方法技巧专题 四边形中的折叠问题&动点问题-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

..EB=FC=GD=HA, '.△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG, .HE=EF=FG=GH/AEH=/BFE. .四边形EFGH是菱形 又：∠BEF+∠BFE=90°， .∠BEF+∠AEH=90°， ∴.∠HEF=90°， ∴.四边形EFGH是正方形. (2)AB=7,BE=3, ∴.AE=AB-BE=4. 由(1)知AH=BE=3. 在Rt△AHE中，∠A=90°，AE=4,AH=3,则由勾 股定理，得EH=√AE十AH=5. 在正方形EFGH中，由勾股定理可得EG= W/EH+HG=5√/2 5.证明：(1)：四边形ABCD是正方形，点B,C,G在同 一条直线上， ∴.∠BCD=90°，∴.∠GCE=90°. 四边形ECGF是平行四边形，∴.口ECGF是矩形. (2)由题意，得AD∥BG,EFBG,∠ADC=90°， .AD∥EF,.∠QAP=∠EFP. P是线段AF的中点，AP=PF. 又：∠APQ=∠FPE, .△APQ≌△FPE(ASA),.AQ=EF,QP=PE ∠DPE=90°，∴∠DPQ=∠DPE=90 又PD=PD,∴.△PDQ≌△PDE(SAS), .'QD=ED. .AD=DC...AQ=EC...EC=EF, .矩形ECGF是正方形. 方法技巧专题四边形中的折叠问题 1.B【解析】，·四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形 EFC'D', ∴.∠GEF=∠DEF=6O. ,四边形ABCD为平行四边形， ∴.AD∥BC,∴∠GFE=∠DEF=60, ∴△GEF为等边三角形. 如图，过点E作EH⊥GF于 D 点H. 在Rt△EFH中，∠FEH=30°， 1 ·HF=2EF=4,EH √EF2-HF2=√82-4=43， 即△GEF的高是4V5 2.7【解析】设DF=x,FC=y.:四边形ABCD是平 行四边形，.AD=BC,CD=AB.由折叠的性质，得 AE=EF,AB=BF.△FDE的周长为8，△FCB的 周长为22，BC=AD=8-x,BF=AB=CD=x十y, y十x十y十8-x=22,解得y=7,即FC的长为7. 3.B【解析】，四边形ABCD是矩形， 432 八年级数学HK版 .∴.∠D=∠ABC=∠BCD=90 由折叠可知，△CDE≌△CFE, ∴.∠ECD=∠ECF=20°，∠D=∠EFC=90°， ∴.∠DCF=∠ECD+∠ECF=20°+20°=40°， .∠BCF=∠BCD-∠DCF=90°-40°=50°. :∠EFC=90°， ∴.∠BFC=180°-∠EFC=90. 在△BCF中，∠FBC=180°-∠BFC-∠BCF=180 -90°-50°=40°. 又：∠ABC=90°， .∴.∠ABE=∠ABC-∠FBC=90°-40°=50° 4.180°-3a【解析】在图①中，四边形ABCD是矩形， ∴.AD∥BC,∴.∠DEF=∠EFB=a,∠DEF+∠CFE =180°，.∠CFE=180°-a.在图②中，∠EFB=a, ∴.∠CFG=∠CFE-∠EFB=180°-a-a=180°- 2a.在图③中，∠CFE=∠CFG-∠EFB=180°-2a a=180°-3a. 5.B【解析】四边形ABCD是菱形，AB=8, ∴.AB=CB=8. :将△ABE沿着AE翻折，点B与点C正好重合， ∴BE=CE=号BC=4,∠AEB=∠AEC=3X180 =90°， ∴.AE=√AB-BE=√82-4=4√3. 6.B【解析】：四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ÷∠ADC=60,∠ABD=∠ABC=30.∠ADB 1 =2∠ADC=30°. ,EF∥BD, ∴.∠AME=∠ADB=30°，∠AEM=∠ABD=30°， ∴.∠FMN=∠AME=30°. 由折叠的性质可知，∠F=∠ABC=60°，CF=BC= AB=4, ∴.∠FNM=180°-∠FMN-∠F=90°， .∴.∠CND=90°，.∠NCD=30° .CD=AB=4, 1 在Rt△CND中，ND=2CD=2,CN √CD-ND=2√5， ..FN=CF-CN=4-2√3 在Rt△FMN中，MN=√3FN=4√3-6，∴.AM=AD -ND-MN=4-2-4√5+6=8-4√5. :∠AEM=∠AME=30°， ∴.AE=AM=8-4√5. 7.C【解析】由正方形的性质，得AD=AB.设BF=CF =a,则CD=2a,∴.DG=CD-CG=2a-4.由题意可 知，∠ADE=∠B=90°.由折叠的性质，得HG⊥EF, AE=AF,GE=GF,.Rt△ADE≌Rt△ABF(HL), ∴.DE=BF=a,∴.GF=GE=DE+DG=a+2a-4= 3a-4.由勾股定理，得GF2-CF2=CG,即(3a-4)2 a2=4,解得a1=3,a2=0(舍去)，∴.CF=3,GE=5, ∴EC=9.由勾股定理，得EF=√EC+CF=3√I0. Sam=26E.CF=号Em·HG号X5X3=司 X3而HG,解得HG=@ 2 8.(1)2(2)三万或压【解析】1)由折叠的性质， 4 得AP=A'P,∠APB=∠A'PB.A'D∥BP, ∠PA'D=∠A'PB,∠PDA'=∠APB,.∠PA'D -ZPDA'.A'P-DP.AP-DP-TAD-TAB =2.(2)如图①，过点A'作A'F⊥AD于点F,并反向 延长交BC于点E.若A'F=1,则A'E=3.由折叠的 性质，得A'B=AB=4.在Rt△A'BE中，BE= √AB2-AE=√4-3=√7.设PA=y,则PF= √7-y.在Rt△AFP中，(W7-y)2+1=y2,解得y= 号7，即线段AP的长为号7：如图②，过点A作AE ⊥BC于点E,并反向延长交AD于点F.若A'E=1, 则A'F=3.由折叠的性质，得A'B=AB=4.在 Rt△A'BE中，BE=√AB2-AE=√4-1下= √I5.设AP=a,则PF=√/I5-a.在Rt△A'FP中， (⑤-a)'+3=a,解得a=5V⑤，即线段AP的 长为号5.综上，线段AP的长为27或号5. 图① 图② 方法技巧专题四边形中的动点问题 1.A2.D 3.(1)25(2)3 2 【解析】(1)如图①，过点G作 GH⊥BC于点H,则四边形ABHG是矩形.由题意 知，DF=√3，GF=3,AD=BC=6,.AG=BH=6-3 -B=3-5.“E是BC的中点∴BE=CE=2BC =3,.HE=BE-BH=3-(3-√5)=√5.在 Rt△GHE中，GH=AB=3,∴.GE=√GH+HE= √32+（√3）2=2√5.(2)如图②，以直线BC为对称轴 作点G的对称点G',点F的对称点F',连接EG', EF',此时，GE=G'E,EF=EF'.当点F,E,G或点 G,E,F'在同一条直线上时，G'E+FE或GE十EF'的 值最小，即GE十FE的值最小，则GF'=FG',易知EG =EF.过点E作EM⊥AD于点M,则M是GF的中 点，GM=FM=GF=三，在R△CGD中，GD GM+MD-2+3-号cD=3.cG=√()'+8 9 17_3√3 入4 2 图① 4.B【解析】如图，取AB的中点E,连 接OE,DE.∠AOB=90°，AB=AD =4OE=号AB=2.过点D作DF ⊥BA,交BA的延长线于点F. F :∠ABC=60°，∴∠DAB=120, ∠DAF=60°，∴.AF=2,DF=25. AE=2,∴.EF=4,.在Rt△DFE 中，DE= √EF+DF √4+(23)=27.在运动过程中，当点O,E,D在同 一条直线上时，点D到点O的距离最大，OD的最大值 =DE+OE=27+2. 5.3 6.C【解析】如图，作点B关于直 线AC的对称点，正好落于点D, 连接ED交AC于点P,此时PB E 十PE的值最小. 由作图可知，PB=PD,DE=PB +PE. :正方形ABCD的边长为6，△ABE是等腰直角三 角形， ∴.EB=EA=3√2，BD=6√2，∠EBD=45°+45 =90°， .在Rt△EBD中，ED=√EB+BD=√I8+72= 3√10， ,.PB+PE的最小值为3I0】 7.D【解析】如图，在BC上取一点E, 使得BE=BE',连接EE交BD于点 G,过点E'作PE⊥BC,交BD于点 P,EP的延长线交AD于点F,连接 EF,则四边形CDFE和四边形ABE F均为矩形，E'F=4.,四边形ABCD 为正方形，∴.∠ABC=90°，AB=BC=4,∠ABD= ∠CBD=45.BE=BE',∴.△BEE为等腰直角三角 形.又∠EBG=∠EBG,.EG=E'G,BG⊥EE',即 BD垂直平分EE',∴PE=PE',.PE+PF=PE+ 下册参考答案 33个 PF=E'F=4,AF=BE'=3.在Rt△AEF中，EF= √/AE+AF=√1+3=/10. 章末对点导练 1.A【解析】，正五边形每个外角度数=360°÷5=72°， .∠DEF=∠EDF=72°，∴.∠F=180°-∠DEF- ∠EDF=36° 2.360°【解析】由三角形外角的性质，得∠FAB=∠E +∠F,∠HBC=∠G+∠H,∠DCN=∠M+∠N, ∠QDA=∠P+∠Q. 四边形的外角和为360°， ∴.∠FAB+∠HBC+∠DCN+∠QDA=360°， ∴.∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N+∠P+∠Q =360°. 3.A【解析】，四边形ABCD是平行四边形，AB CD=5,DC∥AB,DO=BO,∴.∠APD=∠CDP DP平分∠ADC,∴∠ADP=∠CDP,∴.∠ADP ∠APD,∴.AP=AD=3,.PB=AB-AP=5-3= 2.:E是PD的中点，D0=B0∴OE=号PB=1. 4.①②④ 5.(一a一2，一b)或（一a+2,-b)【解析】当点B在点 A的右边时，如图①.，AB与x轴平行且AB=2, A(a,b),∴.B(a十2，b).对角线AC的中点是坐标原 点O,点A,C关于原点对称.四边形ABCD为平 行四边形，∴点B,D关于原点对称，∴.D(一a一2， 一b):当点B在点A的左边，如图②.同理，得B(a 2,b),则D(-a+2,-b).故点D的坐标为（一a-2, -b)或(-a+2,-b). 图① 图② 6.解：(1)证明：AB=AC,AD⊥BC, .BD=CD. .CE=BD, ..CD=CE. EF∥AD, ∴.∠DAC=∠EFC, 且∠DCA=∠ECF, .△ACD≌△FCE(AAS), ∴.AD=FE, .四边形ADFE是平行四边形 (2).BD=2, .BE=6,DE=4. .AB=AC, ∴.∠B=∠BCA. :∠BAE=∠BCA, ∴∠B=∠BAE, ..AE=BE=6. 434 八年级数学HK版 在Rt△ADE中，AD2=AE2-DE2=36-16=20. 在Rt△ADC中，AC=AD2+CD2=20+4=24, .AC=2√6， .AF=2AC=46. 7.B8.B 9.D【解析】由题意，得CF=BC=1,∠F=∠B=90°， ∴.∠BAC=∠CAF.,AF∥CE,∴.∠ACG=∠CAF, ∴.∠ACG=∠BAC,∴.CG=AG.设AG=x,则CG= x,BG=2-x.在Rt△CGB中，CG2=CB2+BG,即 +(2-x)=,解得x=号AG=是.：两张矩 6 形纸片完全相同，∴.CH∥AG,AH∥CG,∴.四边形 AHCG是平行四边形，∴.重叠部分图形的面积=AG· Bc-号1-5 10.①②③【解析】①：AB=AC,AF⊥BC,BF =CF. ,四边形ABCD是平行四边形， .AB∥DE,∴.∠BAF=∠CEF. 又：∠AFB=∠EFC, ∴.△ABF≌△ECF(AAS), ∴.AB=EC, ∴.四边形ABEC是平行四边形. :∠BAC=90°，AB=AC, ∴.四边形ABEC是正方形，故此结论正确； ②AB=CD=EC, ∴.DE=2AB. AC,∠BAC=90,品AB ÷DE=2X2BC=2BC,故此结论正确， ③AF=EF,BF=CF, ∴.SACFD=S△Er,故此结论正确， 故正确的结论是①②③. 11.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ..OA=OC. :E是AB的中点， .AE=BE,.OE∥BC,.OE∥FG. EF⊥BC于点F,OG⊥BC于点G, ∴EFOG,∴.四边形EFGO是平行四边形. .EF⊥BC,.∠EFG=90° 四边形EFGO是矩形. (2):四边形ABCD是菱形， ACLBD.AB-BC.OC-7AC.OB-BD. :AC=4,BD=43,∴.OA=OC=2,OB=2√3. 在Rt△BOC中，BC=√OB+OC=√2+(23) =4, ∴2c.0G=号00.0B,即2×40G=号×2×方法技巧专题 四边形中的折叠问题 题型①平行四边形中的折叠问题 B与点C正好重合，则AE等于 1.如图，E,F分别是□ABCD的边AD,BC上 A.2 B.43 C.23 D.4 的点，EF=8,∠DEF=60°.若将四边形 EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC'D', ED'交BC于点G,则△GEF的高是( B A.4 B.43 C.8 D.8√2 第5题图 第6题图 6.如图，在菱形ABCD中，若AB=4,∠ABC =60°，BD是对角线，E是AB边上一点，连 接CE,将△BCE沿CE翻折，点B的对应 第1题图 第2题图 点为F.当EF∥BD时，EF交AD于点M, 2.如图，在□ABCD中，点E在边AD上，连接 CF交AD于点N,则AE的长为() BE,将△ABE沿BE向上翻折，点A正好 A.43-6 B.8-4√3 落在CD边上的点F处.若△FDE的周长 为8，△FCB的周长为22，则FC的长为 C.8+45 D.1 题型④ 正方形中的折叠问题 题型② 矩形中的折叠问题 7.如图，在正方形ABCD中，F是BC的中点， 3.如图，在矩形ABCD中，E G是DC边上一点，且CG=4.将△AFG沿 为AD上一点，连接CE, AG翻折，使点F的对应点E落在CD的延 BE,将△CDE沿着CE翻 长线上，连接EF交折痕AG于点H,连接 B 折.点D的对应点F恰好 第3题图 CH,则HG的长是 落在BE上，∠ECD=20°，则∠ABE的度数 A.1 D.30 为 ( 2 10 A.40° B.50° C.60° D.70 4.图①是一段矩形纸带，∠DEF=a,将纸带沿 EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③，则图 ③中的∠CFE的度数为 第7题图 第8题图 8.如图，已知正方形纸片ABCD的边AB=4, 点P在AD边上.将△ABP沿BP折叠，点 A的对应点为A',连接A'D 图① 图②D 图③ 第4题图 (1)当A'D∥BP时，AP的长为 题型③菱形中的折叠问题 (2)若点A'到边AD或BC的距离为1，则线 5.如图，在菱形ABCD中，AB=8,E是BC的 段AP的长为 中点，连接AE,将△ABE沿着AE翻折，点 △74 八年级数学HK版 方法技巧专题 四边形中的动点问题 题型① 平行四边形中的动点问题 题型③ 菱形中的动点问题 1.如图，E是□ABCD的CD边上一动点，以 4.如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形 BE为一条边作□BEFG,使点A始终在GF ABCD的顶点A,B分别在y轴的正半轴和x 边上.在动点E从点C向点D的运动过程 轴的正半轴上，且∠ABC=60°.当点B在x轴 中，关于□BEFG的面积，下列说法正确的 的正半轴上运动时，点A随之在y轴的正半轴 是 ) 上运动，菱形ABCD的形状保持不变.在运动 A.始终不变 B.逐渐减小 过程中，点D到点O的最大距离是() C.先减小再增大 D.不能确定 A.23+2 B.2√7+2 C.23+1 D.27+1 第1题图 第2题图 2.如图，在□ABCD中，AB=BC=CD=DA. 一动点P从点B出发，沿着B→C→D→A 第4题图 第5题图 的方向匀速运动，最后到达点A,则点P在 5.如图，已知菱形ABCD的边长为2，M,N分 匀速运动过程中，△APB的面积y随时间x 别是边BC,CD上的动点，∠BAC= 变化的图象大致是 ( ∠MAN=60°，连接MN,则MN的最小值 为 题型④正方形中的动点问题 B 6.如图，正方形ABCD的边长为6，以AB边 为底向外作等腰直角三角形ABE,点P是 对角线AC上的一个动点，连接PB,PE,则 PB十PE的最小值是 () D A.8√2 B.9√2 C.310 D.3+3√2 题型②矩形中的动点问题 3.如图，在矩形ABCD中，BC =2AB=6,G,F是AD上 的动点，且GF=3,E是BC 第3题图 第6题图 第7题图 的中点，连接GE,EF,CG 7.如图，在正方形ABCD中，AB=4,AE=1,F (1)若DF=√3，则GE的长为 是边AD上的动点，P是线段BD上的动点.若 (2)当GE+FE的值最小时，CG的长度为 EP+FP=4,则线段EF的长为 () A.√2 B.√5 C.22 D.10 下册第19章 75