6.2.1 空间向量基本定理（题型专练，3基础&4提升题型+培优）高二数学苏教版选择性必修第二册

6.2.1 空间向量基本定理 题型一 空间向量的基本定理概念辨析 1．【多选题】（25-26高二上·贵州遵义·月考）在以下命题中，不正确的命题有（   ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 D．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 【答案】ABD 【分析】根据向量共线、向量共面、向量平行及基底的相关知识逐项分析即可. 【详解】选项A：若，则，即， 化简得，即，所以，反向共线. 当，共线时，不一定有，如，同向时就不成立， 所以是，共线的充分不必要条件，A错误； 选项B：当，时，，但不存在实数，使，故B错误； 选项C：假设存在，，，使得， 整理得. 因为为空间的一个基底，所以不共面， 则，解得，所以不共面，能构成空间的另一个基底，故C正确； 选项D：若，，，四点共面， 则存在实数，，，使得，且. 已知，，所以，，，四点不共面，D错误. 故选：ABD. 2．【多选题】（25-26高二上·广东深圳·月考）若是空间向量的一组基底，则下列各组中能构成空间向量的一组基底的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据空间向量基本定理，以及空间向量基底的性质，逐一判断各选项正误，判断结果. 【详解】对于A，因为是空间向量的一组基底，所以不共面，所以也不共面， 所以能构成空间向量的一组基底，故A正确； 对于B，假设存在实数，使得， 则，所以，此方程无解， 所以向量不共面，所以能构成空间向量的一组基底，故B正确； 对于C，显然不存在实数，使得， 所以不共面，所以能构成空间向量的一组基底，故C正确； 对于D，因为， 所以共面，所以不能构成空间向量的一组基底，故D错误. 故选：ABC. 3．【多选题】（25-26高二上·河南南阳·月考）若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量不可以作为基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AC 【分析】根据基底的概念分别判断各选项. 【详解】A选项：设，即， 解得，即， 所以，，不能作为空间向量的基底，A选项正确； B选项：设，即，方程无解， 所以向量，，不共面，可以作为空间向量的基底，B选项错误； C选项：设，即， 解得，即， 所以向量，，不能作为空间向量的基底，C选项正确； D选项：设，即，方程无解， 即向量，，不共面，可以作为空间向量的基底，D选项错误； 故选：AC. 4．【多选题】（23-24高二上·福建厦门·月考）已知空间向量,,都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（   ） A．向量的模是3 B．可以构成空间的一个基底 C．向量和夹角为锐角 D．向量与共线 【答案】BC 【分析】利用空间向量的模长公式可判断A选项的正误；利用空间向量数量积公式得出、、两两垂直，可判断B选项的正误；利用空间向量夹角的余弦公式可判断C选项的正误；利用空间向量夹角的余弦公式计算出与夹角的余弦值，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，， ∴，A选项错误； 对于B选项，因为空间向量,,都是单位向量，且两两垂直， 则、、均为非零向量， ∵，，， 所以，、、两两垂直，则可以构成空间的一个基底，B选项正确； 对于C选项，，C选项正确； 对于D选项，， ，同理可得， 所以，， ∵，则，D选项错误. 故选：BC. 5．（25-26高二上·江苏无锡·期中）定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标，已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据条件有，设，利用空间向量基本定理列式即可求解. 【详解】因为向量在基底下的坐标为，则， 设， 则，解得，所以向量在基底下的坐标为， 故答案为：. 题型二 由基底表示向量 1．（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，空间四边形OABC中，点M、N分别是OA、BC的中点，若以｛，，｝为基底，则 【答案】 【详解】本题考查空间向量的线性运算，空间向量基本定理．根据空间向量的线性运算即可得答案． 【解答】如图所示，连接， 则，， 所以. 故答案为：. 2．（25-26高二上·贵州黔南·月考）如图，在平行六面体中，，，，点M为线段的中点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量线性运算性质进行求解即可. 【详解】 . 故选：C 3．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）在三棱锥中，，点在线段上，且，点为中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量线性运算直接求解即可． 