湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题

绝密★启用前 黄梅县育才高级中学2026年1月月考 高一数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知函数，有三个不同的零点，，，且，则(    ) A. B. C. D. 3.下列不等式中恒成立的是(    ) A. B. C. D. 4.若复数，则(    ) A. B. C. D. 5.已知函数的单调减区间是(    ) A. B. C. D. 6.如图，中，，绕点逆时针旋转得到点的对应点是点，连接，若，则旋转角是(    ) A. B. C. D. 7.方程的实数解的个数是(    ) A. B. C. D. 8.若直线与曲线相切于点，则下列说法错误的是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.若，，则(    ) A. B. C. D. 10.在直角三角形中，，为线段上一点，则下列说法正确的有(    ) A. 不存在直角三角形，使得是，的等差中项 B. 若，，，则 C. 若，，是的内切圆在上的切点，则 D. 若，则存在直角三角形，使得是，的等比中项 11.设函数的定义域为，若存在，使得，则称是函数的二阶不动点下列各函数中，有且仅有一个二阶不动点的函数是(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知圆的方程为当圆的面积最小时，直线与圆相切，则的值为        ． 13.已知，，则          ． 14.已知实数，满足，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知，为第二象限角． 求的值．         求的值． 16.本小题分 对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”． 对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”； 对于，，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； 已知在定义域上存在导函数，且函数在定义域上恒正，设点，若对任意的，存在点同时是，在的“最近点”，试判断的单调性． 17.本小题分 已知函数，，且的最大值为． 求常数的值； 求的最小值以及相应的值． 18.本小题分 已知函数． 若的定义域为，求实数的范围； 若，的最小值为，求实数的值； 若，，解不等式． 19.本小题分 已知函数． 求函数在区间上的值域； 设，求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：，， ． 故选：． 求解一元二次不等式化简，再由交集运算得答案． 本题考查交集及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了函数的零点与方程的根的关系，考查了正弦函数的图象与性质，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题． 令，将函数的零点问题，转化为函数，的图象与直线的交点横坐标问题进行研究，根据正弦函数的图象的对称性、结合图象可得的值． 【解答】 解：函数，有三个不同的零点，，，且， 令，将函数的零点问题，转化为函数，的图象与直线的交点横坐标问题进行研究．如图所示， 由的图象对称性可知，，， 所以，， 又 ， ． 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查基本不等式，涉及基本不等式成立的条件，属基础题． 由基本不等式求最值的规律，逐个选项验证可得． 【解答】解：选项A，若为负值，则，显然错误； 选项B，当时很明显不正确，故不是恒成立，错误； 选项C，显然，，不能推得，故错误； 选项D，恒成立，正确． 故选：． 4.【答案】  【解析】解：， 由，得． 故选：． 化简复数，由共轭复数得，根据复数的除法及复数的几何意义计算即可求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 5.【答案】  【解析】解：令，显然二次函数的图象的对称轴方程为， 且，故本题即求函数的减区间， 再利用二次函数的性质可得函数的减区间为， 故选：． 令，则，故本题即求函数的减区间，再利用二次函数的性质可得函数的减区间． 本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题． 6.【答案】  【解析】解：绕点逆时针旋转至，， ，， ，， ， ，即旋转角度数是． 故选：． 根据旋转的性质得出，，求出，再求出的度数即可． 本题考查了等腰三角形的性质和旋转的性质，能求出是解此题的关键，属于中档题． 7.【答案】  【解析】解：， ， 在同一坐标系中作出余弦函数的与直线的图象， 由图可知余弦函数的与直线在内有四个交点，即方程的实数解的个数是个． 故选：． 由，利用余弦函数的与直线的交点个数就是所求方程实数解的个数即可得答案． 本题考查余弦函数的图象与性质，考查作图与识图能力，属于中档题． 8.【答案】  【解析】解：因为，所以， 又直线与曲线相切于点， 所以，解得， 故ABC对，错． 故选：． 根据导数的几何意义，方程思想，即可求解． 本题考查导数的几何意义的应用，属中档题． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了利用指数函数与对数函数的单调性比较大小的问题． 利用特殊值法、指数函数和对数函数的性质逐个判断即可． 【解答】 解：令，，， 得，即，选项A错误； 对于，令，是减函数，又，所以，故正确； 对于、令，是减函数，又，所以，故正确； 对于、由可知， 则，即，故D正确． 故选BCD． 10.【答案】  【解析】解：对于选项，，，，满足是，的等差中项，选项错误； 对于选项，直角三角形中，，故， 由正弦定理可得， 又，，故AD，选项正确； 对于选项，设的内切圆为， ，因此的内切圆半径， ，，故，因此， 因此，， 因此，故C选项正确； 对于选项，取，，因此，， 故， 因此存在直角三角形，使得是，的等比中项，故D选项正确． 故选：． 举反例判断，根据正弦定理求解判断，利用等面积法求得的内切圆半径，然后利用向量法判断，举出实例得到D正确． 本题考查三角形中的几何计算，属于中档题． 11.【答案】  【解析】解：若，称为一阶不动点， 显然若，则满足，故一阶不动点显然也是二阶不动点， 若，则有，即，都在函数的图象上， 即上存在两点关于对称，此时这两点的横坐标也为二阶不动点， 下证：当单调递增时，一阶不动点和二阶不动点等价， 因为，若，因为单调递增，所以， 即，矛盾， 若，因为单调递增，所以，即，矛盾， 综上：当单调递增时，一阶不动点和二阶不动点等价； 由题意得：只需与直线的交点个数为， 选项，，解得：，有且仅有个根， 画出与的图象，如下： 显然上不存在两点关于对称， 综上：有且仅有一个二阶不动点，满足要求，A正确； 选项，令，定义域为， 显然，，则，均为的二阶不动点，不满足要求，B错误； 选项，定义域为，单调递增，只需寻找一阶不动点即可， 令，整理得：， 令，则，单调递减， 在同一坐标系中画出两函数与图象，如下： 两函数只有个交点，满足要求，C正确； 选项，令，若或，有，即，无解， 若，有，即， 解得：，其中， 故舍去， 又，且， 故也是二阶不动点，D错误； 故选：． 先定义一阶不动点，且得到二阶不动点包括两种情况，且证明出当单调递增时，一阶不动点和二阶不动点等价．选项，找到一阶不动点，并画出函数图象，得到有且仅有一个二阶不动点；选项，找到两个二阶不动点，不满足要求；选项，单调递增，画出函数图象，找到仅有一个一阶不动点，即仅有一个二阶不动点，C正确；选项，寻找到不止一个二阶不动点，D错误． 本题考查了函数的新定义问题，属于难题． 12.【答案】  【解析】解：圆的方程为，化为标准方程为， 所以圆心为，半径为， 所以当时，半径最小，圆的面积最小，且半径的最小值为， 此时圆心到直线的距离， 解得或舍去． 故答案为：． 先求得圆面积最小时圆的半径，然后根据点到直线的距离等于半径列方程求得． 本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于基础题． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力，属于基础题． 利用二倍角的正弦公式及同角三角函数基本关系式即可求解． 【解答】 解：由于：， 因为，可知，， 解得． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】解：实数，满足， 化为：， 令，，则． 联立可得，，， 则， 当且仅当即，或，时取等号，即，或，． 故答案为：． 实数，满足，化为：，令，，则解得，代入化简整理利用基本不等式的性质即可得出． 本题考查了基本不等式的性质、换元法、转化法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15.【答案】解：，为第二象限角， ， 则原式； ，， ．  【解析】由的值，根据的范围求出的值，原式利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值计算，将各自的值代入计算即可求出值； 原式利用二倍角的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值． 此题考查了两角和与差的正弦函数，同角三角函数间基本关系，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 16.【答案】证明：由题意得， 化简得， 令，则，，，当时，取得最小值， 即，时，取得最小值， 又，所以点是在的“最近点”  存在，  严格单调递减  【解析】解：证明：由题意得， 化简得， 令，则，，，当时，取得最小值， 即，时，取得最小值， 又，所以点是在的“最近点”． 由题意得，， 令，，，， 所以在上单调递增，又， 所以，，，，，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以时，取得最小值，所以点，，，， 所以在处的切线方程为：，又， 所以存在点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； 设，， ，， 若对任意的，存在点同时是，在的“最近点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两个函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，所以，， 即，， 由，化简得， 即，因为，所以， 接下来证明，因为既是的最小值点，也是的最小值点，则，， 即， ， 得， 即，所以，解得， 则，因为的任意性，则严格单调递减． 由题意得，化简换元即可得解； 由题意得，通过求导可得该函数的单调性，进而求出点，再证明直线与切线垂直即可； 根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性． 本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于难题． 17.【答案】解：， 当时，， ，解得． 由知：，且当时，， 当，即当时，．  【解析】利用二倍角和辅助角公式可化简得到；根据，结合最大值可构造方程求得的值； 根据可知当时，取得最小值，由此可得最小值和对应的的值． 本题主要考查三角函数的最值，属于基础题． 18.【答案】    或  【解析】解：若的定义域为，则恒成立， 则，解得， 故的范围为； 若，则， 所以的最小值为， 故，解得； 若，，由可得， 解得或， 故不等式的解集为或． 结合对数函数的定义域及二次函数的性质即可求解； 结合二次函数及对数函数性质即可求解； 结合对数函数的单调性及定义域即可求解． 本题主要考查了对数函数及二次函数性质在最值求解，不等式求解中的应用，属于基础题． 19.【答案】解：， ，， 当，即时，取得最大值． 当，即时，取最小值． 函数在区间上的值域为． ，， ，， ，， ，， ．  【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由已知可求，利用正弦函数的性质可求值域． 由及已知可求，，结合范围，，可求，，进而利用两角差的正弦函数公式即可计算得解． 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，两角差的正弦函数公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $