2.3双曲线（题型专练）数学沪教版2020选择性必修第一册

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.3双曲线 题型一双曲线的定义与辨析 题型二轨迹方程 题型三求双曲线的标准方程 题型四根据方程表示双曲线求参数 基础达标题 题型五焦点三角形 题型六双曲线的离心率 题型七点、直线与椭圆的位置关系 题型八双曲线的渐近线 题型一双曲线离心率的取值范围 题型二和差最值问题 双曲线 题型三根据双曲线的有界性求取值范围 题型四面积问题 题型五斜率问题 题型六定值问题 能力提升题 题型七定点问题 题型八定直线、定圆问题 题型九角度问题 题型十向量相关 题型十一弦长相关 题型十二新定义 拓展培优题 A 基础达标题 1/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型一双曲线的定义与辨析 1.23-24高二上陕西威阳永寿县中学月考)双曲线C:器-若=1(Q>0)的两个焦点分别是F1与P2,焦距为 8,M是双曲线上的一点，且MF1=5,则MF2等于() A.9 B.9或1 C.1 D.6 2.(24-25高二下.上海徐汇区期末已知双曲线￥-y2=1的左、右焦点分别为F1、F2,设点P(N5,》,则PP1l -PF2的值为一· 3.(2425高二下上海宝山区海滨中学期中)已知双曲线C荒一兰=1的两个焦点为1，P2,双曲线C上有一 点P,若1PF1=10,则1PF2=一 题型二轨迹方程 1.已知动圆P与圆M:(x+3)2+y2=1,圆N:(x-3)2+y2=9均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线 C,则C的方程为() A.2-若=1 B.x2-若=10x≤-1) c.2-若=10x≥1) D.y2-号=1 2.过椭圆酷+二。=1〔(m>9)右焦点F的圆与圆0：2+y2=4外切，则该圆直径P0的端点Q的轨迹方 程为() A-若=1 B.￥-号=10x≤-2) c.￥-号=10x≥2) D.￥-苦=1 3.已知P为圆C:(x-5)2+y2=36上任意一点，A(-5,0),若线段PA的垂直平分线交直线PC于点Q,则 点Q的轨迹方程为· 4.已知点A(-2,0)点B(2,0),P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于动点P的轨迹方程为 5.(23-24高二上·海南琼海海桂中学.)已知圆C1:(x-4)2+y2=4,圆C2:(x+4)2+y2=16,若动圆M与圆 C1,C2均外切，则动圆圆心的轨迹方程为 题型三求双曲线的标准方程 1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股"提出直角三角形的三边边长分别称为 “勾”“股”“弦”.如图一直角三角形ABC的勾"“股”分别为6,8，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y 2/19 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 轴，建立平面直角坐标系，则以A,B为焦点，且过点C的双曲线方程为， 6 8 B 2.双曲线C:希-茶=1〔a>0,b>0)的两个焦点为F1、P2,点A(V3,1)在双曲线C上，且满足AF·AP =0,则双曲线C的标准方程为 3.(2324高二下广西)以椭圆号+=1的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程 为 4.根据下列条件，求双曲线的标准方程： )a=4,经过点A(1,-本)： 2)与双曲线器-苦=1有相同的焦点，且经过点(32,2)， (3)与双曲线号-y2=1有公共的渐近线，且过点(V2,V2: 5.求适合下列条件的双曲线的标准方程， (1)焦点在x轴上，Q=25,经过点A(-5,2): (2)经过A(-7,-62、B(2V7,3)两点. 3)过点P(-V2,2),且与椭圆号+片=1有相同焦点双曲线方程 题型四根据方程表示双曲线求参数 1.若方程千+兰，=1表示双曲线，则m的取值范围是《) A.m<-7或m>4 B.-7<m<4 C.m<-4或m>7 D.-4<m<7 2.方程+兰=1表示焦距为25的双曲线，则实数1的值为() y2 A.1 B.-4或1 C.-2或-4 D.-2或1 3.24,25高二下上海宝山区期末已知方程，一兰=1表示焦点在x辅上的双曲线，则实数m的取值范 围是 3/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(24,25高二下上海大同中学调研方程，”m+二=1表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围 是 5.(24-25高二上·上海建平中学.月考)已知p:点M(1,3)不在圆(x+m)2+(y一m)2=16的内部，q:“曲线C1 +。=1表示焦点在x轴上的辅圆”，s:“曲线C2二+n=1表示双曲线 t3 (1)若p和q都成立，求实数m的取值范围： (2)若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围， 题型五焦点三角形 1.已知双曲线C:荒-号=1的左，右焦点分别为P1,P2,过P,的直线与双曲线C的右支交于A,B两点，且 |AB|=6,则△F1AB的周长为() A.20 B.22 C.28 D.36 2.(2425高二下.上海静安区·期末)若焦点在x轴上的椭圆器+y2=1与双曲线号-y2=1有相同的焦点F、 F2,P是两曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是」 3.2425高三上上海宝山区过双曲线号-总=1的左焦点F作圆x2+y2=9的切线，切点为M.延长切线交 双曲线的右支于点P,O为坐标原点，点T为线段FP的中点，则OT|=一· 4.己知点P在双曲线C:若-号=1上，P1,P2别是双曲线C的左、右焦点，若△PF1P2的面积为20，则 点P到x轴的距离为且IPF1+P℉2l=一· 5.已知P22同在双曲线号-三=1上，其左、右焦点分别为F1、F2,三角形PF1F2的内切圆切x轴于点 M,则MP.MFz的值为一· 题型六双曲线的离心率 1.已知椭圆C1和双曲线C2有相同的左、右焦点F1,F2,若C1,C2在第一象限内的交点为P,且满足∠POF2 =2LPF1F2,设e1,e2分别是C1,C2的离心率，则e1,e2的关系是 2.(2526高三上上海某校模拟)已知双曲线r层-景=1的一条商近线经过点(1,1)，则双曲线r的离心率 为 3.(24-25高二下.上海复旦大学附属中学)已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，若双曲线C的一条 4/19 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 渐近线与直线V2x-y-1=0平行，则双曲线C的离心率为 4.(24-25高二下上海洋泾中学期末)已知双曲线G:￥-号=1，则G的离心率为一 5.(24-25高二下-上海实验学校：期末)已知双曲线C器-茶=1〔Q>0,b>0)的右焦点为卫，一条渐近线被以 点F为圆心，2a为半径的圆截得的弦长为2a,则双曲线C的离心率为 题型七点、直线与椭圆的位置关系 1.(2526高二上上海华东师范大学第二附属中学调研)曲线x2-￥=1是双曲线，过点P(1,1)与C恰有一 个公共点且斜率存在的直线的所有可能斜率之和为一· 2.双曲线号-￥=1与直线：y=一系x+m(m∈R)的公共点的个数为 3.(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学期中)若圆心为(3,0)的圆与双曲线号-y2=1的渐近线相切， 则该圆的标准方程为· 4.(2526高三上上海嘉定区第一中学期中)已知双曲线c爱-=1(Q>1) (1)a=2,求双曲线C的渐近线方程 (2)设A1,A2为双曲线C的左右顶点，双曲线C上一点E的纵坐标为1，且EA1·EA2=3,求a的值； (3)已知点A(2,1)在双曲线上，直线交C于P,Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0，求直线的斜率， 题型八双曲线的渐近线 1.(24-25高二下.上海中学.期中)双曲线x2+my2=1的一条渐近线方程为y=2x,则m= 2.2425高三下上海华东师范大学第二附属中学)已知双曲线y2-兰=1的上、下焦点分别为P1,P2,双曲 线r以F1,F2为焦点，且过点M(1,-2),则T的渐近线方程为 3.(24-25高二下，上海杨浦区·模拟)双曲线C:x2-荒=1的两条渐近线的夹角是，则该双曲线的焦距长 是 4.(24-25高二下.上海长征中学期中)双曲线2x2-y2=8的渐近线方程为 5.(2425高二下上海宝山区期末已知双曲线E器-景=1〔a>0b>0)的左、右焦点分别为P1、F2,过点r1 的直线交E的左支于A,B两点若10Bl=0F1(0为坐标原点)，且点0到直线的距离为Q,则该双曲线的两 条渐近线的夹角为 5/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 能力提升题 题型一双曲线离心率的取值范围 1.(25-26高三上海华东师范大学第二附属中学)已知F1,F2分别是双曲线C:若-发=1(a>0,b>0)的左、 右焦点，关于原点对称的两点P,Q均在C上，IPF1+IQF1=6a,且△PF1F2是锐角三角形，则C的离心率的 取值范围为一， 2.己知F1,F2分别是双曲线C1荒-若=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P是双曲线右支上的一点，E是线段P F1的中点，OE·F1P=0,sin∠PFzF1≥4sin∠PF1F2,则双曲线C1的离心率的取值范围是· 3.(24-25高二下·上海南洋模范中学期中)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1, F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1=24,椭圆与双 曲线的离心率分别为e1,e2,则e1e2的取值范围是 4.24-25高二下上海复旦大学附属中学期中直线1与双曲线r塔-盖=1(a>0,b>0)的左、右两支分别交 于A、B两点，与双曲线的两条渐近线分别交于C、D两点(A,C,D,B从左到右依次排列)，若OA⊥OB,且 IAC|,ICD,DBI成等差数列，则双曲线「的离心率的取值范围是 5.2425高二下上海行知中学月考)设Q>b>0,椭圆后+兰=1的离心率为e1,双曲线紧-”0=1的 y2 离心率为e2,若e1e2<1,则2。的取值范围是一 题型二和差最值问题 1.(2324高二下上海静安区：期末)已知点P是双曲线名-芳=1右支上的一点，点A、B分别是圆(x+62+ y2=4和圆(x-6)2+y2=1上的点.则1PA-1PB的最小值为() A.3 B.5 C.7 D.9 2.双曲线C学-号=1的左焦点为F,点A(0,4),若P为C右支上的一个动点，则PA+PF的最小值 为 3.24-25高二上上海交通大学附属中学期末已知F是双曲线C学-y2=1的右焦点，动点P在双曲线的 左支上，点Q为圆G:x2+(y+2)2=1上一动点，则1PQ1+|PFI的最小值为 4.(21-22高二下上海松江区期末已知F1、F2分别是双曲线C:号-y2=1的左、右焦点，动点P在双曲线的 左支上，点Q为圆G:x2+(y+2)2=1上一动点，则PQ1+1PF2的最小值为： 6/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.已知点P是双曲线号-若=1右支上的一点，点M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-52+y2=1上的 点，求PM-PNI的最大值。 题型三根据双曲线的有界性求取值范围 1.(24-25高三下辽宁名校联盟。一模)设F1,F2是双曲线C:x2-兰=1的两个焦点，0为坐标原点，点P(m,m)在 3 C上且PF1·PF2≤0，则m的取值范围是() A.[-9,习 B.【-9-11, C.[-2,2] D.[-2,-1U[1,2 2.点Q是双曲线C荒-号=1止一动点，过Q作圆D:(-62+y2=1的两条切线，切点为A,B,则QA的最 小值为 3.(23-24高二上·上海莘庄中学期末)已知双曲线y2-3x2=1. (1)求上焦点F1的坐标； (2)若动点Q在双曲线的上支上运动，求点Q到W(0,2)的距离的最小值，并求此时Q的坐标； (3)若M为双曲线的上顶点，直线y=x+t与双曲线交于C、D两点（异于点M),CM·MD=0,求实数t的 值. 4.2324高二下上海向明中学期中已知双曲线G1过点(-43V2)且与双曲线C2号-苦=1有共同的渐近线， F1,F2分别是C1的左、右焦点. (1)求C1的标准方程； (2)设点P是C1上第一象限内的点，求PF1·PF2的取值范围. 题型四面积问题 1.(2425高二下上海松江一中月考)已知双曲线号-茶=1(a>0,b>0)的南近线上一点到左焦点P1(-2,0) 的最短距离为√2. (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，直线x=ty一2与双曲线的左支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x 轴的上方，B与D在x轴的下方. 7/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①求实数t的取值范围. ②设S1、S2分别为△AOC的面积和△BOD的面积，求S1+S2的取值范围. 2.已知双曲线C:x2-号=1，F1、P2分别是其左、右焦点，直线与双曲线C的右支交于A、B两点. (1)当直线过点F2,且AB=6时，求△ABF1的周长； (2)已知点N(-2,3),若直线AN、BN的斜率之和为0，且.tan-ANB=手，当AN、BN分别与y轴交于点R、S时， 求△RSN的面积； (3)己知直线过点F2,P是双曲线C上一点且位于第一象限，且满足OQ=20P的点Q在线段AB上，若AB=2 QF2,求点P的坐标， F23 3.(2425高二下上海金山中学·月考)已知双曲线x2-苦=1的右焦点为P,右顶点为4，过焦点F的直线与 T的右支交于P,Q两点，直线AP,AQ分别与直线x=交于M,N两点，记△APQ的面积为S1,△AMN的 面积为S2 (1)求双曲线「的离心率； (2)求证：kAPk4Q为定值； 3)求的取值范围. 4.24-25高三上上海普陀区调研)设a>0,m>0,F1、P2分别是双曲线r爱-y2=1的左、右焦点，直线 l:x一my-2=0经过点F2与T的右支交于A、B两点，点0是坐标原点， (1)若点M是T上的一点，IMF1=2,求MF2的值； (2)设、uER,点P在直线x=6上，若点0、A、P、B满足：OA=1BP,OB=AP,求点P的坐标； (3)设AO的延长线与Γ交于G点，若向量OA与OB满足：OA·OB≥17，求△GAB的面积S的取值范围. 5.(23-24高二上上海建平中学·月考)已知4,2既是双曲线C1x2-片=1的两条海近线，也是双曲线C2号-卡 8/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =1的渐近线，且双曲线C2的焦距是双曲线C1的焦距的V3倍. (1)求双曲线C2的标准方程： (2)任作一条平行于4的直线依次与直线2以及双曲线C1,C2交于点L、M、N,求器的值； (3)如图，P为双曲线C2上任意一点，过点P分别作L1,2的平行线交C1于A、B两点，证明：△PAB的面积为定 值，并求出该定值， C2 题型五斜率问题 1.(23-24高三下上海华东师范大学第二附属中学)已知直线1：y=kx+与双曲线C:兰-y2=1相切于点 o. )试在集合传，号，，中选择一个数作为k的值，使得相应的的值存在，并求出相应的：的值： (2)设直线m过点M(-3V2,0)且其法向量=（化，-1），证明：当k>时，在双曲线C的右支上不存在点N, 使之到直线m的距离为√6； (3)已知过点Q且与直线1垂直的直线I分别交x、y轴于A、B两点，又P是线段AB中点，求点P的轨迹方 程. 2.已知点P1,F2分别为双曲线1：兰-y2=1的左、右焦点，直线l:y=kx+1与双曲线r:号-y2=1有 两个不同的交点A,B, (1)当F1E时，求F2到直线的距离： (2)若O为原点，直线与「的两条渐近线在第一、二象限的交点分别为C、D,求当△COD的面积最小时， 直线的方程； (3)设P为x轴上一点，是否存在实数k(k>0),使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在， 求出k的值以及点P的坐标；若不存在，说明理由 3.(24-25高二下.上海中学·期中)已知点M(-V2,0),N(√2,0)，动点P满足IIPM-IPN=2. 9/19 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求动点P的轨迹方程； (2)若动点P的轨迹上存在两点关于直线y=k(x+4)对称，求k的取值范围. 4.24-25高三上上海交通大学附属中学月考)设双曲线的方程为x2-长=1（常数b>0)。 (1)若双曲线Γ的焦距为4，求Γ两条渐近线的夹角； (2)设b=5,M(-2,0),N是第一象限内双曲线上一点，A2是双曲线右顶点，当△MA2N为等腰三角形时，求 3 点W的坐标； (3)设b=4,T是直线x=上一点已知过点T的直线1、l2的斜率分别为k1,k2(k1≠k2),1,l2分别与T交于A,B 和P,Q,当TA·ITB=|TP·ITQI时，求k1+k2的值 5.(2324高二下上海南汇中学期末)已知双曲线C:器-景=1〔a>0b>0的离心率为2，点(3，-1)在双 曲线C上，过C的左焦点F作直线交C的左支于A、B两点， (1)求双曲线C的方程. (2)若M(-2,0),试问：是否存在直线1，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线1的方程；若不 存在，说明理由 (3)点P(-4,2),直线AP交直线x=-2于点Q.设直线QA、QB的斜率分别k1、k2,求证：k1一k2为定值 题型六定值问题 1.23-24高二下上海进才中学曹杨二中在平面直角坐标系0y中，已知双曲线C:台-益=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P(2,1)是双曲线C上一点，且PF1·PF2=-1. (1)求双曲线C的方程； (2)过点P作直线1与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点若点P恰为线段RS的中点，求直线1的方 程； (3)设斜率为-2的直线1与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D,若直线PA、PD的斜 率均存在且分别为k1、k2,求证：k1k2为定值. 2.(24-25高二上江苏无锡调研)已知双曲线r:器-景=1(a>0b>0)的离心率为2，右焦点F到南近线的 距离为V3. (1)求双曲线Γ的方程： (2)若双曲线T的右顶点为A,过焦点F的直线与的右支交于P,Q两点，直线AP,AQ分别与直线x=交于 10/19 2.3双曲线 题型一 双曲线的定义与辨析 1．(23-24高二上·陕西咸阳永寿县中学·月考)双曲线：的两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则等于（    ） A．9 B．9或1 C．1 D．6 【答案】A 【分析】根据焦距，可得值，根据的关系，可得值，根据双曲线定义，分类讨论，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当时，不合题意，故舍去， 当时，，满足题意， 综上，. 故选：A 2．(24-25高二下·上海徐汇区·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义与方程运算求解. 【详解】由双曲线的标准方程可得， 由满足方程，知点在双曲线的右支上， . 故答案为：4. 3．(24-25高二下·上海宝山区海滨中学·期中)已知双曲线的两个焦点为，，双曲线上有一点，若，则 . 【答案】18 【分析】根据双曲线的方程求出，再由双曲线定义求出，结合可得答案． 【详解】因为，所以， 可得， 因为，，所以，或， 因为，所以舍去，故. 故答案为：. 题型二 轨迹方程 1．已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆P的半径为r，外切关系可得，，进而得，从而利用双曲线的定义即可求解. 【详解】由圆M：，得圆心，半径， 由圆N：，得圆心，半径． 设圆P的半径为r，则有，． 两式相减得， 所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支， 又，所以C的方程为． 故选：B． 2．过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点的坐标，结合两圆外切的性质探求出点的轨迹特征，进而求出方程. 【详解】由椭圆，得椭圆半焦距，即有，则椭圆的左焦点为， 设以FQ为直径的圆的圆心为C，如图， 由圆O与圆C外切，得，又，， 则， 因此Q的轨迹是以、F为焦点，实轴长的双曲线的右支，即，， 所以双曲线方程：． 故选：C 3．已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可得点满足双曲线的定义，且求得，的值，再由求得，则点的轨迹的方程可求． 【详解】解：由点是线段垂直平分线上的点， ， 又， 满足双曲线定义且，， ， 轨迹方程：． 故答案为：． 4．已知点点，是动点，且直线与的斜率之积等于动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设点的坐标为，进而利用得到动点的轨迹方程. 【详解】设点的坐标为， 因为，, 所以，化简得. 故动点的轨迹方程为. 故答案为： 5．(23-24高二上·海南琼海海桂中学·)已知圆，圆，若动圆M与圆均外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】由题可得，然后根据双曲线的定义即得. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 设动圆的半径为，由动圆与圆，都外切，得， 则，因此点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 设方程为，则， 所以M的轨迹方程为. 故答案为：. 题型三 求双曲线的标准方程 1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴长、半焦距即可求解. 【详解】依题意，双曲线焦点在x轴上，焦距，即， 实轴长，即， 于是虚半轴长， 所以所求双曲线方程为． 故答案为： 2．双曲线C：的两个焦点为、，点在双曲线C上，且满足，则双曲线C的标准方程为 ． 【答案】 【分析】设，，进而根据向量垂直的坐标表示得，再根据点在双曲线上待定系数求解即可． 【详解】解：由题，设，，因为， 所以， 因为， 所以，解得， 因为，解得， 所以，双曲线的标准方程为． 故答案为：． 3．(23-24高二下·广西·)以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为 ． 【答案】 【分析】首先得到椭圆的焦点坐标与长轴上的顶点坐标，再设所求双曲线方程为，即可得到，，从而求出，即可得到双曲线方程. 【详解】椭圆的焦点为，长轴上的顶点为， 设所求双曲线方程为， 所以，，所以， 所以双曲线方程为. 故答案为： 4．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)与双曲线有公共的渐近线，且过点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出双曲线的标准方程，代入已知条件求解即可； （2）根据焦点设出双曲线的方程，代入经过的点计算即可； （3）设双曲线的方程，代入点的坐标，联立解参数即可. 【详解】（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得．故所求双曲线的标准方程为． （2）法一： ∵双曲线1的焦点在轴上， ∴设所求双曲线的标准方程为， ∴，即① ∵双曲线经过点，∴．② 由①②得，故双曲线的标准方程为． 法二： 设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）设所求双曲线的方程为. 将点代入双曲线方程得，解得， 因此，所求双曲线的标准方程为. 5．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在轴上，，经过点； (2)经过、两点． (3)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设双曲线的标准方程为，将点代入双曲线的方程，求得，即可求解； （2）设双曲线的方程为，将点代入双曲线方程，求得的值，即可求解； （3）根据题意，设双曲线标准方程为，代入点，结合，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：因为，且双曲线的焦点在轴上， 可设双曲线的标准方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程得，解得， 因此，双曲线的标准方程为. （2）解：设双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线方程可得，解得， 因此，双曲线的标准方程为. （3）解：由题意知，椭圆的焦点坐标为， 所以可设双曲线标准方程为，其中， 代入点可得，联立解得； 所以双曲线标准方程为. 题型四 根据方程表示双曲线求参数 1．若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】对双曲线的焦点位置进行分类讨论，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得； 若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，无解. 综上所述，. 故选：D. 2．方程表示焦距为的双曲线，则实数λ的值为（　　） A．1 B．或1 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】分类讨论焦点的位置结合双曲线的定义计算即可. 【详解】由已知得双曲线的焦距， ①当双曲线的焦点在x轴上时， 由题意可得，解方程可得或，但和不满足不等式，故无解； ②当双曲线的焦点在y轴上时， 由题意可得，解方程得或， 但当时不能满足，故， 综合①②可得， 故选：A． 3．(24-25高二下·上海宝山区·期末)已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由双曲线定义可得，解不等式组即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以， 即实数的取值范围为， 故答案为：. 4．(24-25高二下·上海大同中学·调研)方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由双曲线方程的特征即可求解. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以，解得. 故答案为：. 5．(24-25高二上·上海建平中学·月考)已知：点不在圆的内部，：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，：“曲线表示双曲线”． (1)若和都成立，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）结合点与圆的位置关系、椭圆方程的特点分别解出当、为真时，的取值范围，再求交集即可； （2）当为真时，求得，再根据或，求解即可. 【详解】（1）解：当为真时，则有， 整理得：，解得或； 当为真时，则有，解得或； 又因为和都为真， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为； （2）解：当为真时，则有，解得， 又因为是的必要不充分条件， 所以或， 所以或， 解得或， 所以的取值范围. 