考点小卷3 直角三角形-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学全程时习测试卷（北师大版·新教材）

考点小卷3 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=4∠C,则∠B 的度数为 A.45°B.60° C.72° D.84o 2.在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3,BC=2,则 AC的长为 () A.13 B.√13 C.5 D.5 3.如图，点C在∠DAB的内部，CD⊥AD于点D, CB⊥AB于点B,CD=CB,那么判定Rt△ADC ≌Rt△ABC的理由是 () A.SAS B.ASA C.HL D.SSS D 3题图 4题图① 4题图② 4.如图①是小明设计的秋千的主体结构，AD与 BC处安装垂直于地面的两根支柱，需要在支 柱上固定横梁AB,爸爸利用人字梯施工，人字 梯的示意图如图②所示，其中∠MPQ=60, PM=1m,爸爸站在地面上时可施工的最大高 度为1.9m(3≈1.7).爸爸站在踏板MW上 时（与爸爸在地面施工高度一致）可施工的高 度约为 A.2.65m B.2.75m C.2.85m D.2.9m 5.下列命题中，其逆命题是假命题的是（) A.全等三角形的面积相等 B.有两个角互余的三角形是直角三角形 C.两条直角边分别相等的两个直角三角形 全等 D.一个锐角和一条边分别相等的两个直角三 角形全等 6.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6,D 为边BC的中点，点E,F分别在边AB,AC上， AE=CF,则四边形AEDF的面积为（) 第一章三角形的证明及其应用何 直角三角形 ⊙满分：60分得分： A.18 B.92 C.9 D.62 T ----1--- Ai B D C 6题图 7题图 7.如图，在8×5的正方形网格中，每个小正方形 的边长都为1，且点A,B,C均在格点上，则点 B到线段AC的距离为 () A.5 B.√5 C.2 D.3 8.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,E为AC上 一点，连接BE交AD于点F,且BF=AC,DF= CD.若AD=4,CD=3,则BE= A E D c 8题图 B.5 G.4 D34 5 二、填空题（每小题3分，共9分）》 9.已知a,b,c是△ABC的三边长，若Ia-b|+ Ia2+b2-c2I=0,则△ABC是 三角 形.（填“直角”“等腰”或“等腰直角”) 10.如图，△OAB的顶点0的坐标为(0,0)，顶点 A,B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB =6,0A=0B=5,则点A的坐标是 B 10题图 11题图 11.如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直， 点P在墙面上.若AP=AB=5m,点P到AD 的距离是3m,有一只蚂蚁要从点P爬到点 B,则它爬行的最短行程是 m. 回全程时习测试卷·数学·北师版·八年级·下册 三、解答题（共27分） 12.(8分)如图，AB=BC,∠BAD=∠BCD=90° D是EF上一点，AE⊥EF于点E,CF⊥EF于 点F,AE=CF,求证：Rt△ADE≌Rt△CDF, D E B 12题图 13.(9分)中国清代数学家李之铉在其著作《几 何易简集》中记载了这样一道画图题： 原文 释义 甲乙为定直线，以甲 如图，已知射线AB,①以 为圆心，以任意之半 点A为圆心，以任意长为 径截于丙；又以丙为 半径画弧，交射线AB于点 圆心，以同度之半径 C;②以点C为圆心，以AC 作两弧而得交点丁； 长为半径画弧交①中所画 以丁为圆心，丁丙为 弧于点D;③以点D为圆 半径画弧，连丙丁而 心，以CD长为半径画弧 引长之则得交点戊； 交CD的延长线于点E; 戊甲相连 ④连接AE,CE (1)根据以上信息，请你用直尺和圆规，完成 这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据(1)完成的图，求证：△AEC是直角 三角形 A 13题图 6 14.(10分)【原题再现】已知：如图，D是△ABC 的BC边的中点，DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别 为E,F,且DE=DF.求证：△ABC是等腰三 角形；（不用解答） 【探究思考】同学们完成这道题目后，在老师 的启发下对问题进行了探究，提出了如下思 考：把题中的“D是△ABC的BC边的中点” 改为“D是△ABC内部一点，且DB=DC”,其 他条件不变，是否仍能得到△ABC是等腰三 角形？请说明理由. B4 C D 14题图参考答案及解析回 参考答案及解析 第一章三角形的证明及其应用 即∠ABC=∠ACB,∴.AB=AC, 考点小卷1三角形内角和定理 .△ABC是等腰三角形.（答案不唯一） 1.B2.D3.C4.C5.B6.D7.D 13.证明：∠A=120°，AB=AC, 8.50°9.80°10.8111.①③ ∴.∠B=∠C=30 12.解：(1)设多边形每个外角的度数是x°，则它的每个内 :DE⊥AB,DF⊥AC,.∠BED=∠CFD=90°， 角的度数是子 .∠BDE=∠CDF=60°， .∠EDF=60 根据题意，得x+ D是BC的中点，∴BD=CD. 2x=180, r∠B=∠C, 解得x=72. 在△BDE和△CDF中，BD=CD, 答：这个多边形一个外角的度数是72° L∠BDE=∠CDF, (2)这个多边形的边数是360°÷72°=5 ∴.△BDE≌△CDF(ASA), :.这个多边形的内角和是(5-2)×180°=540°. .DE=DF,∴.△DEF是等边三角形 13.解：(1)①②③ 14.解：(1)= （2)当选择图①时，证明：如答图. (2)AE=DB. :EF∥AB,.∠1=∠A,∠3=∠B. 理由：过点E作EF∥BC,交AC于点F, .:∠1+∠2+∠3=180°， 则∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°， ∴.∠A+∠2+∠B=180°， B .△AEF为等边三角形，.AE=EF=AF. 13题答图 .三角形的内角和为180 AB=AC,∴.BE=CF.ED=EC,.∠D=∠BCE. 当选择图②时， :∠DEB=∠ABC-∠D=60°-∠D, 证明：CE∥AB,.∠A=∠FCE,∠ECB=∠B. ∠ECF=∠ACB-∠BCE=6O°-∠BCE, :∠FCE+∠ECB+∠ACB=180° ∴.∠DEB=∠ECF,∴.△DBE≌△EFC, ∠A+∠B+∠ACB=180°， .DB=EF...AE DB. ∴.三角形的内角和为180. 考点小卷3直角三角形 当选择图③时，证明：：DE∥BC,DF∥AC, 1.C2.B3.C4.B5.A6.C7.B ·,∠A=∠FDB,∠B=∠EDA,∠FDE=∠AED=∠C 8.A[解析]AD⊥BC,∴.∠BDF=∠ADC=90°.：BF= .·∠FDB+∠EDA+∠FDE=180°， AC,DF=CD,.Rt△BDF≌Rt△ADC,.∠FBD= ∠DAC,BD=AD=4..·∠BFD=∠AFE,.180°-∠DAC .∴.∠A+∠B+∠C=180°， ∴.三角形的内角和为180°.（答案不唯一，选择一种方 -∠AFE=180°-∠FBD-∠BFD,即∠AEF=∠BDF= 法证明即可) 90,∴.BE⊥AC.:BC=BD+CD=7,AC=√AD2+CD 14.解：(1)①= ②∠&+∠BCA=180° =5,Sac=BC·AD=24C·BBE=BCAC4D- AC 证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°-∠. 登故选九 :∠BCA=180°-∠a,∴.∠CBE+∠BCE=∠BCA. :∠ACF+∠BCE=∠BCA,∴.∠CBE=LACF. 9.等腰直角10.(4,3) .CB=CA,∠BEC=∠CFA,∴.△BCE≌△CAF, 11.4V5[解析]按如答图所示展开，过点P作PG⊥BF .BE=CF,CE=AF. 于点G,连接PB,则AG=3m,AP=AB=5m,∴.BG= EF=CF -CE,..EF BE-AF. 8m,PG=√Ap2-AG=4m,.PB=√BG+PG= (2)EF=BE +AF. 45m,即这只蚂蚁的最短行程是4√5m. [解析]·∠BCE+∠ACF+∠BCA=180°，∠ACF+ D ∠CAF+∠CFA=180°，∠BCA=∠CFA=∠a, ·∠BCE=∠CAF.CB=CA,∠BEC=∠CFA, .△BEC≌△CFA,.BE=CF,EC=AF,∴.EF=CF+ EC BE +AF. 考点小卷2等腰三角形 1.B2.A3.A4.B5.B6.D7.A8.C 11题答图 9.4.510.511.72 12.证明：连接BD. 12.解：选择条件①②，证明如下： 在Rt△ABD和Rt△CBD中， OB=OC,∴.∠OBC=∠OCB. (BD =BD :∠EB0=∠DCO, AB=CB. ∴.∠EB0+∠OBC=∠DC0+∠OCB, ∴.Rt△ABD≌Rt△CBD(HL),.AD=CD. 39 口全程时习测试卷·数学·北师版·八年级·下册 AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点F,∴.∠E=∠F=90 ∠C=2∠A,.∠C=∠BDC,BD=BC, 在Rt△ADE和Rt△CDF中， .△BCD是等腰三角形 [AD=CD. .Rt△ADE≌Rt△CDF(HL). (2)解：过点B作BF⊥CD于点F,如答图所示. AE=CF. 13.(1)解：如答图①即为所求. E E E D B 13题答图 CB CB AC=5,AD:CD=3:2,.AD=3,CD=2. 13题答图① 13题答图② 由(1)得△BCD是等腰三角形， (2)证明：如答图②，连接AD,由作图痕迹，得AD=CD =DE,.∴.∠DAC=∠DCA,∠DEA=∠DAE .CF-DF-CD-1..AF-AD+DF-4. .·∠ACE+∠CEA+∠CAE=180°， .BD=AD=3, ∠CAE=∠DAC+∠DAE, ∴.在Rt△BDF中，根据勾股定理，得 ∴.∠ACE+∠CEA+∠DAC+∠DAE=180°， BF=√BD2-DF2=√32-1=22， .2(∠DAC+∠DAE)=180°， .在Rt△ABF中，根据勾股定理，得 即∠DAC+∠DAE=90°，∴.∠EAB=90°， .△AEC是直角三角形. AB=√AF2+BF=√42+(22)2=26. 14.解：能. 14.解：(1)边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平 理由：如答图. 分线ON交于点O,∴.DB=DA,EA=EC. .'DE⊥AC,DF⊥AB,∴.∠CED=∠BFD=90° :△ADE的周长为5cm,∴.DA+DE+EA=5cm, DB=DC.DF=DE. .BC=DB+DE EC=DA +DE +EA =5 cm. .∴∠DBC=∠DCB,Rt△DBF≌Rt△DCE, (2)由题意，得OA=0B=OC. ∴.∠DBF=∠DCE, :△OBC的周长为13cm,BC=5cm, .∴.∠DBF+∠DBC=∠DCE+∠DCB, ..OB+OC=8 cm,.'.OA=OB=4 cm. 即∠ABC=∠ACB,∴.△ABC是等腰三角形. 考点小卷5角平分线 A 1.A2.B3.D4.B5.C6.D7.D8.C 9.22.510.811.96° 12.解：(1)4 (2)如答图，点P即为所求.（答案不唯一） 14题答图 -a 考点小卷4线段的垂直平分线 b 1.A2.C3.C4.B5.D6.C 12题答图 7.C[解析]连接BF,BE,BE交AD于点F'△ABC是 13.解：(1)AP是∠BAC的平分线 等边三角形，AD是BC边上的中线，，AD垂直平分BC 理由如下：OD=OE,FD=FE,AF=AF, ∴.BF=CF.EF+CF=EF+BF≥BE,∴.当且仅当，点 .△ADF≌△AEF,..∠DAF=∠EAF B,F,E三点共线，即，点F与点F'重合时，EF+BF=BE, .AP是∠BAC的平分线. EF+BF取得最小值.：等边三角形ABC的边长为4， (2)如答图，过点P作PG⊥AC于点G. AE=2,.AE=CE=2,∠ABC=∠ACB=60°，.BE为 ·AP平分∠BAC,PQ⊥AB,PG⊥AC,PG=PQ=4. △1BC的中线和角平分线∠CB5=分∠ABC=30 PQACPG32, BF=CF,∴.∠BCF=∠CBE=30°，∴.∠ECF=∠ACB- .AB=9. ∠BCF=30°.故选C. A8(O) 8.C9.310.40°11.10 F A 12.证明：如答图，连接PQ,RQ. PB=OC, 0 在△BQP和△CRQ中，{∠B=∠C, LOB=RC, B D GB ·.△BQP≌△CRQ(SAS), 13题答图 14题答图 .PO=RO, 14.(1)证明：如答图所示，过点E作EF⊥OA于点F,EG⊥ ∴点Q在PR的垂直平分线上， 0 OB于点G,EH⊥CD于点H. 13.(1)证明：.DE垂直平分AB, 12题答图 由题意可知OE平分∠AOB,CE平分∠ACD, .AD=BD,.∠ABD=∠A, ∴.EF=EG,EF=EH,.∴.EF=EG=EH, ∴.∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A. 即点E到三边OA,OB,CD所在直线的距离相等。 40