第04讲 反比例函数的图象与性质（复习讲义）（安徽专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“反比例函数”专题，覆盖中考核心考点，包括定义、图象性质、k的几何意义、解析式确定、实际应用及与一次函数、几何的综合。通过考情剖析、知识网络构建、考点分题型解析、真题训练等环节，帮助学生系统梳理知识，突破增减性、面积计算等难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于“模型化教学”和“分层突破”策略，如总结k的几何意义“一点两垂线”等模型，培养学生几何直观和抽象能力。设置基础巩固、能力提升、全国新趋势三级练习，结合2023-2025年真题精讲，强化运算能力与模型意识，助力教师把控复习节奏，提升学生应考能力。

第三章 函数 第04讲 反比例函数 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 15 命题点一 反比例函数的图象与性质 题型01反比例函数的定义 题型02反比例函数的图象 题型03 反比例函数的增减性 题型04 比较反比例函数值的大小 题型05 k的几何意义 题型06 求反比例函数的解析式 命题点二 反比例函数的实际应用 题型01 物理学中的反比例关系 题型02 构建反比例函数的模型解决实际问题 05·重难突破·思维进阶难 34 突破一 反比例函数与一次函数的综合 突破二 反比例函数与几何的综合 06·优题精选·练能提分 43 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 反比例函数的图象与性质 安徽卷 T18 安徽卷 T6 安徽卷 T9 1.理解与掌握反比例函数相关概念 2.能画反比例函数的图象，根据图象和表达式 ()探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况. 3.能根据已知条件确定反比例函数的表达式. 4.理解与掌握反比例系数k的几何意义. 反比例函数的实际应用 / / 安徽卷 T14 能用反比例函数解决简单实际问题 命题预测 反比例函数是非常重要的函数，考察频率较高，总分值为4-15分左右，常考考点为: 反比例函数图象的性质k的几何意义、双曲线上点的坐标特征以及反比例函数与一次函数的交点问题等.其中反比例函数与一次函数的综合考察最多，且多为选择和填空，在2025年的中考中则以解答题的形式进行考查.结合其他几何图形的性质一起出题,多数题目的技巧性较强. 综合反比例函数以上特点，考生在复习该考点时，需要准备堂握其各性质规律，并日多注意其与一次函数和几何图形结合题的思考探究. 考点一 反比例函数的图象与性质 1.反比例函数的概念：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 2.反比例函数的图象与性质 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 性质 表达 式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： （1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； （2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解方程求出待定系数k； （4）将所求的k值代入所设解析式中. 3.涉及自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围． 4.求一次函数与反比例函数的交点坐标 （1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； （2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 5.k的几何意义 一点一垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 一点两垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 两点一垂线 【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|， 结论：S△ABC =2S△ABO = 【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和． 两点两垂线 【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k| 两点和原点 方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】 方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB． 方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】 方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD•（|yA|-|yB|） 方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC•（|xB|-|xA|） 两曲一平行 【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解． 类型一 两条双曲线的k值符号相同 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2| 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|- S直角梯形AFDE 类型二 两条双曲线的k值符号相同 结论：S△AOB＝S△ACB＝(|k1|+|k2|) S阴影＝|k1|+|k2| 1．（2025·安徽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． (1)求a与k的值； (2)设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积． 【答案】(1)， (2)16 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数与反比例函数综合，正确求出a、k的值解题的关键． （1）把A、B横坐标分别代入两个函数解析式，根据同一个横坐标下，两个函数的函数值相同建立方程组求解即可； （2）根据（1）所求可得直线的解析式，则可求出点C和点D的坐标，坐标可得的长，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，． （2）解：由（1）知直线对应的一次函数表达式为． 在中，令，得，令，得， ∴，， ∴．． ∴的面积为． 2．（2024·安徽·中考真题）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出，代入反比例函数求解即可 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3， ∴， ∴， ∴， 故选：A 3．（2023·安徽·中考真题）如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过斜边的中点． （1） ； （2）为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据已知条件得出的坐标，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的得出的坐标，进而即可求解； （2）根据题意，求得直线，联立与反比例函数解析式，得出的坐标，进而根据两点距离公式求得，，进而即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ∴， ∵是的中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过斜边的中点． ∴； ∴反比例数解析式为 故答案为：； （2）∵， 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为，将点代入并解得， ∴直线的解析式为， ∵反比例数解析式为 联立 解得：或 当时， 当时， ∴ ， 故答案为：． 4．（2023·安徽·中考真题）已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ） A．      B．  C．     D．       【答案】A 【分析】设，则，，将点，代入，得出，代入二次函数，可得当时，，则，得出对称轴为直线，抛物线对称轴在轴的右侧，且过定点，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，        设，则，根据图象可得， 将点代入， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线经过点， ∴抛物线对称轴在的右侧，且过定点， 当时，， 故选：A． 考点二 反比例函数的实际应用 1.用反比例函数解决实际问题的步骤： 审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； 设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； 列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； 写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； 解：用函数解析式去解决实际问题． 2.利用反比例函数解决实际问题，要做到： （1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； （2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； （3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 1．（2025·吉林长春·中考真题）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A．24 B．27 C．45 D．50 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键． 先求出关于的函数解析式，再分别求出，时的函数值，然后根据反比例函数的性质求出的取值范围，即可判断． 【详解】解：由题意设关于的函数解析式为：， 代入点得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，；当时，， ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴， ∴的值可以为， 故选：C． 2．（2025·江苏南通·中考真题）如图，一块砖的，，三个面的面积比是5：3：1．如果面向下放在地上，地面所受压强为，那么面向下放在地上时，地面所受压强为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是确定两个变量之间的关系． 根据题意，得出压强与受力面积之间的关系，分析计算即可． 【详解】解：设这块砖的质量为，与地面的接触面积为，地面所受压强为， 则（定值）， 即与成反比例关系， ∵， ∴， ∵面向下放在地上，地面所受压强为， ∴面向下放在地上时，地面所受压强为， 故答案为：． 3．（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 2 3 拉力的大小 300 200 150 120 (1)表格中的值是 ； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 【答案】(1)100 (2)见解析 (3)当的长增大时，拉力减小，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，根据函数图象判断增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义，判断出是的反比例函数． （1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可； （2）先描点，然后连线，画出函数图象即可； （3）根据反比例函数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据发现： ， 因此点与点的距离与拉力F的乘积不变， ∴； （2）解：与之间的函数图象，如图所示： （3）解：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小． 命题点一 反比例函数的图象与性质 ►题型01反比例函数的定义 ①等号左边是函数，等号右边是一个分式； ②； ③分母中含有自变量x，且指数为1. 【典例】（2025·安徽亳州·一模）若点在反比例函数的图象上，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．10 【答案】B 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质．点在函数图象上，则坐标满足函数解析式，代入求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数y = 的图象上， ∴， 则， ∴， 故选：B． 【变式1】（2025·安徽·二模）已知点和点都在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，由题意可得，进而即可求解，掌握反比例函数的图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2025·安徽淮北·三模）定义：若一个函数图像上至少存在两个点关于y轴对称，则称该函数为“纵轴点对称函数”，对称点叫作“纵轴对称点”． (1)概念理解： ①请写出一个已学过的“纵轴点对称函数”：________； ②若函数是“纵轴点对称函数”，请写出它的“纵轴对称点”． (2)概念应用： ①一次函数是否为“纵轴点对称函数”？请说明理由； ②已知函数是“纵轴点对称函数”，与直线（，）交于点，，且．若经过定点，求点的坐标． 【答案】(1)①（答案不唯一）②和 (2)①不是，理由见解析② 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点坐标变换规律，二次函数与一次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系等知识点，灵活运用所学的知识是解题的关键． （1）①根据“纵轴对称点”的定义以及二次函数的性质，写出一个对称轴为轴的二次函数，即可求解； ②根据关于轴对称的点的坐标特征，设对称点为和，分别代入反比例函数和二次函数，求得的值，即可求解； （2）①设点、均在直线上，得出，则点和点为同一个点，即可判断不是“纵轴点对称函数”； ②若函数是“纵轴点对称函数”，则，得出，根据点，均为抛物线与直线的交点，得出、是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而可得当时，，即可得出定点的坐标． 【详解】（1）解：①根据“纵轴对称点”的定义以及二次函数的性质，对称轴为轴的二次函数，都符合题意， 故答案为：（答案不唯一）； ②设对称点为和，则，， ，解得， 当时，，所以纵坐标对称点坐标为和． （2）①不是，理由如下：设点、均在直线上， 则两式相减，得． ， ，此时点和点为同一个点， 故不是“纵轴点对称函数”； ②若函数是“纵轴点对称函数”，则， ． 当时，， 点，均为抛物线与直线的交点， 、是方程的两根， ，， ， ， ， ， 当时，， 点的坐标为． ►题型02反比例函数的图象 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 【典例】（2025·安徽亳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数（是常数，且）的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系、一次函数的图象与系数的关系、反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴为直线，求得，从而得出，则可确定直线经过第一、二、四象限，再根据当时，，从而确定反比例函数的图象在第二、第四象限，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下， ∴ ∵二次函数图象的对称轴为直线 ∴， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限， ∵当时，， ∴反比例函数的图象在第二、第四象限， ∴只有D选项题意． 故选：D． 【变式1】（2025·安徽六安·二模）已知反比例函数的图象与一次函数的图象的交点在第一、三象限，则二次函数的图象可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质. 根据反比例函数的图象与一次函数的图象的交点在第一、三象限，可知，，然后即可判断二次函数的图象开口方向和对称轴所在的位置，从而可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：反比例函数的图象与一次函数的图象的交点在第一、三象限， ，， 二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴左侧， 故选：A 【变式2】（2025·安徽淮北·三模）某厂家生产一种体积为的长方体零件，其底面为边长的正方形，高为．请结合函数知识回答下列问题： (1)写出关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)根据（1）的函数关系式补全表格，并画出函数图像． 1 2 3 4 5 6 … 6 m n … 表格中________，________． (3)直线经过点，其解析式为________．当时，x的取值范围是________． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，画函数图象，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长方体体积计算公式求解即可； （2）分别把和代入（1）所求解析式中求出对应的函数值即可得到m、n的值，再描点，连线画出对应的函数图象即可； （3）先利用待定系数法求出函数解析式，进而可求出函数与函数的交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：某厂家生产一种体积为的长方体零件，其底面为边长的正方形，高为， ， ； （2）解：在中，当时，，当时，， ∴； 故答案为：，； 函数图像如下图，为所求； （3）解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴函数与函数的交点坐标为， ∴由函数图象可得当时，x的取值范围是． 故答案为：，． ►题型03 反比例函数的增减性 【典例】（2025·安徽合肥·二模）当时，下列函数中，随着的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质．据此逐项分析，进行作答即可． 【详解】解：A、一次函数的，函数值y随x增大而减小，故该选项不符合题意； B、反比例函数的，当时，函数值y随x增大而增大，故该选项符合题意； C、二次函数的，开口向下，当时，函数值y随x增大而减小，故该选项不符合题意； D、二次函数的，开口向上，对称轴，当时，函数值y随x增大而减小，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】（2025·安徽淮北·二模）下列函数中，当时，y的值随x值的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数，二次函数和一次函数的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．分别利用反比例函数，二次函数和一次函数的性质进行判断即可． 【详解】解：A、，，图象分布在第二、四象限，时，随的增大而增大，符合题意； B、二次函数开口向下，对称轴是轴，时，随的增大而减小，不符合题意； C、，，随的增大而减小，不符合题意； D、反比例函数，，在每个象限内，随的增大而减小，不符合题意； 故选：A． 【变式2】（2024·安徽·一模）下列函数中，y的值随x值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质，反比例函数的性质，根据一次函数的性质：时y的值随x值的增大而增大；反比例函数性质：时在与上y的值随x值的增大而增大；二次函数的性质：当时y的值随x值的增大而增大；直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：∵中， ∴时y的值随x值的增大而增大，故A不符合题意， ∵中， ∴在与上y的值随x值的增大而增大，故B不符合题意， ∵中，， ∴y的值随x值的增大而增大，故C符合题意， ∵中，， ∴y的值随x值的增大而减小，故D不符合题意， 故选：C． ►题型04 比较反比例函数值的大小 先根据k的符号，画出反比例函数的图象，将所要判断的几个点标在图象上，在比较大小。 【典例】（2025·安徽·模拟预测）反比例函数（a为常数）的图象过点，，已知，下列结论一定正确的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意得出反比例函数的图象在第一、三象限，结合，判断出、所在象限，即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， ∵点，在反比例函数（为常数）的图象上，且， ∴点位于第三象限，点位于第一象限， ∴， 故选：A． 【变式1】（2025·安徽滁州·三模）反比例函数的图象与函数的图象没有交点，若点在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是反比例函数的图象与性质、正比例函数的性质，判断出解题的关键．先判断k的正负，然后根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：函数的图象经过一，三象限，且反比例函数的图象与函数的图象没有交点， 反比例函数的图象经过二，四象限， ， 点在的图象上， 点在第四象限，在第二象限， 在第四象限内，反比例函数随的增大而增大， 且， ， 在第二象限， ， ， 故选：B． 【变式2】（2025·安徽淮北·三模）已知双曲线与直线相交于点，，其中，若点在双曲线上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，关键是利用函数性质判断函数值大小． 先联立双曲线与直线方程，利用韦达定理及、正负判断的符号，确定双曲线所在象限，再根据各点横坐标正负及双曲线单调性，比较、、大小 ． 【详解】联立双曲线与直线方程，可得 ，即， 由韦达定理．   因为， 所以，双曲线在二、四象限．   对于，，则； 对于，，则．   点，，在双曲线第二象限分支，随增大而增大， 所以．   综上，， 故选：A． ►题型05 k的几何意义 【典例】（2025·安徽淮南·二模）如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交于点E．若，，则k的值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 根据平行四边形的性质，结合三角形及平行四边形面积公式可得，则设，得到方程，解得，再根据反比例函数k的几何意义得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 设， ∵若，， ∴， 解得， ∵顶点A在反比例函数的图象上， ， ， 故答案为：10． 【变式1】 （2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，点是轴负半轴上一点，点是轴正半轴上一点，直线交反比例函数的图象于点，且，若的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】过点作轴，垂足为，证明出，得到，然后根据反比例函数值的几何意义解答即可． 本题考查了反比例函数值的几何意义，全等三角形的性质和判定，熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：过点作轴，垂足为， 在和中， ， ， ， 的面积为， ， ， 故答案为：． 【变式2】（2025·安徽·三模）如图，分别以，为边作矩形，，点是边的中点，反比例函数的图像分别交边和与两点，此时点满足，作轴，轴，已知阴影部分面积为2，则的值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、矩形的性质，解题的关键是利用矩形的性质和中点的定义，设出合适的坐标，结合反比例函数图像上点的坐标特征以及阴影部分面积．首先，由矩形的性质可知相关边的平行与相等关系，点是边的中点可得出点坐标的相关关系．然后，根据反比例函数系数k的几何意义四边形得面积．最后，根据阴影部分面积为2建立方程，即可求解． 【详解】如图： ， ， 四边形，是矩形，轴，轴， 则四边形是矩形， ，， 又 是边的中点， ∵反比例函数的图像分别交边与P， 四边形得面积， 解得： 故答案为：12． ►题型06 求反比例函数的解析式 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： （1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； （2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解方程求出待定系数k； （4）将所求的k值代入所设解析式中. 由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 【典例】（2025·安徽滁州·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，将直线向上平移个单位长度，与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象与几何变换，三角形相似的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，作轴于，轴于，则，通过证得，求得，设，则，，利用平移的规律求得平移后的直线为，代入，即可求得点的坐标，最后利用即可求得的值，构建相似三角形是解题的关键． 【详解】解：作轴于，轴于，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 将直线向上平移个单位长度得到直线， ∵把代入求得， ∴， ∵、在反比例函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025·安徽六安·模拟预测）如图，在中，点在轴上，，经过点的反比例函数的图象经过的中点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，勾股定理，中点坐标公式；设点的坐标为，由题意得，由中点坐标得，把点坐标代入反比例函数式中求得的值，即可得点的坐标，再由，即可求得的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴设点的坐标为， ∵， ∴； ∵点是的中点， ， ∵点在反比例函数的图象上， ∴把点坐标代入反比例函数中，得， 解得：； ∴点的坐标， ∵， ， 解得：．负值舍去 故答案为：． 【变式2】（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在平面直角坐标系中，A、B为反比例函数图象上的两点，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】作轴，垂足为E，证明可得，继而求出，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可． 本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】如图，过B点作轴于点E， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 命题点二 反比例函数的实际应用 ►题型01 物理学中的反比例关系 【典例】（2025·安徽淮北·三模）在一个密闭的容器内装有一定质量的某种气体，当它的容积V改变时，气体的密度也随之改变，与V在一定范围内满足关系式（m是常数，且），它的图象如图所示，当为时，V的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先利用待定系数法求出，再求出当时，V的值即可得到答案． 【详解】解：把代入中得， ∴， 在中，当时，，解得， 故答案为：2． 【变式1】（2025·河南濮阳·一模）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V符合，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．容器内气体的质量（质量）是5kg B．当时， C．当容器的体积为时，气体的密度为 D．当时，气体的密度随容器体积的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，求反比例函数值， 先求出m的值判断A；再根据反比例函数值随着x的增大而减小解答B，D；然后求出当时的函数值解答C． 【详解】解：∵， ∴容器内气体的质量为， 所以A不正确； 当时，， 所以当时，， 所以B不正确； 当时，， 所以当容器的体积，气体的密度是， 可知C正确； 当时，气体的密度随着容器体积的增大而减小， 则D不正确． 故选：C． 【变式2】（2025·黑龙江·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与实际问题，设该反比例函数解析式为，根据当时，，可得该反比例函数解析式为，再把代入，即可求出电流I． 【详解】解：设该反比例函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比例函数解析式为， 当时，， 即电流为， 故选：B． ►题型02 构建反比例函数的模型解决实际问题 利用反比例函数解决实际问题，要做到： （1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； （2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； （3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明 【典例】（2025·安徽滁州·三模）如图描述了在一段时间内，小华、小红、小刚三名工人加工零件的合格率与所加工零件的总个数之间的关系（合格个数=合格率×总个数），则这三名工人在这段时间内所加工零件合格的个数最多的是（   ） A．小华 B．小红 C．小刚 D．同样多 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数性质的应用，熟练掌握相关概念是解题关键. 根据题意可以得知加工零件合格的个数等于加工零件的合格率与所加工零件的总个数的乘积，由此通过观察进一步判断即可. 【详解】由题意得，加工零件合格的个数， 如图 据此通过直观观察比较此时三个长方形的面积大小，小刚所在位置的点对应的长方形的面积最大，即最大， 故选：C． 【变式1】（2025·安徽蚌埠·三模）图是新星幼儿园滑梯的侧面图，建立平面直角坐标系．其中段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高，宽，出口点C到的距离为 ．若滑梯上有一个小球Q，Q的高度不高于，则Q到的距离至少为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意可得反比例函数的解析式，再列不等式即可解答，熟练求得反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ， 设反比例函数段的解析式为， ， ∴反比例函数段的解析式为 ， 的高度不高于3m，即 ， ， 解得， ， Q到的距离至少为． 故答案为：． 【变式2】（2025·安徽合肥·二模）设等腰直角的斜边为，斜边上的高为，与满足的反比例函数关系如图所示，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、反比例函数的应用，等腰直角三角形的性质可得，由反比例函数的定义可得，从而求出，，即可得解． 【详解】解：∵等腰直角的斜边为，斜边上的高为， ∴， 由题意可得：， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 突破一 反比例函数与一次函数综合 【典例】（2025·安徽·二模）如图，正比例函数与反比例函数的图象有一个交点，轴于点．平移直线，使其经过点，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及到待定系数法，一次函数图象的平移等，求出k的值是解题的关键． 由已知先求出点A、点B的坐标，继而求出的解析式，再根据直线平移后经过点B，可设平移后的解析式为，将B点坐标代入求解即可得． 【详解】解：当时，， ∴，， ∵过点， ∴， ∴， ∴， ∵直线平移后经过点B， ∴设平移后的解析式为， 则有， 解得：， ∴平移后的解析式为：， 故答案为：． 【变式1】（2025·安徽淮南·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点C，点C的纵坐标为4，直线与x轴交于点，与y轴交于点M，B为直线上一点，横坐标为，过点B作轴于点D，交反比例函数的图象于点H，G为反比例函数图象上一动点，过点G作于点E，作交y轴于点F． （1） ； （2）若点G在点C，H之间（不与点C，H重合）运动，当面积取得最大值时，的长为 ． 【答案】 【分析】（1）先求出直线的解析式为，然后求出点C的坐标为，再求出即可； （2）设点，且，求出，设直线的函数表达式为，求出，得出点，延长交y轴于点N，易知轴，求出，求出，再根据二次函数的最值，求出结果即可． 【详解】解：（1）将点代入，得， 解得， ， 当时，得， 点， 将点代入，得， 解得． 故答案为：． （2）轴，， 轴， 由题可知点H，E的横坐标为，反比例函数， 设点，且， ， ， 设直线的函数表达式为，将点代入得：， 当时，， 点， 延长交y轴于点N，易知轴， ， ， ， 当时，取得最大值，此时． 故答案为：． 【变式2】（2025·安徽亳州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)已知点C是位于反比例函数的图象在第四象限部分上的一点，直线交y轴于点D，若． ①求线段的长；②求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2)①的长为；② 的面积为． 【分析】（1）首先，根据交点代入反比例函数的表达式，求出，进而得出反比例函数的表达式，然后，将点代入反比例函数的表达式求出，再将点、坐标分别代入一次函数的表达式中即可求得一次函数表达式； （2）①利用已知条件巧妙构造辅助线，进而得出，，根据，可求得，进而求得，，最后，在中，由勾股定理即可求得的长； ②由，可求出的长，进而求出的长，最后，运用“整体减部分”思想可得出，根据三角形的面积公式代入计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得． ∴反比例函数的表达式为． 把点代入，得 ，解得． ∴点． 把点，分别代入，得 ，解得． ∴一次函数的表达式为； （2）①如图，过点作轴于点，过点作轴于点． ∴． ∴． ∴． ∵，点， ∴，，． ∴，解得． ∵点在反比例函数的图象上， ∴当时，． ∴点． ∴． 在中，由勾股定理，得． ∴的长为； ②∵点，， ∴，． 由①知， ∴，即，解得． ∴． ∴ ． ∴的面积为． 突破二 反比例函数与几何综合 【典例】（2025·安徽芜湖·三模）如图，直线与双曲线交于点，与轴、轴分别交于点，，且． （1）的值是 ； （2）直线与直线交于点，与双曲线交于点若是直角三角形，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数的解析式、三角形相似等． （1）过点作轴于点，交直线于点，由 求出点，进而求解； （2）由题意得，则，通过证得 ，求得，得到，代入反比例函数的解析式即可求得的值． 【详解】解：（1）过点作轴于点，交直线于点， 对于，令，解得，令，则， ，， ，， 轴， ， ， ， ，， ， ， 双曲线过点， ； 故答案为：； （2）由题意得， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在双曲线上， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为：． 【变式1】（2025·安徽宿州·模拟预测）如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，B是线段OA上（不与点A重合）的一点． （1）反比例函数的表达式为 ； （2）将点A绕点B顺时针旋转得到点D，且点D恰好落在的图象上，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）过点B作轴，过点D作于点F，过点A作于点E，设点，那么点D的坐标为，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可． 【详解】解：（1）将代入，得， ∴， 将代入，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为． 故答案为：； （2）如图，过点B作轴，过点D作于点F，过点A作于点E， ∴， ∴， ∵点A绕点B顺时针旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴（AAS）， 依题意设点，则可得： ，，， ∴点D的纵坐标， 点D的横坐标， ∴点D的坐标为， ∵点D在反比例函数图象上， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 【变式2】（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点是直线上的两点，是双曲线上的两点，点位于点上方，已知，连接． （1） ； （2）若，则 ． 【答案】 1 4 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的综合问题，几何与反比例函数综合问题，运用数形结合思想解题是解题的关键． （1）将点代入解析式即可得解； （2）延长和分别交轴于点和点，设，则，．同理设，则，．利用得出，运用勾股定理求出，，从而代入中整体代换消去字母得解． 【详解】解：（1）将点代入直线与双曲线， 得，， 故答案为：1； （2）如图，延长和分别交轴于点和点． 根据（1）可得与双曲线， 则，即和都是等腰直角三角形． 设，则， ， 同理设，则， ， 又 ∵， ∴， 两边同时平方，得， 即． 在中，， 同理， ， 故答案为：4． 1.（2025·安徽合肥·二模）如图，已知点在反比例函数图象上，轴，垂足为点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数系数的几何意义进行计算即可． 【详解】解：设点 点在反比例函数的图象上， ， 即， 又，而，， ， ， ， 故选：C． 2.（2025·安徽合肥·三模）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和，若，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数与正比例函数的交点问题，两点间的距离公式，熟练掌握反比例函数与正比例函数的图像是解题的关键． 根据题意得到点和的坐标，再由两点间的距离公式进行计算即可． 【详解】解：联立与，即，解得，对应， ∴，， ∴两点间的距离为， 解得：， 故选：A． 3.（2025·安徽合肥·三模）已知一次函数与函数的图象有两个交点，则关于的一元二次方程根的情况是（　　） A．无实数根 B．有2个相等的实数根 C．有2个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题；联立两个函数解析式，根据有两个交点可知联立得到的方程有2个不相等的实数根． 【详解】解：∵一次函数与函数的图象有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， 方程整理得， ∵一次函数中， ∴关于的一元二次方程根的情况是有2个不相等的实数根， 故选：C． 4.（2025·安徽六安·二模）如图，在中，点B在x轴上，且，，，反比例函数的图象经过点A，若点A的横坐标为2，则 ． 【答案】6 【分析】根据三角形全等，即可求出C点坐标，把C点坐标代入反比例函数中，即可求出k的值． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，求得E的坐标是解题的关键． 【详解】解：过点A和C点做作x轴的垂线，分别垂于D、E，如图所示： ，点A的横坐标为2，反比例函数的图象经过点A，C， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点坐标为， ， ． 故答案为：． 5.（2025·安徽亳州·三模）已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，点A关于x轴的对称点为，B为y轴上任意一点，若的面积为6，则k的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查反比例函数的性质、关于x轴对称点的坐标特征及三角形面积公式，解题的关键是利用对称点得出线段长度，结合三角形面积公式建立与已知面积的关系． 【详解】设 ， 因为在上， 所以 ． ∵关于轴的对称点， ∴的长度为． ∵为轴上任意一点，以为底，（或）到轴的距离为高，， ∴ ． 化简得， 又， 所以． 故答案为：6． 6.（2025·安徽淮南·模拟预测）如图，在中，，边在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过斜边的中点，与直角边相交于点，连接． （1）该反比例函数的解析式为 ． （2）的面积为 ． 【答案】 【分析】先根据、两点在反比例函数的图象上，得到关于的方程求解，从而可求出反比例函数的解析式，再求出点A坐标，进而即可求解 【详解】解：∵反比例函数的图象经过斜边的中点，与直角边相交于点， ∴，解得：（舍去）或， ∴，， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 设直线的解析式为， 在直线上， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ，， ∴可设， 在直线上， ∴， ∴， 设到的距离为， 则 的面积为． 故答案为：． 1.（2025·安徽·模拟预测）一次函数与反比例函数的图象相交于点，其中，直线与的图象的交点纵坐标为，与的图象的交点纵坐标为，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的性质，由，则点在第二象限，又因为一次函数图象过，故有，，然后根据性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点在第二象限， ∵一次函数图象过， ∴，， ∵， ∴，， ∴的大小关系为 故选：． 2.（2025·安徽合肥·三模）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（   ） A．3 B．4 C．2或3 D．3或4 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程．先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设平移后点A、B的对应点分别为， ∴， ∵两点恰好都落在函数的图象上， ∴把代入得：， ∴ 整理得 解得：或． 故选：C 3．（2025·安徽芜湖·三模）已知一次函数与反比例函数的图象交于两点，当一次函数的值小于反比例函数的值时，的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式，函数的图象等知识点的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．把A的坐标代入反比例函数，求出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数的解析式求出B的坐标，根据A、B的横坐标结合图象即可得出答案． 【详解】解：把代入得：， 即反比例函数的解析式是， 把代入得：，解得：， 即B的坐标是， 所以当一次函数的值大小于反比例函数的值时，自变量x的取值范围是或， 故选：C． 4．（2025·安徽滁州·三模）反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，以及分式求值．熟练掌握交点坐标同时满足反比例函数解析式和一次函数解析式，利用整体思想，进行求值，是解题的关键． 根据反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，得到，利用整体思想代入，求值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴ ； 故选：A． 5．（2025·安徽池州·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点横坐标为1，点纵坐标为点纵坐标的2倍． （1）点的横坐标为 ； （2）不等式的解集为 ． 【答案】 2 或 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，涉及到一次函数与反比例函数的性质，一次函数及反比例函数图象上点的坐标特征等知识，数形结合是解题的关键． （1）设，由点纵坐标为点纵坐标的2倍，可得点纵坐标为，再由一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，可得点横坐标为； （2）由可得，一次函数与关于原点对称，可得一次函数与反比例函数的图象交于两点，且与B，A两点关于原点对称，再求解即可． 【详解】解：（1）设， 点纵坐标为点纵坐标的2倍， 点纵坐标为， 一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点， 点横坐标为， 故答案为：2； （2）由可得， 一次函数与关于原点对称， 一次函数与反比例函数的图象交于两点，且与B，A两点关于原点对称，如下图， 点C、D两点的横坐标分别为， 根据函数图象，不等式的解集是或． 故答案为：或． 6．（2025·安徽·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，以为斜边作等腰，交轴于点，连接．沿着折叠得到，若点的对应点落在边上． （1） ；（2）过点作轴于点，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的图象和性质，特殊角的三角函数值． （1）利用特殊角的三角函数值求解即可； （2）证明，求得，证明，列式计算即可求解． 【详解】（1）由折叠的性质知，， 在等腰直角三角形中，， ； 故答案为：； （2）如图，过点作轴于点，连接，则， 直线与反比例函数的图象交于点和点， 为的中点， ，， ，， ，轴于点， ，， ， ，， ， ， 轴，轴， ∴， ， ， ， ， ． 故答案为：． 7．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，交反比例函数的图象于点、点，，过点作轴于点，射线交轴于点，连接．完成下列探究： （1）若点的坐标为，则点的坐标为 （用含，的代数式表示）； （2）若的面积是4，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质， （1）作，证明，得到，进而得到，根据点的坐标为，得到，，进而得到，求出点坐标即可； （2）根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，利用分割法列出方程进行求解即可． 【详解】解：（1）作， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴，， ∴， ∴，即：， 故答案为：； （2）由（1）设点的坐标为，则：，， ∴， ∵，的面积是4， ∴， ∴ ， ∴； 故答案为：． 8．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，反比例函数的图象交一次函数的图象于和两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)将直线向下平移5个单位长度得到直线l，已知点P，Q分别为x轴、直线l上的动点，当的值最小时，求点 P 的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式，反比例函数的解析式 (2)或 (3) 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与不等式的关系，平移的性质，平行线之间的距离等知识，利用数形结合思想是解题的关键． （1）将代入反比例函数得，，再根据点B在反比例函数图象上，可得B的坐标，将点，代入中，解方程即可得出答案； （2）根据图象直接可得解集； （3）设平移后的直线为l，解析式为，过点B 作直线l的垂线，垂足为 Q，交x轴于点 P，此时的值最小，过点B作轴于C，利用等腰直角三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为 ， ∵点 在反比例函数 的图象上， ∴， ∴， 将点，代入，得 ， 解得 ， ∴一次函数的解析式为； （2）解：根据图象可知：不等式的解集为：或； （3）解：把的图象向下平移5个单位长度得到的直线 l 的解析式为， 如图，过点 B 作直线l的垂线，垂足为 Q，交x轴于点 P，此时 的值最小，过点 B 作轴于点C， ∵，，，， ∴， ∴， ∴点 P 的坐标为． 9．（2025·安徽安庆·二模）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，两点，且点的横坐标和点的纵坐标都是，直线交轴于点． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)请直接写出反比例函数图象在一次函数图象上方时，的取值范围． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的图象与性质等知识，注意数形结合思想的运用． （1）根据点A的横坐标与B点的纵坐标都为，分别代入反比例函数式中即可求得A、B的坐标，再利用待定系数法即可求得直线解析式； （2）由（1）所求直线解析式可求得点M的坐标，再由即可求解； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数与一次函数的图象交于，两点，且点的横坐标和点的纵坐标都是， ，， 一次函数的图象过、两点， ， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：令，则， ， ， ， ； （3）解：观察函数图象发现： 当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方． 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，设A点坐标为，点C的坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：设A点坐标为，点C的坐标为， 则点B的坐标为，点D的坐标为， 又∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 又∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ， 故选：D． 2．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 设，可证明，则，，那么，再由，即可求解． 【详解】解：设， 由题意得， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2025·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了双曲线的解析式，点的坐标与线段长度，解题的关键是得出双曲线的解析式． 把点的坐标代入，可得双曲线的解析式，结合已知的线段长度求出点和点的横坐标，代入解析式可得纵坐标，作差即可． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， ∴双曲线， ∵“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， 故选：． 4．（2025·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A作直线交x轴于点C，连接，则的面积是 ． 【答案】20 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，求出的值，设，根据，利用勾股定理求出的值，进而求出的长，进而求出的面积即可． 【详解】解：∵直线与双曲线交于，两点， ∴， ∴， ∴， 设， 则：，，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积是； 故答案为：20． 5．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，找规律，由题意得，当时，有最小值；，当时，有最小值；，当时，有最小值；然后通过规律即可求解，找出题中规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ； ，当时，有最小值； 故答案为：． 6．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查反比例函数图象和性质，相似三角形的性质，平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由可得，利用对应边成比例及可求出A、B两点坐标，则反比例函数的表达式可求． （2）由A、B两点坐标可知轴，根据点、分别在反比例函数和的图像上，设出两点坐标，因为、与点A、构成以为边的平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为，且点在反比例函数的图象上，代入得： ， ， 作轴，轴，如图， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ， ∵，点的坐标为， ， ，， ， ， 在反比例函数的图像上，代入得： ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵、分别在反比例函数和的图像上， ∴设，， ∵，， ∴轴，且， ∵、与点A、构成以为边的平行四边形， ∴，且，如图， ∴轴，且， ∴ 由②得：， 代入①得： 解得：（舍）， 则， ∴． 故答案为：． 7．（2025·四川巴中·中考真题）如图，直线与双曲线交于两点． (1)求m和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2) (3)16 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，一次函数与反比例的交点与不等式的解集的关系，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键． （1）已知双曲线过点，将点的坐标代入双曲线方程，即可求出的值，先将点的坐标代入双曲线方程求出的值，再将点和的坐标代入直线方程，联立方程组求解和的值，进而得到直线的表达式． （2）根据函数图象，找出直线在双曲线上方时的取值范围，即为不等式的解集． （3）可先求出直线与x轴的交点，然后根据三角形面积公式，将的面积转化为与的面积之和进行计算． 【详解】（1）解：点在双曲线上， ， 又在双曲线上， ，解得． 由题意得：，解得， ． （2）解：由（1）可知，， 所以不等式可化为， 根据函数图象，直线在双曲线上方时，的取值范围是， 所以不等式的解集为． （3）解：如图，设直线与轴交于点， 当时．， ， ， ． 8．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点关于原点对称．该函数图象上另有两点，它们的横坐标分别为，其中．依次作直线与轴分别交于点，直线与轴分别交于点．记，． (1)若，求的长； (2)求代数式的值； (3)当，时，求点关于直线对称的点的坐标． 【答案】(1)； (2)10； (3)． 【分析】（1）先确定反比例函数解析式，得到坐标，再求直线解析式，进而确定点坐标，算出 ． （2）设出直线、解析式，求出、表达式，化简计算得结果 ． （3）利用已知条件求出、，确定、直线等相关点和解析式，结合对称性质求解 ． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， ∵在函数图象上， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为， ∴； （2）解：设直线的解析式为， ∵， ∴的解析式为， 设直线的解析式为， ∵， ∴的解析式为， ∴， ∴．同理，． ∴； （3）解：∵， ∴ 由（2）得， ∴ ∵， ∴． ∴，， ∴， ∵， ∴的解析式为，的解析式为． ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵点关于直线对称的点， ∴线段的中点为， ∴点关于直线对称的点的坐标为即． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三章函数 第04讲 反比例函数 目 录 01考情剖析•命题前瞻。 1 02•知识导航网络构建， 3 03考点解析•知识通 4 04命题洞悉•题型预测 15 题型01反比例函数的定义 题型02反比例函数的图象 题型03反比例函数的增减性 命题点一反比例函数的图象与性质 题型04比较反比例函数值的大小 题型05k的几何意义 题型06求反比例函数的解析式 题型01物理学中的反比例关系 命题点二反比例函数的实际应用 题型02构建反比例函数的模型解决实际问题 05·重难突破·思维进阶难.… 34 突破一反比例函数与一次函数的综合 突破二反比例函数与几何的综合 06·优题精选练能提分… 43 基础巩固一能力提升一全国新趋势 -01- 考情剖析·命题前瞻 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 1.理解与掌握反比例函数相关概念 反比例函 2.能画反比例函数的图象，根据图象和表 数的图象 安徽卷T18 安徽卷T6 安徽卷T9 达式y=水(k≠0)探索并理解k>0和k<0 与性质 时图象的变化情况。 3.能根据已知条件确定反比例函数的表达 1/26 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 式 4.理解与掌握反比例系数k的几何意义： 反比例函 数的实际 安徽卷T14 能用反比例函数解决筒单实际问题 应用 反比例函数是非常重要的函数，考察频率较高，总分值为4-15分左右，常考考点为：反比 例函数图象的性质k的几何意义、双曲线上点的坐标特征以及反比例函数与一次函数的交 点问题等其中反比例函数与一次函数的综合考察最多，且多为选择和填空，在2025年的 命题预测 中考中则以解答题的形式进行考查结合其他几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性 较强 综合反比例函数以上特点，考生在复习该考点时，需要准备堂握其各性质规律，并日多注 意其与一次函数和几何图形结合题的思考探究 2/26 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -02- 知识导航·网络构建 概念：三种表示方法 二次函数的解析式 待定系数法求函数解析式 k>0 一、三象限 象限 k<0 二、四象限 比例函 k>0 在每个象限内递减 增减性 k<0 在每个象限内递增 的 轴对 称性 直线y=x/值线y=-x 对称性 象与性 中心 对称 关于原点成中心对称 与坐标轴无交点 图象上任一点向两坐标轴 作垂线形成的矩形面积一 反比例函数 定为k k的几何意义 图象上任一点向任意一坐标 轴作垂线，与另一坐标轴上 任意一点连接形成的三角形 面积一定为k的一半 交点问题 联立解析式构建分式方程求解 反比例函数与一次函数 综合 求出交点横坐标 不等式解集问题 根据交点和y轴确定范围 构建反比例函数模型解决实际问题 反比例函数的实际应用 密度公式 物理学中的反比例关系 压强公式 欧模定律 3/26 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -03- 考点解析·知识通关 考点一 反比例函数的图象与性质 知识·核心梳理 1.反比例函数的概念：一般地，形如y=(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数反比例函数的解析式也可以 写成xyk(k0、xy0)、y=x-1(k≠0)的形式. 2.反比例函数的图象与性质 1)反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与×轴、y轴都没有交点，即双曲线的两 个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴， 图象特征 2)反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x,对称中心为原 点。 表达 y=(k为常数，k≠0) 式 图象 性 k>0 k<0 质 经过 一、三象限(x、y同号) 二、四象限(x、y异号) 象限 增减 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 性 ①图象关于原点对称，即若(a,b)在双曲线的一支上，则(-a,b)在双曲线的另一支上， 对称 ②图象关于直线y=x对称，即若(a,b)在双曲线的一支上，则(b,a)在双曲线的另一支上： 性 ③图象关于直线y=一x对称，即若(a,b)在双曲线的一支上，则(-b,a)在双曲线的另一支上 即：反比函数的图象关于直线y=x成轴对称，关于原点成中心对称 反比 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 例函 (1) 设反比例函数的解析式为y=(k为常数，k0); 数解 (2)把已知的一对x,y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 4/26 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 析式 (3)解方程求出待定系数k; 的确 (4) 将所求的k值代入所设解析式中 定方 法 3.涉及自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标.针对y1>y2时 自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围. 4求一次函数与反比例函数的交点坐标 (1)从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定. ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； (2)从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况. 5k的几何意义 一点一垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面 积为k 一点两垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为k 两点一垂线 5/26 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于k, 结论：SAABC=2 SAARO=k 【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分 的两个三角形面积之和. 两点两垂线 【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2k 1 两点和原点 方法· 方法二 方法 方法-：S△AOB=S△cOD一S△AOC一SABOD·【分割】 方法二：作AEK轴于点E,交OB于点M,BFK轴于点E,而SAOAM=S四边形MEFB,则 S△AOB=S直角梯形AEFB· 方法三：S△AOB=S四边形COFD一S△AOC一SABOF.【补形】 6/26 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法四：SAAOB=S△AOD一SABOD=OD·(IyA-yBl) 方法五：S△AOB=S△BOC-SAA0C=OC.(KB-KA) 两曲一平行 【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点 围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解， 类型一两条双曲线的k值符号相同 Vy= 结论：S阴影=k1k2 K2 E 结论：S阴影=k1k2 S阴影=k1k2S直角梯形AFDE 类型二两条双曲线的k值符号相同 k 7/26 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 结论：S△AOB= SAACB-(kk S阴影=k叶k2 真题·实战精练 1.(2025安徽中考真题)如图，在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=x+4(a≠0)与反比例函数y生 (k≠0)的图象交于A,B两点，已知点A和B的横坐标分别为6和2. D 0 (I)求a与k的值； (2)设直线AB与x轴、y轴的交点分别为C,D,求△COD的面积. 2.(2024安微中考真题)已知反比例函数y=(k≠0)与一次函数y=2-x的图象的一个交点的横坐标为3， 则k的值为() A.-3 B.-1 C.1 D.3 3.(2023·安徽.中考真题)如图，0是坐标原点，Rt△0AB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB=2,∠A0B =30°，反比例函数y=(k>0)的图象经过斜边0B的中点C. (1)k= (2)D为该反比例函数图象上的一点，若DBIIAC,则OB2-BD的值为 4.(2023·安微中考真题)己知反比例函数y=(k≠0)在第一象限内的图象与一次函数y=一x+b的图象如图 所示，则函数y=x2-bx+k-1的图象可能为() 8/26 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 k y=-x+b 考点二反比例函数的实际应用 知识·核心梳理 1.用反比例函数解决实际问题的步骤： 审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； 设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； 列：由题目中的己知条件列出方程，求出待定系数： 写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； 解：用函数解析式去解决实际问题， 2利用反比例函数解决实际问题，要做到： (1)能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； (2)注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； (3)问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明. 真题·实战精练 9/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(2025·吉林长春.中考真题)在功W()一定的条件下，功率P(W与做功时间t(s)成反比例，P(W)与t(s) 之间的函数关系如图所示.当25≤t≤40时，P的值可以为（) AP(W) 20- 60 t(s) A.24 B.27 C.45 D.50 2.(2025·江苏南通中考真题)如图，一块砖的A,B,C三个面的面积比是5：3：1.如果B面向下放在地 上，地面所受压强为aPa,那么C面向下放在地上时，地面所受压强为 Pa. A B 3.(2025·贵州中考真题)小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔(go)的古代汲水工具（如图 ①)，有一横杆固定于桔槔上0点，并可绕0点转动.在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物 体，且0B=1m.若图中人物竖直向下施加的拉力为F,当改变点A与点0的距离1时，横杆始终处于水平状 态，小星发现F与有一定的关系，记录了拉力的大小F与的变化，如下表： 点A与点0的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 120 桔槔 B 图① (1)表格中a的值是_； (②)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与之间的关系，在如图②所示的平面直角坐标系中，描 出表中对应的点，并画出这个函数的图象； 10/26