2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册综合测试卷

湘教版高中数学选择性必修第一册综合测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版（2019)选择性必修第一册第14章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.已知点A1,V3),B(-1,3V3),则直线AB的倾斜角为() A.60 B.30 C.120 D.150 【答案】C 【分析】利用斜率与倾斜角的关系计算即可， 【详解】由A5,B13v5)户ka35-5-6-m120, -1-1 又直线AB的倾斜角0≤a<π，故a=120°.故选：C 2.等差数列{a}中，若a,+a=4,4+4=5,则a,+4等于（) A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出数列的公差即可计算得解 【详解】设等差数列{a}的公差为d,由a2+a=4,4+a=5,得2d=5-4=1, 所以4，+a4。=a+6d+4,+6d=(g,+a)+12d=5+6=11 故选：C 3.已知点M(2,0),N(6,4),则以MN为直径的圆的方程为() A.(x+4)+(y-2)=16 B.(x-4)2+(y+2)=8 C.(x-4)2+(y-2)2=16 D.(x-4)2+(y-2)2=8 【答案】D 【分析】根据中点坐标公式算出N的中点坐标为(4,2)，且MW=4W2,从而得到所求圆 的圆心和半径，可得圆的标准方程 【详解】因为M(2,0),N(6,4),线段MN的中点为(4,2)，W=V(6-2)}+(4-0)2=4W2, 所以以线段N为直径的圆的圆心坐标为(4,2)，半径r=2√2， 所以线段MN为直径的圆的方程为(x-4)2+(y-2)=8.故选：D, 4.已知双酯线C:芳-1的有焦点与抛物线-8的焦点重合，则双曲线℃的渐近线方 程为() A.y=± B.y=±V3x C.y=±x D.y=±3x 3 Γ3 【答案】B 【分析】首先根据抛物线方程求解焦点坐标，再根据双曲线的右焦点与抛物线焦点重合可得： c=2,又a=1,得：b=√5，最后根据渐近线方程进行求解即可. 【详解】已知抛物线方程为y2=8x,可得其焦点坐标为(2,0)， 由于双曲线的右焦点与抛物线焦点重合，可得双曲线的焦点为（±2，O)，即c=2, 由a2=1,可得：b2=c2-a2=4-1=3,即b=√3， 综上可得：双曲线的渐近线方程为：y=士x=士√3x故选：B a 5.小亦从2本不同的人教A版必修系列书籍和3本不同的人教A版选择性必修系列书籍中 各选1本进行复习，则不同的选择方案共有() A.5种 B.6种 C.8种 D.9种 【答案】B 【分析】应用分步计数的乘法原理求选择方案数 【详解】由分步计数原理，得不同的选择方案共有2×3=6种.故选：B 6.已知等差数列{a}的公差为2，前n项和为Sn,若4，a,a4成等比数列，则So=() A.10 B.8 C.0 D.-6 【答案】A 【分析】利用等比中项的定义，结合等差数列的通项公式可得(4+4)=4(4+6)，计算可 求得a,进而利用等差数列的前n项和公式即可求解 【详解】因为4，a,a4成等比数列，所以a=a4, 又因为数列{a}是公差为2的等差数列，所以(4+4)=4(4+6)，解得a=-8 所以S。=-8x10+10×9 2 2=10.故选：A. 7.在(x-y)(x+)的展开式中，xy的系数为() A.-14 B.14 C.56 D.-70 【答案】A 【分析】写出(x+y)展开式的通项，结合乘法分配律求解可得 【详解】(x+y)的展开式的通项为C8x8-y,r=0,1,2,3,4,5,6,7,8, 所以在(x-y)(x+y)的展开式中，含xy的项为： xC8xy-Cgxy=C8ry-Cgxy=(56-70)xy=-14ry,所以x4y的系数为-14 故选：A 8.已知椭圆E: x2,y2 +6 =1(α>b>0)与矩形ABCD的四条边都相切，若该矩形关于坐标轴 对称，且tan∠ACB=2,则E的离心率为() 3 A. B. v2 D. 1 2 2 c.3 3 【答案】A 【分析】根据题意，由条件即可得到α=2b,再由椭圆离心率公式代入计算，即可得到结果 【详解】根据题意，不妨设A(-a,b),B(a,b),C(a,-b),D（a,-b), 则AB=2a,BC=2b,且tan∠ACB=2 AB 2a BC 26 ，工3故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知圆O:x2+y2=4,点P(x,%)是圆O上的点，直线1：x-y+√2=0，则() A.直线1与圆O相交弦长2√5 B.圆O上恰有4个点到直线1的距离等于1 C. 产子的最大位是6 D.过点P向圆M:(x-3)2+(y-4)2=1引切线，A为切点，则PA最小值为2√2 【答案】AD 【分析】根据点到直线的距离判断弦长及圆上的点到直线的距离，根据，产的几何离义可 得最值，再根据切线长的计算公式可得最值 【详解】 如图所示，由已知圆0：x2+y2=4,则圆心O(0,0),半径r=2, 0-0+√2 A选项：圆心O到直线l:x-y+√2=0的距离d= =1 V1+(1)月 则弦长为2√r2-dP=2V22-12=25,A选项正确： B选项：d+r=3,d-r=1,所以圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1，B选项错误： C选项：】 产4可表示方P(K)与点10连线的每率， 易知当直线PN与圆O:x2+y2=4相切时，斜率取得最值， 设斜车产大，则直线NyK4,即数-y-0=0. -4 V3√3 则胶+( 2,解得k=± 3 ,所以少∈ 3’3 其最大值为V ,C选项错误： x-4 3 D选项：由圆M:(x-3)+(y-4)=1可知圆心M(3,4),半径rM=1, 由切线长可知PA=VPM-r=VPM-1，所以当PM取得最小值时，PA取最小值， 又PM≥OM-r=V(3-0)+(4-0)2-2=-3,即PM的最小值为3， 所以PA的最小值为2√2，D选项正确：故选：AD. 0已知椭圆℃花+a>b>0的离心率为，左，有焦点分别为R,飞，P为糖 上一点（异于左，右顶点），且△P耳E的周长为6，则下列结论正确的是() A.椭圆C的焦距为1 B.椭圆C的短轴长为2√5 C.△PFE,面积的最大值为V5 D.椭圆C上存在点P,使得∠FPE=90 【答案】BC 【分】根据e号2x+2=6解得ac可判断AB:设P(化）.由S5知 当P点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C；假设椭圆C上存 在点P,设P=,PF=n,求出m+n、m,mn可看作方程x2-4x+6=0,求出判别 式△可判断D 【详解】由已知得e=C=},2a+2c=6,解得a=2,c=1,6=a2-c2=3, a 2 对于A,椭圆C的焦距为2c=2,故A错误： 对于B,椭圆C的短轴长为2b=2√3，故B正确： 对于C,设P(G,⅓)，S.器=FR,。Fc。小，当P点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的 最大，此时%=b=V3,所以△P耳，面积的最大值为5，故C正确： 对于D,假设椭圆C上存在点P,使得∠RP耳=90°，设P=m,PF=n, 所以+n=2a=4,m+n2=16-2m=4c2=4,m=6, 所以m,n是方程x2-4x+6=0,其判别式△=16-24<0，所以方程无解，故假设不成立， 故D错误 故选：BC 11.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、 “御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是() A.某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B.课程“乐“射排在相邻的两周，共有240种排法 C.课程“御书“数”排在不相邻的三周，共有144种排法 D.课程礼”不排在第一周，课程“数不排在最后一周，共有480种排法 【答案】ABC 【分析】A选项根据组合的方法计算；B选项，利用捆绑法计算；C选项，利用插空法计算； D选项，通过分“礼”排在最后一周和不排在最后一周两种情况计算 【详解】A:6门中选2门共有C6=15种选法，故A正确： B:课程“乐“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有A种排法，然后全排列有 A=120种排法，根据分步乘法计数原理，“乐“射”相邻的排法共有AA=240种，故B正确： C:课程“御书“数排在不相邻的三周，先排剩下的三门课程有A=6种排法，然后利用 插空法排课程“御书数”有A=24种排法，根据分步乘法计数原理，得共有AA=144种 排法，故C正确： D:分2种情况讨论：若先把礼”排在最后一周，再排“数”，有A种排法，若先把礼”不排 在最后一周，再排“数”，有CC4A4种排法，所以，共有A+C4CA4=504种排法，故D错 误故选：ABC 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线2x-3y+b=0在y轴上的截距为2√2，则b= 【答案】62 【分析】将直线的一般式方程转化为斜截式方程，列出关于b的方程，求解即可， 【详解】根据题意得y-子+？所以？2万，解得6=6w5.放答案为：65 ,b 3 3 13.己知等差数列{a}的前n项和为Sn,a=5,S=15,则数列 的前100项和 aan 为 【答案】 100 101 【分析】首先根据已知条件求出等差数列的首项和公差，得出通项公式，进而得到数列 (,】}的通项，然后利用裂项相消法求出前100项和 a41 a1+4d=5 【详解】因为a=5,S=15,可得： 5a+10d=15 1=1=11 解得d=1,4=1,所以a=a+0-11=1+0加-Dx1=1,因为aan0+Di11 设数列(】}的前10项和为Tm, 1 则： 3+6++6)=1-++.+1-1 3+53+ . =1-1_100 100101223100101101101 100 故答案为： 101 14,已知R,及分别是双曲线C。-a>0.6>0)的左、石焦点，过点乃且垂直x轴的 直线与C交于AB两点，且tam∠AR-25 若圆(6-2)2+y2=4与C的一条渐近线交于 M,N两点，则W= 【答案】4W5 5 【分析】由题意可求出双曲线渐近线，利用直线与圆相交的弦长公式即可求。 【详解】 F 校5-c0,o啡c匠-)，解得R-m4R是 b2 AF a b22√5 2ac 5 解得二=√5，所以=2，所以双曲线的渐近线方程为：y=±2x, a a 由双曲线的对称性，不妨取y=2x,又(x-2)2+y2=4的圆心为(2,0)，半径为r=2, 前以圆620到直线的面离为d-店·所长a1-2不-3y西 故答案为：4V5 5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在公差d>0的等差数列{an}中，a,=77,a2+a。=18,数列b}的前n项和 为5=3”-3 2 (1)求{a}和{b}的通项公式： (2)若Cm=a。·bn,求数列{Cn}的前n项和T 【答案】(1)am=2n+1,b=3": (2)Tn=n3"+1 【分析】(1)根据己知及等差数列的通项公式求基本量，即可得{a}的通项公式，再由b,S 的关系求b}的通项公式： (2)由(1)得c。=(2n+1)3,应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求T. 【详解】(1)因为{a}是等差数列，且a2+a,=4+a=18,a,4=77,d>0, 所以6，服粒828，解得7,8=1 由a=4d,得十d7架利d=之，4，故4-1 数列他的前n项和8,3，么-8= 3-3=3, 2 当m≥2时，6=3-8133_3-3 =3”, 22 当n=1时，b=3=3上式成立，故bn=3”: (2)由(1)知Cn=a,·b,=(2n+1)3,Tn=3×3+5×32+7×32+…+(2n+1)×3”, 37n=3×32+5×33+7×3+…+(2n+1)×31, ①-②，得-2Tn=3×3+2×32+2×33+…+2×3-(2n+1)×3+1, 其中2×32+2×33+…+2×3=2× 32(（1-3-1) =3H-9, 1-3 所以-2Tn=9+3+1-9-(2n+1)×31=-2n×3+1,得T=n.3+1 16.(15分)已知A1,6),B(4,7),C(0,1),△ABC的外接圆为圆M. (1)求圆M的方程： (2)已知直线l:√3x-y+23=0与圆M交于E,F两点，求△AEF的面积 【答案】(1)x2+y2+4x-8y+7=0 (②)18-9V5 2 【分析】(1)利用待定系数法设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,结合题意解出 D,E,F即可求解： (2)由(1)得圆心和半径，求出圆心到直线的距离，从而可得弦长|EF|,再用点到直线 的距离公式可得点A到直线I的距离，继而利用三角形面积公式即可求解. 【详解】(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, [1+62+D+6E+F=0 「D=4 则(-4)2+7+(-4)D+7E+F=0,解得E=-8,所以圆M的方程为x+y2+4x-8y+7=0. 02+12+E+F=0 F=7 (2)由x2+y2+4x-8y+7=0,得(x+2)2+0y-4)2=13, 所以圆M的圆心为M(-2,4),半径r=√13， 圆心M到直线1的距宾为4-254+22，BF2-=254=6, VW52+(-12 又点4到直线1的距离为4-16-6+236-35 VW3)2+(-1)2 2 所以A1F的面积为分E4-宁6：6点189道 、22 17（5分)已知嘴C若若1a~b0的离本为5，且过点5同 3 (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆C的上顶点为P,过P的两条直线l,12分别与C交于异于点P的A,B两点，若 直线l,1,的斜率之和为-1，试判断直线AB是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请 说明理由. (2)直线AB恒过定点(4，-2) 【分析】(1)根据离心率以及椭圆经过的点，由待定系数法即可求解， (2)联立直线与椭圆方程可得根与系数的关系，即可根据两点斜率公式表达k4+k,代 入根与系数的关系化简可得m=4k-2,即可求解定点. c-3 a 3 【详解】(1)由题意知 3,2 +6行=1解得a2=6,B=4,c2=2, c2=a2-b2, 所以椭圆c的方程为二+上=1： 64 (2)显然，直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y=x+(m≠2)，A(x,y),B(x2,y2),P(0,2), x2.y2 由6+4=L得(2+3北2)x2+6x+3m2-12=0, y=kx+m, 6km 所以x1+x2= 3m2-12 2+3k2’X2= 2+3k2 所以 k4+k0=当2+当-2.+m-2,+m-2王+m-26+) X, X2 X2 6km =2k+m-22+3次-2k+二60,12k4k=-1,所以m=-4k-2, 3m2-12 3(L+2)3(m+2)m+2 2+3k2 所以直线AB的方程为y=kx-4k-2=k(x-4)-2,所以直线AB恒过定点(4，-2) 个 湘教版高中数学选择性必修第一册综合测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第1-4章 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用斜率与倾斜角的关系计算即可. 【详解】由， 又直线的倾斜角，故.故选：C 2．等差数列中，若，，则等于（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出数列的公差即可计算得解. 【详解】设等差数列的公差为，由，，得， 所以. 故选：C 3．已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中点坐标公式算出的中点坐标为，且，从而得到所求圆的圆心和半径，可得圆的标准方程. 【详解】因为，线段的中点为，， 所以以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径， 所以线段为直径的圆的方程为.故选：D. 4．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据抛物线方程求解焦点坐标，再根据双曲线的右焦点与抛物线焦点重合可得：，又，得：，最后根据渐近线方程进行求解即可. 【详解】已知抛物线方程为，可得其焦点坐标为， 由于双曲线的右焦点与抛物线焦点重合，可得双曲线的焦点为，即， 由，可得：，即， 综上可得：双曲线的渐近线方程为：.故选：B 5．小亦从2本不同的人教A版必修系列书籍和3本不同的人教A版选择性必修系列书籍中各选1本进行复习，则不同的选择方案共有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．9种 【答案】B 【分析】应用分步计数的乘法原理求选择方案数. 【详解】由分步计数原理，得不同的选择方案共有种.故选：B 6．已知等差数列的公差为2，前n项和为，若成等比数列，则（   ） A．10 B．8 C．0 D． 【答案】A 【分析】利用等比中项的定义，结合等差数列的通项公式可得，计算可求得，进而利用等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】因为成等比数列，所以， 又因为数列是公差为2的等差数列，所以，解得． 所以．故选：A． 7．在的展开式中，的系数为（   ） A． B．14 C．56 D． 【答案】A 【分析】写出展开式的通项，结合乘法分配律求解可得. 【详解】的展开式的通项为，， 所以在的展开式中，含的项为： ，所以的系数为. 故选：A． 8．已知椭圆E：与矩形的四条边都相切，若该矩形关于坐标轴对称，且，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由条件即可得到，再由椭圆离心率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】根据题意，不妨设， 则，且， 即，则.故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆，点是圆上的点，直线，则（   ） A．直线与圆相交弦长 B．圆上恰有个点到直线的距离等于 C．的最大值是 D．过点向圆引切线，为切点，则最小值为 【答案】AD 【分析】根据点到直线的距离判断弦长及圆上的点到直线的距离，根据的几何意义可得最值，再根据切线长的计算公式可得最值. 【详解】    如图所示，由已知圆，则圆心，半径， A选项：圆心到直线的距离， 则弦长为，A选项正确； B选项：，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，B选项错误； C选项：可表示点与点连线的斜率， 易知当直线与圆相切时，斜率取得最值， 设斜率，则直线，即， 则，解得，所以，其最大值为，C选项错误； D选项：由圆可知圆心，半径， 由切线长可知，所以当取得最小值时，取最小值， 又，即的最小值为， 所以的最小值为，D选项正确；故选：AD. 10．已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，为椭圆上一点（异于左，右顶点），且的周长为6，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的焦距为1 B．椭圆的短轴长为 C．面积的最大值为 D．椭圆上存在点，使得 【答案】BC 【分析】根据，解得可判断AB；设，由知当点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C；假设椭圆上存在点，设，求出、，可看作方程，求出判别式可判断D. 【详解】由已知得，，解得，， 对于A，椭圆的焦距为，故A错误； 对于B，椭圆的短轴长为，故B正确； 对于C，设，，当点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，此时，所以面积的最大值为，故C正确； 对于D，假设椭圆上存在点，使得，设， 所以，，， 所以是方程，其判别式，所以方程无解，故假设不成立，故D错误. 故选：BC. 11．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（　　） A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法 D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法 【答案】ABC 【分析】A选项根据组合的方法计算；B选项，利用捆绑法计算；C选项，利用插空法计算；D选项，通过分“礼”排在最后一周和不排在最后一周两种情况计算. 【详解】A：6门中选2门共有种选法，故A正确； B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有种排法，然后全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有种，故B正确； C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，先排剩下的三门课程有种排法，然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有种排法，根据分步乘法计数原理，得共有种排法，故C正确； D：分2种情况讨论：若先把“礼”排在最后一周，再排“数”，有种排法，若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有种排法，所以，共有种排法，故D错误.故选：ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线在y轴上的截距为，则 ． 【答案】 【分析】将直线的一般式方程转化为斜截式方程，列出关于的方程，求解即可. 【详解】根据题意得，所以，解得．故答案为：. 13．已知等差数列的前项和为，，，则数列的前100项和为 . 【答案】 【分析】首先根据已知条件求出等差数列的首项和公差，得出通项公式，进而得到数列的通项，然后利用裂项相消法求出前 100 项和. 【详解】因为，，可得： 解得,，所以，因为， 设数列的前 100 项和为 , 则：. 故答案为：. 14．已知分别是双曲线的左､右焦点，过点且垂直轴的直线与交于两点，且，若圆与的一条渐近线交于两点，则 . 【答案】 【分析】由题意可求出双曲线渐近线，利用直线与圆相交的弦长公式即可求. 【详解】 设，解得， 解得，所以，所以双曲线的渐近线方程为：， 由双曲线的对称性，不妨取，又的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为，所以弦长. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在公差的等差数列中，，，数列的前n项和为． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据已知及等差数列的通项公式求基本量，即可得的通项公式，再由的关系求的通项公式； （2）由（1）得，应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求. 【详解】（1）因为是等差数列，且，， 所以，联立，解得，， 由，得，解得，，故， 数列的前项和，， 当时，， 当时，上式成立，故； （2）由（1）知，， ， ①②，得， 其中， 所以，得. 16．（15分）已知的外接圆为圆. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆交于E，F两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法设圆的方程为，结合题意解出即可求解； （2）由（1）得圆心和半径，求出圆心到直线的距离，从而可得弦长，再用点到直线的距离公式可得点到直线的距离，继而利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）设圆的方程为， 则，解得，所以圆的方程为. （2）由，得， 所以圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为，， 又点到直线的距离为， 所以的面积为.    17．（15分）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆C的上顶点为P，过P的两条直线，分别与C交于异于点P的A，B两点，若直线，的斜率之和为，试判断直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由. 【答案】(1)； (2)直线恒过定点 【分析】（1）根据离心率以及椭圆经过的点，由待定系数法即可求解， （2）联立直线与椭圆方程可得根与系数的关系，即可根据两点斜率公式表达，代入根与系数的关系化简可得，即可求解定点. 【详解】（1）由题意知解得，，， 所以椭圆C的方程为； （2）显然，直线的斜率存在， 设直线的方程为，，，, 由得， 所以， 所以，所以， 所以直线的方程为，所以直线恒过定点    18．（17分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，根据要求解答下列问题（最终结果用数值表示）： (1)若两个小品类节目不能排在第一位和最后一位，一共有多少种排法？ (2)若歌舞类节目必须排在一起，和排在一起，并且在中间，一共有多少种排法？ (3)若同类节目不相邻，请问一共有多少种排法？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）特殊元素优先考虑，先排，再排其余四个节目，按照分步乘法计数原理计算可得； （2）相邻问题利用捆绑法； （3）不相邻问题利用插空法，先排3个歌舞类节目，再分小品节目和1个相声节目互不相邻及有一个相邻两种情况讨论. 【详解】（1）因为总共有六个位置，两个小品类节目不能排在第一位和最后一位， 先将排好，则有种排法，剩下四个节目四个位置，则有种排法， 故共有种排法. （2）先将六个节目分成三组，且这三组个数分别为，并排列，故有种排法， 必须排在一起共有种排法，在中间共有种排法， 故共有种排法. （3）分两步完成：第一步，先安排3个歌舞类节目，则有种排法； 第二步，再用插空法安排小品节目和1个相声节目： ①若小品节目和1个相声节目互不相邻，则有种排法； ②若与中的其中一个相邻，则有种排法. 故共有种排法. 19．（17分）已知双曲线的左、右焦点为，，过的直线与双曲线交于，两点. (1)若轴，求线段的长； (2)若直线与双曲线的左、右两支相交，且直线交轴于点，直线交轴于点. （i）若，求直线的方程； （ii）若，恒在以为直径的圆内部，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1)线段的长为； (2)（i）直线的方程为； （ii）直线的斜率的取值范围为. 【分析】（1）直接代入横坐标求解纵坐标，从而求出的值； （2）（i）（ii）先设直线和得到韦达定理，在分别得到两个三角形的面积公式，要求相等，代入韦达定理求出参数的值即可. 【详解】（1）由双曲线的方程，可得，所以， 所以，，若轴，则直线的方程为， 代入双曲线方程可得，所以线段的长为； （2）（i）如图所示， 若直线的斜率为0，此时为轴，为左右顶点，此时不构成三角形，矛盾， 所以直线的斜率不为0，设，， 联立，消去得，应满足， 由根与系数关系可得， 直线的方程为，令，得，点， 直线的方程为，令，得，点， ， ， 由，可得， 所以，所以， 解得，，解得， 经检验，满足，所以， 所以直线的方程为； （ii）由，恒在以为直径的圆内部，可得， 所以，又， 所以，所以， 所以，所以， 所以，解得，解得或， 经检验，满足， 所以直线的斜率的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学选择性必修第一册综合测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版（2019)选择性必修第一册第14章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.已知点A1,V3),B(-1,3V3),则直线AB的倾斜角为() A.60 B.30 C.120 D.150 2.等差数列{a}中，若a2+a=4,4+a4=5,则a,+4等于() A.9 B.10 C.11 D.12 3.已知点M(2,0),N(6,4),则以MN为直径的圆的方程为() A.(x+4)+(y-2)2=16 B.(x-4)+(y+2)=8 C.(x-4)2+(y-2)2=16 D.(x-4)2+(y-2)2=8 4.己知双曲线C:x2_ 63 =1的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则双曲线C的渐近线方 程为() A.y=±3 B.y=±V3x C.y=±x D.y=±3x 3 5.小亦从2本不同的人教A版必修系列书籍和3本不同的人教A版选择性必修系列书籍中 各选1本进行复习，则不同的选择方案共有() A.5种 B.6种 C.8种 D.9种 6.已知等差数列{a}的公差为2，前n项和为Sn,若4，a,a4成等比数列，则So=() A.10 B.8 C.0 D.-6 7.在(x-y)(x+y)的展开式中，xy的系数为() A.-14 B.14 C.56 D.-70 8.己知椭圆：+ +6 =1(a>b>O)与矩形ABCD的四条边都相切，若该矩形关于坐标轴 对称，且tan∠ACB=2,则E的离心率为() A. 2 B.② 2 C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知圆O:x2+y2=4,点P(x,%)是圆O上的点，直线1：x-y+V2=0,则() A.直线1与圆O相交弦长2√3 B.圆O上恰有4个点到直线1的距离等于1 c之的最大位是 D.过点P向圆M:(x-3)+(y-4)=1引切线，A为切点，则PA最小值为2√2 二知椭圆C:+1a>b>0)的离心率为，左，右焦点分别为乃，乃，P为 上一点（异于左，右顶点），且△P耳的周长为6，则下列结论正确的是() A.椭圆C的焦距为1 B.椭圆C的短轴长为2√5 C.△PE面积的最大值为√ D.椭圆C上存在点P,使得∠FPE=90 11.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、 “御”、“书”、“数六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是() A.某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B.课程“乐“射排在相邻的两周，共有240种排法 C.课程“御书“数”排在不相邻的三周，共有144种排法 D.课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.己知直线2x-3y+b=0在y轴上的截距为2√2，则b= 13.己知等差数列{a}的前n项和为Sn,4=5,S,=15,则数列 的前100项和 aL C 为 14已知月分别是双黄线C音若-a>0b>0的法，布东点，过点5且至直轴的 直线与C交于AB两点，且am∠AR=25 若圆（收-2少2+y2=4与C的一条渐近线交于 M,N两点，则MW= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说阴、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在公差d>0的等差数列{a}中，a,a=77,a2+a。=18,数列b}的前n项和 为5=3”3 2 (1)求{a}和{b}的通项公式： (2)若cn=a·bn,求数列{Cn}的前n项和T.. 16.（15分)己知A1,6,B(-4,7),C(0,1),△ABC的外接圆为圆M, (1)求圆M的方程： (2)已知直线1√3x-y+2√5=0与圆M交于E,F两点，求△AEF的面积 17.(15分)已知椭圆c:+y 于+云=1a>b>0的离心率为5，且过点.V2. 3 (1)求椭圆C的方程： (2)若椭圆C的上顶点为P,过P的两条直线l,12分别与C交于异于点P的A,B两点，若 直线(，，的斜率之和为-1，试判断直线AB是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请 说明理由： 18.(17分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目A,A2,A,2个小品类节目B,B2和1个相声类 节目C的演出顺序，根据要求解答下列问题（最终结果用数值表示）： (1)若两个小品类节目B,B2不能排在第一位和最后一位，一共有多少种排法？ (2)若歌舞类节目A,A,必须排在一起，A和B,B,排在一起，并且A在B,B2中间，一共有多 少种排法？ (3)若同类节目不相邻，请问一共有多少种排法？ 19.(17分)已知双曲线r:x-二=1的左、右焦点为R,E,过E,的直线1与双曲线T交于 3 A,B两点 (I)若ABLx轴，求线段AB的长： (2)若直线1与双曲线的左、右两支相交，且直线AF交y轴于点M,直线BF交y轴于点N. (i)若S=S,求直线l的方程； (i)若耳，F恒在以MN为直径的圆内部，求直线I的斜率的取值范围. 湘教版高中数学选择性必修第一册综合测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第1-4章 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．等差数列中，若，，则等于（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 5．小亦从2本不同的人教A版必修系列书籍和3本不同的人教A版选择性必修系列书籍中各选1本进行复习，则不同的选择方案共有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．9种 6．已知等差数列的公差为2，前n项和为，若成等比数列，则（   ） A．10 B．8 C．0 D． 7．在的展开式中，的系数为（   ） A． B．14 C．56 D． 8．已知椭圆E：与矩形的四条边都相切，若该矩形关于坐标轴对称，且，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆，点是圆上的点，直线，则（   ） A．直线与圆相交弦长 B．圆上恰有个点到直线的距离等于 C．的最大值是 D．过点向圆引切线，为切点，则最小值为 10．已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，为椭圆上一点（异于左，右顶点），且的周长为6，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的焦距为1 B．椭圆的短轴长为 C．面积的最大值为 D．椭圆上存在点，使得 11．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（　　） A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法 D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线在y轴上的截距为，则 ． 13．已知等差数列的前项和为，，，则数列的前100项和为 . 14．已知分别是双曲线的左､右焦点，过点且垂直轴的直线与交于两点，且，若圆与的一条渐近线交于两点，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在公差的等差数列中，，，数列的前n项和为． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 16．（15分）已知的外接圆为圆. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆交于E，F两点，求的面积. 17．（15分）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆C的上顶点为P，过P的两条直线，分别与C交于异于点P的A，B两点，若直线，的斜率之和为，试判断直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由. 18．（17分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，根据要求解答下列问题（最终结果用数值表示）： (1)若两个小品类节目不能排在第一位和最后一位，一共有多少种排法？ (2)若歌舞类节目必须排在一起，和排在一起，并且在中间，一共有多少种排法？ (3)若同类节目不相邻，请问一共有多少种排法？ 19．（17分）已知双曲线的左、右焦点为，，过的直线与双曲线交于，两点. (1)若轴，求线段的长； (2)若直线与双曲线的左、右两支相交，且直线交轴于点，直线交轴于点. （i）若，求直线的方程； （ii）若，恒在以为直径的圆内部，求直线的斜率的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $