19.3.3 正方形-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

19.3.3 正方形 要固梳理 1,正方形的定义：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫作正方形. 2.正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质】 3.正方形的判定：(1)有一组邻边相等的矩形是正方形：(2)有一个角是直角的菱形是正方形：(3)对角线相 等的菱形是正方形：(4)对角线互相垂直的矩形是正方形. 已课内基础闯关 知识点② 正方形的判定 知识点①正方形的性质 4.用对折的方法证明一个四边形是正方形，则 1.如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标 对折次数最少是 轴正半轴重合，则点C的坐标是( A.1 B.2 C.3 D.4 A.(3,-3) 5.如图，在菱形ABCD中，对角 B.(-3,3) 线AC,BD相交于点O,添加 C.(3,3) 一个条件 后，菱 B 形ABCD为正方形 第5题图 D.(-3,-3) 第1题图 2.正方形、菱形、矩形都具有的特征是( 6.如右图，图中每个小正方形 A.一个角是直角 B.对角线互相垂直 的边长均为1，四边形ABCD C.一组邻边相等 D.对角线互相平分 的四个顶点都在格点（小正 3.如下图，E是正方形ABCD边BC的中点， 方形顶点)上.判断四边形 点F在正方形ABCD的外角平分线上，连 ABCD的形状，并说明理由. 接AE,EF,∠AEF=90°，G为边AB的中 点，连接GE.求证：EG=FC 八年级数学HK版 已课外拓展提高 (2)若AD=AE,AB=2,求OF的长， 7.(2025郑州期末)如图，正方形 DY↑ ABCD中，其中A(-5,0), B(0,一2)，将正方形ABCD A 0 x 绕点O逆时针旋转，每次旋转 第7题图 90°，则503次旋转后点C的坐标为( A.(2,3) B.(3,-2) C.(2,-3) D.(-3,-2) 8.（2025赤峰松山区期末)如图，在正方形AB CD外侧，作等边三角形ABE,AC,DE相交 于点F,则∠BFE的度数为 色综合能力提升 11.推理能力如下图，正方形ABCD中，AB= 3√2，E是对角线AC上的一点，连接DE 过点E作EF⊥ED,交AB于点F,以 第8题图 第9题图 DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接AG. 9.如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角 (1)求证：矩形DEFG是正方形 线BD上一点，且BE=BC,连接CE,P为 (2)求AG+AE的值. CE上一点，过点P作PQ⊥BC于点Q,PR (3)已知F恰为AB的中点，请直接写出正 ⊥BE于点R. 方形DEFG的面积. (1)∠DEC的度数为 】 (2)PQ+PR= 10.如下图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线 AE交BC于点E,EF⊥AD于点F,DG⊥ AE于点G,DG与EF交于点O. (1)求证：四边形ABEF是正方形， 下册第19章第2课时菱形的判定 1.B2.C 3.菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形 4.菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形 5.①②④ 6.解：（答案不唯一）(1)① (2)证明：，AD为BC边上的中线， ..BD=CD. 在□ABDE中，AE=BD,AE∥BD, ..AE//CD,AE=CD, .四边形ADCE是平行四边形 .EC=DC, 四边形ADCE是菱形. 7.C8.52 9.D【解析】如图，记AB,OC的交点为 D.由作图可得OA=OB=AC=BC= 2cm,∴.四边形AOBC是菱形. ,∠MON=60°，.△AOB是等边三 角形，∴.AB⊥OC,AD=BD=1cm, OC=2OD,∴.OD=√OB2-BD=√/2-1平=√3(cm), ∴.OC=2√3cm. 10.1)4② 7 (2)1或3【解析】(1)：四边形ABCD 是平行四边形，AC⊥BD,.□ABCD是菱形，.OA =OC,OB=OD,AB=AD..AB=√7，AC=4, CD=AB=F,0A=0C=号AC=2.在R△A0B 中，OB=√AB-OA=5,.BD=2OB=2√5. :AE⊥CD交CD的延长线于点E,∴.∠AED=90°， .CD.AE-ZAC.BD.AE-X4X2 .AE=421(2)BM=2,OB=73,∠B0C=90°， .OM=√BM-OB=1.当点M在线段OA上时， AM=OA一OM=2-1=1;当点M在线段OC上时， AM=OA十OM=2+1=3.