湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

绝密★启用前 黄梅县育才高级中学2026年1月月考 高二数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知直线方程为，则直线的倾斜角为(    ) A. B. 或 C. D. 或 2.九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为塹堵，在塹堵中，若，若为线段中点，则点到直线的距离为(    ) A. B. C. D. 3.一个几何体的三个视图如下，每个小格表示一个单位，则该几何体的侧面积为(    ) A. B. C. D. 4.已知复数，则(    ) A. B. C. D. 5.三条不重合的直线，，及三个不重合的平面，，，下列命题正确的是(    ) A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6.已知，，，，则(    ) A. B. C. D. 7.已知为坐标原点，椭圆：的左焦点为，过点的直线与的一个交点位于第四象限，若为等腰三角形，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 8.在正方体中，异面直线与所成的角为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：，，且、和构成右手系三个向量的方向依次与拇指、食指、中指的指向一致；的模表示向量、的夹角如图所示，在正方体中，有以下四个结论中，不正确的有(    ) A. 与方向相反 B. C. 与正方体表面积的数值相等 D. 与正方体体积的数值相等 10.下列选项中正确的是(    ) A. 若，则的最小值为 B. 若，则的最大值为 C. 若，则的最小值为 D. 已知，，且，则的最大值是 11.如图，已知，是相互垂直的两条异面直线，直线与，均相互垂直，垂足分别为，，且，动点，分别位于直线，上，且异于，异于若直线与所成的角，线段的中点为，下列说法正确的是(    ) A. 的长度为定值 B. 三棱锥的外接球的半径长为定值 C. 三棱锥的体积为定值 D. 点到的距离为定值 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知四面体的四个顶点均在球的球面上，，，，若，则球体积的最小值为        ． 13.用区间表示下列集合：           ；           ；           ； 或          ； 且          ． 14.设抛物线：的焦点为，准线为，过焦点且倾斜角为的直线与交于，两点点在第一象限，与准线交于点，，则       ；若点是的内心，则       ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数是定义在上的奇函数，且． 求，的值； 试判断函数的单调性，并证明你的结论； 求使成立的实数的取值范围． 16.本小题分 已知圆． 求的范围，并证明圆过定点； 若直线与圆交于，两点，且以弦为直径的圆过原点，求的值． 17.本小题分 盒子中有个大小质地完全相同的小球，分别标有数字，，，，从盒子中有放回地随机两次摸出小球，每次摸出一个小球． 求两次摸到的小球数字之和为偶数的概率； 设事件“两次摸到的小球数字之和是质数”，事件“第次摸到的小球数字为奇数”，事件“第次摸到的小球数字为奇数”，求． 18.本小题分 如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点． 求证：平面 平面平面 求四棱锥的体积． 19.本小题分 已知函数的定义域为，且在定义域内连续且可导，设为的导函数，若存在，，使得，则称为“中值函数”． Ⅰ写出一组使得为“中值函数”的，的值． Ⅱ判断是否存在非零实数，使得为“中值函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． Ⅲ证明：为“中值函数”． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：直线方程为， 则直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为． 故选：． 根据直线方程求出直线的斜率，再求出直线的倾斜角． 本题考查了直线的斜率与倾斜角的计算问题，是基础题． 2.【答案】  【解析】解：在塹堵中，，为线段中点， 分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，， 所以，，， ， 所以点到直线的距离为． 故选：． 由题意，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出点到直线的距离即可． 本题考查了空间中的点到直线距离计算问题，是基础题． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查三视图与几何体的侧面积的求解，意在考查考生的运算求解能力和空间想象能力  【解答】 解：由三视图可知该几何体为圆台，上下底面半径分别为和，高为； 其母线长为， 由圆台的侧面积公式得 ． 故选B． 4.【答案】  【解析】解：由， 所以． 故选：． 由复数的乘除运算及共轭复数概念即可求解． 本题主要考查复数的四则运算，复数的概念，属于基础题． 5.【答案】  【解析】解：若，，，有可能在平面上，故A不正确； 若，，，则与可能相交，故B不正确； 若，，，则与可能平行，故C不正确 若，，，则，从而可得，故D正确． 故选：． 运用正方体，墙角线面，同一法，直线平面的垂直的定理的关键条件，判断即可． 本题考查空间中直线与平面间的位置关系，解题时要认真审题，注意立体几何中定理和公理的灵活运用，属于基本知识的考查． 6.【答案】  【解析】解：根据，，可得， 根据，结合，解得，， 所以． 故选：． 根据、的范围，利用同角三角函数的关系求出、、，然后运用两角差的余弦公式求出答案． 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式等知识，属于基础题． 7.【答案】  【解析】解：如图， 设椭圆右焦点为，因为直线过点，所以， 又点位于第四象限，为等腰三角形，所以，且， 因为，所以为等边三角形， 则，且，所以， 则，所以离心率． 故选：． 根据题意作出图形，分析可得，，，由椭圆定义可得与的关系式，可得椭圆离心率． 本题主要考查求椭圆的离心率，属于中档题． 8.【答案】  【解析】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体中棱长为， 则，，，， ，， 设异面直线与所成的角为， 则， ． 异面直线与所成的角为． 故选：． 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成的角． 本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9.【答案】  【解析】解：定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量， 对于选项，根据向量外积的第一个性质可知， 与的方向相同，故A错误； 对于选项，根据向量外积的第一个性质可知， 与的方向相反，不可能相等，故B错误； 对于选项，根据向量外积的第二个性质可知， 正方形的面积为， 则与正方体表面积的数值相等，故C正确； 对于选项，与的方向相反，则，故D错误． 故选：． 由向量的外积的性质逐个分析判断即可． 本题考查的知识点：向量数量积的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 10.【答案】  【解析】解：对于，当时，，当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于，若，则与均小于， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B正确； 对于，， 因为，即无实数解， 所以等号不成立，所以的最小值不是，故C错误； 对于，因为，，且，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，故D正确． 故选：． 利用基本不等式可判断；根据基本不等式取等号的条件可判断． 本题考查基本不等式的应用，属于中档题． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查锥体体积的计算，球与多面体的切接问题，立体几何中的定值问题等知识，属于中等题． 根据题意，将图形还原为长方体，进而根据题意求出，，进而判断，； 根据，进而判断；设，交于，则为的中点，取的中点，然后证明四边形是平行四边形，进而证明，最后求得答案． 【解答】 解：将图形还原为长方体，如图所示， 因为，所以易知其为锐角是与所成的角，即， 易知，则，，故A正确； 对，易知三棱锥的外接球与长方体的外接球相同， 则其直径，半径为，故B正确； 对， ，不为定值，故C错误； 对，设，交于，则为的中点，连接，取的中点，连接， 又因为为的中点，所以，而， 故，，所以四边形是平行四边形， 则，，因为，则． 因为平面，平面， 所以，则，所以点到的距离为，故D正确． 故本题选ABD． 12.【答案】  【解析】解：已知四面体的四个顶点均在球的球面上，，，， 可以将四面体补成一个长方体， 使得四面体的条棱为长方体的条面对角线， 设长方体过同一顶点的条棱长分别为，，，球的半径为， 则， 由， 得， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 即， 所以， 则球的体积为， 所以球体积的最小值为． 故答案为：． 将四面体放置在长方体中，设长方体的条棱长分别为，，，则球的半径为，将平方，利用基本不等式求得，进而，代入球的体积公式求解即可． 本题考查了球的体积公式，重点考查了基本不等式的应用，属中档题． 13.【答案】 ，，，  【解析】略 14.【答案】   【解析】解：根据抛物线的焦点为，设直线方程为． 由消去，化简得，解得或． 根据点在第一象限，可知． 根据抛物线的准线方程，可得． 所以，可得，解得． 由，可得； 由得，则， 根据是的内心，设，其中，是三角形内切圆半径， 直线的方程为，即； 直线的方程为，即，所以， 根据内心性质可知，所以，即． 所以根据点到直线的距离公式，可得． 解得，所以． 故答案为：，． 求出直线的方程，然后联立直线方程与抛物线的方程，求出点的坐标，根据直线方程与抛物线的准线方程求出点的坐标，再根据求出，进而求出的值； 首先求出直线、的方程，然后根据三角形内心的性质、点到直线的距离公式求出的坐标，进而求出． 本题主要考查抛物线的标准方程与简单几何性质、平面向量数量积的坐标运算法则等知识，属于中档题． 15.【答案】，  为增函数， 证明：任取，则 ， 显然分母大于零，又，所以，， 所以，即，所以在上是增函数    【解析】解：由已知得：， 解得，； 由知，，该函数为增函数， 证明：任取，则 ， 显然分母大于零，又，所以，， 所以，即，所以在上是增函数； 首先应满足：，解得， 因为是奇函数，所以， 又是增函数，所以，解得， 联立得，故的取值范围是． 利用结合，列出关于，的方程组求解； 利用定义证明即可； 结合奇偶性、单调性脱去““符号，求出的范围． 本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，以及利用这些性质解不等式，属于中档题． 16.【答案】解：由圆， 得，，， 所以的范围为； ， 由，得 所以圆过定点； 以弦为直径的圆过原点， 则，， 设点，， 则， ， 即， 由 消去整理得：， ， ，， 于是， 解得，满足， 所以的值为．   【解析】本题考查圆过定点问题，直线与圆的位置关系的判断及求参，向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，属于较难题． 利用方程表示圆的充要条件列式求出范围，再分离参数求出定点坐标； 联立直线与圆的方程联立，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示求解． 17.【答案】解：从盒中有放回依次随机摸出两个小球的样本空间是： ，，，，，，，，，，，，，，，， 所以，共有个样本点． 记事件“两次摸到的小球数字之和为偶数”， 则，，，，，，，， 所以，共有个样本点． 因为样本空间的每个样本点具有等可能性， 所以， 即两次摸出的小球数字之和为偶数的概率为． 因为，，，，，，，，，则， ，，，，，，，， ，，，，，，，， 所以，则， 因为事件， 不会同时发生，所以两两互斥，所以， 又因为， 所以． 即可得．  【解析】根据古典概型相关知识可解； 根据古典概型、有放回事件、事件的关系和运算相关知识可解． 本题考查古典概型、有放回事件、事件的关系和运算等基础知识，属于基础题． 18.【答案】证明：是的中点，是的中点，， 又平面，平面， 平面； 证明：底面，， 又，且，平面， 而平面，平面平面； 解：面，，，是正方形， 棱锥体积．  【解析】三角形中位线定理可得，结合线面平行的判定定理得答案； 推导出，，从而面，由此能证明平面平面； 直接由已知结合棱锥体积公式求解． 本题考查线面平行的判定及面面垂直的判定，考查四棱锥的体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题． 19.【答案】解：易知为偶函数，且对称轴为直线． 所以当时，， ， 所以可以取，． ，假设为“中值函数”， 即存在，，使得， 整理得，． 设则， 设， 则， 所以在上单调递增， 又，所以有唯一解，与已知矛盾． 所以不存在非零实数，使得为“中值函数”． Ⅲ根据题意得，． 不妨设， 使得为“中值函数”． 因为， ， 所以 ， 整理得， 即， 即． 即， 即有解， 设，， 即有解． 设，， 则，， 设， 则， 易知在上单调递增， ，当时，， 所以存在，使得， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 因为，且当时，， 所以存在，使得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又，且当时，， 所以存在，使得， 所以在区间上有解， 即有解， 所以为“中值函数”．  【解析】本题考查函数的新定义，利用导数研究恒成立与存在性问题，利用导数研究函数的零点，属于难题． 根据新定义，选择合适的，； 按照新定义对等式进行变形，构造函数，利用导数解决问题； Ⅲ对得到的等式进行合理变形，利用换元，构造函数，再用导数法进行证明． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $