上海市闵行区部分学校2025-2026学年高三上学期1月学业质量调研数学试卷

2025学年高三年级1月学业质量调研数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置填写结果. 1.集合A=(1,1),B=Z,则A∩B= 2.函数y=c0s2x+1的最小正周期为 3.设i为虚数单位，若(a-2)+(2a-1)i为纯虚数，则实数a= 4.设{a}是等差数列，4=-6,4，=0，则该数列的前8项的和S3的值为 5.到点F(←3,0)、F,(3,0)距离之和为10的动点P的轨迹方程为 6.在△ABC中，已知BC=5,AC=4,A=2B,则c0SB的值为 7.已知非零复数=满足引：-1非1，巨-1=1，则=的虚部为一· 8.己知f(x)= [x2-x,x之0，则f()≤6的解集是 f(-x),x<0, 9.如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角 4-8C-D的大小为后则aC历- 10.设平面上四点P、Q、M、N满足：PM=PN=4,Pg=2,若 OM·QN=0,则W的最小值为 1.设teR,直线1：x+y-1=0与曲线C:y=x2(0≤x≤4)和曲线C,:y=2x 分别交于P、Q两点，则P②的最大值是 2设a>8>0,正数y=)的表达式为/八)-士+n, 若f(a=f(b): 且关于x的方程x2+c+2ab+x2-r+2ab=2a的整数解有且仅有4个，则a的 取值范围是 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂 黑。 13.设b>0,则4>b是1<的 a b A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 14.污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装 置每小时从处理池清除掉12%的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初 的10%，大约需要的时间为 A.14小时： B.18小时： C.20小时： D.24小时 15.已知边长为2的正四面体A-BCD的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的 球心为O,若空间中的动点P满足OP=xOC+yOB+zOD,x、y、二∈[0,1]，则 点P的轨迹所形成的几何体的体积为()· A.v2 B.V② C.2W5 D. √3 3 16.在平面直角坐标系中，将函数y=f(x)的图像绕坐标原点O逆时针旋转工后，所得 曲线仍然是某个函数的图像，则称函数y=f(x)为“R函数”.对于命题： ①设m∈R,若函数g(x)=m-)x+1为R函数，则m>1: ②设k∈R,若函数h(x)= (x+D为R函数”，则满足条件的k的整数值至少有 4个 则下列结论中正确的是 A.①为真②为真 B.①为真②为假 C.①为假②为真D.①为假②为假 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解容下列各题必须在答题纸的相应位置写 出必要的步骤。 17.（本题满分14分，本题共2小题，第1小题8分，第2小题6分) 在△4BC中，已知b2+c2=a2+bc (1)若sinC=2sinB,且b=2,求△4BC的面积； (2)若b+c=l,求a的取值范围， 18.(本题满分14分，本题共2小题，第(1)小题7分，第(2)小题7分) 已知向量a= cos (1)求ab及a+: 2)记f(x)=ab-|a+b,求函数y=f()的最小值. 19.(本题满分14分，本题共3小题，第（1)小题4分，第(2)小4分.第(3)小6分) 在一场盛大的电竞比赛中，有两支实力强劲的队伍甲和乙进行对决.比赛采用5局3 胜制，最终的胜者将赢得10万元奖金.比赛过程中，每局比赛双方获胜的概率相互独立且 甲队每局获胜概率为0.4，乙队每局获胜概率为0.6 比赛开始后，甲队先连胜两局，此时，主办方记录了两队队员在这两局比赛中的一 些数据.甲队队员的击杀数（单位：个）数据如下：24,31,31,36,36,37,39,44， 49,50:乙队队员的击杀数（单位：个）数据如下：8,13,14,16,23,26,28,33， 38,39 然而此时比赛场地突发技术故障，比赛不得不中止请回答以下问题： (1)根据目前情况（甲队已连胜两局），写出甲、乙两队“采用5局3胜制的比赛结 果的样本空间： (2)根据所给数据，绘制甲、乙两队队员的击杀数分布的茎叶图： (3)在目前情况下（甲队己连胜两局），估算甲乙两队获胜概率，并据此分配10万 元奖金 20.(本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题 8分) 已知椭圆r: 4+广=1的左、右焦点分别为耳、R,右顶点为A,上顶点为B, 设P为T上的一点。 (1)当PE⊥FF,时，求|PF,的值： √3+1 (2)若P点坐标为Q,- ,则在T上是否存在点Q使△4P9的面积为 若存 2 在，请求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由： (3)已知D点坐标为(0，m),过点P和点D的直线1与椭圆T交于另一点T,当直线 1与x轴和y轴均不平行时，有PT.(BP+BT=0,求实数m的取值范围. 0 21.(本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 设t>l,n21,n∈N,若正项数列{a}满足a.<a1<a,则称数列{a}具有 t 性质P(t)” (1)设m≥1，m∈N,若数列10,7，m,4,3具有性质“P(2)”,求满足条 件的m的值； (2)设数列{a}的通项公式为a,=(n+1)(点“，问是否存在t使得数列{a,}具有性 质“P(t)”？若存在，求出满足条件的t的取值范围，若不存在，请说明理由： (3)设函数y=f(x)的表达式为f(x)=n(e-1lnx,数列{a}的前n项和 为S,且满是a-子a-a),E明：数到a}具有作质PB)并比较S与 2 1子大小 高三数学 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1.{0y 2.元3.2 4.36: 5.r 25i6-1, 6. 8 7.-1 8.[-3,3] 9.-1 10.2V7-2 11.V2 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5 分) 13.C14.B15.A16. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17解：①由正弦定理得=C=2,又b=2,从而c=4 b sin B 由62+c2=a2+bc得co4=+c2-a-bc_1 2bc 2bc2 从而A=交 3 所以△4BC的面积S=bcn4=×2x4×in7=25 3 (2)a2=b2+c2-bc=(b+c}-3bc=1-3bc 由平均值不等式bc≤ b+c)2 、21 当且仅当b=c=}时取等号 2 从而a2≥1-3=1 1 所以a≥ 44 2 又因为△4BC中，b+c>a,从而a<1 所以a的范围是 2 18.解(1)a-i=cos 2 2 2 2 )2 2+0n8+22+2s2-4msD 因为x∈0,2 所以|a+b=2cosx. (2)f(x)=a-B-la+Bl=2cos2x-2cosx-1=2cosx- 123 2 1 3 当cot2,即x=时，该函数取得最小值 19.(本题满分14分，本题共4小题，第(1)小题4分，第(2)小4分.第(3)小6分) 解(1)设W表示A队胜，L表示A队负，样本空间为 -(WWW,WWLW,WWLLW,WWLLL) (2) 甲 乙 0 8 1 346 4 2 368 976611 3 389 94 4 0 5 (3)甲己经连胜两局，接下来甲获胜的情况有以下几种： 第三局甲胜，此时比赛结束，甲获胜，这种情况的概率为 第三局乙陆，第四局甲胜，此时甲获胜，桥率为亏×亏25 236 第三局乙胜，第四局乙胜，第五局甲胜，概幸为×3×？-18 555125 2,6,1898 所以甲获胜的总概率为二+ 525125125 =0.784, 9827 乙获胜的总概率为1- =0.216奖金共10万元，甲应得奖金为 125125 10× 98196 125-25 7.84万元， 乙应得奖金为10-7.84=2.16万元. 20当PRLEEF时1P月 限FGF号 (2)若存在这样的点Q 由题可知，点Q到直线4P的距离d=2V5+D √7 故点Q为与直统4P相距25+)且与直线4P平行的直线1与稀圆的交点 √7 直线4P.3 √7 3 解得c=1或者-23-1. 5 x+y+1=0 x=0 x=-√3 当c=1时， 解得 或 x2+4y2=4 y=-1y=2 1 5 当c=-23-1时.2 x+y-23-1=0 方程组无解， x2+4y2=4 所以存在这样的点Q,且坐标为(0，-)或(5，习) (3)由题可知，直线1的斜率k必存在且不为零，设：y=x+m, y=kx+m 则 x2+4y2=4 化简得1+4k2)x2+8x+4m2-4=0（*), 设2WT,).故+名=1十W51计4 8km 4m2-4 因为 PT.(BP+BT)=(PB+BT).(BP+BT)=(-BP+BT).(BP+BT)=BPP-BT 由于P7(BP+B7)=0,可得BP-BT1: 取线段PT的中点M,有BM⊥PT 所以点M价全标（深1 改wk三-1化简得-3m=4+1>1.有m3 由于方程(*)有两个不同的解，故△=16(4k2-m2+1)>0 代入化筒得m=(-3,0.故m∈(3，学 21.解：(1)由数列10,7，，4,3具有性质“P(2)”得 2 <<7 1 <4<m 3 即4<<7，又m∈N,则m=5或6. (2)假设存在满足条件的t,使得数列{a}具有性质“P(t)”。 则片+X的<u2X的<a:议9对n21,ncN恒成立 >91-1) n+2 即 对n≥1，n∈N恒成立， 1 t<91- n+2 [≥9 则 1、, 即3≤t<6, t<91- 31 则存在3≤t<6,使得数列{an}具有性质“P(t)” 3)由a,1=fa.)得.a=ln(e3-1-na=1he-l 即e4=e-l a42 先证明数列{an}是严格递减数列，即证ea1<e, 即证e-1<e,即证a-4e-1<0. a 令g(x)=(1-x)e-1,x∈(0，+o), 又g(x)=-xe,当x∈(0，+o)时，g(x)<0 则函数g(x)=(1-x)e-1在区间(0，+0)上是严格减函数 又an>0,则g(an)<g(0)=0,即(1-4)e-1<0, 则an1<4a· 再证明a>4.即证h1 1 2<a即证-1<e 3 a 也即证e,-1-a,e3>0. 令h(x)=e3x-1-3xe,x∈(0，+o). 则h(x)=3e3x-31+x)e=3e(e2x-x-1) 令t(x)=e2x-x-1,当x>0时，t(x)=2e2x-1>0,且t(0)=e2x-x-1=0 则当x>0时，e2x-x-1>0,即h(x)>0 则函数h(x)=e3x-1-3xe,在区间(0，十n)上是严格增函数， 因为0.所以a0小hi0-0 则e-1-a.e>0,即a1 3 故数列{a}具有性质“P(3)”. 1 、1、1.1 由a>3a,得.a,>3a> 20-2> 1 3 330-3>> 319 Sn=41+a2+43++an 11 31- 则s,21-孕