点A，D，P在同一条直线上时，，此时的值最大， 如图，可设直线的解析式为， ∴代入，，得， ∴解得， ∴点； （3）解：∵，，， ∴，， ∵点E在第二象限抛物线上，且， ∴为的平分线， ∴， 如图，过点D作交的延长线于点F， ∴， ∴，则为等腰三角形， ∴, ∴， 设直线的解析式为， ∴将，代入得，，解得：， ∴， 联立，解得：（与点B重合，舍去），， ∴； （4）解：存在点M，使得为等腰三角形， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ①当时，此时， ∴， ∴； ②当时，∴， ∴， ∴，解得：， ∵，即， 解得：； ③当时，此时点M与点B重合， ∴不符合题意， ∴此情况不存在； ∴的长为1或． （5）解：如图：∵点F在x轴下方，， ∴点F在上，过点A，O，且始终为， 设圆心，半径为r， ∴点Q在的垂直平分线上， ∴，即， ∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形，即， 解得：或（不合题意舍去）， ∴，， ∵最小值为， ∴， ∴最小值为． 14．（2025·山东烟台·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于点，，交轴正半轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴于点，求 的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，点是线段的中点，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点，使得，请写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个的求解过程． 【答案】(1) (2)最大值为， (3)或 【分析】本题考查了二次函数综合、待定系数法、配方法求二次函数最值、等腰直角三角形的性质、三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）过点作轴交于点，求出直线的解析式，证明是等腰直角三角形，得到，设，用代数式表示，进而求最值即可； （3）先求出新抛物线的表达式，分类讨论当点在轴下方和上方时，可分别求出直线的表达式，与抛物线联立即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵抛物线过点， ∴有：， ∴， 代入中，有， 则抛物线的表达式为：； （2）解：过点作轴交于点，则有， 设直线的解析式为：， 代入，，有： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ，轴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 则， 设点，则点， ∴，， 则， 当时，上式有最大值，此时， ∴的最大值为，此时点； （3）解：如图，原抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∵， 相当于抛物线先向左平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度， 则新抛物线的表达式为：， 当点在轴下方时， 设直线交轴于点，过点作于点，此时， ∵为中点，，， ∴， 在中，， ， 当时，为等腰直角三角形， 设， 则， ∴， 则， ∵， ∴； ∴， ∴ ∴， 设直线的解析式为：， 代入，，有： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立直线和新抛物线： ， 有：， ， ， ， ∴， ∵，舍去， ， 即点的横坐标为：； 当点在轴上方时，此时， 设直线与轴交于， 在中，， ， 当时，， ∴， ∴， 即， 设直线的解析式为：， 代入，，有： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立直线和新抛物线： ， 有：， ， ， ， ∴， ∵，舍去， ∴， 即点的横坐标为：； 综上，点的横坐标为：或． 15．（2025·江苏常州·三模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线与直线l的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值； (3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为；直线l的函数表达式为 (2)的面积最大值为， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线和直线的解析式即可； （2），过点作轴交于，设，则，表示出，从而可得，再由二次函数的性质即可得解； （3），将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于，则为等腰直角三角形，证明，得出，，求得，待定系数法求出直线的解析式为，当时，，即；作点关于直线的对称点，连接交轴于，由轴对称的性质可得，，证明出点为的中点，即可得出，同理可得，直线的解析式为，当时，，即，由此即可得解． 【详解】（1）解：将、、代入二次函数的解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 设直线l的函数表达式为， 将、代入解析式可得， 解得：， ∴直线l的函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴交于， ∵点P是抛物线上的点且在直线l上方， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，为，此时； （3）解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于， 则为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵轴于，轴于，、， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即； 作点关于直线的对称点，连接交轴于， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵，即， ∴，即点为的中点， ∴， 同理可得，直线的解析式为， 当时，，即， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 解｜题｜技｜巧 45°角的问题通常是做自垂线构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质或构造一线三垂直模型进行求解 考点四：角度相等问题 16．（2025·安徽宿州·模拟预测）已知抛物线 与x轴交于点和点 ，顶点为． (1)求该抛物线的对称轴和点 的坐标． (2)抛物线的对称轴与x轴交于点，若点 是该抛物线上的一点， 恰好平分线段． (i)求点 的坐标．用含 的式子表示) (ii)连接，，当时，求 的值． 【答案】(1)对称轴是直线，点的坐标为 (2)（i）点坐标为；（ii） 【分析】（1）先根据对称轴方程求出对称轴，再根据轴对称的性质求出点B的坐标； （2）（i）过点P作轴于点G，将抛物线先写成交点式，再化成顶点式求出顶点C及线段的中点坐标，根据相似三角形的判定列方程求解； （ii）延长交轴于点，求出点的坐标，证，根据相似三角形的性质求出，然后在中，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：抛物线对称轴是直线． ∵点与点关于对称轴对称，点， ∴点的坐标为：． （2）（i）抛物线与轴交于点， ， ，点坐标为，顶点的坐标为 如图，设的中点为，则点的坐标． 设点的坐标为． 作轴，垂足为点． ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点坐标为； （ii）如图，延长交轴于点， ∵点，点坐标为． ∴直线的函数解析式为：． ∴点的坐标为． 又∵， ∴． 在与中，，， ∴． ， ∴，又，， ∴． 在中，，，， ， 解得：（舍去）或． 17．（2025·安徽池州·三模）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点B的横坐标等于点C的纵坐标． (1)求该抛物线的解析式及点A的坐标； (2)设为直线上一点． ①当为直角三角形时，求n的值； ②当时，已知点A关于y轴的对称点为，射线交抛物线于点P．若，求点P的横坐标． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）令，则，得到，从而，代入抛物线解析式，即可求出a的值，从而得到解析式，令时，则，解方程即可得到点A坐标； （2）①分两种情况：当点M在线段上，，为直角三角形；或当点M在射线上，，为直角三角形，分别求解即可； ②延长至点Q，使，证明，得到，进而得到点Q的坐标为，根据，得直线的解析式为，解方程即可解答． 【详解】（1）解：对于函数， 令，则， ∴， ∵点B的横坐标等于点C的纵坐标， ∴ 将点代入抛物线，得 解得：，（不合题意，舍去）， ∴抛物线解析式为． 当时，， 解得， 点A坐标为； （2）解：①由（1）可得，， 直线的解析式为． 当点M在线段上时，如图1， 为直角三角形， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 为等腰直角三角形， 过点M作，垂足为点N． 点N为的中点， ． 将代入得， ． 当点M在射线上时，如图2，时，为直角三角形， ∵， ． ∵， ∴ ∴， 过点M作轴于点N， ∴，， ∵， ∴， ， 又 ， 综上，n的值为； ②由题意得，，延长至点Q，使， ， ∴，即， ∵，， ， ，， 点Q的坐标为， 由，得直线的解析式为， 由解得，（舍）， 点P的横坐标为． 18．（2025·广东·一模）如图，已知抛物线与x轴从左到右依次交于两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)若P为此抛物线的对称轴上的一个动点，连接，设点P的纵坐标表示为m． 试探究： ①当m为何值时，的值最大？并求出这个最大值． ②在P点的运动过程中，能否与相等？若能，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)①当时，的值最大，最大值为；②能， 【分析】（1）把代入，根据待定系数法可求抛物线的解析式； （2）①由三角形的三边关系可知，，当P、A、C三点共线时，的值最大，为的长度，延长交直线于点P，则点P为所求的点． 求得，根据勾股定理可得的长．根据待定系数法可求直线的解析式，进一步得到点P的坐标，从而求解； ②设直线与x轴的交点为点D，作的外接圆与直线位于x轴下方的部分的交点为，关于x轴的对称点为，则均为所求的点．在中，由勾股定理得的长，可得．由对称性得． 【详解】（1）把代入， 得， 解得， ∴此抛物线的解析式为； （2）①由三角形的三边关系可知，， ∴当三点共线时，的值最大，且等于的长度， ∴如图，延长交直线于点P，则点P为所求的点． 解，得 ， ∴． 当时，， ∴， 则有， ， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点， ∵点P在直线上， ， ∴当时，的值最大，最大值为； ②设直线与x轴的交点为点D，如图，作的外接圆与直线的x轴下方部分交于点，关于x轴的对称点为，则均为所求的点．连接，， 都是所对的圆周角， ，且射线上的其他点P都不满足， ∵圆心E必在边的垂直平分线即直线上， ∴点E的横坐标为2， 又， ∴圆心E也在边的垂直平分线上， ∵，， ∴线段的中点坐标为， 设边的垂直平分线解析式为， ∴， ∴， ∴边的垂直平分线解析式是， ， 在中，， 由勾股定理得， ， ， ， 由对称性得， ∴符合题意的点P的坐标为． 19．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点、，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第二象限抛物线上一点，连接交于点，设点的横坐标为的面积为，求与之间的函数解析式； (3)在（2）的条件下，轴于点，点为上一点，连接并延长至点，使得，连接，延长交于点，连接，若，，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过作于点，证明，得出，求出，根据，即可得出答案； （3）根据，求出，过点作轴于点，延长至点，使，连接，则．证明，得出，设，得出，根据勾股定理得出，解得或（舍去），求出线的解析式为，线的解析式为．最后待定系数法求出直线的解析式为即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 抛物线的解析式为：． （2）解：由题意，得． 过作于点， 则，，， ， ∴， ， ∴， ， ， 对于，当时，， ， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ， ， 过点作轴于点，延长至点，使，连接，则． ．设， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 解得或（舍去）， ， ， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， ， 同理可得：直线的解析式为． 联立， 解得， ． 设直线的解析式为． 把代入得： ， 解得， 直线的解析式为． 20．（2025·内蒙古通辽·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于点和，交y轴于点C．点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是在第二象限内抛物线上一个动点，连接，，，当的面积最大时，求点P的坐标和的面积最大值； (3)抛物线上是否存在一点E，使得，若存在，求点E坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)，最大值是8 (3)或 【分析】（1）由点和在抛物线上可设设抛物线解析式为：，再进一步求解即可； （2）求解直线解析式为：．过P做轴交直线于点Q，设，，结合，再进一步求解即可； （3）作的垂直平分线交x轴于F，可得，求解，在x轴上B点的左侧取点M，使得，再作直线垂直x轴，并且截取，可得，可得，再分两种情况讨论：当N在x轴上方时，，当N在x轴下方时，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象交x轴于点和， ∴设抛物线解析式为：． ∵， ∴， ∴ ∴抛物线解析式为：． （2）解：连接，∵，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线解析式为：． 过P作轴交直线于点Q， 设，， ∴ ∵， ∴当时，有最大值，最大值是8． 此时， ； （3）解：作的垂直平分线交x轴于F， ∴， ∴， ∴， 设，则． 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在x轴上B点的左侧取点M，使得，再作直线垂直x轴，并且截取， ∴， ∴， 当N在x轴上方时，， 此时，，， ∴同理可得：直线的解析式为：． ∴， 解得或， ∴； 当N在x轴下方时，， 此时，，， ∴同理：直线的解析式为：． 此时， ∴， 解得或， ∴， ∴或． 解｜题｜技｜巧 角度相等问题通常是做平行线，构造等腰三角形；设出动点用未知数表示出等腰三角形的两腰长，列出方程，求出坐标 21．（2025·宁夏固原·三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求点和点的坐标； (3)若点是轴上一动点，分别连接，，求的最小值． 【答案】(1)； (2)的坐标为，点的坐标为； (3)． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）由，得出顶点的坐标为，然后求出直线的解析式为，从而求得点的坐标为； （）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，又，当与重合时，即点三点共线时，有最小值，然后通过两点间的距离即可求解． 【详解】（1）解：把，两点代入抛物线解析式得： 解得 ∴抛物线的表达式为：； （2）解：由， ∴顶点的坐标为， 设直线的解析式为，把、代入可得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， ∵， ∴当与重合时，即点三点共线时，有最小，为． 22．（2025·甘肃定西·三模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积； (3)如图2，直线与抛物线对称轴交于点，在轴上有两点（在的右侧），且，若将线段在轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长最小，求出此时周长的最小值． 【答案】(1) (2)15 (3) 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用轴对称解决最短问题． （1）用待定系数法可得抛物线的解析式； （2）求出点E坐标，再求出，进而可得出答案； （3）由E，F为定点，可得当的和最小时，四边形的周长最小，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则，而三点共线，故此时的值最小，可得，，，，从而求出，，即知四边形周长的最小值为2． 【详解】（1）解：把代入， 得，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）∵直线经过点， ∴直线的表达式为． 由， 解得或， ∴． ∵直线交轴于点，在中，令，则， ∴． ∴． （3）∵为定点， ∴线段的长为定值， ∴当的和最小时，四边形的周长最小． 如解图，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则， ∵三点共线， ∴， 此时的值最小． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵，， ∴直线的表达式为． ∵点为直线与的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵． ∴四边形周长的最小值为． 23．（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模）如图，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，求证：； (3)如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴交轴于点，得到对称轴为，根据对称性求得，再由待定系数法即可求解； （2）由直线轴，，得到，根据同角的余角相等得到．令，则，得到，从而，进而有，即可证明结论； （3）由，得到，根据相似三角形的性质可求得，从而，根据待定系数法求出直线的解析式为，过点P作轴，交直线于点，设（），则，，从而，，进而得到，代入后求出m的值，即可解答． 【详解】（1）解：解法一：∵抛物线的对称轴交轴于点， ∴对称轴为， ∵抛物线与轴交于点和点， ∴点与点B关于对称轴对称， ∴， 设抛物线的解析式为：， ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴； 解法二：∵抛物线的对称轴交轴于点， ∴对称轴为， ∵抛物线与轴交于点和点， ∴点与点B关于对称轴对称， ∴， ∵抛物线过点，， ∴， 解得， ∴； （2）证明：∵直线轴，， ∴， ∴，， ∴， ∵在函数中，令，则， ∴， ∵， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ∵直线过点，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 过点P作轴，交直线于点，设（）， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 经检验，，都是方程的解，但不合题意，舍去， 当时，， ∴． 24．（2025·湖南邵阳·三模）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，D为直线上方抛物线上一动点，且于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，求线段长度的最大值； (3)如图2，设的中点为F，连接，，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得，根据相似三角形的判定与性质，可得的长，根据二次函数的性质，可得答案； （3）根据正切函数，可得，根据相似三角形的性质，可得，，根据待定系数法，可得的解析式，根据解方程组，可得答案． 【详解】（1）由题意，得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）设直线的解析式为， 则 解得， 直线的解析式为， 设，， 过点D作轴交于M点，如图1， 则， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，取最大值，最大值是； （3）存在． 假设存在这样的点D，中有一个角与相等， 点F为的中点， ，， 过点B作，交的延长线于G点，过点G作轴，垂足为H，如图2， ①若， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得 直线的解析式为， 联立， 解得，或（舍）， ②若， 同理可得，，， ， 同理可得，直线的解析式为， ， 解得或（舍）， 综上所述，存在点D，使得中有一个角与相等，点D的横坐标为． 25．（2025·山东济宁·二模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2 (2) (3)存在，点 或 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求表达式，二次函数的性质，二次函数与角度问题等．第（3）问关键是构造三角全等． （1）由题意得：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质解答即可； （3）先求出，分点在左侧时，点在右侧时，两种情况讨论，利用三角形全等的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则，则， 抛物线的解析式为：， 则； （2）解：当时，， 解得，， 点， 当时，， 点． 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值， 则，则（舍去）， ∴的值为； （3）解：存在点，理由如下： ∵，， ∴， ， ①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点， 在和中， ，，， ， ， ， 设直线的解析式为， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 则（舍去）或，故点； ②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点， 则，，， ， ， 四边形是正方形， ， 令中，，则， 解得或， ，， ，， ， ， ， 在点抛物线上，即点满足条件， 故存在满足条件的点有两个，分别为：或． 26．（2024·湖北恩施·三模）如图，二次函数的图像与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且顶点为，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，在的上方抛物线上存在一点P，已知P点的横坐标为t，过点P作交于点Q，则是否存在最大值，若存在求出最大值，若不存在请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点M，使得，如果存在，请求出直线与x轴的交点坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)最大值； (3)或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、一次函数的图象和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点P作x轴的垂线交于点D，交x轴于点E，求出  ，求出直线的解析式为，由题意知，，，得到，即可得到答案； （3）分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为 设该抛物线解析式为： ∵点在抛物线上 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为： （2）如图，过点P作x轴的垂线交于点D，交x轴于点E    令则 解得：， ∴   设直线的解析式为， 则 解得 ∴ 由题意知，， 所以， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴当时，的值最大，最大值是 （3）①如图，取点A关于y轴的对称点，连接，    直线与抛物线在第四象限的交点即为点M ∵ ∴且 ∴ ∴直线与x轴的交点坐标为 ②如图，    ∵ 若，则 将绕着C点逆时针旋转得到线段， 则直线与抛物线在第一象限的交点即为点M，过点M作轴于点N， 则， ∴， ∴ ∴， 设点M的坐标为，则， ∴ ∴ 解得或 则， 设直线的解析式为 则 解得 ∴的解析式为： 令，则 ∴直线与x轴的交点坐标为 综上可知，直线与x轴的交点坐标为或 27．（2025·四川成都·三模）如图1，抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，直线的解析式为． (1)求出抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上一点，连接交于点E，当最大时，求点P的坐标，并求出这个最大值； (3)如图2，过线段的中点H作直线交抛物线于M、N两点（点M在点N左侧），直线与直线交于点G，求的最小值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）先求出，，再代入，由待定系数法即可求解； （2）作轴，交直线于点，交轴于点，过作交于点，作于点，交于点，设交轴于点，作于，由平行线分线段成比例得，进而可得最大时，最大满足题意，设，则，得，即可求得，进而可求； （3）设，，求出直线表达式为，代入点得：，求直线，直线，联立直线、表达式，得即，求出经过点的直线为，设，利用两点间的距离公式及二次函数的性质即可求出的最小值． 【详解】（1）解：直线的解析式为． 时，；时，， ， ，， 将，代入 得， 解得， ∴； （2）解：如图，作轴，交直线于点，交轴于点，过作交于点，作于点，交于点，设交轴于点，作于， ， ， 当时，， ，， ， 设直线为， 将代入得，， ， ， ，， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， 若最大，则最大， ， 最大时，最大， 而， 最大时，最大满足题意， 设，则， ， 时，，， ， ， ； （3）解： ，， 的中点为， 设，， 直线表达式为， 将代入得：， 解得：， 直线表达式为， 代入点得：， 同理可求直线：， 直线：， 联立直线、表达式得：， 解得， 即， 设经过点的直线为， 代入 ， 得： 比较系数得：， 解得：， 当，无论为何值，该式子恒成立，点在直线上运动， 设， ， ， 时，． 28．（2025·安徽芜湖·三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线为常数，且与轴交于点． (1)若，该抛物线与轴交于点． ①求该抛物线与轴的另一个交点的横坐标． ②过线段上一点作轴于E，的延长线交抛物线于，若，求的值． (2)已知点在该抛物线上，且直线经过该抛物线的顶点，设与轴，轴所围成的三角形面积为，且，求的最小值． 【答案】(1)①该抛物线与轴的另一个交点的横坐标为1；②1或 (2)最小值为 【分析】（1）①首先待定系数法求出该抛物线的表达式为，然后令求解即可； ②首先求出点的坐标为，求出直线的表达式为，设，则，根据列方程求出或，然后代入求解即可； （2）设直线的表达式为，将抛物线顶点代入得到，求出直线AP的表达式为，然后令，求出，然后表示出，然后结合求解即可． 【详解】（1）① ． 又该抛物线与轴交于点 ，解得． 该抛物线的表达式为． 令，即， 解得或． 该抛物线与轴的另一个交点的横坐标为1． ②抛物线的表达式为 点的坐标为， ∵ ∴可得直线的表达式为． 设，则 ． ， 解得或． 当时，， ∴； 当时，， ∴； 的值为1或； （2）由题意，设直线的表达式为， 该抛物线的顶点为． 直线经过该抛物线的顶点， ， 解得． 直线AP的表达式为． 令，解得 ． ． 又， ∵的对称轴为直线，开口向上 当时，随的增大而增大 当时，取得最大值3 ∴此时取最小值，最小值为． 29．（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，正切的定义，等腰三角形的性质与判定； （1）当时，二次函数的图象与轴交于，设二次函数的交点式为，展开后得到求解即可得到答案； （2）根据解析式求得点，进而勾股定理求得，作的角平分线交轴于点，则，，进而得出，根据角平分线的定义得出，求得，进而可得，从而求得点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解． （3）先找到临界值，当时，，此时得出重合，根据题意可得是第四象限的点，则当时，即可求解； （4）根据题意得出是等腰直角三角形，进而根据已知得出，取得出是等腰直角三角形，进而求得 ，即可得出的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，二次函数的图象与轴交于， ∴设二次函数的交点式为， ，， ∴， 解得， ∴函数的解析式为； （2）解：对于二次函数， 令，可得，则点的坐标为，则 ∵， ∴， ∵ ∴， 如图，作的角平分线交轴于点，则， ∴， 设到的距离为，则， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，则， ∴． ∴． 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式． （3）解：当时，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴，则重合，重合， 又∵是第四象限的点， ∴当时，则，． ∴要使得成立， 的取值范围为； （4）解：∵， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 在中，． 如图所示，取． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴ ． ∴． 即． 30．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)点P的坐标为，的最小值为 (3)点N的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）先求出直线的解析式，然后设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，点F的坐标为，求出长，再证明，根据对应边成比例求出的最小值，把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，即可得到，连接，则，是最小值，利用勾股定理计算解题； （3）根据平移得到抛物线的解析式，然后过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，即可得到，设点N的坐标为，根据列等式求出a的值即可解题． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴； （2）解：令，则， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴， 设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H， 则点F的坐标为， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值为，这时点P的坐标为， 把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接， 则四边形是平行四边形， ∴， 即， 由A，B关于对称性可得点A的坐标为， 连接，则的最小值为长， 即， 即的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线，即， 过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接， 设点N的坐标为， 由平移得， ∴， 如图所示，∵， 即，解得（舍去）或， 这时点N的坐标为；      如图所示，则∵， 即，解得或（舍去）， 这时点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $