四川省泸县第五中学2026届高三上学期1月月考数学试题

泸县五中高2023级505次学月考试 数学试题 数学试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置． 2.选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效． 3.非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数是纯虚数，则实数a的值是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 3. 若圆与直线交于、两点，则（ ） A. 1 B. C. D. 4 4. 已知是定义域为的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 从中任取2个数字，从中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字四位数有（ ） A. 216个 B. 162个 C. 108个 D. 180个 6. 已知数列为等比数列，，，若是数列的前项积，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，其图象关于直线对称，且在上有最大值，则的最小值为（ ） A 1 B. 4 C. 7 D. 11 8. 关于对称，则其最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取2件，则至少取到1件次品概率为0.6 B. 已知变量,线性相关，由样本数据算得线性回归方程是，且由样本数据算得，，则 C. 若随机变量服从正态分布，，则 D. 在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则各项系数和是 10. 已知等差数列的前项和为，且，，则（ ） A. 公差 B. C. D. 数列前31项和为272 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，点为点在准线上的射影，线段与轴的交点为，线段的延长线交于点，为坐标原点，则（ ） A. ，，三点共线 B. C. 直线与有两个交点 D. 有最大值 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为__________. 13. 单位向量，满足，则与的夹角为______． 14. 侧棱长为2的正三棱锥中，棱上存在点，使得，以为球心的球与平面相切，则该球被三棱锥截得的几何体的体积为______． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 数学文化在教育中的应用非常重要．通过将数学文化融入教学，可以增加学生的学习兴趣，帮助他们更好地理解数学知识和实际应用．为了加强对数学文化的学习，某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩（单位：分）作为样本，按照，，…，分成5组，制成了频数分布表．（假设每名学生的成绩均不低于50分） 成绩分组 频数 5 15 13 12 5 （1）在样本中随机抽取一人，在已知该学生的成绩在区间内的条件下，求该学生成绩在区间内的概率； （2）用样本估计总体，以频率估计概率，从该校高三年级所有学生中随机抽取3人，记这3人中成绩不低于70分的人数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望． 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）已知为边上的一点，且．若，，求． 17. 已知斜三棱柱的底面是正三角形，侧面是边长为2的菱形，且与底面的夹角为，，点为中点． （1）若是的中点，求证：面 （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 关于在可导的函数，某同学通过自学高等数学得到如下正确结论：的导数在单调递增在是凹函数；的导数在单调递减在是凸函数.已知在是凸函数，在是凹函数；. （1）求在点处切线方程； （2）若在是凸函数，求实数取值范围； （3）若在及是凸函数，在是凹函数；且在单调递增，在上单调递减，求证：. 19. 已知椭圆：的焦距和短轴长相等，且长轴长与焦距之差为． （1）求椭圆的方程； （2）按下面方法进行操作：过点作两条互相垂直且不与坐标轴重合的直线与，直线交椭圆于，两点，直线交椭圆于，两点，令弦与的中点分别为与，直线与轴交于点，其中相互平行，直线相互平行． （ⅰ）证明：为等比数列； （ⅱ）记的面积，数列的前项和为，若对于，均有，求实数的最小值． 泸县五中高2023级505次学月考试 数学试题 数学试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置． 2.选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效． 3.非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【19题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $