精品解析：2026年福建省厦门市海沧区北附学校中考一模数学试题

2025-2026学年第一学期九年级数学适应性练习 一、选择题（本大题共8小题。每小题有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 如图，中弦，相交于点P，连接，，则图中与相等的角是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. D. ， 4. 在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ） A. k＜0 B. k＞0 C. k＜1 D. k＞1 5. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，过点D作的平行线，过点C作的平行线，相交于点E．下列三角形中，可以看成由绕点O旋转得到的是（ ） A. B. C. D. 6. 某新能源企业今年第一个月生产钠离子电池的成本是450万元，由于技术升级，生产成本逐月下降，第三个月生产钠离子电池的成本是370万元．设该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 汽车经过某十字路口时，可以直行、向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，至少会有一辆右转的情况共有（ ） A. 3种 B. 5种 C. 6种 D. 9种 8. 从地面竖直向上抛出的小球离地面的高度h（单位；）与小球的运动时间t（单位：）之间满足．则下列选项中正确的是（ ） A. 和时，小球离地面的高度相同 B. 时，小球到达最高点 C. 时，小球回到地面 D. 时，小球处于下降阶段 二、填空题（本大题共8小题） 9. 不透明袋子中装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．若从袋子中随机摸出1个球，则摸出白球的概率是________． 10. 如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，，分别是，的对应点，且，，三点在同一直线上，若，，则的长为________． 11. 抛物线的对称轴是______． 12. 如图，正五边形内接于，则的度数为________． 13. 若关于x的方程没有实数根，则m的值可以是___________ （写出一个符合条件的值即可）． 14. 古代工匠确定圆形器具的圆心时，如图通常把角尺的直角顶点放在圆周上，即可找出该圆形器具的一条直径，进而找出圆心，这种方法的数学依据是________． 15. 某饮水机开机后即开始烧水，当水温到时自动停止加热，随后水温逐渐下降，根据此过程绘制了水温y（单位：）随时间x（单位：）变化的大致图象（由线段与双曲线一部分组成），如图所示．则该饮水机开始烧水后水温始终保持在以上的时间为________分钟． 16. 抛物线的顶点为A，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为B，平移前后的两条抛物线相交于点C，若为等边三角形，则m的值为________． 三、解答题（本大题共9小题） 17. 解方程：． 18. 如图，在中，点、是对角线上的两点，且，连接、，求证：. 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，中，． （1）求作，使得圆心O在边上且经过A，C两点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若的半径为2，与相交于点D．扇形的面积为，请判断与的位置关系，并说明理由． 21. 2025年4月24日是第十个“中国航天日”．某校为了解七、八年级学生对航天科技的关注程度，从七年级选拔出10名学生、八年级选拔出15名学生参与以“航天点亮梦想”为主题的知识竞赛．本次竞赛规定85分及以上成绩为优秀．学校对竞赛的成绩（单位：分）进行统计、整理如下表： 成绩 年级 七年级 3 4 3 八年级 2 10 3 （1）求七年级这10名学生成绩的平均数； （2）若这25名学生成绩在的数据是： 七年级：81，82，87，89 八年级：80，81，82，83，83，84，87，88，89，89 根据以上数据，若从两个年级的所有参赛学生中，选择一名成绩优秀的学生参与同主题更高级别的比赛，你认为该学生来自哪个年级的可能性更大？并说明理由． 22. 将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接．将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接交于点N． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，若，，，求线段的长度． 23. 圆周率是指圆的周长与其直径的比值，是无限不循环小数，其常用近似值可表示为3.141592653……．古往今来，历代中外数学家均围绕圆周率的精确估算展开了深入的探索，产生了很多方法，如我国魏晋时期数学家刘徽首创的“割圆术”，此外还有如下方法： 1．利用“布丰投针试验”估算 1777年，法国数学家布丰设计了著名的投针试验：如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上．针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟该试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 0.3300 0.3115 0.3196 0.3180 0.3209 0.3173 0.3187 0.3180 问题1：观察试验数据，当试验次数逐渐增大时，相交频率逐渐稳定在数值________附近（结果精确到0.001）；根据上述数据请你估计的近似值为________（精确到0.01）． 2．利用“莱布尼茨无穷级数”逼近 17世纪，德国数学家莱布尼茨创立微积分，推导出计算的另一种表达式 （n为非负整数） 记，则； 当时，，； 当时，，； 当时，，； ……随着n增大，逐渐逼近，的值越接近的值． 问题2：当与的常用近似值的绝对差值小于0.21时，求n的最小值． 24. 如图，点D是外接圆上的一点，于G，连接．过点B作直线交于E，交于F．若点F是的中点． （1）求证：； （2）当时，求的半径； （3）若，连接．请你探究与之间的数量关系，并证明． 25. 已知点为抛物线的顶点，其对称轴与轴的交点为，点为抛物线所在平面内一点（不与重合）．直线与抛物线分别交于点和（点在点的左侧），与轴交于点． （1）若抛物线经过点，求的值； （2）若， ①直线与直线交于点，求的最大值； ②点与点关于点对称，当，时，比较与的大小，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级数学适应性练习 一、选择题（本大题共8小题。每小题有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 如图，中弦，相交于点P，连接，，则图中与相等的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．根据圆周角定理得出即可． 【详解】解：根据圆周角定理得：， 故选：C． 2. 二次函数的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式特征，当开口向上时，函数在顶点处取得最小值． 【详解】解：∵ 的顶点坐标为，且二次项系数， ∴ 函数有最小值，最小值为． 故选：C． 3. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过因式分解法求解方程． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ 或， ∴ 方程的解为 ，． 故选：B． 4. 在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ） A. k＜0 B. k＞0 C. k＜1 D. k＞1 【答案】D 【解析】 【分析】对于反比例函数，当时，在每一个象限内，y随着x的增大而减小；当时，在每一个象限内，y随着x的增大而增大，据此进行求解即可． 【详解】根据题意可得：， 解得：， 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 5. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，过点D作的平行线，过点C作的平行线，相交于点E．下列三角形中，可以看成由绕点O旋转得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定，旋转的性质，先根据菱形的性质推出、、、全等，再根据旋转的性质得绕点O旋转得到的是． 【详解】解：∵在菱形中，对角线，相交于点O， ∴，，，， ∴、、、全等， ∴由绕点O旋转得到的是． 故选：B． 6. 某新能源企业今年第一个月生产钠离子电池的成本是450万元，由于技术升级，生产成本逐月下降，第三个月生产钠离子电池的成本是370万元．设该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及平均下降率问题，从第一个月到第三个月经过两个月下降，成本按倍变化． 【详解】解：∵ 第一个月成本为450万元，第三个月成本为370万元，且平均每月下降率为x， ∴ 经过两个月下降，第三个月成本第一个月成本， 即． 故选：D． 7. 汽车经过某十字路口时，可以直行、向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，至少会有一辆右转的情况共有（ ） A. 3种 B. 5种 C. 6种 D. 9种 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，根据题意画出树状图即可得到答案． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中至少会有一辆右转的结果数有5种， 故选：B． 8. 从地面竖直向上抛出的小球离地面的高度h（单位；）与小球的运动时间t（单位：）之间满足．则下列选项中正确的是（ ） A. 和时，小球离地面的高度相同 B. 时，小球到达最高点 C. 时，小球回到地面 D. 时，小球处于下降阶段 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意得，当时，，利用待定系数法可得，据此利用二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，当时，， ∴， ∴或（舍去）； ∴， 当时， 当时，， ∴和时，小球离地面的高度不相同，故A说法错误； ∵， ∴当时，有最大值， ∴时，小球到达最高点，故B说法错误； 当时，， ∴时，小球没有回到地面，故C说法错误； ∵，， ∴当时，h随t的增大而减小， ∴当时，小球处于下降阶段，故D说法正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题） 9. 不透明袋子中装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．若从袋子中随机摸出1个球，则摸出白球的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查简单概率的计算，解题的关键是掌握概率计算公式．直接利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：总球数为，白球数为，因此摸出白球的概率为． 故答案为：． 10. 如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，，分别是，的对应点，且，，三点在同一直线上，若，，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据旋转的性质解题即可． 【详解】解：由旋转的性质可得：， ∴， ∵，， ∴． 11. 抛物线的对称轴是______． 【答案】轴 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称轴，根据对称轴公式解答即可，掌握对称轴公式是解题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线，即轴， 故答案为：轴． 12. 如图，正五边形内接于，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形，三角形内角和定理，先根据正五边形的性质得出，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是正五边形， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 若关于x的方程没有实数根，则m的值可以是___________ （写出一个符合条件的值即可）． 【答案】2（答案不唯一，m大于1即可） 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出m的取值范围，取其内的任意一数即可． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴ ， 解得： ． 故答案为：2（答案不唯一，m大于1即可）． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键． 14. 古代工匠确定圆形器具的圆心时，如图通常把角尺的直角顶点放在圆周上，即可找出该圆形器具的一条直径，进而找出圆心，这种方法的数学依据是________． 【答案】的圆周角所对的弦是直径 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理的应用，根据的圆周角所对的弦是直径解答即可． 【详解】解：这种方法的数学依据是的圆周角所对的弦是直径． 故答案为：的圆周角所对的弦是直径． 15. 某饮水机开机后即开始烧水，当水温到时自动停止加热，随后水温逐渐下降，根据此过程绘制了水温y（单位：）随时间x（单位：）变化的大致图象（由线段与双曲线一部分组成），如图所示．则该饮水机开始烧水后水温始终保持在以上的时间为________分钟． 【答案】 【解析】 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量的值等知识，关键是读懂题意，列出函数关系式．用待定系数法分别求直线和曲线的解析式，分别求解当时，对应的x值，即可得该饮水机开始烧水后水温始终保持在以上的时间． 【详解】解：设直线解析式为：，则， 解得：， ∴温度上升段（）的解析式为：， 当时，即， 解得； 设反比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 故温度下降段（段）函数表达式： 当时，即， 解得； 则该饮水机开始烧水后水温始终保持在以上的时间为（分钟）， 故答案为：． 16. 抛物线的顶点为A，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为B，平移前后的两条抛物线相交于点C，若为等边三角形，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的平移问题，等边三角形的性质，勾股定理，首先根据顶点式确定原抛物线的顶点 A 的坐标，再写出平移后的抛物线方程和顶点B的坐标．联立两条抛物线方程求出交点C的坐标；过点C作于D，根据等边三角形的性质和勾股定理求出的长和点D的坐标，进而建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，点A的坐标为， ∵将抛物线沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为B， ∴点B的坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为， 联立，得， ∴或， 当时，，不符合题意； 当时，， 在中，当时，， ∴； 如图所示，过点C作于D， ∵是等边三角形， ∴（向右平移，m是正数）， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 故答案为： 三、解答题（本大题共9小题） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键．本题利用公式法即可求解． 【详解】解：， ， ∴， ∴ 18. 如图，在中，点、是对角线上的两点，且，连接、，求证：. 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， 在与中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，得出，根据证明即可得出结论． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的除法运算，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时， 原式． 20. 如图，中，． （1）求作，使得圆心O在边上且经过A，C两点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若的半径为2，与相交于点D．扇形的面积为，请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 解：如图，为所求作； （2） 与与相切，理由如下： 如图，连接，设， ∵扇形的面积为， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴与相切． 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图，直线与圆的位置关系． （1）作的垂直平分线交于点O，再以为圆心作即可； （2）连接，设，先根据扇形的面积为求出，即，则，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，则，于是可得到，然后根据切线的判定定理可判断与相切． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 2025年4月24日是第十个“中国航天日”．某校为了解七、八年级学生对航天科技的关注程度，从七年级选拔出10名学生、八年级选拔出15名学生参与以“航天点亮梦想”为主题的知识竞赛．本次竞赛规定85分及以上成绩为优秀．学校对竞赛的成绩（单位：分）进行统计、整理如下表： 成绩 年级 七年级 3 4 3 八年级 2 10 3 （1）求七年级这10名学生成绩的平均数； （2）若这25名学生成绩在的数据是： 七年级：81，82，87，89 八年级：80，81，82，83，83，84，87，88，89，89 根据以上数据，若从两个年级的所有参赛学生中，选择一名成绩优秀的学生参与同主题更高级别的比赛，你认为该学生来自哪个年级的可能性更大？并说明理由． 【答案】（1）85分 （2） 该学生来自八年级的可能性更大，理由如下： 七年级的优秀人数为人，八年级的优秀人数为人， ∵从两个年级的所有参赛学生中，选择一名成绩优秀的学生参与同主题更高级别的比赛，且， ∴该学生来自八年级的可能性更大． 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数，事件的可能性，熟知相关知识是解题的关键． （1）用每一组的组中值乘以对应的人数求出每一组的总得分，再求和后除以总人数即可得到答案； （2）求出两个年级优秀的人数，比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：分， 答：七年级这10名学生成绩的平均数为85分； 【小问2详解】 略 22. 将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接．将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接交于点N． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，若，，，求线段的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知旋转的性质是解题的关键． （1）由旋转的性质得到，根据等边对等角可得，再由三角形内角和定理求出的度数即可得到答案； （2）可证明都是等腰直角三角形，则可证明B、D、M三点共线；利用勾股定理可推出，证明，则． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由旋转的性质可得， ，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴B、D、M三点共线； 由勾股定理可得，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 23. 圆周率是指圆的周长与其直径的比值，是无限不循环小数，其常用近似值可表示为3.141592653……．古往今来，历代中外数学家均围绕圆周率的精确估算展开了深入的探索，产生了很多方法，如我国魏晋时期数学家刘徽首创的“割圆术”，此外还有如下方法： 1．利用“布丰投针试验”估算 1777年，法国数学家布丰设计了著名的投针试验：如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上．针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟该试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 0.3300 0.3115 0.3196 0.3180 0.3209 0.3173 0.3187 0.3180 问题1：观察试验数据，当试验次数逐渐增大时，相交频率逐渐稳定在数值________附近（结果精确到0.001）；根据上述数据请你估计的近似值为________（精确到0.01）． 2．利用“莱布尼茨无穷级数”逼近 17世纪，德国数学家莱布尼茨创立微积分，推导出计算的另一种表达式 （n为非负整数） 记，则； 当时，，； 当时，，； 当时，，； ……随着n增大，逐渐逼近，的值越接近的值． 问题2：当与的常用近似值的绝对差值小于0.21时，求n的最小值． 【答案】问题1：0.318；；问题2： 【解析】 【分析】本题考查根据频率估计概率，解不等式，代数式求值； 问题1：观察试验数据，当试验次数逐渐增大时，相交频率逐渐稳定在数值0.318附近，即，再代入计算即可； 问题2：根据题意，解得，再逐个取的值，一直到满足条件即可． 【详解】解：问题1：观察试验数据，当试验次数逐渐增大时，相交频率逐渐稳定在数值0.318附近，即， ∵，， ∴， 解得， ∴估计的近似值为， 故答案为：0.318；； 问题2：当与的常用近似值的绝对差值小于0.21时，即， 解得， ∵当时，，，不满足； 当时，，，不满足； 当时，，，不满足； 当时，，，不满足； 当时，，，满足； ∴n的最小值． 24. 如图，点D是外接圆上的一点，于G，连接．过点B作直线交于E，交于F．若点F是的中点． （1）求证：； （2）当时，求的半径； （3）若，连接．请你探究与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵点F是弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） （3） 解：．理由如下： 同（2），作于点M，连接， 由（2）知，，，， ∴， 设，则 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）根据弧中点得到，根据平行线夹弧得到，即可得证； （2）作于点M，连接， 则，根据，得到，根据，得到，得到，得到，得到，得到，即可； （3）作于点M，连接，设，则，根据，，得到，，得到，由勾股定理得到，得到，得到，得到，得到，根据，即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于点M，连接，如图， ∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的半径； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握平行弦性质，垂径定理，勾股定理解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形性质，含30°的直角三角形性质，是解决问题的关键． 25. 已知点为抛物线的顶点，其对称轴与轴的交点为，点为抛物线所在平面内一点（不与重合）．直线与抛物线分别交于点和（点在点的左侧），与轴交于点． （1）若抛物线经过点，求的值； （2）若， ①直线与直线交于点，求的最大值； ②点与点关于点对称，当，时，比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2）①的最大值为； ②，理由如下： 设点，点， 联立， 消得， ， 点，点， 设， 点与点关于点对称，， ，， ，， ， ， ， 解得， 此时，，，，， ， ， 点在以为直径的圆上，圆心坐标为，半径为， 到圆心的距离为， 点在圆上， 的最大值为直径， ． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，对称的性质，中点坐标公式，圆的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）点代入抛物线解析式即可求解； （2）①由题意得，，推出，即可求解；②设点，点，联立，则点，点，设，根据对称和可得，结合，求出，进而得到，，，推出，根据可得点在以为直径的圆上，圆心坐标为，半径为，点在圆上，则的最大值为直径，进而得到． 【小问1详解】 解：将点代入得， 解得； 【小问2详解】 解：①抛物线的顶点， 直线的解析式为， 联立， 解得， ， ， ， 当时，取得最大值，其最大值为； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $