第17章 一元二次方程及其应用学业质量自我评价-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

八年级数学HK版下册安徽 第17章 学业质量自我评价 (考试时间：90分钟 满分：100分) 班级： 姓名： 得分： 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 1.若x=1是一元二次方程x2一kx=8的一个根，则k的值为 A.-5 B.-7 C.9 D.7 2.把一元二次方程(x一3)2=5化为一般形式后，二次项系数为 A.1 B.2 C.3 D.5 3.(2025合肥蜀山区期末)将一元二次方程x2十2x一1=0配方后可化为( A.(x+1)2=2 B.(x+1)2=0 C.(x+2)2=5 D.(x-1)2=2 4.(2025广州)关于x的方程x2-x+k2+2=0根的情况为 A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 5.把一块长与宽之比为2：1的长方形铁皮的四角各剪去一个边长为10cm的小正 方形，折起四边，可以做成一个无盖的盒子.如果这个盒子的容积是1500cm,设 铁皮的宽为xcm,则正确的方程是 () A.(2x-20)(x-20)=1500 B.10(2x-10)(x-10)=1500 C.10(2.x-20)(x-20)=1500 D.10(x-10)(x-20)=1500 mn+1 6.已知实数m,n满足3m2-7m-2=0,2n2+7n-3=0,且mn≠1，则 mn十m十1 的值为 ( 6 b.6 C.3 4 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）】 7.当k满足 时，方程(k-1)x2十3.x十1=0是一元二次方程. 8.如果代数式x2十x十2与5x一2的值相等，那么x= 9.若关于x的一元二次方程x2十bx十c=0的两个根分别是x1=一3，x2=5,则b 十c= 10.若关于x的一元二次方程(a一1)x2一2x=2无实数根，则a的取值范围是 11.(2025安庆太湖期中)对于实数m,n,定义运算“※”：m※n=m(m十n).例 如，4※2=4×2×(4十2)=48.若x1,x2是关于x的一元二次方程x2一5x十4 =0的两个实数根，则x1※x2= 1 1 12.设一元二次方程x2-2025x+1=0的两根分别为a,b,记S1= 1+a1+b' 440444 125 1 1 1 1 1 1 S:1十a+1+6,S,=1十a+1+6…,5.1+a+1+b计算： (1)S,= (2)S1+S2+S,+…+S1o= 三、（本大题共3小题，每小题6分，满分18分） 13.解一元二次方程： (1)x2+4x-2=0. (2)(x-3)2=6-2x. 14.已知关于x的方程x2十mx十6=0的一个根为一2，求m的值及另一个根. 15.若关于x的方程(2k-1)x-2kx+2k+1=0有实数根，求k的取值范围. 四、（本大题共3小题，每小题7分，满分21分） 16.(2025六安裕安区月考)已知关于x的方程x2-(k十4)x十2k十4=0. (1)求证：无论k为何值，该方程总有实数根. (2)若方程的两个实数根为x1,x2,求代数式(x1一2)(x2一2)的值. 126 17.阅读材料：若m2一2mn十2n2一8n十16=0，求m,n的值. .m2-2mn+2n2-8n+16=0, ..(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0, .(m-n)2+(n-4)2=0, ∴.m-n=0,n-4=0, 解得n=4,m=4. 根据你的观察，解决下面的问题： (1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0,求x-y的值. (2)若等腰三角形的两边长a,b满足a2+b2-6a一14b+58=0,求这个三角形 的周长 18.某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为27m和15m.该农场打算利用总长 45m的木栏围一个如下图所示的饲养场，中间预留1m宽的通道，在EH和 FG边上各留一个1m宽的门.设AB的长为xm. (1)写出AD的长（用含x的代数式表示）. (2)若饲养场（包含通道）的面积为180m2,求x的值. EF D B HG 4404444 127 五、（本题满分9分） 19.嘉海学校八年级开展社会实践活动，下表是“遇数临风”小组的记录表.请根据 相关信息解决表中的两个问题， 嘉海学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 2025.10.26 班级人员 王嘉、马俊、张宁 地点 城南蔬菜超市 实践内容 了解青莱行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠 青菜的进价为2元/kg 调研信息 青菜售价为2.5元/kg时，每天可销售125kg 每千克青莱每涨价0.1元，每天少销售5kg 问题1 某天超市正好销售105kg的青莱，则获利多少元 解决问题 若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为多少 问题2 元/kg 六、（本题满分10分） 20.定义：若关于x的一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)中的常数项是该方程 的一个根，则该一元二次方程就叫作“常数根一元二次方程” (1)已知关于x的方程x2十x十c=0是“常数根一元二次方程”，求c的值. (2)如果关于x的方程x2+2m.x十m+1=0是“常数根一元二次方程”，求m 的值。 (3)若关于x的“常数根一元二次方程”a.x2十bx十c=0(a≠0)中不含零根，求 证：关于y的方程acy2+by+1=0是“常数根一元二次方程”. 1144419 12816.解：(1)√6×8+1=7 (2)规律：√(n+1)(n+3)+1=n+2(n为自然数， 且n≥1). 验证：n为自然数，且n≥1， .√(n+1)(n+3)+1=√n+3n+n十3+1 √n2+4n十4=√(n+2)产=n十2. 17.解：16-x2≥0，x2-16≥0， .x2=16. 解得x=土4. 又：分母中x十4≠0， x≠-4， .x=4, ∴=0+01-1 4十4 8 7 7 127 六8x十y=8X4-8=8 327_3 小名+y的立方根为√图-受 18.解：(1)由条件可得ab十ab =ab(a+b) =(3+√2)(3-√2)[(3+√2)+(3-√2)] =(9-2)(3+√2+3-√2) =7×6 =42. (2)原式=a2+2ab+b2+ab =(a+b)2+ab =[(3+√2)+(3一√2)]+(3+√2)(3一√2) =62+(9-2) =36+7 =43. 19.解：(1)> > (2)m十n≥2√mn(m≥0，n≥0).理由如下： 当m≥0，n≥0时，（√m-√m)≥0， ∴.(m)2-2m·m+(m)2≥0， ∴.m-2mn+n≥0， ∴.m十n≥2mn. (3)设花圃的长为am,宽为bm,则a>0,b>0,S ab=200. 根据(2)的结论可得a+2b≥2√/a·2b=2√2ab= 22×200=2×20=40. ,∴.篱笆至少需要40m. 【解析】(1)4+3=7=√49,2√4×3=√48. ,49>48,.4+3>2√4×3. 17 1+ 6=6>1,2W1× 6 3 1+>2x石 1 .5+5=10,2/5X5=10,.5+5=2√5×5. 450 八年级数学HK版 20.解：(1)-2-3+√2 (2),m与n是关于1的“平衡数”，m十3与2n一1也 是关于1的“平衡数”， /m+n=2, m+3+2n-1=2, 解得m4, n=-2. (3)不是.理由如下： (x+5)(1-5)=x-5x十5-3， .x-√3x+√5-3=-5+33， .x-3x=-2+25, 即x(1-3)=-2(1-√3)， ∴x=-2, .(x+3)十(5-√3)=(-2十√5)+(5-√3)=3， .(-2十√3)与(5-√3)不是关于1的“平衡数”. 第17章学业质量自我评价 1.B2.A3.A4.C5.C 6.A【解析】由题意可知，m≠0，m≠0，m≠ n 2m+7m-3=0两边同时除以(-n).得3（分）°-7： 1-2=0.又：实数m满足3m2-7m-2=0,实数 m,是方程3x-7红-2=0的两个根m+7 1 3.1 7 2 n 3 1 m+ 2 mn+1 n 3 mn+m+1 m++ =72=5 nn 33 7.k≠18.29.-17 1 10.a<2 【解析】将方程化为一般形式(a一1)x2一2x 一2=0.根据题意，得a一1≠0且△=（一2）2一4(a一 1)X(-2)<0,解得a<分故a的取值范围为@ 11.20【解析】：x1,x2是关于x的一元二次方程x2一 5x十4=0的两个实数根，∴.x1十x2=5,x1x2=4, x1※x2=x1x2(x1十x2)=4X5=20. 12.(1)1(2)10【解析】(1)，一元二次方程x2- 2025x十1=0的两根分别为a,b,.ab=1,.S1= 1 1 2+a+b 2+a+b 1+a1+b1+a+b+ab-1+a+6+=1. 1 1 2+a2+b2 (2)S:=1+a+1+6=1+a+6+a6 2+a2+b2 1 1+a+6+1=1,S=1十0+1+6 2+a3+b3 2+a3+b3 1+a+b+a6=1+a+6+1=1,…,So= 1 1 2+a10+b0 1+a0 1+b19 1+a0+b0+a"60 2+a10+bo 1+a+6°+1=1S,+S,+S,十…+So=1+1 +1+…+1=10. 13.解：(1)移项，得x2十4.x=2, 配方，得x2+4x十4=2+4，即(x+2)2=6, 开平方，得x十2=土√6， 解得x1=√6-2，x2=-√6-2. (2)移项，得(x-3)2-2(3-x)=0,即(x-3)2十2(x -3)=0, 因式分解，得(x一3)(x一1)=0，.x一3=0或x一1 =0,解得x1=3,x2=1. 14.解：设另一个根为t 由根与系数的关系，得 2十1-m解得化=3 -2t=6, m=5. 故m的值为5，方程的另一个根为一3. 15.解：①当2k-1=0,即=2时，一元一次方程有实 数根； ②当2k-1≠0，即k≠2时， ”-元二次方程(2k-1r-2kx+2k+1=0有实 数根， “4=4h2-4×(2k-1)×(2k+1)≥0， 即一-6k+≥0，解得<号6≤号且长≠号 综上，k的取值范围为k≤行 2 16.解：(1)证明：△=[一(k+4)]-4(2k+4) =k2+8+16-8k-16 =k2. k2≥0， .△≥0， 无论k为何值，该方程总有实数根。 (2),该方程的两个实数根为x1,x2, …x1十x2=k+4,x1x2=2k+4, .（x1-2)(x2-2) =x1x2-2x1-2x2+4 =x1x2-2(x1十x2)+4 =2k+4-2(k+4)+4 =2k+4-2k-8+4 =0. 17.解：(1)x2+2xy+2y2+2y+1=0, .(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0, ∴.(x+y)2+(y+1)2=0, .x+y=0,y+1=0, 解得x=1,y=-1,∴.x一y=2. (2).a2+b2-6a-14b+58=0, ∴.a2-6a+9+b2-14b+49=0, ∴.(a-3)2+(b-7)2=0. ∴.a-3=0,b-7=0, 解得a=3,b=7. a,b是等腰三角形的两边长，且3十3<7， .等腰三角形的三边长分别为3,7,7， ∴.这个等腰三角形的周长为3+7+7=17. 18.解：(1)由题意可知，EH-1十FG-1+CD+BH+ CG=45 m, ..BH+CG=(47-3)m,.'.AD=BH+CG+1= (48-3x)m.故AD的长为(48-3.x)m. (2)由(1)知，AD=(48-3.x)m,.x(48-3x)=180, 解得x1=6,x2=10. 0≤48-3x≤27且0≤x≤15，.7≤x≤15，.x =10. 19.解：问题1：设售价为x元/kg. 根据题意，得125-5.2,5=105. 0.1 解得x=2.9, .获利(2.9-2)×105=94.5（元）. 故某天超市正好销售105kg的青菜，则获利94.5元. 问题2：设青菜的售价为y元/kg. 根据愿意，得0-2(125-5·62)=10。 整理，得y2-7y+12=0, 解得y1=3,y2=4. ·帮超市解决销售问题的同时要为顾客谋实惠， .青菜的售价为3元/kg. 故若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价 为3元/kg. 20.解：(1)由题意可知，方程x2+x十c=0的一个根为x =c.将x=c代入方程x2十x十c=0,得c2+2c=0, 解得c1=0,c2=一2.故c的值为0或-2. (2),关于x的方程x2十2mx十m十1=0是“常数根 一元二次方程”， 方程的一个根为x=m十1. 将x=m十1代入方程x2+2m.x+m+1=0,得(m+ 1)2+2m(m+1)+m+1=0, 整理，得3m2十5m十2=0， (3m+2)(m十1)=0，解得m,=-名 3m2=-1. 故m的值为一号或-1。 (3)证明：关于x的“常数根一元二次方程”ax2+ bx十c=0(a≠0)中不含零根， .方程的一个根为x=c,且c≠0 将x=c代入方程a.x2十bx十c=0,得ac2+bc+c= 0,即c(ac+b+1)=0. ,c≠0，.ac+b+1=0. 下册参考答案 51 把y=1代入方程acy2十by+1=0,得左边=ac十b 十1=0=右边， .y=1是关于y的方程acy2+by+1=0的一个根， .关于y的方程acy2十by+1=0是“常数根一元二 次方程” 第18章学业质量自我评价 1.C2.B3.A 4.A【解析】如图，作AB的平行线C CD,连接DE.由题意，得CD=1 E +22=5,CE2=12+32=10,ED2= 12+2=5,.CD2+DE=CE2, ∴.△CDE是直角三角形 CD=DE=√5， ∴.∠DCE=∠DEC=45° ∴.∠1+∠3=90°-∠DCE=45°. AB∥CD,∴.∠2=∠3，∴.∠1+∠2=45. 5.D【解析】由图可知，△PBC与△PAC均为直角三角 形，AC=2,BC=4,∴.PB2=PC2十BC2,PA2=PC +AC2, ..(PB+PA)(PB-PA)=PB2-PA:=PC2+BC -PC2-AC2=BC2-AC2=4-2=16-4=12. 6.C【解析】由题意可知，DC=AB=3,BC=AD=9. ·将该矩形沿折痕EF折叠，使点B与点D重合， ∴.BC=DC=3,C'F=CF,∠C=∠C=90°.在 Rt△BCF中，由勾股定理，得BF=BC?+C'F2, .BF2=32+(9-BF)2,解得BF=5, 5ag=BnF·AB=×5X3=15. 7.√58.129.5 10.370【解析】从A岛到C岛，最短路径为AC,AC= √AB2+BC=√120+3502=370(m). 11.2√2【解析】过点A作AH⊥BC 于点H,如图，∴∠AHB=90 ,△ABC是等腰直角三角形， ∠B=45°，△ABH是等腰直 角三角形，AH=2√2.AD≥AH,∴.AD的最小 值为2√2， 12.(1)3(2)9-3√5【解析】(1)在长方形ABCD中， AB=6,BC=8,∠ABC=90°，.AC=√AB2+BC= 10.根据折叠的性质，得AB=AF=6,∠ABC= ∠AFE=90°， ∴.CF=AC-AF=4.设BE=EF=x,则CE=BC BE=(8-x).在Rt△CEF中，由勾股定理，得(8一 x)=x2十4，解得x=3.(2)如A M 图，过点F作FM⊥AD于点M, 延长MF交BC于点N.由题意， 得DF=DC=AB=AF=6,∴.直 线FM是矩形的对称轴，.AM= 452 八年级数学HK版 DM=BN=CN=2BC=4,四边形ABNM是长方 形，.FM=√AF-AM产=2√5，AB=MN=6, .FN=MN-FM=6-2√5.设BE=EF=x,则 EN=BN-BE=(4-x).在Rt△EFN中，由勾股定 理，得(4-x)2+(6-2√5)2=x2,解得x=9-3√5. 13.解：∠C=90°，∠B=30°， ∴AC=2AB=7×20=10, 在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=√AB-AC =√/202-10=10√5. 14.解：在Rt△AOB中，OA=√JAB-OB=√25-7 =24. AC=4,∴.OC=OA-AC=24-4=20. 在Rt△COD中，OD=√CD-OC=√25-20 =15, .∴.BD=OD-OB=15-7=8. 15.解：(1)如图①，MN即为所求. (2)如图②，Rt△DEF即为所求（答案不唯一）. M 图① 图② 16.解：(1)AC⊥BC,.∠ACB=90°， ∴.AB=√AC+BC=√+1下=√2， (2)AB=√2，BD=1,AD=√3,1十(2)= (5)2, AD=AB+BD,∴△ADB是直角三角形， 且∠ABD=90°， 5△ADB的面积为2AB,BD-号X反X1-号 17.证明：：MN⊥AB, .∴.△AMN和△BMN是直角三角形 在Rt△AMN和Rt△BMN中， AN2=AM-MN2,NB:=BM-MN2, ..AN2-BN2=AM-BM2. 在Rt△ACM中，AM-CM=AC2. AM是△ABC的中线， ∴.CM=BM, ..AN:-BN:=AM:-BM=AM2-CM:=AC2. 18.解：(1)设旗杆AB的高度为xm. 根据题意可得，AD=(x十1)m, 则在Rt△ABD中，根据勾股定理可得，x2十5=(x +1)2, 解得x=12, .旗杆AB的高度为12m.