24大招专题1 旋转中的全等模型-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(沪科版)

该初中数学课件聚焦九年级下册圆的旋转全等模型，涵盖手拉手、半角、费马点三大核心模型。通过母题引入如等边三角形旋转的手拉手模型，再延伸到正方形共顶点等变式，构建从基础到应用的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于分层设计与真题结合，以母题学大招、子题练变式、大招解读为框架，融入2024各地期末质检题。通过旋转转化培养几何直观和推理意识，模型观念助力学生系统掌握方法，既提升学生解题能力，也为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

数 学 九年级下册 HK 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第24章 圆 大招专题1 旋转中的全等模型 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招1 手拉手模型 1.【2024浙江杭州期末，中】图（1）是边长分别为和 的两个等边三角 形纸片和叠放在一起（与 重合）组成的图形. 图（1） 图（2） 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 （1）操作：固定，将绕点按顺时针方向旋转 ，连接， ， 如图（2），线段与 之间具有怎样的数量关系？证明你的结论. 【解】.证明：绕点按顺时针方向旋转 , 与是等边三角形， ， ，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 （2）操作：若将图（1）中的，绕点按顺时针方向任意旋转一个角度 ， 连接，，如图（3），线段与 之间是否仍符合（1）中的结论？若是， 请证明；若不是，请直接写出与 之间的数量关系. 【解】是.证明：绕点按顺时针方向旋转的角度为 ， . 与是等边三角形，，， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 （3）根据上面的操作过程，请你猜想当 为多少度时，线段 的 长度最大？最大值是多少？当 为多少度时，线段 的长度最小？最小值是多少？ 【解】当点旋转到的反向延长线上，即 时，线段 的长度最大， 最大值为.当点在边上，即 时，线段 的长度最小，最小值为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 大招解读 手拉手模型 手拉手模型是指两个顶角相等的等腰三角形顶角的顶点重合，左底角顶点互连， 右底角顶点互连所组成的图形. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 子题练变式 正方形共顶点 2.【2024福建福州期中，难】正方形和正方形 的边长分别为3和1，将 正方形绕点 逆时针旋转. 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 （1）当旋转至图（1）位置时，连接，，则线段和 的关系为 _______________________； ，. 图（1） 【解析】设交于点，交于点 . 四边形、四边形 都是正方形， ，， ， ， . 在和中， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 ，， . ， ， .故答案为， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 （2）连接，，，如图（2）,求在旋转过程中 的面积的最大值； 图（2） 【解】如图（1），连接，，设交于点 . 四边形、四边形都是正方形， ， ，， ， ， ， . 当点在的延长线上时，点到 的距离最大，为 ，的面积的最大值为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 （3）在旋转过程中，当点，，在同一直线上时，求线段 的长. 图（3） 【解】如图（2），当在线段上时，连接交于 . 四边形是正方形，， ， ， ， 如图（3），当在线段上时，连接交于 . . ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 四边形是正方形，， ， ， ， . ， . 综上所述，线段的长为或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 关键点拨 注意分两种情形：如图（2）中，当D，，共线,点在线段 上时;如图（3）中， 当D，，共线,点在线段 上时． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 母题学大招2 半角模型 3.【2024上海闵行区质检，中】如图，正方形中，,分别在边, 上， 且 ，连接 ，这种模型属于“半角模型”中的一类.在解决“半角模 型”问题时，旋转是一种常用的解题方法.例如将绕点顺时针旋转 得 到,则可以证明“ ”，请写出证明过程. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 【证明】 四边形为正方形，， 绕点顺时针旋转 得到,，， , ， , ,,, 共 线. ， ， ， .在和中 ， ，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 大招解读 半角模型 半角模型特征：①共端点的等线段；②共顶点的倍半角.通过旋转或作辅助线可以 构造全等三角形.常见的半角模型有 角含 角和 角含 角.半角模型 在实际应用中会证两次全等，如图，和 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 子题练变式 含 的半角模型 4.【2024江苏南京质检，中】已知四边形中，， ， ， ， ，绕 点旋转，它的两边分别交 ，（或它们的延长线）于, . 图（1） 图（2） 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 （1）当绕点旋转到时（如图（1）），，， 之间的数量 关系为______________. 【解析】，，， ， ，， . ， ， ， , ，， 是等边三角形， . 故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 （2）当在上，在上，但 （如图（2））时，（1）中结论是否成 立？请说明理由. 图（1） 【解】中结论成立，理由如下：延长到，使 ，连 接 ，如图（1）. ，， . 又,， ， . ， ， ， ， . 又, ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 （3）当在延长线上，在 延长线上（如图（3））时，（1）中结论是否成立？ 若不成立，线段，， 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 图（2） 【解】中的结论不成立， . 在上截取，连接 ，如图（2）. ，， ， ， ， ， . ，， .又 ，，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 思路分析 （2）如图（1），延长到，使，连接 ，根据题意可得 ，则有，，进而可证 ，推 出 ，最后根据线段的等量关系可得结论； （3）如图（2），在上截取，连接，根据题意易得 ， 则有，，进而可证，推出 即可得 出结论． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 母题学大招3 费马点模型 5.【2025陕西西安碑林区校级质检，较难】将几何图形按照某种法则或规则变换 成另一种几何图形的过程叫做几何变换.旋转变换是几何变换的一种基本模型.经 过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现.题设和结论中的元素由分散变为集中， 相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化. 问题提出：如图（1），是边长为1的等边三角形，为 内部一点，连 接，，，求 的最小值. 方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段转化为两定点之间的折 线，再利用“两点之间线段最短”求最小值. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 问题解决：如图（2），将绕点逆时针旋转 至，连接， ， 记与交于点，易知， ， .由， ，可知 为等 边三角形，则 . 故.因此，当，，， 共线时， 有最小值，是 . 学以致用：#2 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 （1）如图（3），在中， ，，，为 内部 一点，连接，，，则 的最小值是___. 5 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 30 【解析】如图（1），将绕点逆时针旋转 得到，连接， ， ，，， ， 是等边三 角形， ，.在 中， ， 当,,, 共 线时， 有最小值，为5.故答案为5. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 31 （2）如图（4），在中， ，，，为 内部一点，连接，，，求 的最小值. 【解】如图（2），将绕点逆时针旋转 得到，连接， ， ，，， ， 是等 腰直角三角形， ，.过点作交 的延长线于 .在中， ， ， ， ，， 在中， . ，的最小值为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 32 大招解读 费马点模型 “费马点”是指到三角形三个顶点距离之和最小的点.主要分为两种情况： （1）当三角形三个内角都小于 时，通常将其中一个小三角形绕大三角形的 一个顶点旋转 . 例如：将绕点逆时针旋转 ,得到，连接 ,如图（1）,则 为等边三角形，，,即 ,当 ,,,四点共线时取得最小值，为 的长，如图（2）. 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 33 （2）当三角形有一个内角大于或等于 时，费马点就是此内角的顶点. 关键点拨 认真阅读材料，掌握辅助线的作法是解题的关键. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 34 $