故AM的长为1或3. 11.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AD=BC,AD∥BC, ∴.∠FAO=∠BEO,∠AFO=∠EBO. :点O为BF的中点， ..OB=OF, ∴.△AOF≌△EOB(AAS), ..AO=EO, ∴.四边形ABEF是平行四边形. .AB=AF, .四边形ABEF是菱形， (2),四边形ABEF是菱形， :AB=BE=EF=FA,∠BAE=2∠BAD=60, ∴.△ABE是等边三角形， ..AB=BE=EF=FA=AE. 设AB=BE=EF=FA=AE=x. .CE=1=BC-BE=AD-AF, ∴.FD=CE=1 □ABCD的周长为22， ∴.x+x+x+1+1+x=4.x+2=22, 解得x=5. 故AE的长为5. 12.解：(1)证明：AE∥BF, ∴.∠ADB=∠DBC,∠DAC=∠BCA. ,AC平分∠BAD,BD平分∠ABC, .∠DAC=∠BAC,∠ABD=∠DBC, .∠BAC=∠BCA,∠ABD=∠ADB, .'.AB=BC,AB=AD, .'.AD=BC. :AD∥BC, ∴.四边形ABCD是平行四边形. 又：AD=AB, ∴.四边形ABCD是菱形. (2),四边形ABCD是菱形， ..ACLBD,CD=AB=BC=10.OB=OD, .BH=BC+CH=10+6=16. DH⊥CH, ∴.DH=√CD-C=√/102-62=8， ∴.BD=√BH+DH=√I6+8=85. .OB=OD, 0H=BD=号x8后=45， 19.3.3正方形 1.C2.D 3.证明：，四边形ABCD为正方形，G,E分别为边AB, BC的中点， 1 1 ·AB=BC,AG=BG=2AB,BE=EC=2BC,∠B =90°， ∴.AG=EC,△BEG为等腰直角三角形， ∴.∠AGE=180°-45°=135°. 又CF为正方形的外角平分线 ∴.∠ECF=90°+45°=135°，∴∠AGE=∠ECF. ,∠AEF=90°，∠B=90°， .∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF. ∠AGE=∠ECF, 在△AGE和△ECF中，AG=EC, ∠GAE=∠CEF, ∴.△AGE≌△ECF(ASA), ∴.EG=FC. 4.B5.AC=BD(答案不唯一) 6.解：四边形ABCD是正方形. 理由：如图，连接BD. 下册参考答案 29个 由勾股定理，得AB=AD=CD=BC=+32= √10，BD=4+2=25 ∴.四边形ABCD是菱形 .AB2+AD2=10+10=20=BD2, .△BAD是直角三角形，且∠A=90°， .四边形ABCD是正方形. 7.B【解析】过点C作CH⊥y轴于点H,如图. .A(-5,0),B(0,-2), .AO=5,OB=2. ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠ABC=90°， ∴.∠ABO+∠HBC=90 ∠AOB=90°，.∠ABO +∠BAO=90°， ∴.∠OAB=∠HBC,.△ABO≌△BCH, ∴.HC=OB=2,HB=OA=5,∴.HO=HB-BO=5 -2=3, .C(2.3) 将正方形ABCD绕点O逆时针旋转，每次旋转90°， 且旋转503次， .503÷(360°÷90°)=125…3， ∴.逆时针旋转90°且旋转503次相当于顺时针旋转90 1次， 即把OC绕点O顺时针旋转90°，得OC1,过点C1作 C,W⊥x轴于点W,如图， ∴.OC1=OC,∠C1OC=90°. ∠1+∠3=90°=∠3+∠2，∴.∠1=∠2， ∠C1WO=90°=∠CHB,.△C,WO≌△CHO, ..WO=HO=3.C W=HC=2. ∴.点C,的坐标为(3，一2)，即503次旋转后点C的坐 标为(3，-2). 8.60°【解析】，四边形ABCD是正方形 .AB=AD=DC=BC,∠BAD=∠ADC=90°， ∠DCF=∠BCF=45. ,△ABE是等边三角形， ∴.AE=AB,∠BAE=60° ∴.AE=AD,∠EAD=∠BAE+∠BAD=150°， 六∠ADE=∠AED=号(180-∠EAD)=15. ∴.∠CDF=∠ADC-∠ADE=90°-15°=75 在△CDF中，∠CFD=180°-（∠CDF+∠DCF) =60° 在△DCF和△BCF中， DC=BC, ∠DCF=∠BCF, CF=CF. 30 八年级数学HK版 .△DCF≌△BCF(SAS), ∴.∠DFC=∠BFC=60°， ∠BFE=180°-（∠DFC+∠BFC)=60. 9.12.5°(22 【解析】(1)：BE=BC,∴∠BCE= ∠BEC.:四边形ABCD是正方形， .∠DBC=45°.，∠DBC+∠BCE +∠BEC=180°，.∠BEC=67.5°， .∠DEC=180°-∠BEC=112.5°. (2)如图，连接AC,PB,AC交BD于点O.,四边形 ABCD是正方形，∴.AC⊥BD,AC=√AB2+BC= V2OC=)AC经：SAr=Sae+Sae ∴2BEOC=2BE·PR+2BC·PQ. :BC=BE,BE·OC=BE·PR+BE·PQ,∴.PR +0=0-是 10.解：(1)证明：四边形ABCD是矩形， ∴.∠BAF=∠B=90 EF⊥AD,∴∠AFE=∠BAF=∠B=90°， ∴.四边形ABEF是矩形. AE平分∠BAD,.EF=EB, .四边形ABEF是正方形. (2)AE平分∠BAD,∴.∠DAG=∠BAE. I∠DAG=∠EAB, 在△AGD和△ABE中，∠AGD=∠B, AD-AE. ∴.△AGD≌△ABE(AAS),'.AG=AB,DG=EB. 由(1)知，四边形ABEF是正方形， ..DG=EB=AB=AF=AG=2. .AD=2V2,∠DAG=∠ADG=45°， ∴.DF=2√2-2. EF⊥AD,.∠FDO=∠FOD=45, ∴.OF=DF=2√2-2. 11.解：(1)证明：如图①，过点E分别作 EM⊥AD于点M,EN⊥AB于点N. 四边形ABCD是正方形， ∴.∠EAD=∠EAB. ,EM⊥AD于点M,EN⊥AB于 点N,.EM=EN. ∠EMA=∠ENA=∠DAB=90°， .四边形ANEM是矩形. EF⊥DE,∴.∠DEF=90°，.∠MEN=∠DEF, ∠DEM=∠FEN. .∠EMD=∠ENF=90°， .△EMD≌△ENF(ASA),∴.ED=EF, .矩形DEFG是正方形. (2)四边形DEFG,ABCD都是正方形，.DG= DE,DA=DC=AB=3√2，∠GDE=∠ADC=90°， ∴.∠ADG=∠CDE,.△ADG≌△CDE(SAS), ,∴.AG=CE,∴.AE+AG=AE+CE=AC=W2AD =6. 45 (3)正方形DEFG的面积是4： 【解析】(3)如图②，连接DF. ,四边形ABCD是正方形， .AB=AD=3√2，AB∥CD. :F是AB中点，∴AF=FB= 3√2 2DF VAD+AF 图② 3/10 2 ,正方形DEFG的面 积= 2 DF:= 2 方法技巧专题特殊平行四边形的 性质与判定 1.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AB∥DC. .∠AEB=∠CBE,∠DEC=∠BCE,∠ABC+ ∠DCB=180°. ∠BCF=∠AEB,∠CBF=∠DEC, ∴∠BCF=∠CBE,∠CBF=∠BCE, .CF∥BE,BF∥CE, ∴四边形BECF是平行四边形. ,BE和CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线， ÷∠CBE=号∠ABC,∠BCE-名∠DCB, ∴∠CBE+∠BCE=号（∠ABC+∠DCB)=90, ∴.∠BEC=180°-（∠CBE+∠BCE)=90°， 四边形BECF是矩形. (2):四边形ABCD是平行四边形， ∠BCD=∠A,BC=AD. ∠A=120°，AD=4, .∠BCD=120°，BC=4, 1 ∠BCE=2∠BCD=60, .∠CBE=90°-∠BCE=90°-60°=30°， cE=B0=74=2 BE=√BC2-CE=√4-2=25. 由(I)得四边形BECF是矩形， ∴.S网边形Bcr=BE·CE=2V3X2=4V3. 2.解：(1)证明：，四边形ABCD是菱形， .AO-AC.AC LBD. :BE-号AC.A0=BE :BE∥AC, ∴.四边形AEBO是平行四边形. AC⊥BD,.OB⊥OA, ∴.∠AOB=90°， .四边形AEBO是矩形 (2):四边形ABCD是菱形， .∴.AB=BC=8, 1 ∠BAC=∠BCA=2∠BCD=30°， 六0B=2AB=4, ∴.AO=√AB-OB7=4√3， ∴.四边形AEBO的面积=AO·OB=4×4√3= 16√5. 3.解：(1)证明：：△ABC为等边三角形，AD⊥BC, ∴.D是BC的中点，∠ABC=∠C=60. :E是AB的中点， ∴.DE∥AC, ∴.∠EDB=∠C=60°， ∴.△BED是等边三角形， ,∴.BE=BD=DE ,由尺规作图可知，DF平分∠EDB, ∴∠EDF=∠FDB. ,EF∥BC, ∴∠EFD=∠FDB, ∴.∠EFD=∠EDF, ∴.EF=DE=BD. EF∥BD, ∴.四边形BDEF是平行四边形. 又DE=BD, ∴.四边形BDEF是菱形. (2),△ABC为等边三角形，AD⊥BC, 1 六∠ADB=90°，∠BAD=2∠BAC=30. AC=4, 1 ..BD=- AB=2AC=2, ∴.AD=√AB-BD=25. 四边形BDEF是菱形， .AG⊥FD,FG=GD, ∴.∠AGD=90. 又∠BAD=30°， 1 DG=AD=3, .FD=23,AG=√AD-DG=3, 1 六Sam=z×2V3X3=35. 4.解：(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D 又：AE=BF=CG=DH, 下册参考答案 31△