第1章 三角形的证明及其应用能力提优测试卷-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学全程时习测试卷（北师大版·新教材）

第一章 三角形的证明及其应用 能力提优测试卷 ·时间：120分钟 ·满分：120分 % 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小 装 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 答题卡 1.(河南郑州期中)若a,b,c是△ABC的三边长，且满足(a -b)(a-c)=0,则△ABC是 ( A.等腰三角形 B.等边三角形 力 C.直角三角形 D.无法判断 蕾 2.下列命题的逆命题是假命题的是 A.等腰三角形的两底角相等 B.全等三角形的对应角相等 线 C.角平分线上的点到角两边的距离相等 D.两直线平行，同旁内角互补 3.如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线 g 杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC,当固 定点B,C到杆脚E的距离相等，且B,E,C在同一直线上时，电线 杆DE就垂直于BC,工程人员这种操作方法的依 D .--------- 据是 A.等边对等角 不 B.等角对等边 茶 C.垂线段最短 D.等腰三角形“三线合一” 3题图 4.近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目.如 要 图，A,B,C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地.为了使A, B,C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在 到A,B,C三地距离都相等的地方，则高铁站 应建在 A.AB,BC两边垂直平分线的交点处 答 B.AB,BC两边高线的交点处 R4 C.AB,BC两边中线的交点处 4题图 D.∠B,∠C两内角的平分线的交点处 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，LA=55°，将其折叠，使点A落 题 在边CB上A'处，折痕为CD,则∠A'DB等于( A.40° B.30° C.20° D.10° 5题图 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D,E为 AB的中点，若AB=12,CD=3,则△DBE的面积为 A.10 B.12 C.9 D.6 A D D 6题图 7题图 8题图 7.如图，已知在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线DE交AC于点 E,CE的垂直平分线正好经过点B,与AC相交于点F,则∠A的度 数是 () A.30° B.35° C.45° D.36° 8.如图，在△ABC中，D是AC的中点，分别以点A,C为圆心，大于 24C的长为半径作弧，两弧交于点R,直线FD交BC于点E,连接 AE,若AD=2,△ABE的周长为12，则△ABC的周长为 A.13 B.14 C.15 D.16 9.第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会徽图案是由一串有公共 顶点O的直角三角形（如图所示）演化而成的.如果图中的OA1= A1A2=A2A3=…=A7Ag=1,那么0Ag的长为 () A.22 B.3 C.10 D.√11 A R DG 9题图 10题图 10.如图，△ABC是等边三角形，D是AB上一点，DE⊥BC于点E,F 为BC上不与B,C重合的一点且BE=EF,连接DF,HG垂直平 分DE,交AC于点H,交AB于点G,连接DH,EH.有下列四个结 论：①△DHE是等腰三角形；②△BDF是等边三角形；③LAHG =60°；④AD=HD.其中正确的有 ( A.①④ B.②③④ C.①②③ D.①②③④ 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.小兰的姐姐穿了一件V字领的上衣，领口可以简化为等腰三角 形，若领口两侧长17厘米，领子开口宽16厘米，则这个领口（等 腰三角形)的面积为 平方厘米. 12.(湖南中考)如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在 BA,BC上分别截取线段BE,BF,使BE=BF;分别以点E,F为圆 数学·北师版·八年级·下册第3页 见此图标民即刻扫码 分层训练助力学习进阶目 心，大于EF的长为半径画弧，在LABC内，两弧交于点P,作射 线BP,交AD于点M,过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2, AD=4MD,则AM= 12题图 13题图 14题图 3.如图，0是△ABC内一点，且0到三边AB,BC,CA的距离OF= OD=OE,若∠BAC=80°，则∠BOC的度数为 4.如图，有一个圆柱形杯子，高为12cm,底面周长为18cm,在杯内 壁离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外 壁离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到蜂蜜的最短路 线的长为·（杯壁、杯底厚度忽略不计) 5.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4,沿过点B的直线把 △ABC分割成两个三角形且交线段AC于点P,使其中只有一个 是等腰三角形，则AP= 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤 或推理过程) 6.(10分)新考法如图，在△ABC中，过点A作AE∥BC,且AE= BC,连接BE (1)用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图：过点A作AD⊥ BC,垂足为D,交BE于点F(不写作法，保留作图痕迹)； (2)小明认为，在(1)所作的图形中，若AB=AC,则F为AD的中 点.请将小明的证明过程补充完整. ,AB=AC,AD⊥BC, BD-CD-RC. )(填推理依据的 一个数学定理) g=c② .AE∥BC, ∴.∠AEF=∠DBF.(③ )(填推理依据的 一个数学定理) ∠AEF=∠DBF, 在△AEF和△DBF中，④ LAE =DB. ∴.△AEF≌△DBF(AAS), B AF=DF=7D,即F为4D的中点 16题图 见此图标目民即刻扫码 分层训练助力学习进阶 17.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=34°，DE1AB于点 E,且DE=DC,求∠DBC的度数. 17题图 18.(8分)如图，已知在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，△ABC 外角的平分线与∠ADB的平分线交于点E.求证：△ADE是等腰 直角三角形 18题图 19.(8分)如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过点B作BE∥AC 交AD的延长线于点E. (1)求证：△BDE≌△CDA; (2)若AD⊥BC,求证：BA=BE. 19题图 20.(8分)如图，某沿海城市A接到台风预警，台风中心沿直线AB 由点A向点B移动，已知点C为一海港，且AC=300km,BC= 400km,AB=500km.经测量，距离台风中心260km及以内的地 区会受到影响。 (1)海港C会受到台风影响吗？请说明理由； (2)若台风中心的移动速度为25k/h,则台风影响该海港持续 的时间有多长？ 20题图 21.(8分)我们曾利用下面的方法，探究过n边形的内角和. 方法一：选取边形任意一个顶点，连接与它不相邻的所有顶点 (即作过任意一个顶点的所有对角线)； 方法二：在n边形A1A2A3A4A5A6A7…An内任取一点0，连接0与 各个顶点. 已知：如图，n边形A1A2A3A4A5AA7…An (1)求证：n边形A1A2A3A4AA,A2…An的内角和等于(n-2)·180°； (2)粗心的小明在计算一个多边形的内角和时，误把一个外角也 加进去了，得其和为1180°.请帮他求出这个多加的外角的度 数及多边形的边数. 21题图 22.(12分)如图①，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(-3,0), B(0,3),C(1,0),E是线段OB上一点，且AE=BC. (1)求点E的坐标； (2)延长AE交BC于点D. ①如图②，判断AE和BC的位置关系，并说明理由； ②连接OD,如图③，求证：D0平分∠ADC. y y B D 0 C U 22题图① 22题图② 22题图③ 数学·北师版·八年级·下册第4页 23.(13分)[核心素养]如图，在等边△ABC中，AB=AC=BC= 6cm,点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s;点 Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s,分别连接 PQ,AQ.设运动时间为t(s)(0<t<3),解答下列问题： (1)当AQ平分∠BAC时，求t的值； (2)当t为何值时，点P在线段BQ的垂直平分线上？ (3)设四边形APQC的面积为S(cm),求S与t之间的函数关 系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使△BPQ为直角三角 形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. B 0=c 23题图全程时习测试卷·数学·北师版·八年级·下册 (3)设∠CDE=x,∠C=y, AB=AC,∠C=y,.∠B=∠C=y ,∠CDE=x,∴.∠AED=y+x. :AD=AE,∠ADE=∠AED=y+x .·∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE .y+∠BAD=y+x+x, ∴.∠BAD=2x, .∠BAD=2∠CDE. 第一章三角形的证明及其应用 能力提优测试卷 1.A2.B3.D4.A5.C6.C7.D8.D9.A 10.C[解析]，：△ABC是等边三角形，∴.∠A=∠B=∠C= 60°..HG是DE的垂直平分线，∴.DH=EH,.△DHE是 等腰三角形，故①正确：'DE⊥BF,BE=EF,∴.DF=DB. ∠B=60°，.△BDF是等边三角形，故②正确；：DE⊥ BC,HG⊥DE,.HG∥BC,.∠AHG=∠C=60°，故③正 确；.∠AHD<∠AHG=60°，∴.∠AHD≠∠A,∴.AD≠HD 故④错误。 11.12012.613.130°14.15cm 15.3或3.6或1[解析]在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB= 3,BC=4,.AC=√AB2+BC=5.沿过点B的直线把 △ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角 形，仅有三种情况：如答图①所示，AB=AP=3;如答图② 所示，AB=BP=3,过点B作BD⊥AC于点D,则BD AB.BC=2.4,AD=DP=√3-2.4=1.8，AP= AC 2AD=3.6;如答图③所示，CB=CP=4,.AP=AC-CP= 5-4=1.综上所述，AP的长为3或3.6或1. A B 15题答图① 15题答图② 15题答图③ 16.解：(1)如答图即为所求. B 16题答图 (2)①三线合一②AE=DB ③两直线平行，内错角相等 ④∠AFE=∠DFB 17.解：.∠C=90°，.∴.DC⊥BC .DE⊥AB,DE=DC, .点D在∠ABC的平分线上， .BD平分∠ABC,∴.∠EBD=∠DBC, ∠DBc=7∠AnC ∠A=34°，∴.∠ABC=56°， .∠DBC=28°. 18.证明：·AB=AC,∴.△ABC是等腰三角形 :D是BC的中点， .AD平分∠BAC,AD⊥BC, ·2· ∴.∠ADB=90°. DE平分∠ADB, LADE=7∠ADB=45e AE平分∠BAF ∠BME+∠BMD=3∠BMF+3∠BAC=(∠BMF+ ∠BAG)=7×10=90,即∠A6=90e. ∴.∠E=∠ADE=45°， .△ADE是等腰直角三角形 19.证明：(1)D为BC的中点，∴.BD=CD. BE∥AC,∴.∠E=∠DAC,∠DBE=∠C r∠E=∠DAC, 在△BDE和△CDA中，{∠DBE=∠C, BD =CD. ·.△BDE≌△CDA(AAS). (2).·△BDE≌△CDA,∴.ED=AD AD⊥BC,.BD垂直平分AE,.BA=BE. 20.解：(1)海港C会受到台风影响. 理由：：AC2+BC2=3002+4002=5002=AB2, ·.△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°. 如答图，过点C作CD⊥AB于点D. :Sam=24C·BC=CDMB, .CD=AC BC=240 km. AB …240<260. .海港C会受到台风影响： C D F B 20题答图 (2)如答图，在AB上分别取点E,F,使EC=FC=260km, .ED FD =EC2 -CD2 =100 km, .'EF =2ED =200 km, ∴.200÷25=8(h). 答：台风影响该海港持续的时间为8h. 21.(1)证明：方法一：如答图①，从n边形的任意一个顶点可 以作(n-3)条对角线，这些对角线把n边形分割成的小 三角形个数为n-3+1=n-2. :每个三角形的内角和都等于180°， .n边形的内角和是(n-2)·180°. A2 21题答图① 21题答图② 方法二：如答图②，在n边形内任取一点O,连接O与各个顶 点，组成n个三角形，这n个三角形的内角和为180°·n, ∴.n边形的内角和是180°·n-360°=(n-2)·180°. (2)解：.·1180°=6×180°+100°， 多边形的内角和应是180°的整数倍， ∴.小明多加的一个外角为100°， 多边形的边数为6+2=8. 22.(1)解：A(-3,0),B(0,3),C(1,0), .0A=0B=3,0C=1. 在Rt△BOC和Rt△AOE中， [BC=AE, OB=0A .Rt△BOC≌Rt△AOE(HL), ∴.0C=0E=1, .点E的坐标为(0,1). (2)①解：AE⊥BC.理由如下： 由(1)可知Rt△BOC≌Rt△AOE ∴.∠OBC=∠OAE. ·.·∠BED=∠AEO .∴.∠OBC+∠BED=∠OAE+∠AEO. ∴.∠BDE=∠AOE=90°，∴.AE⊥BC. ②证明：如答图，过点O分别作AD,BC的垂线，垂足分别 为F,G. y C 22题答图 ·.·Rt△BOC≌Rt△AOE, ∴Saac=Se,即BC×0G=24E×0E .BC=AE,∴.OG=OF 又.·OF⊥AD,OG⊥BC ∴.点O在∠ADC的平分线上，即DO平分∠ADC 23.解：(1)在等边△ABC中，AQ平分∠BAC, .Q是BC的中点， .cQ=o-c=3 cm. 3 54=子：的值为 (2)根据题意，得BP=t,CQ=2t,则BQ=6-2t 过点P作PD⊥BC于点D, 在等边△ABC中，∠B=60°，点P在线段BQ的垂直平分 线上， BD-BP.8D-DQ-280. 根据题意，得宁宁6-20。 解得t=2, .当t=2时，点P在线段BQ的垂直平分线上. (3)在等边△ABC中，AB=AC=BC=6cm, BC边上的高为号1B=3w3cm 在△BPQ中，BP=t,BQ=6-2t, B0上的高为浮B=马 :四边形AP0C的面积S=号x6x35-7×(6-2)× 9-9+ 2 参考答案及解析 (4)存在.当PQ⊥AB时，△BPQ为直角三角形， B0=2BP,即6-21=2，解得1=2 3 当PQ⊥BC时，△BPQ为直角三角形， ·2B0=BP,即2(6-2)=，解得1= 5 综上，1=弓或t-号时，△BP0为直角三角形， 专项巩固训练卷（一）》 等腰三角形和直角三角形中的分类讨论 1.C 2.解：①当(2x-2)°角和(3x-5)°角是两个底角时， 2x-2=3x-5,解得x=3, .三个内角分别是4°，4°，172°； ②当(2x-2)°角是顶角时，2x-2+2(3x-5)=180, 解得x=24, ∴.三个内角分别是46°，67°，67°； ③当(3x-5)°角是顶角时，3x-5+2(2x-2)=180, 解得x=27, ∴.三个内角分别是76°，52°，52. 综上，这个等腰三角形三个内角的度数分别为4°，4°，172° 或46°，67°，67或76°，52°，52°. 3.解：(1)设底边长为acm,则腰长为2acm. 等腰三角形的周长是25cm, .2a+2a+a=25,.a=5,.2a=10, ∴.等腰三角形的三边长为10cm,10cm,5cm. (2)①若底边长为6cm, 则腰长为(25-6)÷2=9.5(cm), ∴.三边长为6cm,9.5cm,9.5cm,此时能构成三角形： ②若腰长为6cm,则底边长为25-6×2=13(cm), ∴.三边长为6cm,6cm,13cm,此时不能构成三角形. 因此其他两边长为9.5cm,9.5cm. 4.解：设AB=AC=xcm,BC=ycm. AB +AC+BC =27 cm,.'.2x+y =27. BD是AC边上的中线，.AD=CD. 当C△m-C△cn=3cm时，即x-y=3, .2x+y27解得=10， x-y=3, y=7, 即AB=AC=10cm,BC=7cm; 当CACRD-C△BD=3cm时，即y-x=3, 2x+y=27解得=8， y-x=3, ly=11, 即AB=AC=8cm,BC=11cm. 综上所述，△ABC各边的长为10cm,10cm,7cm或8cm, 8 cm,11 cm. 5.解：如答图①，当高BD在△ABC内部时， ∠ABD=50°，∠ADB=90°，则∠A=40° AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB=70°； D B4 5题答图① 5题答图② 如答图②，当高BD在△ABC外部时， ·3.