专项巩固训练卷(1)等腰三角形和直角三角形中的分类讨论&专项巩固训练卷(2)线段的垂直平分线和角平分线-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学全程时习测试卷（北师大版·新教材）

∴.小明多加的一个外角为100°， 多边形的边数为6+2=8. 22.(1)解：A(-3,0),B(0,3),C(1,0), .0A=0B=3,0C=1. 在Rt△BOC和Rt△AOE中， [BC=AE, OB=0A .Rt△BOC≌Rt△AOE(HL), ∴.0C=0E=1, .点E的坐标为(0,1). (2)①解：AE⊥BC.理由如下： 由(1)可知Rt△BOC≌Rt△AOE ∴.∠OBC=∠OAE. ·.·∠BED=∠AEO .∴.∠OBC+∠BED=∠OAE+∠AEO. ∴.∠BDE=∠AOE=90°，∴.AE⊥BC. ②证明：如答图，过点O分别作AD,BC的垂线，垂足分别 为F,G. y C 22题答图 ·.·Rt△BOC≌Rt△AOE, ∴Saac=Se,即BC×0G=24E×0E .BC=AE,∴.OG=OF 又.·OF⊥AD,OG⊥BC ∴.点O在∠ADC的平分线上，即DO平分∠ADC 23.解：(1)在等边△ABC中，AQ平分∠BAC, .Q是BC的中点， .cQ=o-c=3 cm. 3 54=子：的值为 (2)根据题意，得BP=t,CQ=2t,则BQ=6-2t 过点P作PD⊥BC于点D, 在等边△ABC中，∠B=60°，点P在线段BQ的垂直平分 线上， BD-BP.8D-DQ-280. 根据题意，得宁宁6-20。 解得t=2, .当t=2时，点P在线段BQ的垂直平分线上. (3)在等边△ABC中，AB=AC=BC=6cm, BC边上的高为号1B=3w3cm 在△BPQ中，BP=t,BQ=6-2t, B0上的高为浮B=马 :四边形AP0C的面积S=号x6x35-7×(6-2)× 9-9+ 2 参考答案及解析 (4)存在.当PQ⊥AB时，△BPQ为直角三角形， B0=2BP,即6-21=2，解得1=2 3 当PQ⊥BC时，△BPQ为直角三角形， ·2B0=BP,即2(6-2)=，解得1= 5 综上，1=弓或t-号时，△BP0为直角三角形， 专项巩固训练卷（一）》 等腰三角形和直角三角形中的分类讨论 1.C 2.解：①当(2x-2)°角和(3x-5)°角是两个底角时， 2x-2=3x-5,解得x=3, .三个内角分别是4°，4°，172°； ②当(2x-2)°角是顶角时，2x-2+2(3x-5)=180, 解得x=24, ∴.三个内角分别是46°，67°，67°； ③当(3x-5)°角是顶角时，3x-5+2(2x-2)=180, 解得x=27, ∴.三个内角分别是76°，52°，52. 综上，这个等腰三角形三个内角的度数分别为4°，4°，172° 或46°，67°，67或76°，52°，52°. 3.解：(1)设底边长为acm,则腰长为2acm. 等腰三角形的周长是25cm, .2a+2a+a=25,.a=5,.2a=10, ∴.等腰三角形的三边长为10cm,10cm,5cm. (2)①若底边长为6cm, 则腰长为(25-6)÷2=9.5(cm), ∴.三边长为6cm,9.5cm,9.5cm,此时能构成三角形： ②若腰长为6cm,则底边长为25-6×2=13(cm), ∴.三边长为6cm,6cm,13cm,此时不能构成三角形. 因此其他两边长为9.5cm,9.5cm. 4.解：设AB=AC=xcm,BC=ycm. AB +AC+BC =27 cm,.'.2x+y =27. BD是AC边上的中线，.AD=CD. 当C△m-C△cn=3cm时，即x-y=3, .2x+y27解得=10， x-y=3, y=7, 即AB=AC=10cm,BC=7cm; 当CACRD-C△BD=3cm时，即y-x=3, 2x+y=27解得=8， y-x=3, ly=11, 即AB=AC=8cm,BC=11cm. 综上所述，△ABC各边的长为10cm,10cm,7cm或8cm, 8 cm,11 cm. 5.解：如答图①，当高BD在△ABC内部时， ∠ABD=50°，∠ADB=90°，则∠A=40° AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB=70°； D B4 5题答图① 5题答图② 如答图②，当高BD在△ABC外部时， ·3. 全程时习测试卷·数学·北师版·八年级·下册 ∠ABD=50°，∠ADB=90°， 则∠DAB=40°，·∠BAC=140 AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=20° 综上所述，这个等腰三角形的底角的度数是70°或20. 6.解：①如答图①，作OM∥AB交AD于点M,易得 DM=AM=2,△OMF≌△OBE, .BE=MF=2-1=1; D B 6题答图① 6题答图② ②如答图②，作OM∥AB交AD于点M,同①可求得BE-3. 综上，BE的长为1或3. 7.C[解析]当5是直角三角形的斜边长时，另一条直角边长为 √52-32=4，.周长为3+4+5=12；当3和5是直角三角形 的直角边长时，斜边长为√52+3=34，周长为3+5+ √34=8+√34.综上，三角形的周长为12或8+34.故 选C. 8.解：(1)100° (2)∠BAE=∠CEF.理由如下： ·,∠B+∠BAE=∠AEC,∠AEF+∠CEF=∠AEC, ∠AEF=∠B, ∴.∠BAE=∠CEF (3).·∠B=∠C,∠AEF=∠B,∴.∠C=∠AEF 如答图①，当∠AFE=90时，由(2)得∠BAE=∠CEF .∠C+∠CEF=90°，∴.∠AEF+∠BAE=90°： 如答图②，当∠EAF=90时，由(2)得∠BAE=∠1. .∠C+∠1+∠AEF=90°， ·.2∠AEF+∠1=90°，.2∠AEF+∠BAE=90°： 当∠AEF=90时，∠B=∠AEF=90°，显然不成立 2 B E 8题答图① 8题答图② 专项巩固训练卷（二） 线段的垂直平分线和角平分线 1.10°[解析]：∠C=90°，∠A=40°，∴.∠ABC=90°-∠A =50°.，DE是线段AB的垂直平分线，∴.AE=BE, ∴.∠EBA=∠A=40°，∴.∠EBC=∠ABC-∠EBA=50°- 40°=10°.故答案为10°. 2.(1)证明：如答图，连接BP,AP,PC ·EF,MN分别为AB,AC的垂直平分线， ∴.PA=PB,PA=PC, ∴.PB=PC, ·.点P在线段BC的垂直平分线上 2题答图 (2)解：，EF,MN分别为AB,AC的垂直平分线， ∴.FA=FB,NA=NC, ·4. ∠AEP=∠AMP=∠BEF=∠CMN=90°， .∠EBF+∠BFE=∠MCN+∠MNC=90. 设∠EBF=x,∠MCN=y, .∠BAF=∠EBF=x,∠CAN=∠MCN=y, ∠BFE=90°-x,∠MNC=90°-y, ∴.∠PFN=∠BFE=90°-x, ∠PNF=∠MNC=90°-y. ,·∠EBF+∠MCN+∠CAB=180°，∠FAN=56°， .2x+2y+56°=180°， .x+y=62o ·.·∠PFN+∠PNF+∠FPN=180°， ∴.90°-x+90°-y+∠FPN=180°， .∠FPV=180°-180°+(x+y)=62. 3.C[解析]由作图知，EF垂直平分AB,.AD=BD, .∴.△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+ BC..'AB=AC=6,BC=4,.△BCD的周长=6+4=10.故 选C. 4.解：如答图，作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F. AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.DE=DF S△ABD 2ARXDE S AACD ACX DF AB 12 AC=9 B 4题答图 即8、4 AC=3, ∴.AC=6. 5.6 6.(1)证明：BD平分∠ABC, .∠CBD=∠FBD. .·DE∥AB,.∠EDB=∠FBD .∠EDB=∠CBD,∴.BE=DE. (2)解：∠C=90°，BD平分∠ABC,DF1⊥AB, .DC=DF=3. 在Rt△DCE中，CE=√DE-DC=√22-(3)2=1. BE=DE=2. ∴.BC=CE+BE=1+2=3, .在Rt△DCB中，BD=√BC2+DC=√32+(3)2=2、3. 7.（1)证明：.△ABC是等边三角形， ∴，AB=AC, 点A在BC的垂直平分线上. BD DC. .点D在BC的垂直平分线上， ∴，AD是BC的垂直平分线 (2)解：EF=BE+FC. 证明：过点D作DM⊥EF于点M,如答图. .·△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=∠ACB=60°. BD=DC,∠BDC=120°， .∴.∠DBC=∠DCB=30°， ∴.∠ABD=∠ACD=90° ∴.DB⊥AB,DC⊥AC D 7题答图 ,·DM⊥EF,ED平分∠BEF, .'BD MD =CD. 又.DE=DE, .∴.Rt△BDE≌Rt△MDE, ∴.BE=ME. 同理可得Rt△MDF≌Rt△CDF, .∴.FC=FM. .·EF=ME+FM、 .∴.EF=BE+CF 第二章不等式与不等式组 基础过关检测卷 1.C2.C3.C4.D5.D6.A7.C8.C9.B10.D 11.0,112.x+1<3(答案不唯一)13.x>-214.8 15.-13<m≤-10 16.解：(1)去括号，得5x-10-1≤4+4x. 移项，得5x-4x≤4+10+1. 合并同类项，得x≤15. 将解集表示在数轴上如答图① -505101520 16题答图① r2x-4<x-1,① 2冷{。42@ 06 解不等式①，得x<3. 解不等式②，去分母，得3x-4≤2(2x-1). 去括号，得3x-4≤4x-2. 移项，得3x-4x≤-2+4. 合并同类项，得-x≤2. 系数化为1，得x≥-2， .不等式组的解集为-2≤x<3. 将解集表示在数轴上如答图② -4-3-2-10123456 16题答图② 17.解：解不等式221≤5x+1+1. 2 得x≥-1. .-x=5a+3 .-(5a+3)≥-1， 解得≤子 18.解：把x=2代入方程(a+2)x=2,得2(a+2)=2, 解得a=-1. 把a=-1代人不等式(a+4)x>-3,得3x>-3, 解得x>-1,∴0,1,2,3这4个数是该不等式的解。 19.解：设摸到x个红球，则摸到(5-x)个白球 根据题意，得2x+3(5-x)<12, 解得x>3. 又x,5-x均为自然数， .x可以为4,5. 答：可能摸到4个或5个红球， 20.解：(1)厂x+y=-7-m,① lx-y=1+3m.② ①+②，得2x=2m-6,解得x=m-3. 参考答案及解析 把x=m-3代入②，得y=-2m-4. :x为非正数，y为负数， -0 解得-2<m≤3. (2)-2<m≤3， ∴.m-3≤0，m+2>0 .∴.原式=3-m-(m+2)=1-2m. 21.解：(1)当a≥b时，mina,b}=b, 2+3≥-1，解得≥-3， 3 ∴.x的取值范围为x≥-3. (2)①当2x-1≥-x+5时，解得x≥2， min{2x-1,-x+5}=-x+5≤3： ②当2x-1<-x+5时，解得x<2, min{2x-1,-x+5}=2x-1<3, .min{2x-1,-x+5}≤3. 综上所述，min{2x-1,-x+5}的最大值为3. 2解：D由题意知8+7-60解得，0， l4a+5b=410, (2)购买A种型号吉祥物的数量为x个，则购买B种型号 吉祥物的数量为(90-x)个. 购买A种型号吉祥物的数量x(单位：个)不少于B种 型号吉祥物数量的手， ≥号(90-)，解得≥0 ·.A种型号吉祥物的数量不超过B种型号吉祥物数量的 2倍， ∴.x≤2(90-x),解得x≤60， 0≤≤60 由题意知y=(40-35)x+(50-42)(90-x), 整理，得y=-3x+720. -3<0,.y随x的增大而减小， .当x=52时，y取得最大值，为-3×52+720=564. 答：y的最大值为564. 23.解：(1)③ 理由：解方程3x-1=0,得x=号 解方程子x-1=0,得x= 3 解方程2x+3(x+2)=21,得x=3. 箭不：214得2e5 x=3在2<x≤5的范围内， 不等式如配：4的子方程老 (2)x-1=0(答案不唯一) (3)解不等式3x-6>4-,得x> 解不等式x-1≥4x-10,得x≤3， 不等式组的解集为子<≤3. 解方程2x-k=2,得x=+2 2 3<号2≤3，解得3<≤4， .k的取值范围为3<k≤4. ·5·专项巩固训练卷（一） 学 等腰三角形和直角三角形中的分类讨论 ·类型一等腰三角形中的分类讨论 角度1与角度有关的分类讨论 1.若等腰三角形的一个内角是40°，则这个等腰三角形的其他内角的 度数为 ( A.40°，100° B.70°，70° C.40°，100°或70°，70° D.以上都不对 2.已知一个等腰三角形的两个内角分别为(2x-2)°和(3x-5)°，求 这个等腰三角形各内角的度数， 角度2与边有关的分类讨论 3.一个等腰三角形的周长为25cm, (1)已知腰长是底边长的2倍，求各边的长； (2)已知其中一边的长为6cm,求其他两边的长， 角度3与中线有关的分类讨论 4.在△ABC中，AB=AC,周长为27cm,且AC边上的中线BD把 △ABC分成周长差为3cm的两个三角形.求△ABC各边的长. 角度4与高有关的分类讨论 5.(广西南宁期末)一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 50°，求这个等腰三角形的底角的度数. 角度5与点的位置有关的分类讨论 6.已知O为等边三角形ABD的边BD的中点，AB=4,E,F分别为射 线AB,DA上的动点，且∠EOF=120°.若AF=1,求BE的长 数学·北师版·八年级·下册第5页 见此图标民即刻扫码分层训练助力学习进阶 ·类型二直角三角形中的分类讨论 7.(山东枣庄期中)已知直角三角形两边的长为3和5，则此三角形 的周长为 () A.12 B.8+√34 C.12或8+√34 D.以上都不对 8.如图，在△ABC中，∠B=∠C,E为BC边上一点（不与点B,C重 合)，以AE为一边，E为顶点作∠AEF,使∠AEF=∠B,∠AEF的 另一边交AC于点F. (1)若∠B=40°，则∠BAC= (2)判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由； (3)当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系 R 8题图 8题备用图① 8题备用图② 见此图标目园即刻扫码 分层训练助力学习进阶 专项巩固训练卷（二） 学到 线段的垂直平分线和角平分线 ·类型一利用垂直平分线求角度 1.(攀枝花中考)如图，在△ABC中，∠A=40°，∠C=90°，线段AB的 垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,则∠EBC= 1题图 2.如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分线分别交AB,BC 于点E,F,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点M,N,直线EF, MN交于点P. (1)求证：点P在线段BC的垂直平分线上； (2)已知∠FAN=56°，求∠FPN的度数. 2题图 ·类型二利用垂直平分线求图形的周长 3.(眉山中考)如图，在△ABC中，AB=AC=6,BC=4,分别以点A、点 B为圆心，大于2AB的长为半径作弧，两弧交于点E,F,过点E,F 作直线交AC于点D,连接BD,则△BCD的周长为 B 0 3题图 A.7 B.8 C.10 D.12 ·类型三角平分线与三角形面积相结合 4.(江西九江期中)如图，已知AD是△ABC的角平分线，AB=8, △ABD的面积为12，△ACD的面积为9，求AC的长 D 4题图 ·类型四角平分线与平行线相结合 5.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC,垂足为E,BF∥AC交ED 的延长线于点F,BC恰好平分∠ABF,AE=2BF.若CE=2,则AB 5题图 数学·北师版·八年级·下册第6页 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D,过点D 作DE∥AB交BC于点E,作DF⊥AB,垂足为F. (1)求证：BE=DE; (2)若DE=2,DF=√3，求BD的长. D 6题图 ·类型五角平分线与垂直平分线的综合应用 7.如图，D是等边三角形ABC外一点，∠BDC=120°，DB=DC,点E, F分别在AB,AC上 (1)求证：AD是BC的垂直平分线； (2)若ED平分∠BEF,写出EF,BE,CF三者之间的数量关系，并 证明你的结论. D 7题图