第09讲 双曲线（知识梳理+6大题型精讲+过关测）（寒假预习讲义）高二数学沪教版

第09讲 双曲线 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：双曲线的定义 平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 对于双曲线的定义，有以下理解: 在双曲线的定义中，“距离的差”要加绝对值，否则只表示双曲线的一支，如若，为双曲线的左、右焦点，则有如下两种情形: (1)若点满足(>0)，则点在双曲线的左支上． (2)若点满足(>0)，则点在双曲线的右支上． 补充讲解：(1)若，即，则根据平面几何知识，当时，动点的轨迹是以为端点方向向右的一条射线，当时，动点的轨迹是以为端点方向向左的一条射线； (2)若，即，则与“三角形两边之差小于第三边”相矛盾，故此时动点的轨迹不存在； (3)特别地，当2=0时，，根据线段垂直平分线的性质，动点的轨迹是线段的垂直平分线． 知识点2：双曲线的标准方程 1． 焦点在轴上的双曲线的标准方程为1 (a>0，b>0)，焦点分别是． 2. 焦点在y轴上的双曲线的标准方程为1 (a>0，b>0)，焦点分别是． 3. a，b，c三者的关系为．且a＞0，b＞0，c＞0. 其中a与b的大小关系:可以为 在双曲线的标准方程中，长度分别为，，的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为的线段是斜边，如图所示． 补充讲解：(1)标准方程中的两个参数和确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件． (2)焦点，的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型，焦点跟着正项走，即若的系数为正，则焦点在轴上；若的系数为正，则焦点在轴上． (3)当且仅当双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形式． (4)双曲线的标准方程的特征是(数Ⅰ与数Ⅱ异号)，因此方程又可写为()，这种形式是当焦点所在的坐标轴不易判断时的统一设法． 椭圆与双曲线的比较如下表： 椭圆 双曲线 定义 与的关系 的关系 标准方程 或 或 图象 焦点在轴上 焦点在轴上 知识点3：求双曲线方程的方法 方法 内容 已知条件或适合题型 定义法 通过对条件的分析，根据定 义确定轨迹是双曲线，求出 并写出方程． 已知的值或动点满足 待定系数法 由已知条件确定双曲线的类型，设方程，代入已知数据，求待定系数 已知双曲线上某点的坐标 或焦点坐标或焦距 相关点法 ①确定动点满足的等量关系，列出方程；②建立动点坐标与中间变量之间的关系，消去后得到方程 ①已知动点满足某种规律； ②已知动点与已知曲线上 的动点之间的关系 知识点4：双曲线的相关性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图　形 性　质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 补充讲解：1．等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率 等轴双曲线可以设为：，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上 2．共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成 3．双曲线的草图 具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 4．离心率 双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围： 双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 5．共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同 共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1 共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上 6.准线方程： 对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线； 位置关系： 焦点到准线的距离（也叫焦参数） 对于来说，相对于上焦点对应着上准线；相对于下焦点对应着下准线 7．焦点弦： 定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦 焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到： 设两交点 当双曲线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关： 过左焦点与左支交于两点时： 过右焦点与右支交于两点时： 当双曲线焦点在y轴上时， 过左焦点与左支交于两点时： 过右焦点与右支交于两点时： 8．通径： 定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用焦点弦公式，得到 【题型1 双曲线的定义】 例1（23-24高二下·上海·月考）设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．5或13 例2 （24-25高二下·上海宝山·月考）若椭圆（）和双曲线（）有相同的焦点和，而P是这两条曲线的一个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 变式1（24-25高二·上海·随堂练习）已知点P在双曲线C：上，，别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则点P到x轴的距离为 且 ． 变式2（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线（）的左､右焦点分别为､.经过且倾斜角为的直线与交于第一象限的点，延长至，使.若的面积是，则双曲线的离心率为 . 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）在中，点为动点，两定点的坐标分别为，，且满足，求动点的轨迹方程． 【题型2双曲线的标准方程】 例3（23-24高二上·上海宝山·月考）“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分条件 C．充要 D．既非充分也非必要 例4（22-23高二下·上海黄浦·期中）双曲线经过两点，，则双曲线的标准方程是 ． 变式1（24-25高二上·上海·随堂练习）以椭圆的焦点为顶点，且过点的双曲线标准方程是 ． 变式2求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在轴上，，经过点； (2)经过、两点． (3)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知双曲线的中心在原点，且它的一个焦点为，直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为，求此双曲线的方程． 【题型3 双曲线几何性质的简单应用】 例5（22-23高二上·上海长宁·期末）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 例6 （22-23高二下·上海浦东新·月考）已知双曲线的离心率，实半轴长为4，则双曲线的方程为 . 变式1（24-25高二上·上海浦东新·月考）双曲线的焦距是，则实数的值为 ． 变式2（24-25高二上·上海·期中）等轴双曲线（，为常数）在第一象限的焦点坐标是 . 变式3（24-25高二·上海·随堂练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，，经过点； (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程． 【题型4求双曲线的离心率（或范围）】 例7（25-26高二上·上海浦东新·月考）三角形三边长为4，6，8，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为 ． 例8（24-25高二下·上海·期中）直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点，与双曲线的两条渐近线分别交于C、D两点（从左到右依次排列），若，且，，成等差数列，则双曲线Γ的离心率的取值范围是 ． 变式1（23-24高二下·上海·月考）设圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为 ． 变式2（24-25高二下·上海·月考）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为 . 变式3 （24-25高二下·上海徐汇·期中）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是 ． 变式4 （24-25高二下·上海静安·期中）设．如图，在平面直角坐标系中，是双曲线和圆在第一象限内的交点，曲线由中满足的部分和中满足的部分构成． (1)若，求的值； (2)设，、分别为与轴的左、右两个交点．第一象限内的点也在上，且，求的大小； (3)过点作斜率为的直线．若与恰有两个不同的公共点，求的取值范围以及双曲线的离心率的取值范围． 【题型5 直线与双曲线】 例9（23-24高二下·上海·月考）如果直线经过双曲线的中心，且与该双曲线不相交，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例10 （25-26高二上·上海·月考）曲线 是双曲线，过点与C恰有一个公共点且斜率存在的直线的所有可能斜率之和为 . 变式1（24-25高二上·上海·课堂例题）直线与双曲线有且只有一个交点，那么实数k的值是 ． 变式2（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 变式3（23-24高二下·上海·期中）双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于两点． (1)若的倾斜角为，是等边三角形，求的值； (2)设，若直线的斜率等于2，求两点的横坐标之和． 【题型6双曲线有关的最值，定值问题】 例11（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线和直线，是双曲线的左，右顶点，是双曲线上异于两点的任意一点，直线分别交直线于两点，设的外接圆面积分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例12（24-25高二上·上海·期中）若M，N是双曲线上关于原点对称的两个点，P是该双曲线上任意一点．当直线PM，PN的斜率都存在时，记为，，则 ． 变式1已知为双曲线右支上的一个动点，若点到直线的距离大于恒成立，则实数的取值范围是 . 变式2（25-26高二上·上海·月考）双曲线的左焦点为． (1)过点作斜率为k的直线l与C交于A，B两点，若，求斜率k； (2)点P在双曲线上，，求的最小值． 变式3（24-25高二下·上海金山·月考）已知双曲线的右焦点为F，右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为. (1)求双曲线的离心率； (2)求证：为定值； (3)求的取值范围. 变式4（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 一、填空题 1．（24-25高二下·上海·月考）若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于 ． 2．（24-25高二下·上海杨浦·期中）双曲线 的右焦点到渐近线距离为 . 3．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 . 4．在中，，则以为焦点，且过点的双曲线的离心率为 . 5．（24-25高二下·上海·月考）已知，若双曲线的右焦点恰好是抛物线的焦点，则 ． 6．（24-25高二上·上海·期中）直线与双曲线只有一个交点，则实数的值为 ． 7．（24-25高二下·上海松江·月考）已知双曲线的焦距为，则它的两条渐近线的夹角的余弦值为 ． 8．（24-25高二下·上海黄浦·期中）若双曲线的一条渐近线与直线平行，则 ． 9．（25-26高二上·上海嘉定·月考）已知为坐标原点，､是双曲线的右支上任意两点，则的取值范围是 . 10．（24-25高二上·上海·课后作业）若斜率为的直线l过双曲线的上焦点，与双曲线的上支交于两点，，则的值为 ． 11．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 12．（24-25高二下·上海·月考）已知是双曲线的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为，则 ． 二、单选题 13．（24-25高二上·上海浦东新·月考）已知方程的根大于，则实数满足（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二下·上海闵行·月考）已知圆锥曲线的对称中心为原点O．若对于上的任意一点P，均存在上的点Q（不重合），使得：（1）直线与的斜率乘积为定值；（2）线段的中点M在一条固定直线上，则称为“双对称曲线”．现有如下命题：①任意椭圆都是双对称曲线；②存在双曲线是双对称曲线；下列判断正确的是（   ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 15．（25-26高二上·上海·期中）若双曲线上存在点与右焦点关于其渐近线对称，则该双曲线的离心率（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线的左、右两个顶点分别是、，左、右两个焦点分别是、，P是双曲线上异于、的任意一点，给出下列命题：①；②直线、的斜率之积等于定值；③使得为等腰三角形的点P有且仅有8个；④的面积为，其中是真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·课堂例题）求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标． 18．（24-25高二·上海·假期作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)与双曲线有公共的渐近线，且过点． 19．（23-24高二下·上海·月考）设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若为线段的中点，求直线的方程； (3)当直线过点时，求的取值范围． 20．（23-24高二下·上海·月考）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，是双曲线C上一点，且. (1)求双曲线C的方程； (2)过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点，求直线l的方程； (3)设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为、，求证：为定值. 21．（24-25高二下·上海松江·期末）如图，已知椭圆的离心率为，该椭圆的左右焦点 恰好是双曲线的左右顶点，是双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别是 和. (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别是，求证: ； (3)是否存在常数，使得 恒成立？若存在，求的值；若不存在， 请说明理由. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 双曲线 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：双曲线的定义 平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 对于双曲线的定义，有以下理解: 在双曲线的定义中，“距离的差”要加绝对值，否则只表示双曲线的一支，如若，为双曲线的左、右焦点，则有如下两种情形: (1)若点满足(>0)，则点在双曲线的左支上． (2)若点满足(>0)，则点在双曲线的右支上． 补充讲解：(1)若，即，则根据平面几何知识，当时，动点的轨迹是以为端点方向向右的一条射线，当时，动点的轨迹是以为端点方向向左的一条射线； (2)若，即，则与“三角形两边之差小于第三边”相矛盾，故此时动点的轨迹不存在； (3)特别地，当2=0时，，根据线段垂直平分线的性质，动点的轨迹是线段的垂直平分线． 知识点2：双曲线的标准方程 1． 焦点在轴上的双曲线的标准方程为1 (a>0，b>0)，焦点分别是． 2. 焦点在y轴上的双曲线的标准方程为1 (a>0，b>0)，焦点分别是． 3. a，b，c三者的关系为．且a＞0，b＞0，c＞0. 其中a与b的大小关系:可以为 在双曲线的标准方程中，长度分别为，，的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为的线段是斜边，如图所示． 补充讲解：(1)标准方程中的两个参数和确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件． (2)焦点，的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型，焦点跟着正项走，即若的系数为正，则焦点在轴上；若的系数为正，则焦点在轴上． (3)当且仅当双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形式． (4)双曲线的标准方程的特征是(数Ⅰ与数Ⅱ异号)，因此方程又可写为()，这种形式是当焦点所在的坐标轴不易判断时的统一设法． 椭圆与双曲线的比较如下表： 椭圆 双曲线 定义 与的关系 的关系 标准方程 或 或 图象 焦点在轴上 焦点在轴上 知识点3：求双曲线方程的方法 方法 内容 已知条件或适合题型 定义法 通过对条件的分析，根据定 义确定轨迹是双曲线，求出 并写出方程． 已知的值或动点满足 待定系数法 由已知条件确定双曲线的类型，设方程，代入已知数据，求待定系数 已知双曲线上某点的坐标 或焦点坐标或焦距 相关点法 ①确定动点满足的等量关系，列出方程；②建立动点坐标与中间变量之间的关系，消去后得到方程 ①已知动点满足某种规律； ②已知动点与已知曲线上 的动点之间的关系 知识点4：双曲线的相关性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图　形 性　质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 补充讲解：1．等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率 等轴双曲线可以设为：，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上 2．共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成 3．双曲线的草图 具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 4．离心率 双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围： 双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 5．共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同 共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1 共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上 6.准线方程： 对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线； 位置关系： 焦点到准线的距离（也叫焦参数） 对于来说，相对于上焦点对应着上准线；相对于下焦点对应着下准线 7．焦点弦： 定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦 焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到： 设两交点 当双曲线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关： 过左焦点与左支交于两点时： 过右焦点与右支交于两点时： 当双曲线焦点在y轴上时， 过左焦点与左支交于两点时： 过右焦点与右支交于两点时： 8．通径： 定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用焦点弦公式，得到 【题型1 双曲线的定义】 例1（23-24高二下·上海·月考）设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．5或13 【答案】B 【分析】先求出，然后根据双曲线的定义结合可求得. 【详解】双曲线的， 由双曲线的定义可得． 因为，所以，得或17， 若，则在右支上，应有，不成立； 若，则在左支上，应有，成立． 故选：B． 例2 （24-25高二下·上海宝山·月考）若椭圆（）和双曲线（）有相同的焦点和，而P是这两条曲线的一个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆与双曲线的定义得出与的和与差，变形求得积． 【详解】设为半焦距， 由题意知不妨设点是两曲线在第一象限内的交点，可得： ，解得：， 则，故A项正确. 故选：A. 变式1（24-25高二·上海·随堂练习）已知点P在双曲线C：上，，别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则点P到x轴的距离为 且 ． 【答案】 4 【分析】根据双曲线的计算的，设点，结合，计算得到点P到x轴的距离；由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得，利用双曲线的定义得，计算的值． 【详解】由已知得双曲线的实半轴长为，虚半轴长为， 则右焦点的横坐标为，设点， 则，所以，点P到x轴的距离为4， 由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得， 由双曲线的定义，得， 所以． 故答案为： 变式2（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线（）的左､右焦点分别为､.经过且倾斜角为的直线与交于第一象限的点，延长至，使.若的面积是，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】由题意作图，根据三角形面积公式以及直线方程，得出点坐标，再结合双曲线的定义可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由，则，， 则，， 设，则，解得， 由题意可得直线的斜率，则方程为， 将代入上式，则，解得，即， 由题意可得， 则，. 故答案为： 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）在中，点为动点，两定点的坐标分别为，，且满足，求动点的轨迹方程． 【答案】 【分析】根据条件，利用正弦定理进行角转边，得到，从而得出点在以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上，进而可求出结果. 【详解】设动点，由题知，， 又，由正弦定理可得，， 所以点在以为焦点，即，实轴长为2，即的双曲线的右支上， 所以， 又构成三角形，故点与不共线，即点不能在轴上， 所以动点的轨迹方程为.    【题型2双曲线的标准方程】 例3（23-24高二上·上海宝山·月考）“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分条件 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】B 【分析】计算出方程表示焦点在轴上的双曲线时的的范围进行判定即可. 【详解】表示焦点在轴上的双曲线时， 有，解得， 因为“”是“”的必要非充分条件， 故“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的必要非充分条件. 故选：B. 例4（22-23高二下·上海黄浦·期中）双曲线经过两点，，则双曲线的标准方程是 ． 【答案】 【分析】设双曲线的方程为，根据题意列式求解即可. 【详解】设双曲线的方程为， 由题意可得：，解得， 所以双曲线的标准方程是. 故答案为：. 变式1（24-25高二上·上海·随堂练习）以椭圆的焦点为顶点，且过点的双曲线标准方程是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆方程求出双曲线顶点坐标，再利用待定系数法可求出双曲线的标准方程. 【详解】在椭圆中，，，所以，， 所以椭圆的焦点为，所以双曲线的顶点为， 设双曲线方程为， 由题意可得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为：， 故答案为：. 变式2求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在轴上，，经过点； (2)经过、两点． (3)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设双曲线的标准方程为，将点代入双曲线的方程，求得，即可求解； （2）设双曲线的方程为，将点代入双曲线方程，求得的值，即可求解； （3）根据题意，设双曲线标准方程为，代入点，结合，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：因为，且双曲线的焦点在轴上， 可设双曲线的标准方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程得，解得， 因此，双曲线的标准方程为. （2）解：设双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线方程可得，解得， 因此，双曲线的标准方程为. （3）解：由题意知，椭圆的焦点坐标为， 所以可设双曲线标准方程为，其中， 代入点可得，联立解得； 所以双曲线标准方程为. 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知双曲线的中心在原点，且它的一个焦点为，直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为，求此双曲线的方程． 【答案】 【分析】 设双曲线的方程为，利用点差法求出的关系，再结合，求出，即可得解. 【详解】设双曲线的方程为，由题意可得， 设，， 由直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为， 得的中点为，则， 由且， 两式相减得， 则，即， 所以，联立，解得，， 故所求双曲线的方程为． 【题型3 双曲线几何性质的简单应用】 例5（22-23高二上·上海长宁·期末）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由双曲线的方程知双曲线的焦点在轴上，又，即可求出焦点坐标. 【详解】由双曲线可知双曲线的焦点在轴上， 又，所以，所以. 所以双曲线的焦点坐标为. 故选：D. 例6 （22-23高二下·上海浦东新·月考）已知双曲线的离心率，实半轴长为4，则双曲线的方程为 . 【答案】 【分析】由离心率求出，再由求出可得双曲线方程． 【详解】由已知可得 ,即得,所以双曲线方程为:. 故答案为: . 变式1（24-25高二上·上海浦东新·月考）双曲线的焦距是，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】分类讨论和，由题意可得出或，解方程即可得出答案. 【详解】若，则双曲线， ，所以焦距为， 解得：. 若，则双曲线， ，所以焦距为， 解得：. 故答案为：或 变式2（24-25高二上·上海·期中）等轴双曲线（，为常数）在第一象限的焦点坐标是 . 【答案】 【分析】由等轴双曲线的对称轴为直线，可求出双曲线的顶点坐标，进而求出和的值，可得出结果. 【详解】等轴双曲线的对称轴为直线， 联立得或， 故双曲线的顶点坐标为：和， 故，所以， 所以焦点坐标是和， 所以等轴双曲线（，为常数）在第一象限的焦点坐标是. 故答案为：. 变式3（24-25高二·上海·随堂练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，，经过点； (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为，可设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，得，即可求得双曲线的标准方程； （2）由已知，求得，设出双曲线标准方程，点在双曲线上，联立，解出，，即可得到双曲线的标准方程. 【详解】（1）因为，且双曲线的焦点在x轴上， 可设双曲线的标准方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程得，解得， 因此，双曲线的标准方程为； （2）在椭圆中，， 所以椭圆的焦点坐标为，， 设双曲线标准方程为，， 因为双曲线与椭圆有相同焦点， 所以， 点代入双曲线方程，可得， 联立，解得，， 所以双曲线标准方程为． 【题型4求双曲线的离心率（或范围）】 例7（25-26高二上·上海浦东新·月考）三角形三边长为4，6，8，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线定义可得，，得， 所以双曲线的离心率. 故答案为：. 例8（24-25高二下·上海·期中）直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点，与双曲线的两条渐近线分别交于C、D两点（从左到右依次排列），若，且，，成等差数列，则双曲线Γ的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意可知，直线的斜率存在，故设直线， 设， 联立，可得， 则，， 则 ， 联立，可得， 则，， 则， 因为，所以， 即， 则， 化简得， 因为，所以，所以，即得， 因为，所以中点为的中点，所以， 因为成等差数列，所以， 又因为从左到右依次排列，所以， 所以， 则 ， 得， 与联立得，， 因，则， 又，则，则，则， 综上， 双曲线Γ的离心率的取值范围是. 故答案为： 变式1（23-24高二下·上海·月考）设圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】由圆的一般形式求出圆心和半径,再求出双曲线的渐近线方程.利用点到直线距离公式求出圆心到渐近线的距离,根据直线和圆相切条件,列出方程,求出离心率即可. 【详解】根据题意知,圆的圆心为,半径为.因为圆与渐近线相切,则圆心到渐近线的距离等于半径.设渐近线方程为,化为一般形式,则, 再由离心率公式得到, 故答案为: 变式2（24-25高二下·上海·月考）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为 . 【答案】或 【分析】设双曲线方程为或，由渐近线方程得出关系，进而求出离心率． 【详解】若双曲线方程为，由其渐近线方程为，则， 所以； 若双曲线方程为，由其渐近线方程为，则， 所以，所以， 故答案为：或. 变式3 （24-25高二下·上海徐汇·期中）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】 设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，， 是以为底边的等腰三角形，点在第一象限内， ， 即，，且，， ，，解得：． 在双曲线中，，； 在椭圆中，，； ； ，，则，， 可得：， 的取值范围为. 故答案为： 变式4 （24-25高二下·上海静安·期中）设．如图，在平面直角坐标系中，是双曲线和圆在第一象限内的交点，曲线由中满足的部分和中满足的部分构成． (1)若，求的值； (2)设，、分别为与轴的左、右两个交点．第一象限内的点也在上，且，求的大小； (3)过点作斜率为的直线．若与恰有两个不同的公共点，求的取值范围以及双曲线的离心率的取值范围． 【详解】（1）将分别代入与可得，解得，因为，所以； （2）由题设，． 、的坐标分别为、，即为的两个焦点． 因为，所以点只能在上． 由双曲线的定义，可得，故． 在中，， 故； （3）由题设，直线的方程为，与的渐近线平行，故与有且仅有一个公共点． 由圆的圆心到直线的距离， 得与相切，即与有且仅有一个公共点． 由题意，与及各有一个公共点，依次记为、，且点的横坐标大于． 由点坐标为方程组的实数解，解得 由与相切，得，直线的方程为， 代入圆的方程，解得点的坐标为． 于是，由，即解得． ． 【题型5 直线与双曲线】 例9（23-24高二下·上海·月考）如果直线经过双曲线的中心，且与该双曲线不相交，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线方程为，与双曲线联立消去得，，因为直线与该双曲线不相交，所以方程没有实数根，所以，即可求出答案. 【详解】依题意知，直线的斜率存在，设为，双曲线的中心为， 因为直线经过双曲线的中心，所以设直线方程为， 由，消去得，， 因为直线与该双曲线不相交，所以方程没有实数根， 所以，即，解得或， 所以直线l的斜率的取值范围是：. 故选：B. 例10 （25-26高二上·上海·月考）曲线 是双曲线，过点与C恰有一个公共点且斜率存在的直线的所有可能斜率之和为 . 【答案】 【分析】设直线方程，与双曲线联立，转化为方程只有一个根，此时要考虑到二次项系数为0的情况，分别解得k的值即可. 【详解】由题意可得，代入双曲线方程得. 当，即时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点； 当时，，解得. 综上，当或时，直线与双曲线只有一个公共点. 所以. 故答案为：. 变式1（24-25高二上·上海·课堂例题）直线与双曲线有且只有一个交点，那么实数k的值是 ． 【答案】或 【分析】考虑直线与双曲线相切和直线与渐近线平行两种情况，计算得到答案. 【详解】当直线与双曲线相切时：，则， 则，解得； 渐近线方程为，当直线与渐近线平行时，. 综上所述：或. 故答案为：，. 变式2（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 【答案】或 【分析】联立直线与双曲线的方程组，通过消元，利用方程解的个数，求出的值即可 【详解】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为； 由，消去整理得． 当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行， 此时直线与双曲线相交于一点，符合题意； 当即时，由，解得， 此时直线双曲线相切于一个公共点，符合题意， 综上所述：符合题意的所有取值为或， 故答案为：或. 变式3（23-24高二下·上海·期中）双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于两点． (1)若的倾斜角为，是等边三角形，求的值； (2)设，若直线的斜率等于2，求两点的横坐标之和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线的倾斜角可求得点坐标，再利用等边三角形性质可得； （2）求出双曲线方程和直线方程，联立后利用韦达定理即可得两点的横坐标之和为. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，则可得， 当的倾斜角为时，不妨设，如下图所示： 将点代入可得，又； 解得； 由是等边三角形可得，即， 联立解得或（舍）； 所以可得； （2）当时，双曲线方程为，此时 又直线的斜率等于2，所以直线方程为， 不妨设，联立直线和双曲线方程， 整理可得， 显然，由韦达定理可得， 即两点的横坐标之和为. 【题型6双曲线有关的最值，定值问题】 例11（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线和直线，是双曲线的左，右顶点，是双曲线上异于两点的任意一点，直线分别交直线于两点，设的外接圆面积分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的标准方程可知，设直线斜率为，用表示，因为的外接圆半径之比为，，结合不等式求最小值. 【详解】如图： 因为为双曲线上异于的两点， 所以，即. 根据双曲线的对称性，不妨设在第一象限，设直线：，() 令 ，得. 用代替，得直线：，令得， 所以. 设，的外接圆半径分别为，，则，， 所以，当且仅当 此时两个三角形外接圆得面积比：. 故选：B 例12（24-25高二上·上海·期中）若M，N是双曲线上关于原点对称的两个点，P是该双曲线上任意一点．当直线PM，PN的斜率都存在时，记为，，则 ． 【答案】 【分析】直接由斜率公式结合双曲线方程即可求解. 【详解】由题意设， 当直线PM，PN的斜率都存在时，记为，， 则. 故答案为：. 变式1已知为双曲线右支上的一个动点，若点到直线的距离大于恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】把所求问题转化为求点到直线的最小距离，结合平行线间的距离公式可求. 【详解】双曲线的渐近线方程为，而直线与平行， 平行线间的距离. 由题意可知点到直线的距离大于； 所以. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，双曲线上的点到直线的距离转化为平行直线间的距离，是这类问题的主要求解方向，侧重考查数学运算的核心素养. 变式2（25-26高二上·上海·月考）双曲线的左焦点为． (1)过点作斜率为k的直线l与C交于A，B两点，若，求斜率k； (2)点P在双曲线上，，求的最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先求出直线的方程，然后联立双曲线方程，利用韦达定理列出的表达式，使其等于3，化简即可求得斜率的值. （2）设，根据两点距离公式列出的表达式，然后根据的范围和二次函数的性质求出最小值. 【详解】（1）双曲线，，所以，所以左焦点为． 所以直线的方程为，联立直线与双曲线方程得： ，化简得. 设，根据韦达定理得. 所以. 因为，所以，化简得，解得. （2）设，因为点P在双曲线上，所以满足，得到. 所以. 因为或，根据二次函数的性质可知，当时，取最小值为. 变式3（24-25高二下·上海金山·月考）已知双曲线的右焦点为F，右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为. (1)求双曲线的离心率； (2)求证：为定值； (3)求的取值范围. 【详解】（1）由题意得，，∴. （2）证明：由题意知，， 设直线的方程为，， 联立方程组，得， 因为过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，故，. 则，， 则； 当直线斜率不存在时，，，， 故为定值. （3）由题意可得， 直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 则. 所以， 由于.即，，故， 当直线斜率不存在时，，，直线方程为， 直线方程为，可得，，， 综上的取值范围为.    变式4（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，所以双曲线的方程为． （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意， 当直线的斜率不为0时，设， 由，消去得， 显然，， 设，则，得， 于是， ， 即，因此与不垂直， 所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得， 则，又， 于是 ， 而，即有，且， 所以，即为定值． 一、填空题 1．（24-25高二下·上海·月考）若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于 ． 【答案】 【分析】首先写出双曲线标准方程的形式，再求虚轴长. 【详解】显然，将化为， 若该方程表示双曲线，则， 且双曲线的标准方程为， 即，虚轴长. 故答案为：. 2．（24-25高二下·上海杨浦·期中）双曲线 的右焦点到渐近线距离为 . 【答案】 【分析】由双曲线方程求出渐近线方程和右焦点坐标，结合点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】由双曲线C的渐近线方程为，即， 右焦点的坐标为， 则右焦点到直线的距离为. 故答案为： 3．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由双曲线定义可得，解不等式组即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以， 即实数的取值范围为， 故答案为：. 4．在中，，则以为焦点，且过点的双曲线的离心率为 . 【答案】3 【分析】由双曲线定义以及焦距、离心率公式即可列式求解. 【详解】由题意知. 故答案为：3. 5．（24-25高二下·上海·月考）已知，若双曲线的右焦点恰好是抛物线的焦点，则 ． 【答案】4 【分析】先求双曲线的焦点坐标，再根据抛物线焦点坐标求的值. 【详解】对双曲线：焦点在轴上，且，，所以， 所以，所以双曲线的焦点为：，. 所以抛物线的焦点坐标为：. 由. 故答案为：4 6．（24-25高二上·上海·期中）直线与双曲线只有一个交点，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】对直线是否与双曲线渐近线平行分类讨论，利用方程根的个数即可得出实数的值. 【详解】易知双曲线的左、右顶点为，渐近线方程为； 显然直线过定点，当直线与渐近线平行时，满足题意，此时； 当直线与渐近线不平行时，此时， 联立，整理可得， 因此，解得. 综上可得，实数的值为或. 故答案为：或 7．（24-25高二下·上海松江·月考）已知双曲线的焦距为，则它的两条渐近线的夹角的余弦值为 ． 【答案】/0.6 【分析】由题意解得，进而得渐近线方程，设设一条渐近线的倾斜角为，另一条渐近线的倾斜角为，不妨，得，利用同角三角函数基本关系即可求解. 【详解】由题意有，，所以， 所以双曲线渐近线方程为， 设一条渐近线的倾斜角为，另一条渐近线的倾斜角为，不妨， 所以，， 所以，由，解得， 即两条渐近线的夹角的余弦值为. 故答案为：. 8．（24-25高二下·上海黄浦·期中）若双曲线的一条渐近线与直线平行，则 ． 【答案】3 【分析】由题意可得出渐近线的斜率，据此列方程求解即可. 【详解】若双曲线的一条渐近线与直线平行， 故，解得：. 故答案为：3. 9．（25-26高二上·上海嘉定·月考）已知为坐标原点，､是双曲线的右支上任意两点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设出所在直线方程，讨论直线斜率存在与不存在的情况，分析即可求出的取值范围. 【详解】设所在直线斜率存在时直线方程为，与双曲线右支交于两点，， 将直线代入得：， ， 直线与右支交于不同两点，则且， 由韦达定理： 又 代入韦达定理： 则 ， 所以， 化简得：， 又双曲线渐近线方程为，直线与双曲线右支存在两个交点时需满足， 故，. 斜率不存在时，设直线， 与右支交于两点，其中，此时： 所以当关于轴对称时，数量积正好等于， 综上的取值范围是. 故答案为： 10．（24-25高二上·上海·课后作业）若斜率为的直线l过双曲线的上焦点，与双曲线的上支交于两点，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】先假设出直线方程，再代入双曲线方程，利用韦达定理得，，再结合有，联立解得的值，从而得解． 【详解】因为双曲线：，所以， 设直线方程为，代入双曲线方程消去得． 设， 因为，且， 所以，． 因为，所以， 所以，， 两式联立解得（负值舍去）． 故答案为：. 11．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 【答案】 【分析】设直线为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可. 【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线为， 联立，得， 设，则， 所以，解得，经检验符合题意； 则，. 弦长. 故答案为：. 12．（24-25高二下·上海·月考）已知是双曲线的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为，则 ． 【答案】 【分析】以为圆心的圆与l相切于点P，，所以由点到直线的距离求出，由余弦定理求出，再由余弦定理求出，即可求出的值． 【详解】设双曲线的一条渐近线为， 则到直线的距离为， 因为以为圆心的圆与l相切于点P，，所以， 又因为双曲线的离心率为，所以，则， 在中，， 在，， 解得：， 由余弦定理可得：， 所以， 故答案为：．    二、单选题 13．（24-25高二上·上海浦东新·月考）已知方程的根大于，则实数满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元，令，将问题转化为过定点的直线与抛物线的交点问题，即可求解. 【详解】令，原方程转化为， 问题转化为过定点的直线与实轴在轴上的双曲线的交点的横坐标要大于的问题， 因为直线过，所以只需要保证直线和右支相交，而与左支不相交，即可， 观察图形，可以发现两条渐近线的斜率是临界情况，所以. 故选：A 14．（24-25高二下·上海闵行·月考）已知圆锥曲线的对称中心为原点O．若对于上的任意一点P，均存在上的点Q（不重合），使得：（1）直线与的斜率乘积为定值；（2）线段的中点M在一条固定直线上，则称为“双对称曲线”．现有如下命题：①任意椭圆都是双对称曲线；②存在双曲线是双对称曲线；下列判断正确的是（   ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】C 【分析】利用斜率不存在时的情况说明存在椭圆不是双对称曲线；再证明双曲线满足两个条件，是双对称曲线.首先利用复数求旋转点的坐标证明曲线是双曲线，然后对双曲线任意点，分与两类，分别寻找到点满足斜率之积为定值，并求出相应中点坐标证明其在定直线上即得. 【详解】首先①不成立，下面说明存在椭圆不是双对称曲线. 不妨设椭圆方程为，其对称中心为原点. 取椭圆上一点，则直线不存在斜率， 故不满足条件“对于椭圆上的任意一点P，均存在椭圆上的点Q（不重合）， 使得直线与的斜率乘积为定值”， 椭圆不是双对称曲线， 故①不成立； 其次②成立，下面证明存在双曲线是双对称曲线； （i）证明：曲线是双曲线. 设曲线上任意一点，其对应复数， 绕原点顺时针旋转得动点， 则， 则有， 代入，化简得，故动点的轨迹为双曲线， 即点轨迹也为双曲线； （ii）证明双曲线是双对称曲线. 证明：首先该曲线以原点为对称中心. 设双曲线上任意一点，则，且. 则直线的斜率，取常数，定义， 当时，则存在点在双曲线上，为不重合两点， 且； 当时，则存在也双曲线上，为不重合两点， 且； 综上可知，若对于双曲线的任意一点，均存在双曲线上的点Q（不重合）， 使得直线与的斜率乘积为定值，即条件（1）满足； 当时，则中点，即， 则，故中点在直线上； 当时，则中点，即原点， 故也在直线上. 故对于双曲线的任意一点，均存在双曲线上的点Q（不重合）， 使得线段的中点M在一条固定直线上，故条件（2）也满足. 由此，条件（1）（2）都满足，故双曲线是双对称曲线. 综上所述，选项C正确，其余选项不正确. 故选：C. 15．（25-26高二上·上海·期中）若双曲线上存在点与右焦点关于其渐近线对称，则该双曲线的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求焦点关于直线的对称点，再代入双曲线方程，即可求解. 【详解】设右焦点关于其中一条渐近线的对称点为， 则，解得：,, 由条件可知，，整理为，且， 得，即. 故选：B 16．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线的左、右两个顶点分别是、，左、右两个焦点分别是、，P是双曲线上异于、的任意一点，给出下列命题：①；②直线、的斜率之积等于定值；③使得为等腰三角形的点P有且仅有8个；④的面积为，其中是真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义即可判断①；设，由此可得到直线、的斜率即可判断②；分类讨论并根据双曲线的对称性即可判断③；根据双曲线定义，余弦定理以及三角形面积公式即可判断④. 【详解】 解析：在中，两边之差大于第三边，即，①错误； 设，则，即， ∵，，则，， ∴，②正确； 不妨设P在第一象限，根据双曲线的定义可知， 若，结合图像易知，则满足条件的点存在且唯一， 若，结合图像易知，则满足条件的点存在且唯一， 根据双曲线的对称性可知使得，为等腰三角形的点P有且仅有8个，③正确； 不妨设P在第一象限，则，， ， ∴． 又=，所以④错误． 故选：B． 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·课堂例题）求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标． 【答案】实半轴长2，虚半轴长，焦点坐标为，，顶点坐标为， 【分析】化双曲线方程为标准形式，再求出要求问题即得. 【详解】把方程化为标准方程， 因此该双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距， 所以焦点坐标为，，顶点坐标为，． 18．（24-25高二·上海·假期作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)与双曲线有公共的渐近线，且过点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出双曲线的标准方程，代入已知条件求解即可； （2）根据焦点设出双曲线的方程，代入经过的点计算即可； （3）设双曲线的方程，代入点的坐标，联立解参数即可. 【详解】（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得．故所求双曲线的标准方程为． （2）法一： ∵双曲线1的焦点在轴上， ∴设所求双曲线的标准方程为， ∴，即① ∵双曲线经过点，∴．② 由①②得，故双曲线的标准方程为． 法二： 设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）设所求双曲线的方程为. 将点代入双曲线方程得，解得， 因此，所求双曲线的标准方程为. 19．（23-24高二下·上海·月考）设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若为线段的中点，求直线的方程； (3)当直线过点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，解方程即可得出答案； （2）由“点差法”可得直线的斜率为，再由点斜式方程求解即可； （3）讨论直线的斜率存不存在，存在时设直线的方程为，，联立直线与双曲线的方程，将韦达定理代入，由反比例函数的单调性即可得出答案. 【详解】（1）由题意可得：，解得：. 所以椭圆的方程为：. （2）设，因为在椭圆上， 所以，两式相减可得： ， 则，因为为线段的中点， 所以， 所以，所以直线的方程为：， 化简可得：. （3）当直线的斜率不存在时，，， 此时，所以， 当直线的斜率存在时，设，因为直线过点， 设直线的方程为：， 联立可得：， 当时，， ， ， 令，则， 令，在在上单调递减， 又，所以， 所以的取值范围为. 20．（23-24高二下·上海·月考）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，是双曲线C上一点，且. (1)求双曲线C的方程； (2)过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点，求直线l的方程； (3)设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为、，求证：为定值. 【详解】（1）因为是双曲线C上一点，所以， 由，所以， 因为，所以， 即，联立解得：， 所以双曲线的方程为：. （2）由（1）知：双曲线的渐近线方程为，由图象可知直线的斜率存在并大于1， 不妨设，，由的方程为：， 将代入得：， 同理，由为中点，则， 所以，解得， 所以直线l的方程为. （3）设，点与点关于原点对称，所以， 设直线的方程为， 由，得， 由可知或， 则， 所以 ， 由题意知：， 所以， 所以为定值. 21．（24-25高二下·上海松江·期末）如图，已知椭圆的离心率为，该椭圆的左右焦点 恰好是双曲线的左右顶点，是双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别是 和. (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别是，求证: ； (3)是否存在常数，使得 恒成立？若存在，求的值；若不存在， 请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）设椭圆的焦距为，根据题意，得到，由离心率，得到，进而求得椭圆的方程； （2）设点，可得，结合，即可求解； （3）设直线的方程为，则直线方程为 ，联立方程组，结合弦长公式，求得和，根据题目条件得，即可证得结论. 【详解】（1）设椭圆的焦距为， 因为椭圆焦点恰好是双曲线的左右顶点， 所以 ，故， 因为离心率，所以， 因为，所以 ，所以椭圆的方程是 . （2）设点，则 ， 因为点在双曲线上，所以，可得， 所以. （3）由 (2) 知 ， 设直线的方程为，则直线方程为 ， 联立方程组 ，整理得， 记，则， 所以 ，同理可得， 所以 ， 即 ， 所以存在，使成立. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $