精品解析：甘肃省陇南市西和县第二中学、第三中学、成名高级中学2025-2026学年高二上学期1月期末检测数学试卷

2025-2026年西和县第二中学、第三中学、成名高中高二期末统一检测考试数学试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. 120° C. 150° D. 60° 2. 抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为（ ）． A. B. C. D. 3. 记等差数列的前项和为，，，则（ ） A. 18 B. 28 C. 30 D. 42 4. 已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，则下列选项中结论正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则 C. 的最大值为16 D. 为钝角 5. 已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 6. 已知数列为公比为的等比数列，为数列的前n项和.设甲：公比；乙：.则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知两条动直线和交于点，圆上两点，间的距离为.若点是线段的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点A是在第一象限内的交点，若，则（ ） A. 双曲线的渐近线为 B. 的离心率为 C. 的方程为 D. 的面积为 10. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第层有个球，则（ ） A. B. 是等差数列 C. 为偶数 D. 11. 已知为曲线上一动点，则（ ） A. 的最小值为 B. 存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离 C. 到直线距离的最小值小于 D. 的最小值为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若圆上到直线的距离为5的点刚好有3个，则__________，直线被圆截得的弦长为__________. 13. 已知等比数列的前项和为，若，且，则______. 14. 已知数列满足：，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列的前项和. （1）求的值及数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，，，且，点为的中点． （1）证明：平面． （2）求点到平面的距离． （3）求平面与平面所成角的余弦值． 17. 已知椭圆分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最小值为1，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆相交于A，B，点在第一象限，直线与椭圆的另一交点为，且点关于原点的对称点为. （i）若直线BC，AC的斜率分别为，证明：为常数； （ii）求面积的最大值. 18. 设函数.证明: （1）对每个，存在唯一的，满足; （2）对任意，由1中构成的数列满足. 19. 定义：已知双曲线，过C的上支上一点斜率为k的直线与C的下支交于点，点关于x轴的对称点为，过点斜率为k的直线与C的下支交于点，点关于x轴的对称点为，……，以此类推，过点斜率为k的直线与C的下支交于点，点关于x轴的对称点为.记，则称数列为C的“k数列”. 引理：在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点，，若O，A，B三点可以构成三角形，则的面积. 利用上述定义和引理求解下列问题：若为双曲线的上支上一点，且C的离心率为，数列为C的“数列”. （1）求，，； （2）求数列的通项公式； （3）记线段，的中点分别为，证明：的面积为定值（O为坐标原点）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年西和县第二中学、第三中学、成名高中高二期末统一检测考试数学试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. 120° C. 150° D. 60° 【答案】D 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式，根据斜率求倾斜角. 【详解】直线可化为， 所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，因为， 所以， 故选：D. 2. 抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求双曲线的右焦点坐标，根据抛物线的焦点可求的值，再根据抛物线方程求其准线方程. 【详解】对于双曲线：因为，，所以，所以. 所以双曲线的右焦点坐标为：. 对于抛物线，因为焦点为，即. 所以其准线方程为：. 故选：B 3. 记等差数列的前项和为，，，则（ ） A. 18 B. 28 C. 30 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列性质和可得，进而由得，进而可得，得. 【详解】由，得，所以，又，所以公差， 故，则. 故选：A 4. 已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，则下列选项中结论正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则 C. 的最大值为16 D. 为钝角 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程和定义可直接验证A，B选项；设出直线方程将其与抛物线方程联立，由韦达定理、焦半径公式即可判断C；由向量的数量积公式结合韦达定理结果计算，即可判断D． 【详解】对于A：由题意抛物线的准线方程为，故A错误； 对于B：因为抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可知，所以，故B错误； 对于C：由题意直线斜率不为0且过点， 所以不妨设，将其与抛物线方程联立消去，得， 而，，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立，所以最小值为16，故C错误； 对于D：由C选项分析可知 ， 由于不共线，所以是钝角，即为钝角，故D正确． 故选：D． 5. 已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到的最大值． 【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小， 不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为， 则，， 所以. 对于，， 取数列各项为(，, 则， 所以n的最大值为11． 故选：C． 6. 已知数列为公比为的等比数列，为数列的前n项和.设甲：公比；乙：.则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的前n项和公式、通项公式计算，结合充分条件、必要条件得解. 【详解】当时，，， 所以，即甲是乙的充分条件； 当时，若，则，由等比数列中知，对任意不成立， 所以，所以，即， 可得，而已知，则不恒成立， 故必有，解得，即甲是乙的必要条件， 综上，甲是乙的充要条件. 故选：C 7. 已知两条动直线和交于点，圆上两点，间的距离为.若点是线段的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出点P的轨迹方程，再结合题意求出点Q的轨迹方程，结合图形以及圆与圆的位置关系，即可求得答案. 【详解】由题意知两条动直线和交于点， 联立直线方程消去m可得， 由于，即， 该直线过定点，但不会过点， 故P点轨迹方程为（去掉点）， 圆心为，半径为； 上两点，间的距离为， Q为线段的中点，则圆C的圆心到Q的距离为， 则Q点轨迹方程为，圆心为，半径为； 由于与圆的圆心距满足， 故这两圆外离， 则的最小值为， 故选：B 8. 直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由得到，结合点差法计算得，进而求出离心率. 【详解】直线的斜率，如图， 由，得，则直线的斜率， 设，则，两式相减得， 于是，而， 因此，解得， 所以椭圆的离心率. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点A是在第一象限内的交点，若，则（ ） A. 双曲线的渐近线为 B. 的离心率为 C. 的方程为 D. 的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】设双曲线的方程为，椭圆的方程为，根据已知，结合双曲线以及椭圆的定义求出的值，即可得出A、B、C；根据余弦定理以及正余弦之间的关系求出的值，即可根据三角形的面积公式，得出答案. 【详解】设双曲线的方程为，椭圆的方程为， 则，， 所以，，，， 所以公共焦点为，，， 所以，. 由图象易知，， 根据双曲线的定义可得，， 所以，. 根据椭圆的定义可得，， 所以，，， 所以椭圆的方程为， 椭圆的离心率为，故B项正确，C项错误； 对于A项，根据双曲线的方程易知，双曲线的渐近线方程为，故A项错误； 对于D项，由余弦定理可知，. 又，所以， 所以，，故D项正确. 故选：BD. 10. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第层有个球，则（ ） A. B. 是等差数列 C. 为偶数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用累加法得即可判断ABC选项，对于D，，再根据裂项相消法可得的和，接着简单放缩即可判断. 【详解】根据题意，当时，， 累加得， ，易知也满足，所以， ，故A正确； ，故B正确； 为奇数，故C错误； ，， ， ， 即，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知为曲线上一动点，则（ ） A. 的最小值为 B. 存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离 C. 到直线距离的最小值小于 D. 的最小值为6 【答案】BD 【解析】 【分析】先确定曲线为抛物线的右半部分，再根据抛物线的焦点为，准线为，可以判断出选项AB. 原点到直线的距离是最短距离，可判断出选项C. 可以看成是到焦点的距离加上到点的距离的和，最小值可以转化为点到准线的距离，即可判断选项D. 【详解】由，得，则曲线为抛物线的右半部分． 因为抛物线的焦点为，准线为，所以B正确，，A错误． 原点到直线的距离为，原点到直线的距离是最短距离，C错误． 设点到准线的距离为d，P到准线的距离为， 则，D正确． 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若圆上到直线的距离为5的点刚好有3个，则__________，直线被圆截得的弦长为__________. 【答案】 ①. 10 ②. 【解析】 【分析】先求出圆心C到直线l的距离，由题意，分析可得，代入弦长公式，即可得答案. 【详解】由题意，圆心， 则圆心C到直线l的距离， 因为圆上到直线的距离为5的点有且仅有3个，所以， 则直线被圆截得的弦长为. 故答案为：10； 13. 已知等比数列的前项和为，若，且，则______. 【答案】17 【解析】 【分析】根据等比数列的前n项和性质得，从而利用求解即可. 【详解】设的公比为，则，解得， 所以. 故答案为：17 14. 已知数列满足：，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由递推关系式可知数列是周期为4的周期数列，根据可得结果. 【详解】由题意得：，，，， 所以数列是周期为4的周期数列， 所以. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列的前项和. （1）求的值及数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，求出的值，根据是等比数列，可得，即可求出k值，进而可得，根据，代入计算，分析求解，即可得答案. （2）由（1）得，根据等比数列和等差数列的求和公式，分组求和，即可得答案. 【小问1详解】 由题意得：. 因为是等比数列，所以， 即，解得， 故. 当时，， 当时，满足上式， 故. 【小问2详解】 由（1）得，，所以， 则 . 16. 如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，，，且，点为的中点． （1）证明：平面． （2）求点到平面的距离． （3）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 连接，交于，连接. 因为中，为对角线交点，所以为的中点， 又是中点，所以， 又平面，所以平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出相关向量，进而得到平面的法向量，利用向量法求点到平面的距离公式求解即可. （3）求出相关平面的法向量，利用向量法求二面角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，，， 由余弦定理得， 则，所以. 又底面，，平面，所以，. 所以以为原点，以,,所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设平面法向量为，则， 即，令，则，，所以． 所以点到平面的距离． 【小问3详解】 由（2）得，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以. 所以平面与平面所成锐二面角余弦值为 ． 17. 已知椭圆分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最小值为1，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆相交于A，B，点在第一象限，直线与椭圆的另一交点为，且点关于原点的对称点为. （i）若直线BC，AC的斜率分别为，证明：为常数； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）3. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到关于的方程组，解出即可. （2）（i）设出，，则，表达出，，由点差法得到证明； （ii）三角形面积等于三角形的面积2倍，设直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，换元后，结合对勾函数性质求出最值，得到答案. 【小问1详解】 由题意得，解得， 则椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）由题意知，，若，此时直线的斜率不存在，不合要求，舍去， 设，，，此时， 则，，， 又①，②， 式子①－②得， 所以； （ii）由题意可知，三角形面积等于三角形的面积2倍， 椭圆左焦点为，可设直线方程为， 联立方程组， 即， 故，， 所以三角形的面积为 ， 令，， 由对勾函数性质可得在单调递增， 故，当且仅当取得最小值成立， 所以，当且仅当，即时成立， 三角形的面积的最大值为， 所以面积的最大值为3. 18. 设函数.证明: （1）对每个，存在唯一的，满足; （2）对任意，由1中构成的数列满足. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导数，由导数得到函数在内单调性，求的范围，通过放缩及等比数列前项和公式求得的范围，由零点存在性原理，得证； （2）由函数表达式得，结合（1）中函数的单调性即可判断数列的增减性，由和两式作差得，然后利用放缩法及数列的裂项相消法得证. 【小问1详解】 对每个，当时，， 故在内单调递增. 由于，当时， ， 故. 又 ， 所以存在唯一的，满足. 【小问2详解】 当时，， 故. 由在内单调递增知，， 故为单调递减数列， 从而对任意. 对任意，由于，① ，② ①②式并移项，利用， 得. 因此，对任意，都有. 19. 定义：已知双曲线，过C的上支上一点斜率为k的直线与C的下支交于点，点关于x轴的对称点为，过点斜率为k的直线与C的下支交于点，点关于x轴的对称点为，……，以此类推，过点斜率为k的直线与C的下支交于点，点关于x轴的对称点为.记，则称数列为C的“k数列”. 引理：在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点，，若O，A，B三点可以构成三角形，则的面积. 利用上述定义和引理求解下列问题：若为双曲线的上支上一点，且C的离心率为，数列为C的“数列”. （1）求，，； （2）求数列的通项公式； （3）记线段，的中点分别为，证明：的面积为定值（O为坐标原点）. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出双曲线方程，由双曲线对称性、联立直线与双曲线方程求出点坐标，进而求出. （2）由双曲线方程及斜率坐标公式列式求得，进而求出关系，求出数列通项公式. （3）由表示出点的坐标，进而求出点的坐标，再利用给定的三角形面积公式计算得证. 【小问1详解】 由在双曲线上，得， 由C的离心率为，得，即，解得， 则双曲线，由数列为C的“数列”，得直线：， 由双曲线与直线的对称性得，则，直线：， 由，解得或，则，， 所以. 【小问2详解】 点，点关于轴对称点在双曲线上， 由，得， 由直线的斜率为，得，即， 则，整理得，解得， 因此，而， 则数列是首项为3，公比为的等比数列，， 所以数列的通项公式为. 【小问3详解】 由（2）知， ， 线段的中点， 线段的中点，又， 所以的面积 为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $