陕西省西安市金太阳多校联考2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

绝密★启用前 试卷类型：A 九年级数学 注意事项： 1.满分120分，答题时间为120分钟。 2.请将各题答案填写在答题卡上。 、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求) 1.下列是y关于x的二次函数的是 A.y=1+x B.y=(x+4)2-x2 C.y=x(2x-3) D.y2=x2+3x 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,则cosB的值是 A B. c D 4-5 封 爵 第2题图 第3题图 3.如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为5cm,瓶内液体的最大深度CD为2cm, 则截面圆中弦AB的长为 A.8.6 cm B.8 cm C.6 cm D.5.4 cm 4.三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影 线 子合理的是 期 A B 5.矩形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，若点A(0,一2)，B(1, 0),且BC=2AB,则点D的坐标是 A.(3,-4) B.(4,-4) C.(4,-3) D.(5,-4) 【九年级数学O第1页（共6页】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App .如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1,S2,则S1·S2= A.5:4 B.4:3 C.3·2 D.111 y D 0 140 8 C E 5 B 第6题图 第7题图 第8题图 7.如图，在正方形网格中，点A,O,B,E均在格点（网格线的交点）上.⊙O过点A,E且与AB 交于点C,D是⊙O上的-点，则sin∠CDE= A写 B司 C.2 D.5 8.二次函数y=ar2十bx十c(a≠0)的图象如图所示.下列结论：①abc<0;②若m为任意实数， 则a+b≥am2+bm;③2a+b=0;④3a+c<0;⑤(a+c)2>b2.其中正确的结论有 A2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9.抛物线y=（红一2)2+3的顶点坐标为 10.如图，在⊙O中，∠ABC=60°，半径AO=2cm,则∠AOC所对的AC的长为 cm. 第10题图 第11题图 11.如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD,若坝顶AD=6m,坝高DE=8m,且∠C=30°，斜坡 AB的坡度i=1:1,则坝底BC的长为 m 12.大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比.如图、 B为线段AC的黄金分割点(AB>BC).若AC=40cm,则BC的长为一cm. A B C 第12题图 第13画图 第14题H 13.如图，A是反比例函数y=(x>0)的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B,C为 y轴上的一点，连接AC,BC,则△ABC的面积为 14.如图，在正方形ABCD中，E为BA延长线上的一点，取DE的中点M,连接MA利IM.若 MA=2,则MC的最大值为 【九年级数学O弟2页（共6页）】 ·c2· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 三、解答题（本大题共12小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）】 15.（本题满分5分)解方程：3(x一5)2=x2-25. 16.(本题满分5分)(-号)°+4cos60°·sim45°-√(am60°-2. 17.(本题满分5分)在ABC中，W3tanA一1|+(W2-2cosB)2=0,求∠C的度数. 18.(本题满分5分)如图，在△ABC中，∠C=30°，AB-AC.在图中，以CA延长线上一点O为 圆心作圆，使该圆经过点A,B.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) A 【九年级数学O第3页（共6页）】 ·c2· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 19.(本题满分5分)如图，在10×10的正方形网格中，点O是格点（网格线的交点），△ABC是 格点三角形（顶点在格点的三角形），且A,是点A以点O为位似中心的对应点. (1)画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A,B,C1, (2)△A,B,C1与△ABC的相似比是 20.(本题满分5分)如图，电路图上有四个开关A,B,C,D和一个小灯泡，闭合开关D或同时 闭合开关A,B,C都可使小灯泡发光. (1)任意闭合其中一个开关，小灯泡发光的概率是 (2)请用画树状图或列表的方法，求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率， 21.(本题满分6分)如图，在ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC=14,AD= 12,sinB=号 (1)求线段CD的长. (2)求tan∠EDC的值. 【九年级数学⊙第4页（共6页）】 c2· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 22.(本题满分7分)如图，学校后山坡上有一棵山楂树，小明和同学准各利用所学知识测山梳 树顶到山脚下的垂直距离.即点E到BC所在直线的距离，方案及测报告如下 测量对象 山枝树 测斌工具 平面镜、皮尺、测倾器 ①小明站在点B处，让同学移动平面镜至点C处，此时小明在平面镜内可以升到山核 树顶点E,并测量BC=3米，眼睛到地面的距离AB=1.5米， 测量方案 ②测量平面镜至山脚下的距离CD=14米， ⑤小明又站在点D处，利用测倾器测得山楂树顶的仰角∠EFN=72°.（测倾器的高度 DF=1.5米，点B,C,D在同一水平线上，BD∥FN) E 测量示意图 B 请根据以上测量报告中的数据，帮助小明求出山楂树顶到山脚下的垂直距离.（结果保留整 数.参考数据：tan72°≈3.1，sin72°≈0.95，cos72°≈0.3) 23.(本题满分7分)如图，这是将窗户抽象成的几何图形，它的上半部分是两个正方形组成的矩 形，下半部分是两个长方形组成的矩形.图中所有线段的总长为10.5m,设AE的长为xm (I)直接用含x的式子表示出矩形窗户AEFD和矩形窗户BCFE的面积. (2)当窗户的总面积为2.5m2时，求BE的长. D 24.(本题满分8分)如图，在△ABC中，∠ACB=90,D是AB上的一点，且∠BCD=号∠A, 点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C,D两点. (1)试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由. (②若snB-号，⊙0的半径为3，求AC的长。 【九年级数学⊙第5页（共6页）】 ·c2· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 25.(本题满分8分)某公园计划修建一个如图1所示的以OB为半径的圆形喷水池，喷水池中 心O处立着一个高为2m的实心石柱OA,喷水池周围安装一圈喷头，使得水流任各个方向 上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点A处汇合.为使水流形状更漂亮，要求水流在 距离石柱0.5m处能达到最大高度，与池面的距离为2.25m.在距离池面1.25m的位置， 围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水流。 (1)求圆形喷水池的半径 (2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少m? 图1 图2 26.(本题满分12分)问题提出 (1)如图1，在△ABC中，AB=AC=√89，BC=10,点O是△ABC的外接圆的圆心，则OB 的长为 问题探究 (2)如图2，矩形ABCD,AB=5,AD=8,E为AD的中点，以BC为直径作半圆O,P为半 到 圆O上一动点，则点E,P之间的最大距离为 问题解决 (3)某地有一块如图3所示的果园，果园是由四边形ABCD和弦CB与其所对的劣弧组成 的，果园主人现要从人口D到BC上的一点P修建一条笔直的小路DP.已知ADBC, ∠ADB=45°，BD=100√2米，BC=120米，过弦BC的中点E作EF⊥BC交BC于点 F,又测得EF二30米.修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素， 请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？ A 线 图2 图3 【九年级数学0第6页（共6页）】 ·c2· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap即九年级数学参考答案 1.C2.D3.B4.C5.B6.D7.A8.C 9.2.3》1a.号 11.14+8√512.(60-205)13.3 14.2+22 提示：如图，在DM的右侧构造等腰直角三角形DMF(DM=DF, ∠MDF=90°)，连接CF,FM. ,四边形ABCD是正方形， ∴.∠DAB=∠ADC=90°，DA=DC, ∴.∠DAE=90. .'EM=DM, ∴.AM=EM=DM=2, ∴.DM=DF=2, .MF=√DM+DF=2√2. ,∠MDF=∠ADC=90°， ∴.∠ADM=∠CDF .DM=DF,DA=DC, ∴.△ADM≌△CDF(SAS), .'.AM=CF=2. .CM≤CF+MF=2+2√2， .CM的最大值为2+2√2. 15.解：原方程可变形为3(x一5)2=(x十5)(x-5).… …1分 3(x-5)2-(x+5)(x-5)=0 (x-5)[3(x-5)-(x+5)]=0, 2分 (x-5)(2x-20)=0,… 3分 x一5=0或2x一20=0，…4分 ∴.x1=5,x2=10.… …5分 16解：原式=1+4x号×9V8 …3分 =1+√2-(2-√5) =√2十√3-1.… 5分 17.解：.l5tanA-11≥0，(W2-2cosB)2≥0， ∴√5tanA-1=0,/2-2cosB=0,… …2分 【九年级数学·参考答案⊙第1页（共5页）】 ·c2· tanA= 3cos B=/2 . ∴.∠A=30°，∠B=45°， ∴.∠C=180°-30°-45°=105. …5分 18.解：如图，⊙O即为所求.… …5分 19.解：(1)如图，△AB1C1即为所求.… …3分 (2)3:1.……5分 20.解：(1)4 2分 (2)画树状图如下：………… …4分 开始 BCDA C D 可得共有12种等可能的结果，闭合其中两个开关小灯泡发光的结果有6种， “任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率为2一2 61 …5分 21.解：(1)AD是边BC上的高，AD=12,sinB=5, 4 ∠ADB=∠ADC=90,sinB=12=4」 AB 5* .AB=15,BD=√/152-122=9. .BC=14, .CD=BC-BD=14-9=5.…3分 (2),E为边AC的中点，∠ADC=90°， ∴.ED=EA=EC, ∴.∠EDC=∠ECD, 【九年级数学·参考答案©第2页（共5页）】 ·c2· ∴tm∠EC=m∠BCD-80-号 …6分 22.解：如图，过点E作EM⊥BD,交BD的延长线于点M,交FN于点P. .'EM⊥BD,FD⊥BD,AB⊥BD, .∠DMP=∠FDM=∠ABC=90° .FP∥DM, B C ∴.∠FPM=∠DMP=90°， ∴.四边形DMPF是矩形， .DM=FP,PM=FD=1.5米 设DM=FP=x米，在Rt△EPF中，tan∠EFP二B .EP=FP·tan∠EFP=FP·tan72°≈3.lx(米)，…3分 ∴.EM=EP+PM=(3.1x+1.5)米，MC=CD+DM=(14+x)米 .∠ACB=∠ECM,∠ABC=∠EMC=90°， .△ABCO△EMC, 品瓷即51解得品 1.53 26 EM=3.1r+1.5=3.1×5+1.5≈8（米. 26 答：山楂树顶到山脚下的垂直距离约为8米. …7分 23.解：(1)由题意，可得AE=x,EF=2x, .S矩形AEFD=2x2.… 2分 .所有线段总长10.5m,AE=x, .BC=EF=2x,BE=3.5-3x, .S矩形FE=2.x(3.5-3x)=7x6.x2.… 4分 (2)由(1)，可得2x2+7x-6x2=2.5, 解得x1=0.5,x2=1.25. 当x=1.25时，BE=-0.25,不合题意，舍去： 当x=0.5时，BE=2, .BE的长为2m …7分 24.解：(1)直线AB与⊙O相切. …1分 理由：如图，连接OD, .OC=OD, ∴.∠OCD=∠ODC, '.∠DOB=∠OCD+∠ODC=2∠BCD, D ∠BCD= 2∠BOD. …2分 【九年级数学·参考答案⊙第3页（共5页）】 ·c2 “∠BCD=3∠A, ∴.∠BOD=∠A .∠ACB=90°， .∠A+∠B=90°， ∴.∠BOD+∠B=90°， ∴.∠BDO=90°，即OD⊥AB. ,OD是⊙O的半径， ∴.直线AB与⊙O相切. …4分 25saB8器- 5,0D=3, ∴.OB=5,∴.BC=OB+OC=8. 在Rt△ACB中，sinB=AC-3 AB 5 ∴.可设AC=3x,AB=5x, ∴.BC=√AB2-AC2=4x=8, x=2, ∴.AC=3.x=6.… ……8分 25.解：(1)以O为原点建立平面直角坐标系，则第一象限抛物线的顶点的坐标为(0.5,2.25). 设第一象限抛物线的函数表达式为y=a(x一0.5)2+2.25. …1分 将点A(0,2)代入，得a(0-0.5)2+2.25=2,解得a=-1. y=-(x-0.5)2十2.25.…2分 令y=0,则-(x-0.5)2+2.25=0, 解得x=2或x=一1（不符合题意，舍去）， ∴.圆形喷水池的半径为2m。… …4分 (2)令y=1.25,则-(x-0.5)2十2.25=1.25，…5分 解得x=1.5或x=-0.5(不符合题意，舍去)， .为了不影响水流，小水池的半径不能超过1.5m. …………44… 8分 26.解：1)9 2161 …2分 (2)9.…4分 (3)如图，作射线FE交BD于点M. ,BE=CE,EF⊥BC,BC是劣弧， .BC所在圆的圆心在射线FE上，假设圆心为点O,半径为r,连接 OC,则OC=r,0E=,-30,BE=CE=2BC=60(米). G 【九年级数学·参考答案⊙第4页（共5页）】 ·c2· 在Rt△OE℃中，r2=602+(r-30)2, 獬得r=75(米)，…7分 ∴.OE=OF-EF=45(米). 过点D作DG⊥BC,垂足为G. ,AD/∥BC,∠ADB=45, .∠DBC=45 在Rt△BDG中，DG-BG= BD-100(米). √2 在Rt△BEM中，ME=BE=60(米)， ……… ..ME>OE ∴.点O在△BDC内部. 连接DO并延长，交BC于点P,在BC上任取一点异于点P的点P',连接OP',P'D ,DP=OD+OP=OD十OP>DP',即DP>DP', ∴.DP为入口D到BC上一点P的最大距离. 过点O作OH⊥DG,垂足为H, 则OH=EG=40(米)，DH=DG-HG=DG一OE=55(米)， ∴.OD=√OH2+DH7=/402+552=5/185(米)，…11分 ∴.DP=OD+r=(5185+75)(米)， ∴.修建这条小路最多要花费40×(5/185+75)=(200185十3000)元.…12分 【九年级数学·参考答案O第5页（共5页）】 ·c2·