【详解】如图， ， ， 则． 故选：A． 4．（25-26高二上·山东枣庄·月考）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 5．（25-26高二上·天津静海·月考）如图，分别是四面体的棱的中点，点在上且满足，若，则与相等的向量是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算，结合中线向量性质，即可求解. 【详解】由可得：， 又因为分别是四面体的棱的中点， 所以， 又因为， 所以， 故选：D. 题型三 由空间向量基本定理求参数 1．（湖南省常德市沅澧共同体2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题）已知正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，连接，利用三角形法则和三角形重心的性质以及中线的性质即可求解. 【详解】如图，取中点，连接， 因为是的重心，， 所以 ， 所以. 故选：B 2．（25-26高二上·辽宁大连·期末）如图，M是三棱锥的底面的重心.若，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算结合给定条件求解参数，再求值即可. 【详解】是三棱锥的底面的重心， ，由向量加法法则得， ， ， ， 而 ， ， ，，，则. 故选：A 3．（25-26高二上·陕西商洛·月考）在空间四边形中，点在线段上，且为线段的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量线性运算法则，整理计算，即可得答案. 【详解】由题意 . 所以. 故选：C 4．（25-26高二上·河北石家庄·月考）在平行六面体中，是的中点，为平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理，结合空间线性运算及共面向量定理计算得解. 【详解】在平行六面体中，是的中点， 对于AB，， 而，不共面，因此，A正确，B错误； ，则 ， 于是 ，由为平面内一点， 得共面，由共面向量定理得，因此，C正确，D错误. 故选：AC 5．（25-26高二上·河南·期中）在四面体中，是的重心.记，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由空间向量的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】连接并延长交于， 因为是的重心，所以为的中点， 所以， ， 所以， 所以. 故选：B. 题型一 由空间向量基底求长度 1．（25-26高二上·河南濮阳·期中）如图，在三棱锥中，，，，，二面角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量基本运算，用表示出来，平方即得答案. 【详解】， 平方得：， 因为，，所以， 所以， 故 . 故选：C 2．（25-26高二上·天津·月考）如图所示，在棱长均为1的平行六面体中，，点为与的交点，则的长为 . 【答案】 【分析】利用图形关系和向量的线性运算得到，再由模长和数量积的运算律计算可得. 【详解】由图可得， 所以 . 故答案为：. 3．（25-26高二上·陕西商洛·期中）如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点.则的长等于 .    【答案】 【分析】先结合题意得到，再利用空间向量数量积的运算法则求解即可. 【详解】以作为一个基底， 由题意知，， 由数量积的定义可得， 同理可得， 又，可得 ， 故. 故答案为： 4．（2025高三上·重庆·专题练习）已知正四面体的棱长是1，点是棱上的点，且，点是棱的中点，则MN的长是 ． 【答案】/ 【分析】取空间向量的一个基底，表示出向量，再利用空间向量数量积运算律求解. 【详解】在正四面体中，， ，点是棱的中点， 则， 因此 . 故答案为：， 5．（25-26高二上·上海静安·期中）如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，，则的长为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，用向量表示向量，再利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】在四棱柱中，不妨设，，， ， ，， 所以. 故答案为： 题型二 由空间向量基底证明平行 1．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）以为基底表示出，根据向量相等来证得. （2）设，利用基底表示出，通过计算得到，从而判断出不存在符合题意的点. 【详解】（1）当为的中点时， ， ， 所以． （2）设，则 ， 由于，， 所以 ， 即，故不存在点使得． 2．（22-23高二上·湖北武汉·月考）在正四棱锥中，点分别是棱上的点，且，其中． (1)若，且平面，求的值； (2)若，且点平面，求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由平面利用共面定理可得再将转化为用来表示，再利用空间向量的基本定理即可求解. （3）由点平面，可知四点共面，再利用共面定理的推论即可求解. 【详解】（1） 且， 在正四棱锥中， 可得， 即， 又平面 所以存在实数使得， 即 ， 又且不共面， 解的. （2）由（2）可知 又且， 可得 又点平面，即四点共面 所以解得. 题型三 由空间向量基底证明垂直 1．（24-25高二上·山东·期中）如图，N是三棱柱的棱的中点， (1)若，求的值； (2)若，，平面，点M在棱上，使，求的值. 【答案】(1)-1 (2) 【分析】（1）利用空间向量的基本定理求解即可； （2）设，先利用向量的基本定理求得，因为，所以，求解即可求得. 【详解】（1） ， 而，则，，， 所以 （2）假设存在点，使，设， . 由题意可知设， 又，， 则，， 因为，所以， 即， ∴ . ∴，即，解得， 即时， 则. 2．（21-22高一下·山东青岛·期末）如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点.    (1)用、、表示向量； (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，当时， 【分析】（1）利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式； （2）假设存在点，使得，设，将、用基底表示出来，根据题意可得出，利用空间向量数量积的运算性质求出的值，即可得出结论. 【详解】（1） （2）假设存在点，使得，设， 则， 因为，所以， 即， 所以，， 设，又，， 所以，， 即，解得， 所以当时，. 3．（24-25高二上·北京丰台·期中）如图所示，在三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上，且. (1)用表示向量； (2)求； (3)求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据向量的线性运算结合空间向量基本定理求解即可； （2）利用数量积的运算律求解模长即可； （3）先利用向量线性运算得 ，然后利用数量积的运算律及定义求得，即可证明. 【详解】（1）； （2） ， 则； （3） ， 所以 ， 所以，即. 4．（24-25高二上·吉林·月考）如图，在正方体中，点E，F，M分别是线段，EC，的中点.设，，.    (1)用基底表示向量. (2)棱BC上是否存在一点G，使得？若存在，指出G的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在一点G，理由见解析 【分析】（1）结合空间向量的线性运算，由空间向量基本定理求解即可； （2）假设棱BC上存在点G，使得，设，由基底表示出向量，由即可求出. 【详解】（1）因为，， 所以． （2）假设棱BC上存在点G，使得，设． 因为， 所以． 因为，所以，化简得， 得，所以棱BC上不存在一点G，使得. 5．（24-25高二上·江苏南通·月考）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，为侧面的中心，记， (1)以为基底表示向量； (2)已知，，若，求长． 【答案】(1)； (2)2. 【分析】（1）结合空间向量的线性运算，用给定基底表示. （2）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律计算即得. 【详解】（1）在四棱柱中，底面是平行四边形，为侧面的中心， 则. （2）由（1）知，， 由，得 ， 由，得， 解得，所以长为2. 6．（24-25高二上·广东·月考）如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点.    (1)用，，表示向量； (2)在线段上存在一点，且，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得结果； （2）利用垂直关系的向量表示，可得，即可求得. 【详解】（1）易知； （2）易知，又； 所以； 不妨取， 可得 ， 即可得， 所以. 题型四 由空间向量基底求夹角 1．（24-25高二上·吉林·月考）如图，在三棱柱中，分别是上的点，且．设． (1)试用表示向量； (2)若，求异面直线与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由空间向量的基本定理求解即可； （2）先用基向量表示与，然后求解与以及数量积，然后计算夹角的余弦值即可. 【详解】（1）由图可得： . （2）由（1）可知， 因为， 所以，，， ， 所以， ，， 所以， 所以异面直线与的夹角的余弦值为. 2．（24-25高二上·河南许昌·月考）如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，. (1)用表示，并求EF的长； (2)求与夹角的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意结合空间向量的线性运算求，再根据向量的数量积运算求即可； （2）根据题意结合空间向量的线性运算求，再根据向量的数量积运算可得，即可得结果. 【详解】（1）因为E，F分别为棱BC，AD的中点，且，，， 可得 ， 因为正四面体ABCD的棱长为1，则，且， 可得 ， 即，所以EF的长为. （2）由题意得 ， 因此 ， 即，即与的夹角为. 3．（25-26高二上·山东枣庄·月考）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且．    (1)求的长； (2)求异面直线与夹角的余弦值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据空间向量基本定理得到，再利用模长公式即可求出答案； （2）求出，，，再根据数量积公式求向量的夹角即可求出答案. 【详解】（1）因为， 由题意得 ． （2）因为， 由题意得 ， 因为底面是边长为2的正方形，， 又， 所以 ， ； 所以异面直线与夹角的余弦值为． 4．（25-26高二上·江苏南通·月考）如图，在三棱锥中，，，，点D，E，F满足，，. (1)求线段的长； (2)求直线与所成的角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助空间向量线性运算及模长与数量积的关系计算即可得； （2）借助空间向量线性运算与数量积公式计算即可得. 【详解】（1）由，，则、分别为、中点， ， 则 ； （2）由，则， 则 ， 故，即直线与所成的角为. 5．（25-26高二上·江苏无锡·月考）如图，在三棱锥中，分别是的中点．求    (1)，用表示 (2)求异面直线所成角的余弦值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）应用空间向量的加减法计算求解； （2）连接，取的中点，连接，推导出异面直线，所成角就是，利用余弦定理解三角形，能求出结果． 【详解】（1）因为，所以， 因为是的中点， 所以； （2）    连接，取的中点，连接， 则，是异面直线，所成的角， 因为分别是的中点， 所以，，， 又，， ， 异面直线，所成的角的余弦值为． 1．（多选题）（2026·河南鹤壁·一模）如图，在四棱锥中，平面，且底面为平行四边形，的中点为，点分别在棱上（均与不重合），且，四点共面，记四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则（    ）    A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据棱锥的结构特征与体积计算，利用空间向量，可得答案. 【详解】连接． 设， 则， 因为四边形是平行四边形，为的中点， 所以． 由四点共面，可知存在实数，满足， 即， 所以则，化简得， 由，得，同理可得，所以． 对于AB，由题意知，又， 所以，故A错误，B正确； 对于C，同理可得，所以，故C正确； 对于D， 因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为，故D正确． 故选：BCD. 2．（多选题）（25-26高三上·福建福州·月考）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，点满足则下列说法中正确的是（    ） A．平面 B．若，则动点的轨迹长度为 C．若，则四面体的体积为定值 D．若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为 【答案】BC 【分析】用反证法推出矛盾可判断选项A；根据向量的线性表示可用表示出，从而可判断点的轨迹为圆弧，从而判断B；根据三点共线的向量表示可得到时点的轨迹，由等体积法可判断C；首先确定三棱锥外接球的球心位置，求出半径可求其体积. 【详解】对于A，如图1，连接.假设平面，则 ， 由正方体的性质可知平面，所以.又平面， 所以平面，不成立，所以假设不成立，故A错误. 对于B，由可知点在正方形内（包括边界）， 如图2，设在上的投影为，则，， 所以 ,又， 即，所以，所以动点的轨迹是以为圆心， 2为半径的圆弧，由弧长公式可知其长度为.故B正确. 对于C，如图3，取的中点，的中点.连接， 则，因为，所以， 所以点在线段上.由正方体的性质可知，又平面，平面， 所以平面.所以点到平面的距离与点（线段上的点均可以） 到平面的距离相等，即，所以四面体的体积为定值，故C正确. 对于D，如图4，取正方形的中心，因为为正方形的中心，所以， 所以的外接圆的圆心为的中点.又，所以的外接圆的圆心为的中点. 又平面平面，则为三棱锥外接球的球心，其半径为， 则三棱锥外接球的体积为，故D错误. 故选：BC. 3．（多选题）（25-26高三上·河南·月考）在棱长为2的正方体中，，则（   ） A．若，则 B．若，且，，则直线与所成角的最小角为 C．若，则点所在的平面截正方体所得的截面面积为 D．若，则直线和直线所成角可能为 【答案】AC 【分析】对于A，根据得到点四点共面，又平面，再根据线面垂直的定义得到；对于B，求出点的轨迹，将与所成的角转化为直线和所成的角，结合图象即可判断；对于C，先证明截面为，再求面积即可；对于D，先证明点的轨迹为平面，直线和所成角的最小角即为直线和平面所成的角，即，求出即可进行判断. 【详解】对A，若，则点四点共面，如图1， 因为是正方体， 所以平面平面，所以，所以A正确； 对B，若，且，则点的轨迹为线段， 又因为，所以与所成的角转化为直线和所成的角， 由图2可知，直线和所成的角的范围为，所以选项B错误； 对C，若，则过点的平面截正方体所得的截面为，如图3所示， 其中点分别为，的中点． 证明如下：因为， 因为点在平面内，所以， 又因为分别为的中点，所以，，， 所以， 又因为，所以， 所以，即所得的截面为， 因为正方体的棱长为2，所以是边长为的正三角形， 所以的面积为：，所以选项C正确； 对D，若，则点的轨迹为平面．证明如下：如图4所示， 在平面内任取一点为，连接，与平面的交点为， 连接，分别与平面和平面的交点为，连接， 因为平面平面，所以．因为，所以， 则．设，则， 所以， 又因为，所以， 则，即点的轨迹为平面． 直线和所成角的最小角即为直线和平面所成的角．连接， 则即为直线和平面所成的角，且，， 所以，又因为，所以，所以选项D错误． 故选：AC． 4．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点满足，其中，，，则（   ） A．当为底面中心时， B．当时，长度的最小值为 C．当时，长度的最大值为8 D．当时，长度为定值. 【答案】B 【分析】根据题意及各项的前提条件，应用数形结合、空间向量进行逐项进行分析求解判断. 【详解】当为底面的中心时，由，则 故，A错误； 当时， ， 当且仅当，取最小值为， 当时，，则点在及内部， 而是以为球心，以为半径的球面被平面所截图形在四棱柱及内的部分， 当或时，得最大值为， 综上，B正确，C、D错误. 故选：B 5．（25-26高二上·北京大兴·期中）平行六面体中，，，若，其中m，n，，给出下列四个结论： ①若点在平面内，则； ②当时，三棱锥的体积为； ③当时，长度的最小值为. 则正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据平面向量的基本定理及空间向量的加法法则即可解判断①；由题易知四面体为正四面体，结合三棱锥的体积公式求解判断②；根据空间向量的数量积定义及运算律代入计算，再由二次函数的性质及基本不等式即可求解判断③. 【详解】对于①，若点在平面内，易知有， 所以， 又，则，故①正确； 对于②，由题易知四面体为正四面体， 设在平面内的射影为点， 则为的中心，易得，． 当时，到平面的距离为， 所以，故②正确； 对于③，因为， 所以 ， 又， 由基本不等式可知， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以长度的最小值为，故③正确． 故选：D 6．（23-24高二上·重庆九龙坡·月考）如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)为定值 【分析】（1）根据空间向量基本定理进行求解； （2）设，表达出，根据平面，设存在实数，使得，表达出，，从而得到方程，得到，分和时，结合根的判别式，得到，求出为定值. 【详解】（1）因为四棱锥的底面为平行四边形，所以， 故； （2）由（1）知，，又， 所以， 则， ，， 设，又， 则， 因为平面，则存在实数，使得， 故， 所以 ， 故， 整理得，， 当时，，解得， 当时，由， 解得或， 综上，， 所以对所有满足条件的平面，点的轨迹长度为， 故为定值，. 【点睛】空间向量解决空间几何中点的存在性问题或轨迹问题，可将几何问题转化为代数问题，化繁为简，可大大节省思考量. 7．（23-24高二下·江苏连云港·月考）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形， 侧棱的长为2，且，在线段、、、分别取、、、四点且，，，.求： (1)证明：； (2)的长； (3)直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】(1)选择为基底将表示出来，从而证明，（2）利用数量积的定义求向量的模，从而求的长， （3）利用结合使用作为基底求出直线与平面所成角的余弦值. 【详解】（1），， 故，故； （2）, 故 ； （3）由，，， 故， 又， 故, 又平面，且, 故平面，即是平面的法向量， 令直线与平面所成角为， 则， 又， 故 ， 故 ， 即. 8．（24-25高二上·上海·月考）如图，在三棱锥中，，，，. (1)求，并说明异面直线与所成的角的大小在棱长度增大时是怎样变化的； (2)判断点在平面上的射影是否可能在直线上，给出你的结论并加以证明. 【答案】(1)，随长度增大，减少，故增大 (2)不可能，证明见解析 【分析】（1）将转化为计算即可，再根据向量数量积与余弦函数的单调性可知随长度增大，也增大； （2）用反证法，假设点在平面上的射影点在直线上，则有，得出矛盾故得证． 【详解】（1） ； ， 所以，因为，在上单调递减， 所以随长度增大，减少，故增大； （2）不可能，证明如下， 假设点在平面上的射影点在直线上，即平面， 且平面，由平面平面， 所以平面平面， 在中由余弦定理可得， 所以，所以，即， 由平面，平面平面， 所以平面，平面，所以， 从而，这与矛盾， 所以点在平面上的射影不可能在直线上. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.1 空间向量基本定理 题型一 空间向量的基本定理概念辨析 1．【多选题】（25-26高二上·贵州遵义·月考）在以下命题中，不正确的命题有（   ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 D．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 2．【多选题】（25-26高二上·广东深圳·月考）若是空间向量的一组基底，则下列各组中能构成空间向量的一组基底的有（    ） A． B． C． D． 3．【多选题】（25-26高二上·河南南阳·月考）若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量不可以作为基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．【多选题】（23-24高二上·福建厦门·月考）已知空间向量,,都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（   ） A．向量的模是3 B．可以构成空间的一个基底 C．向量和夹角为锐角 D．向量与共线 5．（25-26高二上·江苏无锡·期中）定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标，已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 ． 题型二 由基底表示向量 1．（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，空间四边形OABC中，点M、N分别是OA、BC的中点，若以｛，，｝为基底，则 2．（25-26高二上·贵州黔南·月考）如图，在平行六面体中，，，，点M为线段的中点，则（   ）    A． B． C． D． 3．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）在三棱锥中，，点在线段上，且，点为中点，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东枣庄·月考）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·天津静海·月考）如图，分别是四面体的棱的中点，点在上且满足，若，则与相等的向量是（　　）    A． B． C． D． 题型三 由空间向量基本定理求参数 1．（湖南省常德市沅澧共同体2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题）已知正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·辽宁大连·期末）如图，M是三棱锥的底面的重心.若，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 3．（25-26高二上·陕西商洛·月考）在空间四边形中，点在线段上，且为线段的中点，，则（   ） A． B． C． D． 4．【多选题】（25-26高二上·河北石家庄·月考）在平行六面体中，是的中点，为平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河南·期中）在四面体中，是的重心.记，若，则（    ） A． B． C． D． 题型一 由空间向量基底求长度 1．（25-26高二上·河南濮阳·期中）如图，在三棱锥中，，，，，二面角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·天津·月考）如图所示，在棱长均为1的平行六面体中，，点为与的交点，则的长为 . 3．（25-26高二上·陕西商洛·期中）如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点.则的长等于 .    4．（2025高三上·重庆·专题练习）已知正四面体的棱长是1，点是棱上的点，且，点是棱的中点，则MN的长是 ． 5．（25-26高二上·上海静安·期中）如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，，则的长为 . 题型二 由空间向量基底证明平行 1．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 2．（22-23高二上·湖北武汉·月考）在正四棱锥中，点分别是棱上的点，且，其中． (1)若，且平面，求的值； (2)若，且点平面，求的值． 题型三 由空间向量基底证明垂直 1．（24-25高二上·山东·期中）如图，N是三棱柱的棱的中点， (1)若，求的值； (2)若，，平面，点M在棱上，使，求的值. 2．（21-22高一下·山东青岛·期末）如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点.    (1)用、、表示向量； (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 3．（24-25高二上·北京丰台·期中）如图所示，在三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上，且. (1)用表示向量； (2)求； (3)求证：. 4．（24-25高二上·吉林·月考）如图，在正方体中，点E，F，M分别是线段，EC，的中点.设，，.    (1)用基底表示向量. (2)棱BC上是否存在一点G，使得？若存在，指出G的位置；若不存在，请说明理由. 5．（24-25高二上·江苏南通·月考）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，为侧面的中心，记， (1)以为基底表示向量； (2)已知，，若，求长． 6．（24-25高二上·广东·月考）如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点.    (1)用，，表示向量； (2)在线段上存在一点，且，求证：. 题型四 由空间向量基底求夹角 1．（24-25高二上·吉林·月考）如图，在三棱柱中，分别是上的点，且．设． (1)试用表示向量； (2)若，求异面直线与的夹角的余弦值． 2．（24-25高二上·河南许昌·月考）如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，. (1)用表示，并求EF的长； (2)求与夹角的大小． 3．（25-26高二上·山东枣庄·月考）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且．    (1)求的长； (2)求异面直线与夹角的余弦值． 4．（25-26高二上·江苏南通·月考）如图，在三棱锥中，，，，点D，E，F满足，，. (1)求线段的长； (2)求直线与所成的角. 5．（25-26高二上·江苏无锡·月考）如图，在三棱锥中，分别是的中点．求    (1)，用表示 (2)求异面直线所成角的余弦值． 1．（多选题）（2026·河南鹤壁·一模）如图，在四棱锥中，平面，且底面为平行四边形，的中点为，点分别在棱上（均与不重合），且，四点共面，记四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则（    ）    A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 2．（多选题）（25-26高三上·福建福州·月考）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，点满足则下列说法中正确的是（    ） A．平面 B．若，则动点的轨迹长度为 C．若，则四面体的体积为定值 D．若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为 3．（多选题）（25-26高三上·河南·月考）在棱长为2的正方体中，，则（   ） A．若，则 B．若，且，，则直线与所成角的最小角为 C．若，则点所在的平面截正方体所得的截面面积为 D．若，则直线和直线所成角可能为 4．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点满足，其中，，，则（   ） A．当为底面中心时， B．当时，长度的最小值为 C．当时，长度的最大值为8 D．当时，长度为定值. 5．（25-26高二上·北京大兴·期中）平行六面体中，，，若，其中m，n，，给出下列四个结论： ①若点在平面内，则； ②当时，三棱锥的体积为； ③当时，长度的最小值为. 则正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．（23-24高二上·重庆九龙坡·月考）如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 7．（23-24高二下·江苏连云港·月考）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形， 侧棱的长为2，且，在线段、、、分别取、、、四点且，，，.求： (1)证明：； (2)的长； (3)直线与平面所成角的余弦值. 8．（24-25高二上·上海·月考）如图，在三棱锥中，，，，. (1)求，并说明异面直线与所成的角的大小在棱长度增大时是怎样变化的； (2)判断点在平面上的射影是否可能在直线上，给出你的结论并加以证明. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $