方法技巧专题 特殊平行四边形的性质与判定-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

方法技巧专题 特殊平行四边形的性质与判定 题型①矩形的性质与判定 题型② 菱形的性质与判定 1.如下图，在□ABCD中，点E在AD边上， 2.(2025昆明盘龙区期末)如下图，菱形ABCD BE和CE分别是∠ABC和∠BCD的平分 的对角线AC,BD交于点O,BE∥AC且BE 线，以BC为对角线向外作四边形BECF,使 2AC,连接AE,OE. ∠BCF=∠AEB,∠CBF=∠DEC. (1)求证：四边形BECF是矩形 (1)求证：四边形AEBO是矩形. (2)已知AD=4,∠A=120°，求四边形 (2)若BC=8,∠BCD=60°，求四边形AE BECF的面积. BO的面积， 3.如右图，已知△ABC为 等边三角形，AD⊥BC,E E为AB的中点.以点 D为圆心，适当长为半 径画弧，交DE于点M,交DB于点N,再分 别以点MN为圆心，大于2MN的长为半 径画弧，两弧交于点P,作射线DP交AB 于点G.过点E作EF∥BC交射线DP于点 F,连接BF,AF (1)求证：四边形BDEF是菱形. 2 八年级数学HK版 (2)若AC=4,求△AFD的面积. (2)连接EG,若AB=7,BE=3,求EG 的长 5.如下图，在正方形ABCD和□ECGF中，点 B,C,G在同一条直线上，P是线段AF的 中点，连接DP,连接EP并延长，交AD于 点Q.求证： (1)四边形ECGF是矩形， (2)当∠DPE=90°时，四边形ECGF是正 方形 题型③正方形的性质与判定 4.(2025合肥期未)如下图，分别在正方形AB CD的边AB,BC,CD,DA上截取相等的线 段AE,BF,CG,DH,连接EF,FG,GH, HE得到四边形EFGH. (1)求证：四边形EFGH是正方形. 下册第19章 (3△DE,DA=DC=AB=3√2，∠GDE=∠ADC=90°， ∴.∠ADG=∠CDE,.△ADG≌△CDE(SAS), ,∴.AG=CE,∴.AE+AG=AE+CE=AC=W2AD =6. 45 (3)正方形DEFG的面积是4： 【解析】(3)如图②，连接DF. ,四边形ABCD是正方形， .AB=AD=3√2，AB∥CD. :F是AB中点，∴AF=FB= 3√2 2DF VAD+AF 图② 3/10 2 ,正方形DEFG的面 积= 2 DF:= 2 方法技巧专题特殊平行四边形的 性质与判定 1.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AB∥DC. .∠AEB=∠CBE,∠DEC=∠BCE,∠ABC+ ∠DCB=180°. ∠BCF=∠AEB,∠CBF=∠DEC, ∴∠BCF=∠CBE,∠CBF=∠BCE, .CF∥BE,BF∥CE, ∴四边形BECF是平行四边形. ,BE和CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线， ÷∠CBE=号∠ABC,∠BCE-名∠DCB, ∴∠CBE+∠BCE=号（∠ABC+∠DCB)=90, ∴.∠BEC=180°-（∠CBE+∠BCE)=90°， 四边形BECF是矩形. (2):四边形ABCD是平行四边形， ∠BCD=∠A,BC=AD. ∠A=120°，AD=4, .∠BCD=120°，BC=4, 1 ∠BCE=2∠BCD=60, .∠CBE=90°-∠BCE=90°-60°=30°， cE=B0=74=2 BE=√BC2-CE=√4-2=25. 由(I)得四边形BECF是矩形， ∴.S网边形Bcr=BE·CE=2V3X2=4V3. 2.解：(1)证明：，四边形ABCD是菱形， .AO-AC.AC LBD. :BE-号AC.A0=BE :BE∥AC, ∴.四边形AEBO是平行四边形. AC⊥BD,.OB⊥OA, ∴.∠AOB=90°， .四边形AEBO是矩形 (2):四边形ABCD是菱形， .∴.AB=BC=8, 1 ∠BAC=∠BCA=2∠BCD=30°， 六0B=2AB=4, ∴.AO=√AB-OB7=4√3， ∴.四边形AEBO的面积=AO·OB=4×4√3= 16√5. 3.解：(1)证明：：△ABC为等边三角形，AD⊥BC, ∴.D是BC的中点，∠ABC=∠C=60. :E是AB的中点， ∴.DE∥AC, ∴.∠EDB=∠C=60°， ∴.△BED是等边三角形， ,∴.BE=BD=DE ,由尺规作图可知，DF平分∠EDB, ∴∠EDF=∠FDB. ,EF∥BC, ∴∠EFD=∠FDB, ∴.∠EFD=∠EDF, ∴.EF=DE=BD. EF∥BD, ∴.四边形BDEF是平行四边形. 又DE=BD, ∴.四边形BDEF是菱形. (2),△ABC为等边三角形，AD⊥BC, 1 六∠ADB=90°，∠BAD=2∠BAC=30. AC=4, 1 ..BD=- AB=2AC=2, ∴.AD=√AB-BD=25. 四边形BDEF是菱形， .AG⊥FD,FG=GD, ∴.∠AGD=90. 又∠BAD=30°， 1 DG=AD=3, .FD=23,AG=√AD-DG=3, 1 六Sam=z×2V3X3=35. 4.解：(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D 又：AE=BF=CG=DH, 下册参考答案 31△ ..EB=FC=GD=HA, '.△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG, .HE=EF=FG=GH/AEH=/BFE. .四边形EFGH是菱形 又：∠BEF+∠BFE=90°， .∠BEF+∠AEH=90°， ∴.∠HEF=90°， ∴.四边形EFGH是正方形. (2)AB=7,BE=3, ∴.AE=AB-BE=4. 由(1)知AH=BE=3. 在Rt△AHE中，∠A=90°，AE=4,AH=3,则由勾 股定理，得EH=√AE十AH=5. 在正方形EFGH中，由勾股定理可得EG= W/EH+HG=5√/2 5.证明：(1)：四边形ABCD是正方形，点B,C,G在同 一条直线上， ∴.∠BCD=90°，∴.∠GCE=90°. 四边形ECGF是平行四边形，∴.口ECGF是矩形. (2)由题意，得AD∥BG,EFBG,∠ADC=90°， .AD∥EF,.∠QAP=∠EFP. P是线段AF的中点，AP=PF. 又：∠APQ=∠FPE, .△APQ≌△FPE(ASA),.AQ=EF,QP=PE ∠DPE=90°，∴∠DPQ=∠DPE=90 又PD=PD,∴.△PDQ≌△PDE(SAS), .'QD=ED. .AD=DC...AQ=EC...EC=EF, .矩形ECGF是正方形. 方法技巧专题四边形中的折叠问题 1.B【解析】，·四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形 EFC'D', ∴.∠GEF=∠DEF=6O. ,四边形ABCD为平行四边形， ∴.AD∥BC,∴∠GFE=∠DEF=60, ∴△GEF为等边三角形. 如图，过点E作EH⊥GF于 D 点H. 在Rt△EFH中，∠FEH=30°， 1 ·HF=2EF=4,EH √EF2-HF2=√82-4=43， 即△GEF的高是4V5 2.7【解析】设DF=x,FC=y.:四边形ABCD是平 行四边形，.AD=BC,CD=AB.由折叠的性质，得 AE=EF,AB=BF.△FDE的周长为8，△FCB的 周长为22，BC=AD=8-x,BF=AB=CD=x十y, y十x十y十8-x=22,解得y=7,即FC的长为7. 3.B【解析】，四边形ABCD是矩形， 432 八年级数学HK版 .∴.∠D=∠ABC=∠BCD=90 由折叠可知，△CDE≌△CFE, ∴.∠ECD=∠ECF=20°，∠D=∠EFC=90°， ∴.∠DCF=∠ECD+∠ECF=20°+20°=40°， .∠BCF=∠BCD-∠DCF=90°-40°=50°. :∠EFC=90°， ∴.∠BFC=180°-∠EFC=90. 在△BCF中，∠FBC=180°-∠BFC-∠BCF=180 -90°-50°=40°. 又：∠ABC=90°， .∴.∠ABE=∠ABC-∠FBC=90°-40°=50° 4.180°-3a【解析】在图①中，四边形ABCD是矩形， ∴.AD∥BC,∴.∠DEF=∠EFB=a,∠DEF+∠CFE =180°，.∠CFE=180°-a.在图②中，∠EFB=a, ∴.∠CFG=∠CFE-∠EFB=180°-a-a=180°- 2a.在图③中，∠CFE=∠CFG-∠EFB=180°-2a a=180°-3a. 5.B【解析】四边形ABCD是菱形，AB=8, ∴.AB=CB=8. :将△ABE沿着AE翻折，点B与点C正好重合， ∴BE=CE=号BC=4,∠AEB=∠AEC=3X180 =90°， ∴.AE=√AB-BE=√82-4=4√3. 6.B【解析】：四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ÷∠ADC=60,∠ABD=∠ABC=30.∠ADB 1 =2∠ADC=30°. ,EF∥BD, ∴.∠AME=∠ADB=30°，∠AEM=∠ABD=30°， ∴.∠FMN=∠AME=30°. 由折叠的性质可知，∠F=∠ABC=60°，CF=BC= AB=4, ∴.∠FNM=180°-∠FMN-∠F=90°， .∴.∠CND=90°，.∠NCD=30° .CD=AB=4, 1 在Rt△CND中，ND=2CD=2,CN √CD-ND=2√5， ..FN=CF-CN=4-2√3 在Rt△FMN中，MN=√3FN=4√3-6，∴.AM=AD -ND-MN=4-2-4√5+6=8-4√5. :∠AEM=∠AME=30°， ∴.AE=AM=8-4√5. 7.C【解析】由正方形的性质，得AD=AB.设BF=CF =a,则CD=2a,∴.DG=CD-CG=2a-4.由题意可 知，∠ADE=∠B=90°.由折叠的性质，得HG⊥EF, AE=AF,GE=GF,.Rt△ADE≌Rt△ABF(HL), ∴.DE=BF=a,∴.GF=GE=DE+DG=a+2a-4=