第18章 勾股定理及其逆定理学业质量自我评价-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

八年级数学HK版下册安徽 第18章 学业质量自我评价 (考试时间：90分钟 满分：100分) 班级： 姓名： 得分： 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 1.(2025合肥期中)下面各组数中，是勾股数的是 A.0.3,0.4,0.5B.1,1,2 C.5,12,13 D.1,5,2 2.在平面直角坐标系中，若点A的坐标为（一1，√3），则OA的长为 A.1 B.2 C.3 D.√2 3.（2025潜山期末)在△ABC中，三边长分别为a,b,c,且b十c=2a,c一b 则△ABC是 A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 4.如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1和∠2，则∠1十∠2= A.45° B.30 C.60° D.90 D 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B,C,D都在格点上，P为CD上任一 点，则(PB+PA)(PB-PA)的值为 () A.6 B.8 C.10 D.12 6.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=9.将该矩形沿折痕EF折叠，使点B与 点D重合，则△BEF的面积为 A.4 B.6 C.7.5 D.15 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分】 7.已知一个直角三角形的两直角边长分别是1和2，则斜边长为 8.如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S,,S2,S.若S,=4, S2=8,则S3= 120m B S D 350m 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，高为3、底边长为8的等腰三角形ABC的腰长为 10.如图所示的是某公园水上风情园一角的示意图，A,B,C,D为四个养有不同 动物的小岛，连线代表连接各个小岛的桥（各岛之间也可以通过乘船到达，且 40444 129 四边形ABCD是一个长方形).如果小海同学想从A岛到C岛，至少要经过 m. 11.(2025广安)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4,D 是BC边上的一个动点.连接AD,则AD的最小值为 B B E B 图① 图② 第11题图 第12题图 12.在长方形ABCD中，AB=6,BC=8,E为线段BC上的动点，将△ABE沿AE 折叠，使点B落在点F处， (1)如图①，当点F落在长方形对角线AC上时，BE的长为 (2)如图②，连接DF,当DF=DC时，BE的长为 三、（本大题共3小题，每小题6分，满分18分） 13.如下图，在△ABC中，∠C=90°，AB=20.若∠B=30°，求BC,AC的长。 14.如下图，在Rt△AOB和Rt△COD中，AB=CD=25,OB=7,AC=4.求BD 的长 15.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格 点，以格点为顶点按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）. (1)在图①中画一条线段MN,使MN=√17. (2)在图②中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的Rt△DEF. 图① 图② 四、（本大题共3小题，每小题7分，满分21分）】 16.如下图，AC⊥BC,AC=BC=BD=1,AD=√5.求： (1)AB的长 (2)△ADB的面积. 17.如下图，AM是△ABC的中线，∠C=90°，MN⊥AB于点N.求证：AN2- BN=AC. 九1生515 130 18.某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测 量方案，并利用课余时间完成了实地测量，部分测量结果如下表： 课题 测量学校旗杆的高度 工具 皮尺等 说明：线段AB表示学校旗杆，AB垂直 地面于点B 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的 绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段 测量 在地面拉直后记作BC,用皮尺测出BC 示意图 的长度. B B D 第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子 图① 图② 末端落在地面的点D处，用皮尺测出 BD的长度 测量 图①中BC的长度为1m 数据 图②中BD的长度为5m (1)根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆AB的高度. (2)如图③，第三次操作：某同学从点D前行至点F处，再次将绳子拉直，此时 测得绳子末端E到地面的距离EF的长度为1m.求该同学前进的距离DF的 长度（√5≈1.73，结果精确到0.1m). B D-F 图③ 4404444 131 五、（本题满分9分） 19.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围上千米的范围内形成极端 气候，有极强的破坏力.如下图，有一台风中心沿AB由点A向点B运动，AB =500km.已知点C为一海港，且点C到直线AB上两点A,B的距离分别为 300km和400km,以台风中心为圆心，周围250km以内为受影响区域 (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为20km/h,台风影响该海港持续的时间有多长？ c A B 六、（本题满分10分） 20.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm,BC=6cm,P,Q是△ABC边上的两 个动点.点P从点A出发，沿A→B的路线运动，速度为1cm/s;点Q从点B 出发，沿B→C→A的路线运动，速度为2cm/s.若这两个动点同时开始运动， 设运动时间为ts. C B 备用图 (1)求Rt△ABC斜边AC上的高. (2)当t=3时，求PQ的长. (3)当点Q在边CA上运动时，求所有能使△BCQ为等腰三角形的t的值， 114141 132把y=1代入方程acy2十by+1=0,得左边=ac十b 十1=0=右边， .y=1是关于y的方程acy2+by+1=0的一个根， .关于y的方程acy2十by+1=0是“常数根一元二 次方程” 第18章学业质量自我评价 1.C2.B3.A 4.A【解析】如图，作AB的平行线C CD,连接DE.由题意，得CD=1 E +22=5,CE2=12+32=10,ED2= 12+2=5,.CD2+DE=CE2, ∴.△CDE是直角三角形 CD=DE=√5， ∴.∠DCE=∠DEC=45° ∴.∠1+∠3=90°-∠DCE=45°. AB∥CD,∴.∠2=∠3，∴.∠1+∠2=45. 5.D【解析】由图可知，△PBC与△PAC均为直角三角 形，AC=2,BC=4,∴.PB2=PC2十BC2,PA2=PC +AC2, ..(PB+PA)(PB-PA)=PB2-PA:=PC2+BC -PC2-AC2=BC2-AC2=4-2=16-4=12. 6.C【解析】由题意可知，DC=AB=3,BC=AD=9. ·将该矩形沿折痕EF折叠，使点B与点D重合， ∴.BC=DC=3,C'F=CF,∠C=∠C=90°.在 Rt△BCF中，由勾股定理，得BF=BC?+C'F2, .BF2=32+(9-BF)2,解得BF=5, 5ag=BnF·AB=×5X3=15. 7.√58.129.5 10.370【解析】从A岛到C岛，最短路径为AC,AC= √AB2+BC=√120+3502=370(m). 11.2√2【解析】过点A作AH⊥BC 于点H,如图，∴∠AHB=90 ,△ABC是等腰直角三角形， ∠B=45°，△ABH是等腰直 角三角形，AH=2√2.AD≥AH,∴.AD的最小 值为2√2， 12.(1)3(2)9-3√5【解析】(1)在长方形ABCD中， AB=6,BC=8,∠ABC=90°，.AC=√AB2+BC= 10.根据折叠的性质，得AB=AF=6,∠ABC= ∠AFE=90°， ∴.CF=AC-AF=4.设BE=EF=x,则CE=BC BE=(8-x).在Rt△CEF中，由勾股定理，得(8一 x)=x2十4，解得x=3.(2)如A M 图，过点F作FM⊥AD于点M, 延长MF交BC于点N.由题意， 得DF=DC=AB=AF=6,∴.直 线FM是矩形的对称轴，.AM= 452 八年级数学HK版 DM=BN=CN=2BC=4,四边形ABNM是长方 形，.FM=√AF-AM产=2√5，AB=MN=6, .FN=MN-FM=6-2√5.设BE=EF=x,则 EN=BN-BE=(4-x).在Rt△EFN中，由勾股定 理，得(4-x)2+(6-2√5)2=x2,解得x=9-3√5. 13.解：∠C=90°，∠B=30°， ∴AC=2AB=7×20=10, 在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=√AB-AC =√/202-10=10√5. 14.解：在Rt△AOB中，OA=√JAB-OB=√25-7 =24. AC=4,∴.OC=OA-AC=24-4=20. 在Rt△COD中，OD=√CD-OC=√25-20 =15, .∴.BD=OD-OB=15-7=8. 15.解：(1)如图①，MN即为所求. (2)如图②，Rt△DEF即为所求（答案不唯一）. M 图① 图② 16.解：(1)AC⊥BC,.∠ACB=90°， ∴.AB=√AC+BC=√+1下=√2， (2)AB=√2，BD=1,AD=√3,1十(2)= (5)2, AD=AB+BD,∴△ADB是直角三角形， 且∠ABD=90°， 5△ADB的面积为2AB,BD-号X反X1-号 17.证明：：MN⊥AB, .∴.△AMN和△BMN是直角三角形 在Rt△AMN和Rt△BMN中， AN2=AM-MN2,NB:=BM-MN2, ..AN2-BN2=AM-BM2. 在Rt△ACM中，AM-CM=AC2. AM是△ABC的中线， ∴.CM=BM, ..AN:-BN:=AM:-BM=AM2-CM:=AC2. 18.解：(1)设旗杆AB的高度为xm. 根据题意可得，AD=(x十1)m, 则在Rt△ABD中，根据勾股定理可得，x2十5=(x +1)2, 解得x=12, .旗杆AB的高度为12m. (2)作EG⊥AB于点G,如图 由题意可知，四边形BFEG是长方A 形，AE=AD=13m, ∴.BG=EF=1m,GE=BF. ..AG=AB-BG=11 m. 设GE=ym. 在Rt△AEG中，根据勾股定理得， B 11+y2=132, 解得y=43≈6.92（负值已舍去），即BF=6.92m, .DF=6.92-5≈1.9(m). 故该同学前进的距离DF的长度约为1.9m. 19.解：(1)海港C受台风影响.理由如下： 如图，过点C作CD⊥AB于点D. .'AC=300 km,BC=400 km,AB=500 km, ∴.AC2+BC2=AB2, △ABC是直角三角形， ÷Sm=2AC·BC=2AB.CD. 1 即2×80X40=号×50CD. 1 ∴.CD=240km. :以台风中心为圆心，周围250km以内为受影响 区域， .海港C受台风影响。 B (2)如图，在线段AB上取点E,F,连接EC,FC,令 EC=FC=250 km. 在Rt△CDE中，ED=√EC2-CD=√2502-240 =70(km), ,∴.EF=2ED=140km. ,台风的速度为20km/h, .140÷20=7(h), 即台风影响该海港持续的时间为7h. 20.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC= √AB+BC=√8+6=10(cm), 己R1△ABC斜边AC上的高为X8与 =4.8(cm). (2)由题意可知，当t=3时，AP=3cm,BQ=6cm. .'AB=8 cm,.BP=AB-AP=8-3=5(cm). 在Rt△BPQ中，由勾股定理，得PQ=√BP+BQ =√52+6=√6I(cm). (3)分三种情况讨论： ①当CQ=BC=6cm时，2t-6=6,解得t=6; ②当CQ=BQ时，∠C=∠QBC. :∠C+∠A=∠QBC+∠QBA=90, ∴.∠A=∠QBA,.BQ=QA, ∴CQ=2AC=5cm,即21-6=5，解得1=5.5： ③当BQ=BC=6cm时，如图，过点 D B作BD⊥AC于点D, 1 则CD=2CQ=(1-3)cm. 由(1)得BD=4.8cm. 在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2=BD+CD2, 即62=4.82+(t-3)2, 解得t1=6.6,t2=一0.6（不合题意，舍去）. 综上所述，当t的值为6或5.5或6.6时，△BCQ为 等腰三角形. 期中学业质量自我评价 1.D2.B3.D4.B5.B 6.D【解析】·m是一元二次方程x2+x-2026=0的 一个根，∴.m2十m一2026=0，.m2十m=2026, ∴.m2+2m+n=m+n+2026. :m,n是一元二次方程x2十x一2026=0的两个实数 根，∴.m十n=-1,.∴.m2+2m+n=-1十2026= 2025. 7.A【解析】a,b是一元二次方程x2+5x+3=0的 b 两个根，a十b=-5,ab=3,a<0,b<0a√ a +bV6=a·1a 1b1 -ab-√ab= -2√ab=-23. 8.D【解析】过点A作AE⊥BC,垂足 为E,如图.由题意可知，AB=AD, BE=DE.在Rt△AEC中，AC=BED 8∠C=30AE=AC-2x8 =4, ∴.CE=√AC-AE=√82-4=4√3.由勾股定理， 得BE=√AB-AE=√5-4=3，∴.DE=BE=3, .CD=CE-DE=43-3. 9.B【解析】设小长方形卡片的长为xcm,宽为ycm.根 据题意，得x十2y=√2T,则图②中两块阴影部分周长 和是2(x+2y)+2(4-2y)+2(4-x)=2√2I+4×4 -4y-2x=2√2I+16-2(x+2y)=2√2T+16 2√2I=16(cm). 10.A【解析】在Rt△ABC中，∠ABC =60°，BC=1,则∠BAC=30°， ∴AB=2,AC=√3.连接BD,如 图.，△ACD和△BCE为等边三 角形，∴.∠ACD+∠ACB=150°， ∠BCE=∠CAD=60°，AD=AC =√3，CB=CE,∴.∠BAD=90°，∠DCE=150°，即 ∠DCB=∠DCE.又CD=CD,CB=CE, ∴.△DCB≌△DCE(SAS),∴.DB=DE= √AB+AD=√22+(3)2=√7. 下册参考答案 53