专题07 圆中的重要模型之辅助线八大模型（几何模型讲义）数学沪科版九年级下册

专题07 圆中的重要模型之辅助线八大模型 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 5 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 7 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 9 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 11 模型5、遇90°的圆周角连直径 13 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 15 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 18 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 21 23 圆中的辅助线模型源于圆的定义、圆的有关性质（如：垂径定理、圆周角与圆心角定理等）、直线与圆的位置关系（如：切线的性质与判定定理）等。圆中的辅助线模型是对圆相关性质定理的升华，可以有助于学生更全面的认识这些性质定理。 （2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，∴，∴劣弧，故答案为：． （2025·江苏无锡·二模）如图，圆是的外接圆，是直径，若，则的度数是（   ）     A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如下图所示，连接，是的直径，， 和所对的弧为，， 在中，，．故选：B． （2025·广东广州·二模）如图，若的半径为，圆心到的距离为，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过作于，， 的半径为，圆心到的距离为，，， ，．故选C． （2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析；(2)． 【详解】（1）解：直线与相切，理由，如图，连接，， ∵直线与相切，∴，∴， 在和中，，∴，∴，∴， ∵是半径，∴直线与相切； （2）解：由（）得，，∴，， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴． 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。 证明：连AO、BO ∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90° 又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL） ∴AE=EB，∴= = 应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，（r=OA，d=OE，a=AB，），在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量。 2）圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即：∠A=∠BOC。 推论1：同弧或等弧所对圆周角相等，即：∠A=∠D； 推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°，即：∠C=90°。 3）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。如上图，若PA、PB是O的切线，点A、B为切点，则：①PA=PB；②∠APO=∠BPO；③PO是AB的垂直平分线 6）切线长定理：1）与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 7）内切圆：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。 直角三角形内切圆的半径与三边的关系：设、、分别为中、、的对边，面积为，周长为，则内切圆半径为。特别地，若，则。 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 已知AB是⊙O的一条弦，连接OA、OB，则∠A＝∠B。 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题。 例1（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）如图，为的直径，弦，垂足为E，，半径为3，则弦的长为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，连接，由，得，在中，利用勾股定理得，再由垂径定理可得． 【详解】解：连接， ∵，半径为3， ∴，， ∵，是的直径， ∴ , ∴， 故选：B． 例2（25-26九年级上·浙江温州·月考）某圆形干果盘示意图如图所示，四条隔板，，，长度均为，横纵隔板互相垂直，交于隔板的三等分点，则该干果盘的直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要运用垂径定理和勾股定理求解．过点O作于点K，连接， 由垂径定理求出，根据题意再求出，最后利用勾股定理计算圆的半径即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点K，连接， 则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 则该干果盘的直径为． 故选：B． 例3（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，是的弦，半径于点，若，，则的半径为 cm． 【答案】17 【分析】本题考查垂径定理的运用，勾股定理的运用．连接，根据垂径定理，得，设，则，根据勾股定理，即可． 【详解】解：连接， ∵是的弦，是的中点， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：． 故答案为：17． 例4（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，是直径，是的弦，于点； (1)若的半径是10，，求的长? (2)若，，求的半径？ 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理（垂直于弦的直径平分弦）并结合勾股定理列方程计算是解题的关键． （1）根据垂径定理，由得，再连接，利用勾股定理在中求． （2）设圆的半径为，则，结合垂径定理得，再用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：连接． ∵ 是直径，，， ∴ ， ∵ 是半径，， ∴在中，； （2）解：连接． 设的半径为，则，． ∵ 是直径，， ∴ ， 在中，∵ ， ∴ ， 解得； 例5（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，，交于点，，是的半径，且于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的三线合一、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据垂径定理可得，然后根据线段和差即可得证； （2）连接，设的半径为，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵，于点， ∴， 又∵是的半径，， ∴， ∴， 即． （2）解：如图，连接， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∵是的半径，，， ∴， 在中，，即， 解得， ∴的半径为． 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。 例1（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图所示，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面宽度，则水的最大深度是（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．连结，过点作半径于点，根据垂径定理得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连结，过点作半径于点， 故选：A． 例2（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图，的半径为，弦，是弦上的动点，则不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先过点作于点，连接，由垂径定理求出，再根据勾股定理求得，进而可求出的取值范围． 【详解】解：过点作于点，连接， 依题意得：，， ， ， ， ， 四个选项中只有符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理、垂线段最短，解题关键是作出辅助线，构造出直角三角形． 例3（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知的半径为，弦的长为，是的延长线上一点，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分弦．过点O作于点C，根据垂径定理求出，，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过点O作于点C，则， ，过圆心O， ， 在中，， ， ， 在中，， 故选：D． 例4（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，半径为5的经过点，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理；作于，连接，由垂径定理可得，可确定D点坐标和长度，再由勾股定理可求出长度，即可确定A点坐标. 【详解】解：作于，连接，如图所示， ∵为的弦， ∴， 点的坐标分别为， ， ， ， 在中，， 点的坐标为， 故答案为：． 例5（25-26九年级上·上海·期中）如图，梯形中，，，，，，以为直径作，交边于E、F两点． (1)求证：； (2)求直径的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】此题主要考查垂径定理、勾股定理以及三角函数的综合应用，熟练掌握，即可解题． （1）过点O作，垂足为H，首先根据，，，得出，进而根据得出，然后根据垂径定理得出，进而得出； （2）过点A作，垂足为点G，，首先根据，得出，得出四边形为矩形，进而得出，再根据三角函数得出，最后根据勾股定理得出． 【详解】（1）证明：过点O作，垂足为H， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，过圆心， ∴， ∴， 即：； （2）解：过点A作，垂足为点G，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， 在中，∵， ∴， 在中，， ∴． 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。 例1（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，内接于是的直径，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理（直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等），熟练掌握圆周角定理是解题的关键．先利用直径所对圆周角为直角得到直角三角形，再结合同弧所对圆周角相等，通过直角三角形内角和求出角度． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， 在中， ∵， ∴， 故选：． 例2（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，是的内接三角形，，若为直径，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 根据等腰三角形的性质求出，连接，利用圆周角定理得到，然后求出，然后利用同弧所对的圆周角相等即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵ ∴． 故选：B． 例3（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，是的弦，，点C是上的一个动点，且．若点M，N分别是的中点，则长的最大值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查圆周角定理，三角形中位线定理，解题的关键是由圆周角定理推出，由三角形中位线定理得到． 连接OA，OB，由圆周角定理得到，进而判定是等腰直角三角形，求出，由三角形中位线定理得到，由AC的最大值是，即可得到MN长的最大值． 【详解】解：连接OA，OB，如下图， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 点M，N分别是的中点， 是的中位线， ， 最大时，取最大值，当是该圆的直径时，取最大值， 的最大值是， 长的最大值是． 故答案为：． 例4（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形内接于，垂直平分半径，则 ． 【答案】60 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定和性质和垂直平分线的性质，理解题意是解决本题的关键． 连接，根据垂直平分线的性质和等边三角形的判定和性质可得和，则，再根据圆周角定理可得的度数． 【详解】解：连接，如下图： ∵垂直平分半径， ∴， 又∵为的半径， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故答案为：60． 例5（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，是的直径，点C、D、E在上，，连交直径于点F，交于点G． (1)求证：； (2)若点G为中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理． （1）设交于点H，根据圆周角定理得到，，进而可得，即可证明； （2）连接交于点M，根据等边对等角得到，根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，根据三角形中位线定理得到，根据证明，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：设交于点H， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接交于点M． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是中位线， ∴， ∵点G为中点， ∴， ∴（）， ∴， 在中，， 在中，， 在中，． 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。 如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造。 例1（25-26九年级上·海南海口·期末）如图，是的弦，，点C是上的一个动点，且，若点M、N分别是、的中点，则长度的最大值是（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线的性质、直径所对的圆周角为直角、解直角三角形，判断出长最大时，为直径是解题的关键． 根据三角形中位线的性质可知，则当最大时，最大，当最大时是直径，此时根据直径所对的圆周角为直角，可得，然后根据解直角三角形求得直径，即可解答． 【详解】解：∵点M、N分别是、的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当最大时，最大，当最大时是直径， 如图所示， 此时， ∵， ∴， ∴长的最大值为． 故选：B． 例2（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，点D是弧的中点，，的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理的应用，连接，求解，可得，求解，结合，可得答案． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D是弧的中点， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 例3（25-26九年级上·重庆荣昌·期中）如图，在中，是直径，弦，垂足为E，若，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理，解直角三角形等知识，熟练掌握圆周角定理，由垂径定理求出是解决问题的关键．连接，由圆周角定理得出，根据垂径定理求出，解直角三角形求解即可． 【详解】解：连接，如图所示， 是直径，， ，， ， ， 在中，， ∴， ∴的半径为， 故答案为：2． 例4（25-26九年级上·山西长治·期末）如图，内接于，于点D，连接． (1)若，求的长． (2)若，请直接写出的度数． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，以及勾股定理等知识． （1）由得，，利用勾股定理求出，进而可求出的长； （2）延长交于点E，连接，先求出，然后利用圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，延长交于点E，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 例5（25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知：如图，的直径与弦（不是直径）交于点，若，． (1)求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造出直角三角形是解题的关键． （1）如图：连接，根据是直径且，可得，由则，可得，由相似比及勾股定理即可求出的长； （2）由垂径定理和圆周角定理可得，易证，再运用相似三角形的性质即可证明结论． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵是直径，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，． ∴， ∴由勾股定理可知：． （2）证明：如图：连接， ∵是直径，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即． 模型5、遇90°的圆周角连直径 如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。 遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。 例1（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，在矩形中，，，点是矩形内部的一个动点，且，则线段长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，由四边形是矩形，则有，所以，则，得，点是在以为直径的圆上运动，如图，连接，，又，从而得当三点共线时，最小，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是在以为直径的圆上运动，如图，连接，， ∵， ∴当三点共线时，最小，如图， 由勾股定理得，， ∴， 故选：． 例2（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，勾股定理，三角形中位线的性质；根据题意，可得在为直径的圆上运动，取的中点，，连接，延长交于点，连接，取的中点，连接；勾股定理求得，根据，求得的最大值，即可求解． 【详解】如图所示，取的中点，，连接，延长交于点，连接，取的中点，连接； ∵点为坐标平面内一点，， ∴ ∴在为直径的圆上运动， 当点C与点F重合时，最长，即为 ∵点，的坐标分别为，，是的中点，是的中点 当最大时，即最大，而，，三点共线时，当在的延长线上时，最大， ∴， ∴ ∴     即点与点重合时，最大，最大值为 故选：D． 例3（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图，E为正方形内一点，，垂足为E，连接，F，G分别是的中点，若，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据三角形中位线定理得到，又有、、三点共圆，圆心为的中点，当、、三点共线时，的值最小，即的值最小，利用正方形性质和勾股定理得到，进而推出，即可求． 【详解】解：∵，分别是，的中点， 连接， ， ， 、、三点共圆，圆心为的中点， 当、、三点共线时，的值最小，即的值最小， 连接，交于点， ∵四边形为正方形，， ， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形性质，勾股定理，圆周角定理，三角形中位线定理，解题的关键在于找到最小值情况． 例4（24-25九年级上·广西河池·期末）已知四边形内接于，． (1)如图1，连接，若的半径为6，，求的长； (2)如图2，连接，若，，对角线平分，求的长． 【答案】(1) (2)AC 【分析】（1）由90度的圆周角所对的弦是直径得到是直径，则，再利用勾股定理求解即可； （2）如图2，连接，作于H，先利用勾股定理得到，再由角平分线的定义得到，则可证明，求出，由勾股定理可得． 再证明是等腰直角三角形，同理可得．在中，，据此可得答案． 【详解】（1）解：， 是直径， ∵的半径为6， ． 在中，由勾股定理，得， ∵ ∴， ； （2）解：如图2，连接，作于H， ，，， ． 平分， ， ， ． 四边形内接于，， ， 在中，由根据勾股定理，得， ∴， ∴． ， ∴是等腰直角三角形， 同理可得． 在中，， ． 【点睛】本题主要考查了弧与圆周角之间的关系，90度的圆周角所对的弦是直径，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质等等，熟知90度的圆周角所对的弦是直径是解题的关键． 例5（24-25九年级上·江苏宿迁·月考）如图，四边形的顶点在同一个圆上，且． (1)求的度数； (2)若为的中点，，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)49 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，从而进行解题． （1）设、、分别为、、，根据圆内接四边形对角互补可得，由此求出，继而求出的度数； （2）连接，根据勾股定理求出，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到，根据勾股定理、三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：设、、分别为、、， ∵四边形为圆内接四边形， ∴，即， 解得，， ∴； （2）连接， ∵， ∴为圆的直径， ∴， 的面积=，， ∵点为的中点， ∴， ∴的面积=， ∴四边形的面积． 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 如图，已知直线AB连与圆O相切于点C，连接OC，则OC⊥AB。 A B C O 已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题。 例1（25-26九年级上·山西朔州·月考）如图，与相切于点C，，，，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的性质，直角三角形的性质以及勾股定理等知识，连接，则，由得，得出，由勾股定理得；由，得，即是等腰直角三角形，可得，运用勾股定理可求出． 【详解】解：连接，如图， ∵与相切于点C， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：C． 例2（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，分别与相切于两点，点在优弧上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线的性质，四边形的内角和，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键． 连接，，根据切线的性质求出，根据四边形的内角和为求得，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，， ∵，分别与相切， ∴， ∵， ∴． ∴ 故选：B． 例3（25-26九年级上·天津河西·期末）如图，正方形，E为边上一点，以为直径的与相切．若，则这个正方形的边长为 ． 【答案】4 【分析】令切点，连接、相交于点，由切线的性质得，由正方形的性质得，从而得，，，于是，，在中利用勾股定理即可得解． 【详解】解：令切点，连接、相交于点， ∵与相切， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 即N、M分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 即， 解得， 即， ∴或， 解得：（舍去）， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、切线的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、三角形的中位线性质、解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 例4（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，过上一点C作的切线，交直径的延长线于点D，过点A作于点E，连接． (1)试猜想与的数量关系，并说明理由． (2)当B恰好是的中点时，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)．理由见解析 (2)． 【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质． （1）由切线的性质求得，推出，得到，再由，即可得到； （2）设的半径为，求得，，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：．理由如下， 连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， 设的半径为， ∴，， ∵B恰好是的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 例5（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，以为直径的交的边于点，过点作的切线交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)cm 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质： （1）连接，根据切线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）证明，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， ，， ， 为的直径， ， ， ， ， ，即， 解得：， ∴cm． 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 证明直线AB是⊙O的切线. A B C O 遇到证明某一直线是圆的切线时： （1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再证 明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线． （2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线． 例1（25-26九年级上·甘肃临夏·月考）如图，是的切线，为切点，连接交于点，且，上有一点且，连接，．求证： (1)为等边三角形； (2)是的切线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由切线的性质得出，由直角三角形的性质及圆的基本性质可得出，即可得证； （2）由等边三角形的性质得出，证明得，由切线的判定即可得证． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∵，即点为的中点， ∴， ∵点、在上， ∴， ∴， ∴为等边三角形； （2）证明：∵为等边三角形，， ∴， ∵点、在上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点，掌握切线的判定与性质是解题的关键． 例2（2025九年级上·全国·专题练习）如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点． (1)求证∶与相切； (2)若正方形的边长为1，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过作于，连接，由正方形的性质结合已知条件可得出，由三角形内角和可得出，进一步即可证明与相切； （2）由（1）易知为等腰直角三角形，为半径，设，由勾股定理可得出，进而可得出，再由勾股定理可得出，由正方形的性质可得出，求出，进而列出等式计算即可． 【详解】（1）证明∶过作于，连接， 与相切于点， ， 四边形为正方形， ， ， 又为正方形对角线， ， ∴， ， 与相切； （2）解∶由（1）易知为等腰直角三角形，为半径， 设， ∴ ， 在中，， ∴， ， ． ， ， 的半径为. 【点睛】本题主要考查了圆的性质，正方形的性质，证明某直线是圆的切线，等腰直角三角形的判定以及性质，勾股定理，平行线的性质等知识，掌握这些性质是解题的关键． 例3（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，是的直径，是的切线，切点是D，过点A的直线与交于点C． (1)求证：． (2)若，求证：是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了圆的切线的性质定理和判定，圆的半径相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）利用圆的半径相等得到，根据切线的性质得，即可证明； （2）连接，由，，得到，证明，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的切线，切点是点D， ∴， ∴； （2）连接， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在上， ∴是的切线． 例4（24-25九年级上·江苏南京·月考）如图，是的切线，为切点，点B、C、D在上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质，需要学生灵活运用所学知识． （1）连接，证明，可得，即可求证； （2）连接，根据圆内接四边形的性质以及，可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，     ∵是的切线，为切点， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 例5（25-26九年级上·北京·月考）如图，是的直径，，点在上，连接，且，及的延长线与分别相交于点、． (1)求证：是的切线； (2)如果的半径为8，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查圆的切线判定定理，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，掌握知识点是解题的关键． （1）连接，先证明，得到，即，再由，为半径，得到是的切线，即可解答； （2）连接，证明是等边三角形，得到，继而推导出，得到，则，即可解答． 【详解】（1）证明：连接，如图 ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴，即， ∵，为半径， ∴是的切线． （2）解：连接，如图 ∵是的直径 ∴， 则 ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴ ∴． 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。 利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。 例1（2025·安徽淮南·一模）如图，中，，，，的长分别为，，．则可以用含，，的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于点，作于点，作于点，连接、、，先证明四边形是正方形，得到，根据切线长定理得到，，再利用，得出；利用勾股定理得到，结合，利用因式分解的知识得出，则有；利用等面积法得到，代入数据得出，即可得出结论． 【详解】解：如图，作于点，作于点，作于点，连接、、， 是的内切圆， ，，，， ， 四边形是正方形， ， ，， ， ， 整理得：，故A选项表达式正确，不符合题意； ， ， ， ， ，故C选项表达式正确，不符合题意； ， ， 整理得：，故D选项表达式正确，不符合题意； 当时，根据等腰直角三角形的性质可知，此时，故B选项表达式错误，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的内切圆、切线长定理、正方形的性质与判定、因式分解、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握内切圆半径与三角形周长、面积之间的关系是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何知识储备，适合有能力解决几何难题的学生． 例2（2025·辽宁铁岭·二模）《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．甲乙二人俱在干地，乙东行三百二十步而立，甲南行六百步望见乙，问径几里？”意思是：如图，中，步，步，是的内切圆，切点为，，，求的直径．根据题意，的直径是（    ） A．200步 B．240步 C．280步 D．320步 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内切圆、勾股定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握三角形内切圆的性质是解题关键．首先根据勾股定理解得，设内切圆的半径为，根据三角形面积公式求得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵中，步，步，， ∴步， 设内切圆的半径为， ∵， ∴， 解得， ∴内切圆的直径是240步． 故选：B． 例3（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，切线的性质，得出四边形是正方形是解题关键．根据切线的性质得到，，，进而求得 ， 推出四边形是正方形，设，在中，利用勾股定理即可得解． 【详解】解：是的内切圆，三个切点分别为，，， ，，，，， ， ，， 四边形是正方形， 设， 在中，， 即， 解得，（舍去）， 的半径为． 故答案为：． 例4（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，点E是的内心，的延长线交于点F，交的外接圆于点D，连接，过点D作直线，使； (1)求证：直线是的切线； (2)若，，且，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，垂径定理，三角形的内心等知识，解题的关键是： （1）首先根据三角形内心的性质得出，然后利用圆周角定理、垂径定理等可得出，最后利用切线的判定即可得证； （2）先求出，然后代入计算即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵点E是的内心， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵为半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵， ∵，， ∴， ∴， ∴． 例5（24-25九年级上·广东云浮·期末）如图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点，是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)找出图中所有与相等的线段，并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴，又， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， 连接， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形内心的性质、三角形的外角性质知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 1．（25-26九年级上·吉林辽源·月考）如图，的弦垂直平分半径，垂足为，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，及用勾股定理解直角三角形，垂直平分线，熟练掌握垂径定理是解题关键． 连接，先求出，，，得到，，，由勾股定理，得到，则，即可解答． 【详解】解：连接，如图 的弦垂直平分半径，， ，，， ，，， ， ． 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，的半径是4，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，含的直角三角形，连接，则，过点O作交于点D，则可计算出，利用勾股定理求出，进一步利用垂径定理即可求出弦的长． 【详解】解：连接，则，过点O作交于点D， ∵， ∴， ， ∴． 故选：B． 3．（浙江省金华市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题）如图，点在上，点为外一点，，，则的度数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令交于点，连接、，如图所示，先判断是等腰直角三角形，得到，从而得到，再由圆周角定理得到，最后由外角性质确定，结合四个选项中的角度判断即可得到答案． 【详解】解：令交于点，连接、，如图所示： ，， ， 是等腰直角三角形，则， ， ， ， ， 是的一个外角， ， 即， 综合四个选项中的角度，只有满足要求， 故选：D． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆的基本性质、勾股定理的逆定理、圆周角定理、三角形外角性质等知识，熟记相关几何性质是解决问题的关键． 4．（2025九年级上·山东济南·专题练习）如图，是的直径，点，在上．若，，则(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系．连接，如图，先根据相等的弧所对的圆心角相等得到，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：连接，如图， ， ， ． 故选：B． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，是直径，点C，D在半圆上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角，掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键． 连接，根据直径所对的圆周角为直角，得到，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，相加即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是直径， ， 又， ． 故选：B． 6．（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，为直径，是的切线，为切点，交的延长线于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，直角三角形的性质等，连接，可得，即得，又由切线的性质得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线，为切点， ∴， 即， ∴， 故选：． 7．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积是（   ） A．4 B．6.25 C．9 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、切线的性质、切线长定理，熟练掌握切线长定理求内切圆半径是解题的关键． 先判断的形状，再利用切线长定理求出内切圆半径，最后计算四边形的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵是内切圆，切点为、、， ∴，，，四边形是正方形， 设内切圆半径为，则， 由切线长定理：， ∴， ∴四边形的面积， 故选：A． 8．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在中，，，I为的内心，过点I作直线分别交，于点M，N，且，则的周长为（    ） A．11 B．16 C．18 D．22 【答案】D 【分析】本题考查了内心的定义，全等三角形的判定和性质．过点I作，分别交于点D，E，连接，证明和，推出的周长即为的周长；利用平行线的性质结合等腰三角形的判定和性质求得和，据此求解即可． 【详解】解：如图，过点I作，分别交于点D，E，连接， ∴， ∵， ∴， ∵I为的内心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长即为的周长； 连接， ∵I为的内心， ∴为的平分线，为的平分线， ∴，． 又∵， ∴，． ∴，， ∴， 同理，， ∴的周长为 ， 即的周长为22． 故选：D． 9．（25-26九年级上·云南昭通·期中）如图，的半径为5，是的弦，半径，垂足为，且，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，在解答此类问题时往往先构造出直角三角形，再利用勾股定理求解． 连接，根据垂径定理得出，在中由勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：连接， ∵的半径是5 ，，， ， ∴在中，由勾股定理得：， ， 故答案为：6． 10．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，某建筑的棚顶为弓形（圆的一部分），若该弓形棚顶在水平方向上的跨度长为，该弓形的半径长为，则该棚顶的弓高为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了垂径定理的应用，过O作于C，交于D，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，然后根据线段的和差关系求出即可． 【详解】解：过O作于C，交于D， 由题意知：，，为棚顶的弓高， ∴， ∴， ∴， 即棚顶的弓高为， 故答案为：4． 11．（2025九年级·全国·专题练习）如图，为的直径，点C是的中点，过点C作于点F，交于点D．若，则的半径长是 ． 【答案】5 【分析】先根据垂径定理和点是弧的中点得，从而得出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设的半径为r． ． 是的中点， ， ． ， 解得， 的半径长是5． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 12．（北京市平谷区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷）如图，四边形内接于，为的直径．若，．则 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形内角和定理，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由圆周角定理可得，，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∵为的直径， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·陕西铜川·期末）如图，为半圆O的直径，，为半圆O的弦，D为的中点，于点M，若，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识． 如图，连接交于，连接，利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出，，，证明，构建关系式即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于，连接， 为半圆O的直径， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 即， ． 故答案为：1． 14．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，的直径为中点，点在上，且，点是上的一个动点，请你求周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，轴对称性质．先作点关于的对称点，连接，连接交于点，因为的直径，C为中点，得，再结合，得，再证明是等边三角形，运用勾股定理列式计算得，则周长，即可作答． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，连接交于点，此时有最小值，最小值为的长，如图所示： ∴， ∵的直径，C为中点， ∴点在上，，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 则周长， ∴周长的最小值是． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，是的直径，是延长线上一点，且，与相切于点，连接，且，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆的切线性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，含角的直角三角形性质．熟练掌握圆的切线性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，含角的直角三角形性质是解题的关键． 连接，由切线性质得，由等腰三角形和外角性质，推出，得到，设半径为，列出方程，求出后再结合求出的长即可． 【详解】解：连接， 与相切于点， ， 设的半径为，则， ， ， ， ， 又， ， ， 在中， ， ， ， ，即， 解得， ． 故答案为． 16．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与分别相交于点，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】设圆心为点F，圆F与的切点为D，连接、、，则有，由勾股定理可得，再由直角三角形的性质可得，又由，为圆F的直径，可得点F在直角三角形的斜边的高上时，有最小值，即为圆F的直径，再利用的面积即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为点F，圆F与的切点为D，连接、、， ∵圆F与相切，， ， ∴为直径，点F是中点， ，， 又， ， ，为圆的直径， ∴当点在直角三角形的斜边的高上时，有最小值，即为圆的直径， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形的三边关系及三角形的面积公式，根据题意可知当点F在直角三角形的斜边的高上时，有最小值是解题的关键． 17．（24-25九年级上·安徽淮南·月考）如图，O是的内心． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，，则的半径为 ． 【答案】 / 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、三角形内角和定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据三角形内角和性质，得，再结合三角形内心的性质，得，，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案； （2）过点A作于D，根据勾股定理的性质得，设的半径为r，利用三角形内切圆和三角形面积的关系列方程并计算，即可得到答案． 【详解】（1）∵， ∴， ∵O是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：； （2）如图，过点A作于D， 设，则， 根据勾股定理得， 解得， ∴， ∴， ∴． 设的半径为r， ∵，即， ∴， 故答案为：． 18．（24-25九年级上·湖北黄冈·月考）如图，在中，是的内切圆，切点分别为、、，若，则的半径为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．连接，则四边形是矩形，故，由即可求解，继而求解． 【详解】解：连接， ∵内切于， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 19．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，点是弦的中点，连接并延长，交于点．若，求的半径． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理． 连接，根据垂径定理推论得出，由勾股定理可得出的长． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为中点，， ∴，， 设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的半径为． 20．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，是的外接圆，的延长线交边于点 (1)求证： (2)若的半径为5，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，连接并延长交于点H，根据已知易得是的垂直平分线，从而利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，从而利用等量代换即可解答； （2）根据（1）得出，进而利用等边三角形的判定与性质解答即可． 此题考查等腰三角形的性质，圆的有关知识，关键是根据已知得是的垂直平分线解答． 【详解】（1）证明：连接，连接并延长交于点H， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ； （2）解：由（1）可知， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ∴ 21．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接． (1)若，，求的直径； (2)若，求的度数． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于r的方程，由圆周角定理推出． （1）设的半径是r，由垂径定理得到，由勾股定理得到，求出，即可得到的直径长； （2）由圆周角定理得到，因此，判定是等腰直角三角形，得到． 【详解】（1）解：设的半径是r，则， ∵ ∴， ∵直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的直径为； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 22．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，是半圆的直径，为半圆弧上一点，连接，垂足为是上一点，连接并延长交于点，垂足为． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，当是中点时，请直接写出的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质与圆的相关性质是解题的关键． （1）连接，利用圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质得到，即可证明结论成立； （2）证明，则，证明，则，即可证明结论成立； （3）证明，过点作于点G，过点作于点H， 则四边形是矩形， 得到根据垂径定理得到，，进一步即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ （3）解：当是中点时，则， 由（2）可知，， ∴， 过点作于点G，过点作于点H， 则四边形是矩形， ∴ 根据垂径定理得到，， ∴, 即的最大值为． 23．（25-26九年级上·天津滨海新·期末）如图，中，是直径，弦于点E，连接并延长，交于点F，连接，． (1)若，求和的度数： (2)若，，求的半径． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理和勾股定理等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）根据半径相等，求出，进而求出，再根据圆周角定理和垂直的定义，得，，计算即可求解． （2）设半径为x，先根据垂径定理求出，再利用勾股定理，列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 则，； （2），是直径，， ， 设，则， 在中，，则 即，解得， 的半径为． 24．（北京市顺义区2025-2026学年上学期九年级期末数学试题）如图，是的直径，是的一条弦，，交于点，且，连接，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据垂径定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）设，，根据勾股定理得到，求得，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：是的直径，， ，即， ， ， 是的切线； （2）解：， ， ， 设，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 25．（云南省大理州2025-2026学年上学期九年级数学期末试卷）如图，四边形中，，点E是的中点，平分，以为直径的交于点E、交于点F． (1)求的度数： (2)求证：直线与相切： (3)若，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据直径所对圆周角为即可求解； （2）连接，证明，由得到，即，即可证明直线与相切； （3）连接，交于点G，证明四边形，四边形为矩形，得到，，，根据垂径定理得到，从而是的中位线，进而，设，则，，，在中，根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵CD是的直径， ∴． （2）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切． （3）解：连接，交于点G， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴ ∵在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 26．（25-26九年级上·贵州·期末）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，过点D作于F． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为5，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线； （2）连接，由是的直径，的半径为5，得，，则，求得，由，即可求得． 【详解】（1）证明：如图，连接，则， ， ， ， ， ， 于点， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：如图，连接， 是的直径，，的半径为5， ，， ， ，， ， ， ， 的长是． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、切线的判定定理、勾股定理、直径所对的圆周角为直角、平行线的判定和性质，根据面积等式求线段的长度等知识，熟练掌握其性质并能正确地作出辅助线是解决此题的关键． 27．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，是圆的内接三角形，点在弦上，且点为的内心． (1)求证：； (2)若为直径，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆的综合，涉及三角形内心，圆周角定理，勾股定理等知识点； （1）由内心可得，，则，即可得到，得到； （2）作交的延长线于点F，由为直径，得到，则，，在中求出，再证明，得到，则，最后根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵点为的内心， ∴，， 由题意得， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （2）解：作交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 28．（2024九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心、切线的性质、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）由切线的性质可得，由四边形内角和定理和直角三角形的性质可求解； （2）由三角形面积的和差关系列出等式计算即可解答． 【详解】（1）解：，是的切线， ， 又， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接，，，， ，，是的切线， ，，， ，，， ， ， ， ． ， 的半径为1． 29．（24-25九年级上·江苏宿迁·月考）如图，是的内心，的延长线交边于点，交的外接圆于点，连接，求证： (1) (2) 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用内心的性质得出，，再利用外角性质得出，进而求出即可； （2）利用相似三角形的性质与判定得出，进而求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接、，如图所示： 为内心， ，， ， ， ，， ， ； （2）证明：， ， ， ，即， 由①知， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内心的性质以及三角形外角的性质和相似三角形的判定与性质等知识，根据已知得出是解题关键． 30．（2024·山西朔州·一模）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 在某科技杂志上有这样一道题：如图1，在中，三边分别为是的内切圆，切点分别为．求的半径． 思路分析：如图1．连接，则存，，设． 于是有， ∴．（其中S表示的面积，p表示的周长的一半） 用语言叙述：三角形的内切圆的半径． 若已知的三边长，如何求的面积呢？ 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），曾提出利用三角形的三边长求它的面积的秦九韶公式：若 则秦九韶公式为． 例如：在中，若，利用秦九韶公式求的面积． 解：， …… 任务： (1)请完成材料中利用秦九韶公式求面积的剩余步骤，并求出的内切圆的半径． (2)如图2，在中，为它的内切圆，则的长为______． 【答案】(1)剩余步骤见解析，的内切圆的半径为 (2)1 【分析】本题考查实数的混合运算，三角形的内切圆，正方形的判定和性质，正确运用材料中的公式是解题的关键． （1）利用二次根式及有理数的运算法则计算出，再根据计算的内切圆的半径； （2）先利用勾股定理求出，进而求出的周长的一半和，根据即可求出的内切圆的半径，再证四边形是正方形，即可求解． 【详解】（1）解： ， 又的周长的一半， 的内切圆的半径． （2）解：如图，连接和， 在中，， ， 设，p为的周长的一半， 则，， 的内切圆的半径． ； 又为的内切圆， ，， ， 四边形是正方形， ． 故答案为：1． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆中的重要模型之辅助线八大模型 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 5 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 7 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 9 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 11 模型5、遇90°的圆周角连直径 13 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 15 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 18 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 21 23 圆中的辅助线模型源于圆的定义、圆的有关性质（如：垂径定理、圆周角与圆心角定理等）、直线与圆的位置关系（如：切线的性质与判定定理）等。圆中的辅助线模型是对圆相关性质定理的升华，可以有助于学生更全面的认识这些性质定理。 （2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ． （2025·江苏无锡·二模）如图，圆是的外接圆，是直径，若，则的度数是（   ）     A． B． C． D． （2025·广东广州·二模）如图，若的半径为，圆心到的距离为，则（ ）． A． B． C． D． （2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求图中阴影部分的面积． 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。 证明：连AO、BO ∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90° 又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL） ∴AE=EB，∴= = 应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，（r=OA，d=OE，a=AB，），在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量。 2）圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即：∠A=∠BOC。 推论1：同弧或等弧所对圆周角相等，即：∠A=∠D； 推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°，即：∠C=90°。 3）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。如上图，若PA、PB是O的切线，点A、B为切点，则：①PA=PB；②∠APO=∠BPO；③PO是AB的垂直平分线 6）切线长定理：1）与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 7）内切圆：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。 直角三角形内切圆的半径与三边的关系：设、、分别为中、、的对边，面积为，周长为，则内切圆半径为。特别地，若，则。 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 已知AB是⊙O的一条弦，连接OA、OB，则∠A＝∠B。 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题。 例1（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）如图，为的直径，弦，垂足为E，，半径为3，则弦的长为（   ） A． B． C．2 D．1 例2（25-26九年级上·浙江温州·月考）某圆形干果盘示意图如图所示，四条隔板，，，长度均为，横纵隔板互相垂直，交于隔板的三等分点，则该干果盘的直径为（   ） A． B． C． D． 例3（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，是的弦，半径于点，若，，则的半径为 cm． 例4（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，是直径，是的弦，于点； (1)若的半径是10，，求的长? (2)若，，求的半径？ 例5（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，，交于点，，是的半径，且于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。 例1（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图所示，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面宽度，则水的最大深度是（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 例2（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图，的半径为，弦，是弦上的动点，则不可能为（   ） A． B． C． D． 例3（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知的半径为，弦的长为，是的延长线上一点，，则等于（　　） A． B． C． D． 例4（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，半径为5的经过点，，则点的坐标为 ． 例5（25-26九年级上·上海·期中）如图，梯形中，，，，，，以为直径作，交边于E、F两点． (1)求证：； (2)求直径的长． 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。 例1（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，内接于是的直径，若，则的度数是（） A． B． C． D． 例2（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，是的内接三角形，，若为直径，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 例3（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，是的弦，，点C是上的一个动点，且．若点M，N分别是的中点，则长的最大值是 ． 例4（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形内接于，垂直平分半径，则 ． 例5（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，是的直径，点C、D、E在上，，连交直径于点F，交于点G． (1)求证：； (2)若点G为中点，，求的长． 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。 如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造。 例1（25-26九年级上·海南海口·期末）如图，是的弦，，点C是上的一个动点，且，若点M、N分别是、的中点，则长度的最大值是（   ） A． B． C． D．3 例2（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，点D是弧的中点，，的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 例3（25-26九年级上·重庆荣昌·期中）如图，在中，是直径，弦，垂足为E，若，，则的半径为 ． 例4（25-26九年级上·山西长治·期末）如图，内接于，于点D，连接． (1)若，求的长． (2)若，请直接写出的度数． 例5（25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知：如图，的直径与弦（不是直径）交于点，若，． (1)求的长． (2)求证：． 模型5、遇90°的圆周角连直径 如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。 遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。 例1（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，在矩形中，，，点是矩形内部的一个动点，且，则线段长的最小值为（   ） A． B． C． D． 例2（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例3（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图，E为正方形内一点，，垂足为E，连接，F，G分别是的中点，若，则的最小值是 ． 例4（24-25九年级上·广西河池·期末）已知四边形内接于，． (1)如图1，连接，若的半径为6，，求的长； (2)如图2，连接，若，，对角线平分，求的长． 例5（24-25九年级上·江苏宿迁·月考）如图，四边形的顶点在同一个圆上，且． (1)求的度数； (2)若为的中点，，，求四边形的面积． 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 如图，已知直线AB连与圆O相切于点C，连接OC，则OC⊥AB。 A B C O 已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题。 例1（25-26九年级上·山西朔州·月考）如图，与相切于点C，，，，则（   ） A． B． C． D．3 例2（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，分别与相切于两点，点在优弧上，若，则（   ） A． B． C． D． 例3（25-26九年级上·天津河西·期末）如图，正方形，E为边上一点，以为直径的与相切．若，则这个正方形的边长为 ． 例4（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，过上一点C作的切线，交直径的延长线于点D，过点A作于点E，连接． (1)试猜想与的数量关系，并说明理由． (2)当B恰好是的中点时，请直接写出与的数量关系． 例5（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，以为直径的交的边于点，过点作的切线交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 证明直线AB是⊙O的切线. A B C O 遇到证明某一直线是圆的切线时： （1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再证 明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线． （2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线． 例1（25-26九年级上·甘肃临夏·月考）如图，是的切线，为切点，连接交于点，且，上有一点且，连接，．求证： (1)为等边三角形； (2)是的切线． 例2（2025九年级上·全国·专题练习）如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点． (1)求证∶与相切； (2)若正方形的边长为1，求的半径． 例3（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，是的直径，是的切线，切点是D，过点A的直线与交于点C． (1)求证：． (2)若，求证：是的切线． 例4（24-25九年级上·江苏南京·月考）如图，是的切线，为切点，点B、C、D在上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，则 ． 例5（25-26九年级上·北京·月考）如图，是的直径，，点在上，连接，且，及的延长线与分别相交于点、． (1)求证：是的切线； (2)如果的半径为8，，求的长． 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。 利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。 例1（2025·安徽淮南·一模）如图，中，，，，的长分别为，，．则可以用含，，的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（   ） A． B． C． D． 例2（2025·辽宁铁岭·二模）《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．甲乙二人俱在干地，乙东行三百二十步而立，甲南行六百步望见乙，问径几里？”意思是：如图，中，步，步，是的内切圆，切点为，，，求的直径．根据题意，的直径是（    ） A．200步 B．240步 C．280步 D．320步 例3（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径为 ． 例4（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，点E是的内心，的延长线交于点F，交的外接圆于点D，连接，过点D作直线，使； (1)求证：直线是的切线； (2)若，，且，求长． 例5（24-25九年级上·广东云浮·期末）如图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点，是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)找出图中所有与相等的线段，并证明． 1．（25-26九年级上·吉林辽源·月考）如图，的弦垂直平分半径，垂足为，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，的半径是4，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为（    ） A． B． C．5 D．10 3．（浙江省金华市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题）如图，点在上，点为外一点，，，则的度数可能是（   ） A． B． C． D． 4．（2025九年级上·山东济南·专题练习）如图，是的直径，点，在上．若，，则(　　) A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，是直径，点C，D在半圆上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，为直径，是的切线，为切点，交的延长线于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积是（   ） A．4 B．6.25 C．9 D．16 8．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在中，，，I为的内心，过点I作直线分别交，于点M，N，且，则的周长为（    ） A．11 B．16 C．18 D．22 9．（25-26九年级上·云南昭通·期中）如图，的半径为5，是的弦，半径，垂足为，且，则的长为 ． 10．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，某建筑的棚顶为弓形（圆的一部分），若该弓形棚顶在水平方向上的跨度长为，该弓形的半径长为，则该棚顶的弓高为 ． 11．（2025九年级·全国·专题练习）如图，为的直径，点C是的中点，过点C作于点F，交于点D．若，则的半径长是 ． 12．（北京市平谷区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷）如图，四边形内接于，为的直径．若，．则 ． 13．（25-26九年级上·陕西铜川·期末）如图，为半圆O的直径，，为半圆O的弦，D为的中点，于点M，若，则的长为 ． 14．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，的直径为中点，点在上，且，点是上的一个动点，请你求周长的最小值是 ． 15．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，是的直径，是延长线上一点，且，与相切于点，连接，且，则的长为 ． 16．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与分别相交于点，则线段长度的最小值是 ． 17．（24-25九年级上·安徽淮南·月考）如图，O是的内心． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，，则的半径为 ． 18．（24-25九年级上·湖北黄冈·月考）如图，在中，是的内切圆，切点分别为、、，若，则的半径为 ． 19．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，点是弦的中点，连接并延长，交于点．若，求的半径． 20．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，是的外接圆，的延长线交边于点 (1)求证： (2)若的半径为5，当时，求的长． 21．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接． (1)若，，求的直径； (2)若，求的度数． 22．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，是半圆的直径，为半圆弧上一点，连接，垂足为是上一点，连接并延长交于点，垂足为． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，当是中点时，请直接写出的最大值． 23．（25-26九年级上·天津滨海新·期末）如图，中，是直径，弦于点E，连接并延长，交于点F，连接，． (1)若，求和的度数： (2)若，，求的半径． 24．（北京市顺义区2025-2026学年上学期九年级期末数学试题）如图，是的直径，是的一条弦，，交于点，且，连接，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)连接．若，求的长． 25．（云南省大理州2025-2026学年上学期九年级数学期末试卷）如图，四边形中，，点E是的中点，平分，以为直径的交于点E、交于点F． (1)求的度数： (2)求证：直线与相切： (3)若，，求的长． 26．（25-26九年级上·贵州·期末）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，过点D作于F． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为5，求的长． 27．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，是圆的内接三角形，点在弦上，且点为的内心． (1)求证：； (2)若为直径，且，求的长． 28．（2024九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 29．（24-25九年级上·江苏宿迁·月考）如图，是的内心，的延长线交边于点，交的外接圆于点，连接，求证： (1) (2) 30．（2024·山西朔州·一模）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 在某科技杂志上有这样一道题：如图1，在中，三边分别为是的内切圆，切点分别为．求的半径． 思路分析：如图1．连接，则存，，设． 于是有， ∴．（其中S表示的面积，p表示的周长的一半） 用语言叙述：三角形的内切圆的半径． 若已知的三边长，如何求的面积呢？ 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），曾提出利用三角形的三边长求它的面积的秦九韶公式：若 则秦九韶公式为． 例如：在中，若，利用秦九韶公式求的面积． 解：， …… 任务： (1)请完成材料中利用秦九韶公式求面积的剩余步骤，并求出的内切圆的半径． (2)如图2，在中，为它的内切圆，则的长为______． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $