湖南省永州市零陵区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025年下期八年级期末考试 数学参考答案及评分标准 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题 意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 题号 2 3 4 15 6 个 8 9 10 答案 A A D B 9 心 C 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.x≥6 12.等角对等边13.114.70 15.2.5 16.55 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 17.(本题共8分) 解：(1)原式=2√5-√3 2分 =√5 ..4分 (2)原式=√2(x2-2x+1) .2分 =√2(x-1)2 .4分 18.(本题共8分) 解：原式=(-1+2)÷c+)2 2分 x-1x-1x-1 =x+1x-1 x-1(x+1)2 4分 1 x+1 ….6分 当x=2-1时，原式= 1 1 √2-1+1√2 7分 -② 2 8分 19.(本题共9分) 解：(I)证明：因为AB=CD,所以AB+BC-CD+BC,即AC-BD,2分 (AC=BD, 在△ACM和△BDN中， AFBN,所以△ACM≌△BDN: .6分 CMDN. (2)因为△ACM≌△BDN,所以∠MCA=∠D=32°， 7分 所以∠A=180°-∠f∠MCA=180°-70°-32°=78°....9分 20.(本题共9分) 解：因为AB=AC,∠A=36°，所以∠C=ABC-180°-36 =72° .3分 2 因为AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E, 所以AE=BE=6, .5分 所以∠ABE=∠A=36°， 6分 所以∠BEC=∠ABE+∠A=72°， .7分 所以∠BEC=∠C,所以BC=BE=6. 9分 2025年下期八年级期末考试·数学参考答案及评分标准第1页（共3页) 21.(本题共9分) 解：设该文旅公司第一次购进“永冲锋”吉祥物的单价为x元， 则第二次购进单价为1.2x元. 1分 由盟意得：2100_14040. x1.2x 4分 解得：=30， ..444。。。7分 经检验，=30是原方程的解，且符合题意. 答：该文旅公司第一次购进“永冲锋”吉祥物的单价为30元. ..9分 22.(本题共9分) 解：(1)△ABC是直角三角形. 理由如下：因为AB2+AC2=122+92=225,BC=152=225, 所以AB2+AC”=BC?,所以△ABC是直角三角形； 3分 (2)因为△1Bc的面积-4BAC-BCAD, 所以AD=B.1C_12x9=7.2(千米). ..6分 BC 15 方案一：铺设的管道总长为：AB+AC=12+9=21（千米)；.7分 方案二：铺设的管道总长为：AD叶BC=7.2+15=22.2(千米)，..8分 因为21千米<222千米，所以方案一所铺设的管道总长较短.9分 23.(本题共10分) 解：(1)②： 2分 (2)因为3x与1互为相伴分式，所以 x-2x-2 -222或3x1 3x1 x-2x-2 =-2, 由3x-1 x-2x-2 =2解得=-3，经检验：=-3是原方程的解，4分 由3x。1 x一2x一22，解得1，经检验：曰1是原方程的解， 所以=-3或=1， ..6分 x+3x+3 x+3+32或1 (3)因为与1，互为相伴分式，所以1 术+3+3-2 由x1,=2,解得x=7 x+3x+3 -2, 因为a为正整数，x为整数，所以当F3或9或1时，x=7或1或-7： 经检验：=7或1或-7是原方程的解； ...8分 由1 x+3x+3 =-2解得x=-5， a+2 因为a为正整数，x为整数，所以当3时，x=-1, 经检验：x=-1是原方程的解. 综上所述，x=-7或-1或1或7. .10分 2025年下期八年级期末考试·数学参考答案及评分标准第2页（共3页) 24.(本题共10分) 解：（1)①2： 。。。。。。。。。。 …2分 ②方法I:因为点C是线段AB垂直平分线上的点，所以AC=BC,又∠BAC=60°， 所以△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠BCA=60°，又因为AF⊥BC,∠CAF=30°， 7AR4CABC,义因为MLB,∠☑AC-60,所以∠CB20 2 C81所以B59C,所以ABBn .6分 方法2：证明△BCE≌△ABF（步骤略)· 方法3：证明△ACF≌△BCE(步骤略). .6分 (2)过点N作NQ⊥AP于点Q,因为∠APN∠MPN,NG⊥BM,所以NG=NQ,PG=PQ, D是AB的垂直平分线，所以NA=WB,在Rt△ANQ和Rt△BNG中， (AN-BN. INO-NG 所以Rt△ANQ≌Rt△BNG,所以AQ=BG, AP-BP=(AQ+PO)BP=(BG+PO)-BP=(BP+PG+PO)-BP=2PG, 所以APBP-2PC=2. PGPG 10分 D 2025年下期八年级期末考试·数学参考答案及评分标准第3页（共3页) 2025年下期八年级期末考试 数学参考答案及评分标准 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A D D A B B B C 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11． 12．等角对等边 13．1 14．70 15．2.5 16．55 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题共8分） 解：（1）原式 ……………………………………………2分 ……………………………………………4分 （2）原式 …………………………………2分 ………………………………………4分 18.（本题共8分） 解：原式= …………………………………2分 = ……………………………………………4分 = …………………………………………………6分 当x=1时，原式== ………………………7分 =． …………………………………8分 19.（本题共9分） 解：（1）证明：因为AB=CD，所以AB+BC=CD+BC，即AC=BD， ………2分 在ACM中，所以ACM； ……………6分 （2）因为ACM，所以=， ………………………7分 所以=．………………………9分 20.（本题共9分） 解：因为AB=AC，∠A=36°，所以∠C=∠ABC==72°． …3分 因为AB的垂直平分线分别交AB， AC于点D，E， 所以AE=BE=6， …………………………………………………5分 所以∠ABE=∠A=36°， …………………………………………………6分 所以∠BEC=∠ABE+∠A=72°， ………………………………………7分 所以∠BEC=∠C，所以BC=BE=6． …………………………………9分 21.（本题共9分） 解：设该文旅公司第一次购进“永冲锋”吉祥物的单价为x元， 则第二次购进单价为元． 1分 由题意得：， 4分 解得：， 7分 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该文旅公司第一次购进“永冲锋”吉祥物的单价为30元． 9分 22.（本题共9分） 解：（1）△ABC是直角三角形． 理由如下：因为AB2+AC2＝122+92＝225，BC2＝152＝225， 所以AB2+AC2＝BC2，所以△ABC是直角三角形； 3分 （2）因为△ABC的， 所以（千米）．6分 方案一：铺设的管道总长为：AB+AC＝12+9＝21（千米）；7分 方案二：铺设的管道总长为：AD+BC＝7.2+15＝22.2（千米）， 8分 因为21千米＜22.2千米，所以方案一所铺设的管道总长较短． 9分 23. （本题共10分） 解：（1）②； 2分 （2）因为与互为相伴分式，所以 或， 由，解得=3，经检验：=3是原方程的解， 4分 由，解得=1，经检验：=1是原方程的解， 所以=3或=1. 6分 （3）因为与互为相伴分式，所以或， 由，解得， 为正整数，为整数，所以=3或9或1时，=7或1或7； 经检验：=7或1或7是原方程的解； 8分 由，解得， 为正整数，为整数=3时，=1， 经检验：=1是原方程的解． 综上所述，=7或1或1或7．10分 24.（本题共10分） 解：（1）① 2； 2分 ②方法1：因为点C是线段AB垂直平分线上的点，所以AC=BC，又，所以是等边三角形，所以，又因为，，所以AF=AC=BC，又因为BM，，所以，又，所以BE=BC，所以AF=BE． 6分 方法2：证明（步骤略）． 方法3：证明（步骤略）． 6分 （2）过点N作，因为，，所以NG=NQ，PG=PQ，ND是AB的垂直平分线，所以NA=NB，在Rt△ANQ和Rt△BNG中，， 所以Rt△ANQRt△BNG，所以AQ=BG， 所以APBP=(AQ+PQBP=(BG+PQ)BP=(BP+PG+PQ)BP=2PG， 所以 ． 10分 2025年下期八年级期末考试·数学参考答案及评分标准 第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期八年级期末考试 数 学 注意事项： 1.本试卷共120分，考试时量120分钟. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 3.考试结束后，只交答题卡. 一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1.下列式子属于分式的是 () A. C. B. 2.多项式 的公因式是() A. a B. 2a C. 2ab D. ab 3.中国科学院物理研究团队近期成功研制出单原子层铋、锡、铅等二维金属，其厚度仅为0.000 0000007米(7埃)，约为头发丝直径的二十万分之一，这是国际上首次实现大面积稳定二维非层状金属的制备，开创了二维金属材料研究新领域. 请将 0.000 000 0007用科学记数法表示为( ) 4.下列为最简二次根式的是 () 5.将分式方程 化为整式方程，正确的是 () A. x+2=x-1 B. 5x-1=2x+2 C. 5(x+2)=2(x-1) D. 5(x-1)=2(x+2) 6.下列命题为假命题的是 () A.三角形的外角和等于180° B.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 C.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 D.全等三角形的对应边上的高相等 7. 如图, 在Rt△ABC中, ∠ABC=90°, 点D为斜边AC上的中点, ∠C=30°, AB=2,则BD的长为() A.1 B.2 C. 3 D.4 2025年下期八年级期末考试·数学 第1页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 8.公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形.如图，设勾a=6, 弦c=10, 则小正方形 ABCD的边长是 ( ) B. 2 C. 4 D.8 9.学校劳动基地有一块用篱笆围成的三角形菜地，其平面图如图所示，其中篱笆BC、CD完好，其长度分别为12m，6m，另一篱笆BD部分破损，仅剩4m篱笆AB可用，现要重新将这三角形菜地围好，则在破损的篱笆AD之间补接的新篱笆的长度可能为() A. 2m B. 4m C. 16m D. 20m 10.利用“因式分解”可以设计密码.我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码.如 当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为|x-y|=1， 组合可得到1725, 1257, 7125, 7251, 2517, 2571, 其中最大的数7251，即为密码.对于多项式. 当x取12,y取14时,其密码为( ) A. 21226 B. 12262 C. 26212 D. 62212 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 11.二次根式 有意义，则x的取值范围是 . 12.命题“等边对等角”的逆命题是 . 13.已知长方形的长为( 宽为 其面积为 m². 14. 如图,若∠α=35°, 根据尺规作图的痕迹, 则∠AOB的度数为 °. 15.同学们在物理实验中用蜡烛探究小孔成像的原理，发现小孔在某一位置时AO=CO，BO=DO.已知蜡烛火焰成的像CD的高度为2.5cm，则蜡烛实际的火焰AB的高度为 cm. 2025年下期八年级期末考试·数学 第2页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 16. 已知AB=AC,如图1, 点D为∠BAC的平分线上的点, 连接BD, CD; 如图2,点D、E为∠BAC的平分线上的两点, 连接BD, CD, BE, CE;如图3,点D、E、F为∠BAC的平分线上的三点, 连接BD, CD, BE, CE, BF, CF ; …; 依此规律,第10个图形中总共有全等三角形 对.2 2 三、解答题(本大题共8个小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题共8分) (1) 计算: (2)分解因式： 18.(本小题共8分)先化简，再求值： 其中 19. (本小题共9分)如图,点A, B, C, D在同一条直线上, AB=CD, AM =BN,CM =DN. (1) 求证: △ACM≌△BDN; (2) 若∠M =70°, ∠D=32°, 求∠A的度数. 20. (本小题共9分)如图,在△ABC中, AB=AC, ∠A=36°, 边AB的垂直平分线分别交AB, AC于点D, E,连接BE, AE=6, 求∠C的度数及边BC的长. 21.(本小题共9分)2025年12月27日，永州队夺得“湘超”冠军，他们用拼搏诠释了“永冲锋”精神.为推动我市足球运动新的热潮，某文旅公司在“湘超”期间两次购进“永冲锋”吉祥物产品进行销售，第一次用2400元购进的吉祥物比第二次用1440元购进吉祥物的数量多40个，且第二次购进的吉祥物的单价是第一次购进吉祥物的单价的1.2倍，请问该文旅公司第一次购进“永冲锋”吉祥物的单价为多少元? 2025年下期八年级期末考试·数学 第3页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 22.(本小题共9分)如图,点B, C表示两地, 点A表示供水站, AB=12千米, AC=9千米，BC=15千米.为了方便供水站A往B，C两地供水，现有两种管道铺设方案. 方案一：从供水站A直接铺设管道到B，C两地，即铺设的管道总长为AB+AC； 方案二：过点A作AD⊥BC，垂足为点D，从供水站A铺设管道到点D，再从点D分别铺设管道到点B，C两地，即铺设的管道总长为AD+BC. (1)试判断图中构成的△ABC的形状，请说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道总长较短?请通过计算说明. 23.(本小题共10分)对于两个分式A、B，如果|A-B|=2，那么我们称分式A与分式B互为“相伴分式”.结合以上信息，完成下列各题. (1)下列互为“相伴分式”的是 ；(填序号) 与 与 (2) 若 与 互为“相伴分式”，求x的值； (3)若 与 互为“相伴分式”，且a为正整数，求整数x的值. 24.(本小题共10分)已知，如图1，直线l是线段AB的垂直平分线，垂足为点D，BM是以点B为端点的射线. (1)以AB为一边,过点A作∠BAC=60°, 另一边AC与直线l交于点C,连接BC. ①如图2, 若AC=4, 则AD的长为 ; ②如图3,当射线BM⊥AB时,过点C作CE⊥BM 于点E,过点A作AF⊥BC于点F . 求证: AF=BE; (2)如图4,在射线BM上取一点P,连接AP,作∠APM 的平分线PN 交直线l于点N, 作NG⊥BM 于点G, 连接NA, NB. 请问 是否为定值?如果是，请求出定值并写出解答过程；如果不是，请说明理由. 2025年下期八年级期末考试·数学 第4页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 $