题型五 焦点三角形 1．已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 【答案】C 【分析】先根据双曲线定义列出，，然后结合求出的周长. 【详解】由题意知，， 所以 ， 又， 所以， 所以的周长为． 故选：C． 2．(24-25高二下·上海静安区·期末)若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是 ． 【答案】1 【分析】由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，由它们有相同的焦点，得到．根据双曲线和椭圆的定义可得，，在中由三边的关系得出其为直角三角形，由的面积公式即可运算得到结果． 【详解】由题意设两个圆锥曲线的焦距为， 椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为， 由它们有相同的焦点，得到，即． 不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，① 由椭圆的定义，② 得， 即有， 又， 可得， ，即， 则的形状是直角三角形 即有的面积为. 故答案为：1. 3．(24-25高三上·上海宝山区·)过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为.延长切线交双曲线的右支于点，为坐标原点，点为线段的中点，则 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义，中位线的性质，可转化为，根据勾股定理计算，然后利用及解方程求解即可. 【详解】如图， 取双曲线右焦点，连接，由题知，，所以， 因为O为，T为PF的中点，所以TO为的中位线， 可得.又， 所以， 又，所以，又， 所以，解得. 故答案为：5 4．已知点P在双曲线C：上，，别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则点P到x轴的距离为 且 ． 【答案】 4 【分析】根据双曲线的计算的，设点，结合，计算得到点P到x轴的距离；由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得，利用双曲线的定义得，计算的值． 【详解】由已知得双曲线的实半轴长为，虚半轴长为， 则右焦点的横坐标为，设点， 则，所以，点P到x轴的距离为4， 由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得， 由双曲线的定义，得， 所以． 故答案为： 5．已知在双曲线上，其左、右焦点分别为、，三角形的内切圆切轴于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】由已知点的坐标求得，根据内切圆性求得点坐标，然后由数量积的坐标运算计算． 【详解】因为在双曲线上，所以，解得， ∴，则、， 如图，设，内切圆与轴的切点是点，、与内切圆的切点分别为、， ∵由双曲线的定义可得， 由圆的切线长定理知，，，， 故，即，故， ∴，即，则，， ∴， 故答案为：． 题型六 双曲线的离心率 1．已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点，，若，在第一象限内的交点为P，且满足，设，分别是，的离心率，则，的关系是 【答案】 【分析】数形结合与利用角的关系得到，再利用椭圆和双曲线的定义得到等量关系，两边除以即可得解. 【详解】因为，， 所以，所以，所以，    记椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，， 则由椭圆和双曲线定义可得：①，②， 则①2+②2可得， 由勾股定理知，代入上式可得， 整理得，即， 故，的关系是. 故答案为： 2．(25-26高三上·上海某校·模拟)已知双曲线的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】由题意可得，即可计算离心率. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为，由于一条渐近线过点， 可得，则. 故答案为：. 3．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·)已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为 ． 【答案】或 【分析】根据题意分焦点在轴和轴，再利用渐近线与直线平行可求离心率. 【详解】当双曲线焦点在轴时，曲线方程可设， 此时双曲线的一条渐近线为，与直线平行， 所以，又， 所以离心率； 当双曲线焦点在轴时，曲线方程可设， 此时双曲线的一条渐近线为，与直线平行， 所以，又， 所以离心率； 故答案为：或. 4．(24-25高二下·上海洋泾中学·期末)已知双曲线：，则的离心率为 . 【答案】 【分析】根据离心率公式直接求解即可. 【详解】已知双曲线：，则的离心率为. 故答案为：. 5．(24-25高二下·上海实验学校·期末)已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为 ． 【答案】2 【分析】由题意得，再结合即可求解. 【详解】渐近线方程为， ∵点F到渐近线的距离为，∴， 即，所以． 故答案为：. 题型七 点、直线与椭圆的位置关系 1．(25-26高二上·上海华东师范大学第二附属中学·调研)曲线 是双曲线，过点与C恰有一个公共点且斜率存在的直线的所有可能斜率之和为 . 【答案】 【分析】设直线方程，与双曲线联立，转化为方程只有一个根，此时要考虑到二次项系数为0的情况，分别解得k的值即可. 【详解】由题意可得，代入双曲线方程得. 当，即时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点； 当时，，解得. 综上，当或时，直线与双曲线只有一个公共点. 所以. 故答案为：. 2．双曲线与直线l： (m∈R)的公共点的个数为 . 【答案】0或1 【分析】根据双曲线的图像性质，以及渐近线来分析即可. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，    所以当时，直线l：与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点； 当时，直线l与渐近线平行，此时直线l与双曲线有一个交点． 故答案为：0或1. 3．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)若圆心为的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据点到直线的距离等于半径即可求解圆的半径得解. 【详解】设圆的方程为， 的渐近线方程为， 故，解得， 故圆的方程为， 故答案为： 4．(25-26高三上·上海嘉定区第一中学·期中)已知双曲线 (1)，求双曲线的渐近线方程. (2)设，为双曲线的左右顶点，双曲线上一点的纵坐标为，且，求的值； (3)已知点在双曲线上，直线交于两点，直线的斜率之和为求直线的斜率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程的公式求解； （2）先根据双曲线方程得到顶点坐标，设点，表示出向量和，利用数量积公式得到与的关系，把点代入双曲线方程即可求解； （3）设直线斜率为，直线斜率为，把直线与双曲线方程联立，利用韦达定理表示出点，同理以代可表示出点，代入斜率公式化简即可得斜率. 【详解】（1）当时，双曲线的方程为， 则双曲线的渐近线方程为； （2）由题意，设， 则，， 则，， 又点在双曲线上，则，化简得， 又所以； （3）将点代入双曲线方程得，解得：， 故双曲线方程为； 设直线斜率为，则直线斜率为 直线方程为，联立双曲线与直线: ， 其中 即且， 由韦达定理，则， 同理以代，则， 则，， 故. 题型八 双曲线的渐近线 1．(24-25高二下·上海中学·期中)双曲线的一条渐近线方程为，则 ． 【答案】 【分析】写出双曲线的标准方程，利用双曲线的渐近线方程直接求解即可. 【详解】由题意，双曲线的标准方程为，所以， 因为双曲线的渐近线方程为，所以，则， 所以. 故答案为：. 2．(24-25高三下·上海华东师范大学第二附属中学·)已知双曲线的上、下焦点分别为，双曲线以为焦点，且过点，则的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】由待定系数法求得，进一步得的渐近线方程为. 【详解】设所求方程为，由题意，， ，所以， 故所求双曲线的方程为，则的渐近线方程为. 故答案为：. 3．(24-25高二下·上海杨浦区·模拟)双曲线的两条渐近线的夹角是，则该双曲线的焦距长是 . 【答案】或4 【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合夹角大小求出，进而求出焦距. 【详解】双曲线的其中一条渐近线方程是 ， 由两条渐近线的夹角是，得直线的倾斜角是或， 则，或，， 所以该双曲线的焦距长是或4. 故答案为：或4 4．(24-25高二下·上海长征中学·期中)双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】根据双曲线方程直接代入渐近线方程计算可得结果. 【详解】由双曲线可得其标准方程为； 所以渐近线方程为； 故答案为： 5．(24-25高二下·上海宝山区·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点.若（为坐标原点），且点到直线的距离为，则该双曲线的两条渐近线的夹角为 . 【答案】 【分析】由题意得，进一步得所求为，结合诱导公式、二倍角公式即可求解. 【详解】令双曲线的半焦距为，取的中点，连接，由， 得，，连接，由为的中点，得， 则，，， 因此，即，整理得， 所以，即，所以， 设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则， 所以， 故双曲线的两条渐近线的夹角的正切为. 故答案为：. 题型一 双曲线离心率的取值范围 1．(25-26高三·上海华东师范大学第二附属中学·)已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是锐角三角形，则的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件求出的三条边，再利用是锐角三角形，结合余弦定理求出双曲线离心率的取值范围． 【详解】    关于原点对称，双曲线焦点关于原点对称， 四边形是平行四边形，则， ，， 设点在左支，根据双曲线定义得：， 联立可得， 的三条边：，， 是锐角三角形， 的三个内角均为锐角，即 ：，则； ： ，不等式恒成立； ：，则， 双曲线的离心率的取值范围为：． 故答案为： 2．已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上的一点，是线段的中点，，，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由可知，又可得，则．设，，在中，由双曲线的定义及勾股定理可求得，．由根据正弦定理可知，进而可求得离心率的范围． 【详解】由可知， 由是线段的中点，是线段的中点，则，可得．    设，， 在中，由双曲线的定义可知，由勾股定理可知， 则，， 因为，所以由正弦定理可知， 代入整理可得，则， 又，所以． 则双曲线的离心率的取值范围是． 故答案为：． 3．(24-25高二下·上海南洋模范中学·期中)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据等腰三角形三边关系可构造不等式求得的范围，根据双曲线和椭圆定义可利用表示出，从而得到，结合的范围可得结果. 【详解】 设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，， 是以为底边的等腰三角形，点在第一象限内， ， 即，，且，， ，，解得：． 在双曲线中，，； 在椭圆中，，； ； ，，则，， 可得：， 的取值范围为. 故答案为： 4．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点，与双曲线的两条渐近线分别交于C、D两点（从左到右依次排列），若，且，，成等差数列，则双曲线Γ的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先设直线方程及四个点，联立后分别求出两根和和两根积，根据得出，再利用，，成等差数列，可得，利用及韦达定理进行化简可得出，即可求离心率的范围. 【详解】由题意可知，直线的斜率存在，故设直线， 设， 联立，可得， 则，， 则 ， 联立，可得， 则，， 则， 因为，所以， 即， 则， 化简得， 因为，所以，所以，即得， 因为，所以中点为的中点，所以， 因为成等差数列，所以， 又因为从左到右依次排列，所以， 所以， 则 ， 得， 与联立得，， 因，则， 又，则，则，则， 综上， 双曲线Γ的离心率的取值范围是. 故答案为： 5．(24-25高二下·上海行知中学·月考)设 ，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得出椭圆与双曲线共焦点及，由得出，再根据，且得出，即可得出，进而得出的范围． 【详解】由题意知椭圆的，双曲线的， 所以椭圆与双曲线共焦点，设，则， 所以， 因为，所以， 设，则，解得，即， 又因为，且，所以， 所以，则， 故答案为：． 题型二 和差最值问题 1．(23-24高二下·上海静安区·期末)已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据圆的性质分析可得，再结合双曲线的定义运算求解. 【详解】由双曲线可知， 且圆的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 由圆的性质可知：， 可得， 可知，为双曲线的焦点，则， 可得， 所以的最小值为5. 故选：B. 2．双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】利用双曲线的定义将进行转化，再结合三角形三边关系求的最小值； 【详解】设双曲线的右焦点为. 对于双曲线，可得，则. 因为点在双曲线的右支上，所以，即. 则. 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得，当且仅当，，三点共线时取等号. 已知，，根据两点间距离公式，可得. 所以，即的最小值为. 故答案为： 3．(24-25高二上·上海交通大学附属中学·期末)已知F是双曲线的右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设是左焦点，由双曲线定义转化，取最小值时，的最小值是在线段上即得． 【详解】双曲线，，，，，，即为， 圆的圆心为，半径， P在双曲线的左支上，，， 所以， 根据圆的几何性质可知， 的最小值是， 所以的最小值是. 故答案为：6 4．(21-22高二下·上海松江区·期末)已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为 . 【答案】6 【分析】结合双曲线的定义以及圆的几何性质求得正确答案. 【详解】双曲线，，， 圆的圆心为，半径， 在双曲线的左支上，， 所以， 根据圆的几何性质可知，的最小值是， 所以的最小值是. 故答案为： 5．已知点是双曲线右支上的一点，点、分别是圆和上的点，求的最大值． 【答案】 【分析】 先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离，结合双曲线的定义即可求的最大值. 【详解】 ， ，，则， 故双曲线的两个焦点为，， ，也分别是两个圆的圆心，两圆的半径分别为， 所以，， 则 ， 即的最大值为．    题型三 根据双曲线的有界性求取值范围 1．(24-25高三下·辽宁名校联盟·一模)设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用坐标计算，再利用进行消元，解关于的不等式. 【详解】点在上，则，且或， 因，则，， 则， 解得，故或. 故选：B 2．点是双曲线上一动点，过作圆的两条切线，切点为，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由于是直角三角形，且，所以当取得最小值时，取得最小值，设出，，表达出，配方后求出最小值，从而得到答案. 【详解】由题知：设，，则， 由于是直角三角形，且，所以当取得最小值时，取得最小值，    则 ，当时，等号成立， 故， 故答案为:. 3．(23-24高二上·上海莘庄中学·期末)已知双曲线． (1)求上焦点的坐标； (2)若动点在双曲线的上支上运动，求点到的距离的最小值，并求此时的坐标； (3)若为双曲线的上顶点，直线与双曲线交于C、D两点（异于点），，求实数的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据双曲线方程求解出的值，根据求解出的值，则坐标可知； （2）设出点坐标，然后表示出，根据点在双曲线上以及二次函数的性质求解出，代入于双曲线方程则可知，故点坐标可知； （3）设出坐标，联立直线与双曲线方程得到横坐标的韦达定理形式，然后将数量积关系转化为坐标关系，结合韦达定理可求解出的值. 【详解】（1）因为双曲线方程为， 所以，所以， 所以上焦点. （2）设，则， 所以， 当时，此时取得最小值且， 所以，所以， 所以. （3）因为为上顶点，所以， 由题意可知：不经过，所以， 设， 联立可得， 且，即， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 化简可得：，解得或（舍）， 综上所述，. 4．(23-24高二下·上海向明中学·期中)已知双曲线过点且与双曲线有共同的渐近线，，分别是的左、右焦点． (1)求的标准方程； (2)设点是上第一象限内的点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由共渐近线方程设法将点代入直接求解； （2）向量坐标化，由点在双曲线上化简整理为二次函数求得范围. 【详解】（1）由题意可设的方程为， 将代入可得，，解得， 的标准方程为． （2）设，则， 点在第一象限，，且，， ， 的取值范围是． 题型四 面积问题 1．(24-25高二下·上海松江一中·月考)已知双曲线的渐近线上一点到左焦点的最短距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，直线与双曲线的左支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方． ①求实数t的取值范围． ②设、分别为的面积和的面积，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）根据焦点到渐近线距离求出，再求出即可得解. （2）（ⅰ）直线与双曲线方程联立消元后由根与系数关系及直线与左支相交可得； （ⅱ）根据弦长公式及点到直线的距离分别求出三角形面积，根据面积表达式换元后利用不等式性质求出范围. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，且， 则到直线的距离为，解得，， 所以双曲线的方程为． （2）（ⅰ）设，由，消去得， 则，， 由直线与双曲线左支交于两点，得，解得， 所以的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）知，， 原点到直线的距离，设， 由，消去得，则， 则， 于是， 令，则， 所以的取值范围为． 2．已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于两点. (1)当直线过点，且时，求的周长； (2)已知点，若直线的斜率之和为，且，当分别与轴交于点时，求的面积； (3)已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标. 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）由双曲线的定义，根据整体思想，可得答案； （2）由斜率之和为零，可得倾斜角的大小，从而求得直线方程，利用三角形面积公式，可得答案； （3）分斜率存在与不存在两种情况，表示出直线方程，联立双曲线方程，写出韦达定理，结合题意建立方程，可得答案. 【详解】（1） 根据双曲线定义得：，， 两式相加得，即， 由已知得，所以的周长为， （2） 设直线的倾斜角分别为， 由已知得，不妨设，则， 则可求得，， 所以直线解得， 直线解得， 所以的面积为. （3）设，由知 若直线斜率不存在，则，此时与点重合，不符题意，舍去； 设直线方程为：， 与双曲线联立化简得， 显然成立，设交点， 由韦达定理： 由得， 从而，即， 将韦达定理代入 化简得（※）， 因为，即， 由已知在双曲线上，得， 从而得代入（※）式， ， 化简得，即， 解得，则点的坐标为. 3．(24-25高二下·上海金山中学·月考)已知双曲线的右焦点为F，右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为. (1)求双曲线的离心率； (2)求证：为定值； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意求出，即可求得答案； （2）设直线PQ的方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合的表达式，即可证明结论； （3）利用直线方程求出相关点坐标，可得的表达式，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得，，∴. （2）证明：由题意知，， 设直线的方程为，， 联立方程组，得， 因为过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，故，. 则，， 则； 当直线斜率不存在时，，，， 故为定值. （3）由题意可得， 直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 则. 所以， 由于.即，，故， 当直线斜率不存在时，，，直线方程为， 直线方程为，可得，，， 综上的取值范围为.    4．(24-25高三上·上海普陀区·调研)设，，、分别是双曲线的左、右焦点，直线经过点与的右支交于、两点，点是坐标原点. (1)若点是上的一点，，求的值； (2)设、，点在直线上，若点、、、满足：，，求点的坐标； (3)设的延长线与交于点，若向量与满足：，求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)的面积的取值范围为 【分析】（1）由直线过点，可求，判断点的位置，结合双曲线定义求结论； （2）联立方程组，设，利用设而不求法求，由条件证明四边形为平行四边形，列方程求，由此确定的坐标； （3）由条件列不等式求的范围，表示的面积，利用换元法求其最值. 【详解】（1）双曲线的右焦点的坐标为， 因为过点， 所以，所以， 因为， 所以点在双曲线的左支上， 由双曲线定义知，又， 所以. （2）由（1）知，，则双曲线， 联立 ，消去得， 则， 设，则，， 所以， ， 又，所以， 因为点、、、满足：，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 故与互相平分，点在直线上， 所以，又，所以， 所以点的纵坐标为， 所以点的坐标为. （3）因为， 所以， 所以，又，所以， 由双曲线的对称性可得，， 所以， 所以， 令，，即， 所以， 因为在区间上单调递减，当时，， 所以在上单调递增，所以， 所以的面积的取值范围为. 5．(23-24高二上·上海建平中学·月考)已知既是双曲线的两条渐近线，也是双曲线的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍． (1)求双曲线的标准方程； (2)任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线交于点，求的值； (3)如图，为双曲线上任意一点，过点分别作的平行线交于两点，证明：的面积为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，定值为 【分析】 （1）根据题意确定，求出，即可得双曲线的方程； （2）设，，分别联立与、联立与、联立与的方程可得、、，由可得答案； （3）延长、分别交渐近线于、两点，设，，求出、的方程与的方程联立解得、，可得，设的倾斜角为，利用正切的二倍角公式和三角形面积公式可得答案． 【详解】（1） 依题意，根据双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍，可得， 即，故双曲线的标准方程为； （2） 不妨设，则设，    联立，可得，联立可得， 联立可得， 从而； （3） 证明：如图，延长，分别交渐近线于，两点，    由（2）可知，则， 设,，则，联立， 解得， 而，联立，解得， 从而， 设的倾斜角为，则，而，故， 则，因此． 故的面积为定值. 题型五 斜率问题 1．(23-24高三下·上海华东师范大学第二附属中学·)已知直线l：与双曲线C：相切于点Q． (1)试在集合中选择一个数作为k的值，使得相应的t的值存在，并求出相应的t的值； (2)设直线m过点且其法向量，证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点N，使之到直线的距离为； (3)已知过点Q且与直线l垂直的直线分别交x、y轴于A、B两点，又P是线段中点，求点P的轨迹方程． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由直线l与双曲线C相切得：直线斜率不等于渐近线的斜率即和联立直线l与双曲线C解为1个，故利用和即可求解. （2）先求出直线方程，再分别求直线和直线与过原点的平行直线的距离，进而得直线与与曲线C右支相切的切线距离即可得证. （3）根据求切线的理论方法先求出用切点表示的切线斜率，进而得的方程和A、B两点，从而求得点坐标，再由以及消参即可求解. 【详解】（1）由题得双曲线渐近线方程为， 所以当时，直线与双曲线不可能相切，故 联立， 消去可得:， 所以， ， 当时，； 当时，. （2）由题任取直线上一点，则由题意， ， 即直线的直线方程为，与切线平行， 所以直线与过原点的平行直线的距离为， 因为，所以，故， 故，即， 由（1），所以直线与过原点的平行直线的距离为： ， 因为，所以，故，即，如图， 所以时，直线与与曲线C右支相切的切线距离为， 故当时，在双曲线C的右支上不存在点N，使之到直线的距离为. （3）由题可设切点且，则即， 对求关于的导数可得:， 所以， 则切线斜率， 又过点与垂直的直线分别交，轴于两点， 所以， 所以， 令， 得， 所以， 令， 得， 所以， 所以， 设， 则，则由以及消参得：， 即的轨迹方程是. 2．已知点分别为双曲线 的左、右焦点，直线：与双曲线有两个不同的交点A，B． (1)当时，求到直线的距离； (2)若O为原点，直线与的两条渐近线在第一、二象限的交点分别为C、D，求当△COD的面积最小时，直线的方程； (3)设P为x轴上一点，是否存在实数，使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值以及点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在实数，此时． 【分析】（1）由题可得焦点坐标，可得直线方程，然后利用点到直线的距离即得； （2）求得两渐近线方程，联立方程可得，进而即得； （3）假设存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，联立直线与椭圆方程利用韦达定理，结合条件可得AB的中点，再由，则，求解即可． 【详解】（1）由双曲线Γ：的左焦点，右焦点， 当时， ，∴， ∴直线 ， 故到l的距离； （2）由双曲线Γ：得两渐近线的方程为， ∵直线l与Γ的两条渐近线在一、二象限的交点分别为C，D， ∴， 由得交点C的横坐标为， 由得交点D的横坐标为， ∴，当时取等号， 所以当的面积最小时，直线CD平行于x轴，此时方程为. （3）假设存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， 设， 由，消去y得， ∴且， 解得且， ， AB的中点， 所以AB的垂直平分线方程为， 令，则， 又，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，又， 故，点， 即存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，此时． 3．(24-25高二下·上海中学·期中)已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程； (2)若动点的轨迹上存在两点关于直线对称，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用双曲线的定义和之间的关系即可求出轨迹方程； （2）当时，符合题意，时，设是轨迹上关于对称的两点，设直线方程为，中点为，根据该中点在直线上以及在直线上，可得①式，联立直线与双曲线，结合韦达定理以及根的判别式，可得②③式，三个式子联立即得相关的不等式，求解即可. 【详解】（1）由题知，点到两定点之间距离之差的绝对值为， 所以动点的轨迹为以为焦点的双曲线， 其中焦距，实轴长， 所以， 所以动点的轨迹方程为. （2）当时，直线，符合题意； 当时，设是轨迹上关于对称的两点， 则，设直线方程为，中点为， 则，又， 可得，① 联立，可得， 则该方程必有两个不同的根， 即， 可得，② 又，，③ 联立①③，可得，， 代入②，解得， 解得或，所以或或， 综上，的取值范围为. 4．(24-25高三上·上海交通大学附属中学·月考)设双曲线的方程为(常数. (1)若双曲线的焦距为4，求两条渐近线的夹角； (2)设是第一象限内双曲线上一点，是双曲线右顶点，当为等腰三角形时，求点的坐标； (3)设是直线上一点.已知过点的直线、的斜率分别为，分别与交于和，当时，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先求双曲线的值，然后求双曲线的渐近线方程，最后求两条渐近线的夹角；（2）分情况讨论，结合两点间距离公式和N是第一象限内双曲线上一点条件计算即可；（3）先设出点的坐标以及直线、的参数方程，然后将参数方程代入双曲线方程，利用参数的几何意义得到与的表达式，再结合已知条件求解的值. 【详解】（1）对于双曲线，其标准方程为，其中. 双曲线的焦距，则. 根据双曲线的性质，已知，，代入可得，即，解得，则.   对于双曲线，其渐近线方程为. 已知，，则双曲线的渐近线方程为. 设渐近线的倾斜角为，则， 因为倾斜角，所以. 设渐近线的倾斜角为，则， 因为倾斜角，所以.   两条直线夹角的范围是. 两条渐近线倾斜角相差，所以两条渐近线的夹角为. （2）对于双曲线，则. 已知，则双曲线方程为. 分情况讨论为等腰三角形时点的坐标： 情况一：当时， 已知，，则. 设（，），因为，根据两点间距离公式可得. 又因为点在双曲线上，所以，联立方程组，解方程组： 由可得，即. 将代入中得：， 解得或（舍去）. 当时，，（），所以. 情况二：当时 ，则，即，. 联立方程组，将代入中得： ，解得或（舍去）. 当时，，（不满足在第一象限，舍去）. 情况三：当时 ，两边同时平方可得，即，展开得，移项可得，解得（不满足在第一象限，舍去）.   综上所得，点的坐标为. （3）设，直线的参数方程为（为参数），其中. 直线的参数方程为（为参数），其中. 将直线的参数方程代入双曲线方程 把代入双曲线方程，可得： 展开并整理得： 设、对应的参数分别为、，根据韦达定理，. 由直线参数方程中参数的几何意义可知. 因为，则，，代入上式可得：. 同理将直线的参数方程代入双曲线方程，按照上述步骤可得. 因为，所以. 由于，则，即. 又因为，而（因为）. 由可得，即. 因为，所以. 【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 5．(23-24高二下·上海南汇中学·期末)已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程； （2）设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可； （3）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，所以双曲线的方程为． （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意， 当直线的斜率不为0时，设， 由，消去得， 显然，， 设，则，得， 于是， ， 即，因此与不垂直， 所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得， 则，又， 于是 ， 而，即有，且， 所以，即为定值． 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 题型六 定值问题 1．(23-24高二下·上海进才中学曹杨二中·)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，是双曲线C上一点，且. (1)求双曲线C的方程； (2)过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点，求直线l的方程； (3)设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为、，求证：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）代入得到，由得到，联立即可得解； （2）由在直线上，且为中点，解出值即可； （3）设出直线的方程，联立直线与曲线的方程得到，结合题意解出即可. 【详解】（1）因为是双曲线C上一点，所以， 由，所以， 因为，所以， 即，联立解得：， 所以双曲线的方程为：. （2）由（1）知：双曲线的渐近线方程为，由图象可知直线的斜率存在并大于1， 不妨设，，由的方程为：， 将代入得：， 同理，由为中点，则， 所以，解得， 所以直线l的方程为. （3）设，点与点关于原点对称，所以， 设直线的方程为， 由，得， 由可知或， 则， 所以 ， 由题意知：， 所以 ， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 2．(24-25高二上·江苏无锡·调研)已知双曲线：的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为． ①求证：为定值； ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由题意求出，即可求得答案； （2）①设直线PQ的方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合的表达式，即可证明结论；②利用直线方程求出相关点坐标，可得的表达式，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可求得答案. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为c，由题意得，渐近线方程不妨取，即， 则，而， 故双曲线方程为； （2）①由题意知，设直线PQ的方程为， 联立方程组，得， 因为过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，故， 则， 则； 当直线PQ斜率不存在时，, 故为定值； ②由题意可得， 直线AP的方程为，则， 直线AQ的方程为，则， 则， 所以， 由于。即，，故， 当直线PQ斜率不存在时，， 直线AP方程为， 直线AQ方程为，可得， 综上的取值范围为. 【点睛】难点点睛：本题综合考查了直线和双曲线位置关系中的三角形面积问题，解答的难点在于的取值范围的确定，解答时要注意结合直线和双曲线方程联立求出的表达式，计算过程比较复杂，计算量较大. 3．(24-25高三下·上海延安中学·)平面直角坐标系中，双曲线的离心率为． (1)求的方程； (2)若直线与有两个公共点、，动点满足，求点的轨迹方程； (3)若直线与只有一个公共点，且直线与的两条渐近线分别交于、两点，则的面积是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（或）； (3)是，定值为 【分析】（1）利用双曲线的离心率公式可求出的值，由此可得出双曲线的方程； （2）设点、、，将直线的方程与双曲线方程联立，列出韦达定理，由求出的取值范围，利用平面向量的坐标运算化简可得出点的轨迹方程； （3）先证明出双曲线在点处的切线方程为，设点、，将切线方程与双曲线的渐近线方程联立，列出韦达定理，结合三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）因为，解得，因此，双曲线的方程为. （2）设点、、， 联立可得，则， 解得或， 由韦达定理可得，， 则， 因为，即， 则，， 因此点的轨迹方程为（或） （3）设直线与的切点的为，其中， 先证明出双曲线在点处的切线方程为， 联立得，整理可得，则， 所以，双曲线在点处的切线方程为， 设点、，双曲线的渐近线方程可写为， 联立可得，由韦达定理可得， 易知双曲线的渐近线为，，易知， 所以，为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 4．(24-25高二下·上海华东师范大学第三附属中学·期中)已知双曲线的离心率为2，实轴长为4，过点的直线l与C相交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)是否存在l，使得P恰好是线段AB的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由； (3)l与直线交于点Q，设，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)为定值，定值为0 【分析】（1）根据双曲线的实轴长和离心率求出、，进而求出，即可得到双曲线方程； （2）利用点差法求出直线的斜率，得到直线方程，然后联立直线与双曲线方程，通过判别式判断直线与双曲线是否有交点，从而确定是否存在满足条件的直线； （3）先设直线方程，与双曲线方程联立，根据判别式求出的取值范围，再用韦达定理得到与.设点坐标，利用在两条直线上得到相关等式.接着根据向量关系得出与表达式，最后将、代入表达式，结合前面得到的等式化简，得出为定值. 【详解】（1）因为的实轴长为4，所以，解得，又因为C的离心率为2，所以，所以，所以的方程为． （2）由题意直线l的斜率存在，假设存在直线l满足条件，设，， 则，，所以， 即， 因为P为线段AB的中点，所以，， 所以，所以，即直线l的斜率为3， 所以直线l的方程为y=3x－2． 联立，消去y并整理得， ， 所以直线l与C无公共点，这与直线l与C交于A，B两点矛盾， 故不存在直线l，使得P恰好是线段AB的中点． （3）由题可知直线l的斜率存在，    设直线的方程为，即， 联立得， ，且， 解得，且， 由韦达定理得，①， 设，由在直线上，得，即②， 由在直线l上，得③， 由，得， 即，解得， 同理，由，得， 结合①②③，得 ，故为定值0． 5．(24-25高三下·上海进才中学·模拟)在平面直角坐标系中，点，，，动点满足，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与相交于两点E，F（在的左侧）.设直线，的斜率分别为，. ①求证：为定值； ②设直线，相交于点，求证：为定值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的定义可知点在以，为焦点，为长轴长的椭圆上，即可求出轨迹方程； （2）①设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，即可得到再由斜率公式计算可得；②作关于轴的对称点，则，，三点共线，设，表示出直线、的方程，即可得到，，代入椭圆方程得到轨迹方程，结合双曲线的定义即可证明. 【详解】（1）由，， 所以点在以，为焦点，为长轴长的椭圆上， 设椭圆方程为，焦距为， 则，，所以， 所以的方程为. （2）①由，直线的斜率存在且不为． 设直线的方程为，，，， 联立，得， 则，，， 所以． 又，所以，， 所以 . ②由①知，所以． 作关于轴的对称点，则，，三点共线． 又，，设. 则直线方程即为直线方程. 又直线方程为， 作差，得， 所以， 所以，， 由，得． 又因为，所以， 即，即， 所以点在以，为焦点，为实轴长的双曲线的左支（椭圆内部）上运动， 所以． 题型七 定点问题 1．(24-25高二下·上海松江一中·月考)已知双曲线，设其左、右顶点分别为，中心为. (1)求双曲线的焦点； (2)斜率为的直线交双曲线于两点，且，求弦长； (3)设双曲线右支上两点满足直线与在轴上的截距之比为，判断直线是否过定点，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)过定点，理由见解析 【分析】（1）由双曲线方程得，再利用间的关系，即可求解； （2）设直线l的方程为，联立直线与双曲线方程，消得，利用根与系数间的关系，结合条件，得到，再利用弦长公式，即可求解； （3）根据题设，设线的方程为，直线的方程为，分别联立双曲线方程，直接求出，由对称性设出定点，利用建立方程，从而得，即可求解. 【详解】（1）由双曲线，易知，则， 所以双曲线的焦点为. （2）由题意设直线l的方程为，且， 联立直线l和双曲线方程得，消并整理得， 所以，且， 则， 因为，则，即， ，则， ，解得， 弦长 . （3）由题意得，则设直线的方程为，则直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程得，整理得， ，则， 联立直线与双曲线的方程得，整理得， ，则， . 若直线过定点，由对称性得定点在x轴上，设定点为， 则，即，化简得， ，解得， 直线MN过定点. 【点睛】 2．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·)已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．记的左、右顶点分别为、. (1)求双曲线的方程； (2)双曲线上任意一点（不与、重合），求证：为定值； (3)过点的直线与的左支交于、两点，直线与交于点．证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的方程； （2）设，可得出，利用直线的斜率公式可证得为定值； （3）分析可知，直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，联立这两直线的方程，求出点的横坐标，即可证得结论成立. 【详解】（1）设双曲线的方程为， 由题意可得，解得，所以，双曲线的方程为． （2）由（1）可得、，设，则，可得， 因为，，所以，为定值. （3）设点、， 若直线与轴重合，此时，直线与双曲线的交点为双曲线的左、右顶点，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立可得， 由于直线与双曲线的左支有两个不同的交点， 则，解得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即，据此可得点在定直线上运动． 3．(24-25高二下·上海闵行中学·月考)双曲线左顶点为A，实轴长为4，离心率为，过A点的两条直线分别交双曲线的右支于点P，Q. (1)求双曲线的方程； (2)若轴且，求三角形的面积； (3)若，证明：直线PQ过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件求出的值即可； （2）求直线的方程，得点坐标即可； （3）先讨论直线斜率存在时，设其方程，再利用可化简得定点，再检验斜率不存在时依然过定点. 【详解】（1）由题意可得，，又， 解得，所以双曲线的方程为：. （2）因为轴且，所以直线 ， 与双曲线联立可得，解得，故， 则 .故三角形的面积为. （3）当直线的斜率存在时， 设，，， 直线与双曲线联立可得， 则，且， 因为， 代入整理得，故或， 代入得定点为或舍）. 当直线的斜率不存在时，直线过点等价于， 等价于等价于等价于. 故直线过定点. 【点睛】关键点点睛：第三问中，求证直线过定点，其难点在于此式，因其为二元二次方程，且直线过定点，必可求得之间的一次关系式或者为定值，而直线过点即必为增根，可对其进行因式分解. 4．(24-25高三上·上海交通大学附属中学·期末)已知双曲线 的离心率为2，点(6，4)在C上，A、B为双曲线的上、下顶点，P为C上支上的动点 (点P 与A不重合)，直线BP和直线. 交于点N ，直线NA交C的上支于点Q. (1)求C的方程; (2)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由； (3)设，分别为和的外接圆面积，求的取值范围. 【答案】(1) (2)直线过定点 (3) 【分析】（1）根据离心率和点在上得到方程组，求出，求出双曲线方程； （2）设：，与联立，得到两根之和，两根之积，计算出，设，则，即，从而代入两根之和，两根之积，求出，得到直线过定点； （3）由正弦定理求出，设：，与联立，得到两根之和，两根之积，并结合根的判别式求出，求出，得到. 【详解】（1），点在上， 故， 又， ，， 的方程为. （2）斜率存在，设：，与联立消去得： ，设，， 则， ，， 又， 设，则，，则，则， ， ， ， 即， 化简得， ， （舍去）， 因为当时，，故点与重合，不合题意， ：直线过定点； （3）在中，根据正弦定理得：，为外接圆的半径， 在中，根据正弦定理得：，为外接圆的半径， ， ，故， 由于，分别为和的外接圆面积， 故， 则， 设：，与联立消去得：， 设，，则， ，， 又结合图像可知 解得： ，， 因为，所以，，， . 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 5．(24-25高二上·上海川沙中学·月考)已知双曲线C：的离心率为，且过点 (1)求双曲线C的方程； (2)过左焦点F且倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求线段长； (3)若P，Q是双曲线C上的两点，M是C的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)16 (3)证明见解析； 【分析】（1）由离心率，点在双曲线上代入以及双曲线的性质列方程组解出即可； （2）由点斜式得到直线方程，再与曲线联立，得到韦达定理，然后再由弦长公式求出即可； （3）分斜率存在与不存在两种情况，当斜率存在时，设直线方程，直曲联立表示韦达定理，利用斜率的定义表示出斜率，再结合韦达定理和题意化简得到，然后代入直线方程求出定点坐标；当斜率不存在时，设直线方程为，直曲联立求出P，Q的坐标，由斜率关系再化简即可； 【详解】（1）由题意可得， 解得， 所以双曲线C的方程为. （2） 由（1）可得，，所以直线方程为， 设， 联立，消去并整理可得， ， ， 所以. （3） 当直线的斜率存在时，设其方程为，且设， 联立可得，消去并整理可得， ， ， 又，所以， 所以，整理可得， 又代入到上式可得， 整理可得， 代入韦达定理可得， 化简并整理可得，即， 解得或， 当时，直线的方程为，此时过点，不符合题意舍去； 当时，直线的方程为，此时过定点； 当直线的斜率不存在时，设直线方程为， 由解得， 所以， ，解得， 此时定点在直线上， 综上，直线恒过定点. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键在于分斜率存在与否讨论，存在时设出直线方程，结合韦达定理化简得到的关系，确定直线的定点. 题型八 定直线、定圆问题 1．(24-25高三上·上海民办南模中学·期中)已知双曲线C的中心为坐标原点，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积； (3)记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于M，N两点，在第二象限，直线与交于点.证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程； （2）根据（1）可得，，进而结合余弦定理及三角形面积公式求解即可； （3）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，进而联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上. 【详解】（1）设双曲线方程为， 由左焦点坐标可知， 则，可得，， 双曲线方程为. （2）由（1）知，，，所以，， 在中，由余弦定理得， 即， 即，即， 所以三角形的面积为. （3）证明：由（1）可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 联立，可得， 且，， 则，   直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程，消去可得： ， 由，可得，即， 据此可得点在定直线上运动.    2．在平面直角坐标系中，点，，四边形的对角线交于点，且，，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，试判断三点是否共线，并说明理由． 【答案】(1)； (2)三点共线，理由见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用双曲线定义求出曲线方程. （2）设及直线的方程，与的方程联立，求出点的坐标，同理求出点的坐标，再利用斜率的坐标公式计算判断即得. 【详解】（1）如图1，由，得，由，得， 又，则，因此， 即有， 所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（不含点）． 又，故，， 所以的方程为． （2）三点共线，理由如下： 如图2，设，，，，直线的方程为， 则，即，显然， 由消去x得，，， 则，， ， 所以， ， 同理可得，， 直线的斜率， 直线的斜率， 由三点共线，得， 即，且直线有公共点，所以三点共线． 【点睛】方法点睛：涉及三点共线问题，①在斜率存在的情况可以计算斜率，利用斜率相等判断；②利用向量是否共线判断. 3．(23-24高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)已知双曲线的右顶点为是双曲线上两点，过作斜率为的直线，与双曲线只有点这一个交点. (1)求双曲线的方程； (2)若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的面积； (3)已知点和双曲线上两动点，满足，过点作于点，证明：点在一个定圆上，并求定圆的方程. 【答案】(1) (2)144 (3)证明见解析， 【分析】（1）根据顶点坐标和斜率可得方程； （2）利用弦长公式得出，结合垂直关系可得，利用可求斜率，进而可得三角形的面积； （3）设出的方程，结合垂直关系，得出过定点，进而可证结论. 【详解】（1）因为右顶点为，所以， 又因为过斜率为的直线与双曲线只有点这一个交点， 所以，即，所以方程为. （2）由题意可知直线的斜率存在且不为零，设，则， 联立，， ，， 设，则， ， 利用代换可得， 由题意，， 整理得，， ，因为，所以，即， 此时，所以的面积为. （3）若直线的斜率为0，设，则，解得， 不妨设，则; 因为，所以，解得或（舍）. 若直线的斜率不为0，设，; ，， ，， ， ， ， ， 因为，所以，即， ， 整理得，即， 即或， 当时，过点，舍去； 当时，，此时过定点； 综上可知直线恒过定点. 因为，所以点一定在以为直径的圆上， 定圆的圆心为，半径为，所以方程为. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两点：一是等腰直角三角形条件的转化，利用垂直和相等得出弦长；二是第三问中在定圆上的问题转化为直线恒过定点的问题. 4．已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3)证明见解析 【分析】(1)根据题意列式求，进而可得双曲线方程； (2)设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可； (3)用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，∴双曲线的方程为． （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，舍去； 当直线的斜率不为0时，设， 联立方程组，消得，易得， 设，则，可得， ∵， 则 ， 即，可得与不垂直， ∴不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得， ∴，又， ∴ ， ∵，∴，且， ∴，即为定值．    题型九 角度问题 1．(23-24高二下·上海青浦区·调研)已知双曲线的图像经过点，点分别是双曲线的左顶点和右焦点．设过的直线交的右支于两点，其中点在第一象限． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线分别交直线于两点，证明：为定值； (3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)，证明见解析. 【分析】（1）根据点在双曲线上，即可求得曲线方程； （2）设出直线的方程，联立双曲线方程，得到关于点坐标的韦达定理；再分别求得的方程，以及点的坐标，利用数量积的坐标运算，即可证明； （3）求得直线不存在斜率时满足的，当斜率存在时，将所求问题，转化为直线斜率之间的关系，结合点的坐标满足曲线方程，求解即可. 【详解】（1）由双曲线C：的图像经过点得：，解得：， 所以双曲线C的标准方程为：； （2） 由（1）中所求可得点，的坐标分别为， 又双曲线渐近线为，显然直线的斜率不为零， 故设其方程为，， 联立双曲线方程可得：， 设点的坐标分别为， 则， ， ； 又直线方程为：，令，则， 故点的坐标为； 直线方程为：，令，则， 故点的坐标为； 则 故为定值. （3）当直线斜率不存在时， 对曲线，令，解得， 故点的坐标为，此时， 在三角形中，，故可得， 则存在常数，使得成立； 当直线斜率存在时， 不妨设点的坐标为，，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，， 假设存在常数，使得成立，即， 则一定有：，也即； 又；； 又点的坐标满足，则， 故 ； 故假设成立，存在实数常数，使得成立； 综上所述，存在常数，使得恒成立. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中定值以及存在常数满足条件的问题；其中第二问证明的关键是能够快速，准确的进行计算；第三问处理的关键是要投石问路，找到特殊情况下的参数值，再验证非特殊情况下依旧成立，同时还要注意本小题中把角度关系，转化为斜率关系；属综合困难题. 2．(24-25高二上·上海实验学校·期末)已知双曲线，，分别为其左、右焦点，为其左顶点．设过右焦点的直线与的右支交于，两点，其中点位于第一象限内．当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)设直线，分别与直线交于，两点，问：是否存在实数，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）依据题意设出，代入双曲线中建立方程，再结合双曲线中基本量的运算关系得到另一个方程，求解基本量，得到双曲线方程即可. （2）设出直线的方程，联立双曲线方程，得到关于点坐标的韦达定理；再分别求得的方程，以及点的坐标，利用数量积的坐标运算表示，再结合题意建立方程，求解参数即可. （3）求得直线不存在斜率时满足的，当斜率存在时，将所求问题，转化为直线斜率之间的关系，结合点的坐标满足曲线方程，求解即可. 【详解】（1）因为当直线与轴垂直时，， 且点位于第一象限内，所以设， 代入方程中得到，而， 解得，，则双曲线的方程为. （2）由上问得双曲线的方程为， 如图，则点，的坐标分别为， 又双曲线渐近线为，显然直线的斜率不为零， 故设其方程为，， 联立双曲线方程可得：， 设点的坐标分别为，且恒成立 则， ， ； 又直线方程为：，令，则， 故点的坐标为；直线方程为：， 令，则，故点的坐标为； 若右焦点恒位于以线段为直径的圆上，则， 则 ，令，解得， 故存在，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上. （3）当直线斜率不存在时， 对曲线，令，解得， 故点的坐标为，此时， 在三角形中，，故可得， 则存在常数，使得成立； 当直线斜率存在时，不妨设点的坐标为，， 此时直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，， 假设存在常数，使得成立，即， 则一定有：，也即； 又；； 又点的坐标满足，则， 故 ； 故假设成立，存在实数常数，使得成立； 综上所述，存在常数，使得恒成立. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中存在常数满足条件的问题；其中第二问的关键是能够分析出向量数量积是定值，再表示出数量积，进而求解参数，第三问处理的关键是要投石问路，找到特殊情况下的参数值，再验证非特殊情况下依旧成立，同时还要注意本小题中把角度关系，转化为斜率关系即可. 3．(24-25高二上·上海同济大学第一附属中学·期末)已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.   (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线上的点到其两条渐近线的距离分别为，求的值； (3)已知点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由渐近线方程得到，代入点即可求解； （2）由点到线的距离公式求解即可； （3）设直线方程，联立双曲线方程，结合韦达定理，由即可求证； 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为， 所以设双曲线方程为， 又双曲线过点， 则，所以双曲线的方程为， 即. （2）因为在曲线上， 则， 渐近线方程：， 所以： （3）由（1）可知的斜率存在且不为0，设的方程为， 联立，消去得， 设，由题意得， 则， 所以 ， 所以得证.    【点睛】关键点点睛：由，求证； 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，点A是其左顶点，点P是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率． (1)求双曲线的方程； (2)若三角形是等腰三角形，求点P的坐标； (3)直线不垂直于x轴，且与曲线的另一个交点为Q，若是锐角，求直线的斜率的取值范围． 【答案】(1) (2)或. (3) 【分析】（1）根据题设条件求出基本量后得双曲线方程； （2）就、、分类得方程组，求解后得的坐标； （3）联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理可得关于斜率的不等式，求解后得斜率的范围. 【详解】（1）设半焦距为，则即，而，故， 故，，故双曲线的方程为：. （2）由（1）得，， 因为在第一象限，故设，其中， 因为三角形是等腰三角形，故或或， 若，则在的中垂线上，则，舍； 若，则，故， 故，解得，故. 若，同理有，， 故， 综上，或. （3） 设直线，设， 而，故， 因为是锐角， 故， 所以， 整理得到， 由可得， 故且， 且，因为点P在第一象限，所以或， 又， 整理得：，故或或. 5．(23-24高二上·上海华东师范大学第二附属中学·期末)在平面直角坐标系中，双曲线的左顶点到右焦点的距离是3，且的离心率是2． (1)求双曲线的标准方程； (2)点是上位于第一象限的一点，点关于原点对称，点关于轴对称．延长至使得，且直线和的另一个交点位于第二象限中． （ⅰ）求的取值范围，并判断是否成立？ （ⅱ）证明：不可能是的三等分线． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）结合题意可得，解出，写出双曲线方程即可. （2）（ⅰ）根据题意，得到，求得直线的方程，联立方程组，结合韦达定理，求得点的坐标，列出不等式关系式，求得的范围，再由（ⅰ），求得直线的斜率并化简，得到，即，（ⅱ）求得的范围，进而证得不可能是的三等分线. 【详解】（1）因为双曲线的左顶点到右焦点的距离是3，且的离心率是2， 所以，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）（ⅰ）因为点是上位于第一象限的一点，点关于原点对称，点关于轴对称．延长至使得， 所以，所以， 可得直线的方程为， 联立，消去并整理得， 因为直线与双曲线有两个交点，并设, 所以，由韦达定理得，解得， 则，所以成立， 此时只需，解得，则的取值范围为， 易知 所以，即， （ⅱ）证明：由（ⅰ）知， 因为, 所以，故不可能是的三等分线．      【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 题型十 向量相关 1．(24-25高三上·上海曹杨第二中学·月考)已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点． (1)求双曲线C的方程； (2)求证：直线、的斜率之积为定值； (3)设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）根据得出和，再结合即可求解； （2）设直线，联立双曲线的方程消元，设、，利用韦达定理建立等式，表示出直线、的斜率之积，通过化简即可求解； （3）利用条件找到，设，根据计算得出，再利用（2）的等式化简得出，即可证明． 【详解】（1）设双曲线的半焦距为c． 由题意知． 故， 因此． （2）由题意知．设直线， 与双曲线方程联立得． 设、，则， 故直线、的斜率之积为 ． （3）由题意知，得． 设，则． 即． 由于，上式即，解得． 利用(*)式，得， 因此存在定点满足题目要求． 2．双曲线的左、右焦点分别为、，直线l过且与双曲线交于A、B两点． (1)若双曲线的离心率为2；求b的值； (2)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (3)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）利用离心率求解即可，（2）利用是等边三角形，得到，（3）由知，故．联立双曲线和直线的方程结合韦达定理求解即可. 【详解】（1），，∴． ∴，∴； （2）设．由题意，，，， 因为是等边三角形，所以，即， 解得．故双曲线的渐近线方程为； （3）由已知，，． 设，，直线l：．显然． 由，得． 因为l与双曲线交于两点，所以，且． 设AB的中点为． 由 即，知，故． 而，，， 所以，得，故l的斜率为． 3．(22-23高二下·上海闵行区六校联合教研·期末)已知双曲线C的标准方程为.若虚轴长为，且双曲线上的任意一点P到左右两个焦点距离之差的绝对值为2. (1)求双曲线C的标准方程; (2)若点(0，1)，求的取值范围; (3)若斜率为的直线过右焦点，且与C的右支相交于A、B两点，问:在x轴上是否存在定点M，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立?如果存在，求出定点M的坐标;如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由已知可得，计算即可求得双曲线C的方程； （2）利用两点间距离公式，结合二次函数性质即可求得结果； （3）由题意，分直线斜率存在与不存在两种情况，设直线方程，联立方程，写韦达定理，根据向量数量积的坐标公式，整理方程，可得答案. 【详解】（1）由题意得，解得，则双曲线． （2）设，，则. 所以的取值范围为; （3）存在． 双曲线的右焦点， 当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消y得， 所以，得，且． 设， 假设存在实数m，使得，则对任意恒成立． 所以，解得． 当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立． 综上，存在，使． 4．(23-24高二上·上海青浦区朱家角中学·期末)已知双曲线，是双曲线上一点． (1)若椭圆以双曲线的顶点为焦点，长轴长为，求椭圆的标准方程； (2)设是第一象限中双曲线渐近线上一点，是双曲线上一点，且，求的面积（为坐标原点）； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由题意求得双曲线的顶点坐标，由此求得，结合椭圆长轴长求得，从而得解； （2）先设出点坐标，然后表示出点坐标，将点坐标代入双曲线可求坐标，计算出以及到的距离则可求； 【详解】（1）因为双曲线的方程为，所以双曲线的左右顶点为， 设椭圆方程为，所以， 所以，所以椭圆的标准方程为； （2）因为双曲线的渐近线方程为，不妨设， 又，即， 所以，所以， 又因为是双曲线上一点，所以，解得， 所以，所以， 又到直线的距离， 所以； 【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是利用平向向量相等得到的坐标关于的表达式，再代入双曲线方程求得，从而得解. 5．设双曲线：（），点是的左焦点，点为坐标原点. (1)若的离心率为，求双曲线的焦距； (2)过点且一个法向量为的直线与的一条渐近线相交于点，若，求双曲线的方程； (3)若，直线：（，）与交于，两点，，求直线的斜率的取值范围. 【答案】【小题1】 【小题2】见解析 【小题3】 【分析】（1）由题意得，，离心率，从而求解； （2）求出直线的斜率为，然后求出直线方程后与渐近线联立后求出点，从而求解； （3）将直线与双曲线联立后，利用根与系数的关系并结合基本不等式，从而可求解. 【详解】（1）由题意得：，，，解得， 所以曲线的焦距为：. （2）由题意可得，所以，且渐近线为， 由过点的直线的一个法向量，则得直线的斜率为， 所以直线的方程为， 当直线与渐近线交于点，即，解得, 因为，解得， 所以曲线的方程为； 当直线与渐近线交于点，即， 解得, ，所以， 利用计算器可得的近似值为0.54. （3）由,得曲线的方程为，将直线:与曲线联立得： ，化简得， 由题意知直线与曲线交于两点，设，， 则，解得：，且， 由根与系数关系得：，， 设线段中点为， 由，因为，所以，得， 所以得，即， 化简得，所以， 整理得，所以或， 所以得或， 故的取值范围为. 【点睛】关键点睛：（3）问中将直线与双曲线联立后，利用根与系数的关系并结合基本不等式，从而可求解. 题型十一 弦长相关 1．(23-24高二下·上海实验学校·月考)已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，得，，由此能求出双曲线方程； （2）联立方程组，得，利用韦达定理、弦长公式、根的判别式能求出结果. 【详解】（1）双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为， 设双曲线的方程（，）， 由已知得，，所以，. 所以双曲线方程为. （2）直线与双曲线C交于A，B两点，且， 联立方程组，得， 当时，设， ，. 所以 令，解得. 经检验符合题意，所以. 2．(22-23高二下·上海松江二中·期末)已知双曲线的一条渐近线方程为，点. (1)若，为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，求的面积； (2)若点是双曲线上任意一点，当且仅当为双曲线的顶点时，取得最小值，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线方程得到，求出双曲线方程，写出直线的方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案； （2）由，得到或，表达出，根据对称轴为得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意得：，所以，所以双曲线的标准方程为， 直线的方程为，设，， 联立方程组，消去整理得， 则， 所以， 所以的面积为 （2）因为，所以，所以或， 所以， 对称轴为， 由题意，，， 所以实数的取值范围为 3．已知双曲线：的渐近线为，焦距为，直线与的右支及渐近线的交点自上至下依次为、、、. (1)求的方程； (2)证明：； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据双曲线关系和渐近线、焦距相关概念进行列式计算即可求解. （2）分别联立直线与及其渐近线方程求出、、、的坐标或坐标的关系，进而得出即. （3）根据依次求出和，再依据题意中体现的变量的范围去研究计算面积取值范围即可求解. 【详解】（1）由题意可得 ， 所以的方程为. （2）设直线， 因为直线与的右支交于两点，所以且， 联立 ， 所以，， 且，即， 所以①， 联立 ，， 联立 ，， ，即， ，即， 所以， 所以. （3）由（2）O到直线距离为， ，， ， 所以 ， 令，则， 由①， 所以， 【点睛】关键点睛：从直线与的右支交于两点条件中读出隐晦的已知条件且是求解的取值范围的关键. 4．已知双曲线：的左、右焦点分别为、． (1)若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程： (2)若，双曲线左支上任意点T均满足，求a的最大值； (3)若双曲线的左支上存在点P、右支上存在点Q满足，求的离心率的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，由求出渐近线方程. （2）设出点的坐标，利用两点间距离公式求出有最小值，再结合已知求解即得. （3）设，结合已知可得，再按和分类建立不等式求出的范围. 【详解】（1）令双曲线的半焦距为，依题意，，由，得，则， 所以双曲线的渐近线方程为. （2）设点的坐标为，，则， 于是， 当时，，因此，即，则，又，解得， 因此的最大值为. （3）设点，， 由，得，整理得：， 由，得，因此， 当时，由，得，    整理得:，解得或(舍)， 由，解得； 当时，由，得，    整理得：，在有解， 故，即，解得:或（舍）， 综上，曲线的离心率的取值范围是. 【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 5．(24-25高三上·上海七宝中学·月考)已知双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角为，C的右焦点F到该渐近线的距离为. (1)求C的方程； (2)若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆交于与A，B不重合的M，N两点. （ⅰ）求直线AB斜率的取值范围； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据渐近线的倾斜角得到，由焦点到渐近线方程的距离得到，，得到双曲线方程； （2）（ⅰ）直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，由根的判别式及得到不等式，求出，再利用直线与圆相交得到不等式，求出，直线AB的斜率，从而得到直线AB斜率的取值范围； （ⅱ）由弦长公式和垂径定理得到，其中，设，，从而得到. 【详解】（1）因为C的一条渐近线的倾斜角为，所以，， 则C的一条渐近线的方程为， 因为， 所以右焦点到渐近线的距离为， 所以，，所以C的方程为. （2）（ⅰ）由（1）知，，设，， 由题意可得直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为， 与联立得， 所以，，，， 又A，B两点在x轴同一侧，所以.此时，即. 又圆O的方程为，点O到直线AB的距离， 由得，由得，所以或， 因为直线AB的斜率，所以直线AB斜率的取值范围是.    （ⅱ）由弦长公式得 ， 由垂径定理得， 所以， 其中，设，， 则， 所以的取值范围是. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围. 题型十二 新定义 1．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·)在平面直角坐标系中，双曲线． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)给定点，其中正数，求上的动点到点的距离的最小值； (3)对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记、为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意不同于的直线，均有，则称为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积． 【答案】(1)． (2)答案见解析 (3)4 【分析】（1）写出渐近线方程即可判断夹角； （2）设，再根据两点间距离公式化简，求解一元二次函数的最值即可； （3）设为好点，则根据好点定义求出，再根据好点定义求出直线与双曲线交于同一支时得出，即时，即可求出，求出四边形面积即可. 【详解】（1）渐近线，夹角为． （2）设，或， 则 ， 当即时，令，最小值为； 当即时，令，最小值为． （3）设为好点，考虑、需满足的充要条件． 若直线的斜率存在，设直线，， 将与联立，得．（*） 则，，， 而 ， ①当直线与的左右两支都有公共点，即时， ，当时有最小值． 这说明，； ②当直线与的左支有两个公共点或与右支有两个公共点时， 需满足的条件为：且（*）式的判别式． 此时可得：． 这说明时，判别式条件不能成立． 即时，． 当时，，解得． 另一方面，当时，． 两边平方后即得． 若直线斜率不存在，假设直线与双曲线存在交点， 则，则，， 则，显然与好点矛盾； 因此，为好点当且仅当， 于是所有好点对应的区域为， 即由构成的正方形，故所求面积为． 2．(22-23高二上·上海新川中学·期末)已知双曲线C：定义:把双曲线的虚轴保持不变，渐近线的斜率变为原来渐近线斜率的两倍得到的曲线称为曲线的“线”，把双曲线的左支向右平移个单位，把它的右支向左平移个单位得到的曲线称为曲线的“-线”，若双曲线是等轴双曲线，且焦距等于, (1)求双曲线的“-线”和“-线”; (2)若由“-线”和“-线”围成的封闭曲线上的点集都在圆内或圆上，求半径最小时圆的方程，并在坐标系中用尺规作图画出该封闭曲线和圆大致图像. 【答案】(1)“线”的方程为：；“-线”的方程为： (2)；图象见解析 【分析】（1）根据给定的定义即可求出-线”和“-线； （2）要满足由“-线”和“-线”围成的封闭曲线上的点集都在圆内或圆上，则原点与“-线”和“-线”的交点即为最小半径，求出的长度即可. 【详解】（1）依题意知， 因为双曲线是等轴双曲线，且焦距等于， 所以，，， 解得：，， 所以双曲线的方程为： 因为双曲线的虚轴保持不变，渐近线的斜率变为 原来渐近线斜率的两倍得到的曲线称为曲线的“线”， 所以只需变为即可， 所以“线”的方程为：； 因为双曲线的左支向右平移个单位， 把它的右支向左平移个单位得到的曲线称为曲线的“-线”， 所以“-线”的方程为：； （2）由（1）得，如图所示： 设“-线”和“-线”在第二象限的交点为， 由， 解得：，即点， 要满足由“-线”和“-线”围成的封闭曲线上的点集都在圆内或圆上， 则原点与“-线”和“-线”交点的距离即为最小半径， 所以， 所以半径最小时圆的方程为：. 3．已知双曲线：，为左焦点，为直线上一动点，为线段与的交点．定义：． (1)若点的纵坐标为，求的值； (2)设，点的纵坐标为，试将表示成的函数并求其定义域； (3)证明：存在常数、，使得． 【答案】(1)5 (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）首先求出点的坐标，即可得到直线的方程，从而求出点坐标，即可得解； （2）设点的坐标为，由，即可得到、，代入椭圆方程整理可得； （3）当点不在轴上时，过作轴的垂线，垂足为，设直线与轴的交点为，点的坐标为．依题意可得又，再由距离公式求出，即可得到，从而求出、的值，再计算点在轴上时的情形，即可得证； 【详解】（1）解：由题意，点的坐标为，将代入双曲线中，可得，所以， 不妨取的坐标为， 于是直线的方程为． 将代入直线的方程，得点的坐标为． 因此． （2）解：由题意，点的坐标为，点的坐标为． 设点的坐标为，由，，又、， 即， 所以，代入双曲线方程，得，整理得． 由，即，结合，解得或． 又，即，结合，解得． 因此，． （3）证明：点的坐标为． 当点不在轴上时，过作轴的垂线，垂足为． 设直线与轴的交点为，点的坐标为． ，即． ． 由为线段与的交点，得点的坐标满足方程，即． 于是 ，又，故． 于是． 故存在常数、，使得． 当点在轴上时，，，， 所以，，即， 所以，即上述结论亦成立． 1．(24-25高二下·上海向明中学·期中)已知满足方程，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】对给定方程进行分类讨论，画出对应图形，再结合双曲线渐近线方程以及直线和椭圆相切，利用点到直线距离公式得出的几何意义，代入计算可得结果. 【详解】根据题意可知当，原方程可化为， 此时表示的是椭圆在第一象限的部分，包含与坐标轴的交点； 当时，原方程可化为， 此时表示的是双曲线在第四象限的部分； 当时，原方程可化为， 此时表示的是双曲线在第二象限的部分， 当时，方程为不表示任何图形， 画出图形如下图所示： 易知点到直线的距离为， 因此表示曲线上的点到直线的距离的5倍， 设直线与椭圆在第一象限相切，切点为时，取得最小值； 联立，整理可得， 显然，解得或（舍）； 由此可知与曲线没有交点， 此时与之间的距离为； 此时取得最小值为； 又双曲线和的一条渐近线方程为， 因此当或时，点到直线的距离无限接近于两条平行线到的距离， 易知两平行线间的距离为，所以可得； 所以的取值范围为. 故答案为： 2．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)已知双曲线的左、右焦点分别为，点，点是第一象限内双曲线上的一点，满足.记的面积分别为、，则 . 【答案】8 【分析】设的内切圆与三边分别相切于，利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为，又由得在的平分线上，进而得到即为内心，应用双曲线的定义求得面积差即可. 【详解】 如图，设的内切圆与三边分别相切于，可得， 又由双曲线定义可得，则， 又，解得，则点横坐标为，即内切圆圆心横坐标为. 又，可得，化简得，即， 即是的平分线，由于，，可得即为的内心，且半径为2，则.即. 故答案为：8. 3．(24-25高三下·上海华东师范大学第一附属中学·月考)已知，是双曲线的左、右焦点，，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】先作辅助线，根据双曲线的对称性以及双曲线的定义得到边长之间的关系，再结合勾股定理可求得离心率. 【详解】延长与双曲线交于点，因为， 根据对称性知，四边形为平行四边形， ， 设，则，，可得，即， 所以，则，， 即，可知， 在中，由勾股定理得， 即，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：求双曲线的离心率： （1）熟练掌握双曲线的定义：双曲线上一点到两焦点的距离差的绝对值为定值； （2）双曲线的对称性得到边长之间的关系是解题的关键； （3）根据勾股定理构造等式，进而求得离心率. 4．(24-25高二上·上海进才中学·期中)设为双曲线上两点，如下四个点：，，， 中，可作为线段中点的是 ．（请将所有满足条件的点填入） 【答案】 【分析】根据双曲线方程利用点差法求得直线的斜率表达式，再根据各点坐标以及中点坐标公式得出直线方程，与双曲线方程联立根据判别式判断方程根的个数可得结论. 【详解】设，则可得的中点坐标为， 因此， 因为在双曲线上，所以，两式相减可得， 因此， 对于，可得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线没有交点， 故不符合题意； 对于，可得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线没有交点， 故不符合题意； 对于，可得，此时， 此时，即， 显然为双曲线的渐近线，所以直线与双曲线没有交点， 故不符合题意； 对于，可得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线有两个交点， 故符合题意；综上可知可作为线段中点的是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解圆锥曲线弦中点问题时，经常利用点差法由中点坐标求得弦所在直线的斜率或直线方程，即可得出相应结论. 5．(24-25高二上·上海师范大学附属中学·期中)已知双曲线左右焦点分别为、，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则的取值所组成的集合为 . 【答案】 【分析】结合双曲线的定义，再结合直线与圆相切的性质，转化求得，再根据数量积公式，即可求解. 【详解】如图，设圆与的延长线、的延长线和线段分别切于点， 连接，则，由双曲线方程为， 可得，又为右支上的一动点，所以， ，所以，所以， 由题意可知，又, 所以. 故答案为：.    【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合直线与圆相切的几何关系，进行线段长度的转化. 6．(25-26高三上·上海进才中学·月考)如图，双曲线的实轴长为4，离心率为，斜率为k的直线l过x轴上一点，双曲线E上存在关于直线l对称的不同两点B、C，直线BC与直线l及y轴的交点分别为P、Q. (1)求双曲线E的标准方程； (2)当时，求t的取值范围； (3)当时，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据实轴长，求出a值，根据离心率，求出c值，根据a，b，c的关系，求出，即可得答案. （2）设出P、A、B点坐标及直线BC的方程，与双曲线联立，根据韦达定理，可得、表达式，当时，，进而可得t的表达式，根据判别式，可得m的范围，即可得答案. （3）根据条件及（2）结果，分别求出的表达式，代入面积公式，化简整理，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）因为实轴长为4，则，所以， 因为离心率为，所以， 所以， 所以双曲线E的标准方程为 （2）设，由题意可知，故可设直线BC方程为， 联立，得， ， 解得， 由韦达定理得， 所以， 当时， 因为，所以， 因为，即或， 所以或，即t的取值范围为. （3）当时，由（2）得，，， 因为， 所以， 所以，整理的， 又， 所以， ， 因为，所以，， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以，满足题意， 综上，的最小值为. 7．已知双曲线：，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合. (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； (3)设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1)焦距4，离心率2 (2) (3)证明见解析，在定直线上 【分析】（1）根据双曲线方程求出，即可得解； （2）先设出直线方程，联立双曲线方程，利用中点坐标公式和三角形面积公式求解直线斜率； （3）通过设点坐标，利用直线方程求出与轴交点坐标，再根据中点关系证明点在定直线上. 【详解】（1）由双曲线方程得，，， 所以焦距，离心率； （2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意， 故直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立得. 设，， 由题意，得， 解得， 因为为中点，所以， 由，得， 又，解得， 所以直线的斜率为； （3）直线的方程为，令，得， 同理可得，，， 由为中点，可得， 即 ， 所以， 即， 所以在定直线上. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $