19.3.2.1菱形的定义及其性质-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

19.3.2菱形 第1课时菱形的定义及其性质 L.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 2.菱形的性质：(1)菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质；(2)菱形的四条边相等；(3)菱 形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角， 3.菱形面积的计算：S= 2ab(a,b表示菱形对角线的长)。 色课内基础闯关 =0 5.如图，在菱形ABCD中，AB=2,则菱形 知识点菱形的性质 ABCD的周长为 1.如图，菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC交 6.在菱形ABCD中，∠ABC=66°，则∠BAC BD于点E.若∠BAD=118°，则∠CEB的 度数为 ( ) 7.(2025哈尔滨依兰期末)如 A.59 B.62 C.69° D.72 图，O是坐标原点，菱形 ABOC的顶点B在x轴的负B 03 半轴上，顶点C的坐标为(3， 第7题图 4),则顶点A的坐标为 第1题图 第3题图 8.如下图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交 2.若菱形两条对角线长分别为6和8，则这个 于点O,过点A作AE⊥BC于点E.若OB 菱形的面积为 =2,S菱形ABCD=4,求AE的长， A.12 B.16 C.24 D.48 3.如图，在菱形ABCD中，AB=1,∠DAB= 60°，则AC的长为 B.1 D.√3 4.(2025安康紫阳期末)如图，菱形ABCD的 对角线AC,BD相交于点O,E是DC的中 点，BE⊥DC,连接OE.若OE=2,则BE= A.4 B.2√5 C.2√3 D.6 第4题图 第5题图 466 八年级数学HK版 已课外拓展提高 巴综合能力提升 9.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于 12.推理能力如下图，∠B=60°，BA=2,G为 点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接 射线BM上的一动点，AP为∠BAG的平分 OH.若OA=6,OH=4,则菱形ABCD的 线且交BM于点P,以AP为边在∠B内部 面积为 作菱形APCD,使得∠APC=60°，DP交 A.72 B.24 C.48 D.96 AG于点E,连接CE并延长交AB于点F. (1)求证：△AEP≌△CEP (2)判断CF与BM的位置关系并证明 H B (3)若△AEF的周长为3，求菱形APCD 第9题图 第10题图 的周长 10.如图，菱形ABCD中，E,F分别是边CD, BC上的动点（点E,F不与菱形的顶点重 合)，连接AF,AE,EF,G,H分别为AE EF的中点，连接GH.若∠BAD=150°，GH 的最小值是。，则菱形的边长是 ( A.√3 B.2√3C.6 D.3 11.如下图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD 交于点O,过点A作BC的垂线，垂足为E, 延长BC到点F,使CF=BE,连接DF. (1)求证：四边形AEFD是矩形 (2)连接OE,若BF=16,DF=8,求OE的 长 下册第19章 7△/C.FD/AC.CD==,FPD=号AC=3四边 形CEFD是平行四边形.又，DE=CF,∴四边形CEFD 是矩形，.∠CDF=90°，∴.CF=√FD+CD=5. 7.6√2【解析】如图所示，设C'E与 AD交于点G.由折叠的性质及C'E ⊥AD,可得四边形ABEG和四边 形C'D'FG都是矩形，∴.EG=AB= CD=C'D'=FG..AB=6 cm,.'EG=FG=6 cm. Rt△EGF中，EF=√EG+FG=6√2cm. 8.解：(1)证明：在△ABC中，AB=AC,D是BC的 中点， ∴.AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°. CE∥AD,∴.∠ECD=∠ADB=90. AE⊥AD,∴∠EAD=90°， ∴.∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°， .四边形ADCE是矩形. (2)在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，BC =4 BD-CD-7BC-2 由(1)知，四边形ADCE是矩形， ∴.AE=CD=2,∠AEC=90°， .在Rt△AEC中，AC=√AE+CE=√2+3 =√13. EFLACSAR-7AE.CE-TAC.EF. .EF-AE CE_2X3_6 /T3 AC √13 13 9.B 10.B【解析】如图，连接AC,过点A作AG⊥CF,交CF 的延长线于点G,则∠G=90°.：AE⊥EF,CF⊥ EF,.∠AEF=∠EFG=90°=∠G,∴.四边形 AEFG是矩形，..FG=AE=1,AG=EF=4,.CG= CF+FG=2十1=3.在Rt△ACG中，由勾股定理，得 AC=√AG+CG=5.,四边形ABCD为矩形，.BD =AC=5. B 0 11.6【解析】当四边形BFDE是矩形时，BE=DF. ,Rt△ABC中，∠C=30°， AB-ZAC-2X45-21.DF-3CD. 1 1 ..BE=AB-AE=24-2t,DF=21. ∴.24-2t=2t, ∴.t=6. 12.17+20√5【解析】由题意，得AD⊥CE,过点B作 BF⊥CE,BG⊥DA,垂足分别为F,G,如图， ,∴.四边形BFDG为矩形， C ∴.FD=BG. F30 :CF⊥FB,∠CBF=30°， cF=2c=15. 在Rt△ABG中， ∠BAD=60°， ∴.∠ABG=30°， 5AG=2AB=20. .BG=√AB-AG=20√5， ..CE=CF+FD+DE=CF+BG+ED=15+203 +2 =17+20√3， 则此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是17+20√3. 13.解：(1)证明：DE⊥AD,EG⊥DE,∴.AD∥EG. 又DA=EG, ∴.四边形ADEG是平行四边形 DE⊥AD,∴.∠ADE=90°， ∴.四边形ADEG为矩形 (2)①四边形OABC为矩形，点B的坐标为(6,4)， ∴.OA=BC=6,OC=AB=4,OA∥BC,∠B=90°， .∠BDA=∠OAD,∠B=∠EOG=90°. 由(1)知，四边形ADEG是矩形， ∴.AD=GE,AD∥GE, ∴.∠OAD=∠OEG,∴.∠BDA=∠OEG. ∠B=∠EOG, 在△ABD和△GOE中， ∠BDA=∠OEG, AD-GE. ,∴.△ABD≌△GOE(AAS), ..OG=AB=4. 5 ②点H的坐标为(30，【解析】(2)②设BD=, CD=BC-BD=6-t,CG=OC+OG=4+4=8. 在Rt△ABD中，AD2=BD2+AB2=t2+16. 在Rt△OAG中，AG=OA2+OG2=62+4=52. 在Rt△ADG中，DG2=AD2+AG=t+16+52=t +68. 在Rt△CDG中，DG=CD+CG2=(6-t)+64, +68=6-)+61,解得1=8BD=8 由(20知，0E=BD=号AE=0E+0A-+6 :四边形ADEG为矩形，对角线AE,DG交于点H, H=AE=号H=EH-0E-号-8 号点H的坐标为号0) 下册参考答案 27 19.3.2菱形 第1课时菱形的定义及其性质 1.A2.C3.D 4.C【解析】，四边形ABCD是菱形， ∴.OB=OD,CD=BC. 又E是DC的中点，BE⊥DC, .BD=BC,OE是△BCD的中位线， ∴△BCD是等边三角形，BC=2OE=4, .CE-icD-inc-2. .BE=√BC2-CE=√4-2=2√3. 5.86.57°7.(-2,4) 8.解：：四边形ABCD是菱形， C-TAC.OB-7 BD.BD LAC. 1 ∴.BD=2OB=4. 1 :S菱形AD=2AC·BD=4, 2AC·4=4, .AC=2, ∴0C=2AC=1, .BC=√OB2+OC=√5. 'S菱形ABCD=BC·AE=4, ∴.5AE=4, AE=46 5 9.C 10.C【解析】G,H分别为AE,EF的中点， ..AF=2GH, .当AF⊥BC时，AF有最小值，此时GH有最小《 .此时AF=2GH=3. .四边形ABCD是菱形，∠BAD=150°， .AD∥BC,即∠B+∠BAD=180°，∴.∠B=30°， .AB=2AF=6. 11.解：(1)证明：四边形ABCD是菱形， .AD=BC,AD∥BC. .CF=BE,..CF+EC=BE+EC, ..EF=BC=AD. 又EF∥AD, .四边形AEFD为平行四边形. AE⊥EF, .∠AEF=90°， .四边形AEFD是矩形. (2)四边形ABCD是菱形， ∴CD=BC,AC⊥BD,BO=OD=2BD,AO=( -gAC. 设CD=BC=x. 428 八年级数学HK版 四边形AEFD是矩形，BF=16,DF=8, ∴.∠F=90°，CF=BF-BC=16-x, .BD=√BF+DF=85, 六B0=2BD=45. 在Rt△CDF中，CF2+DF2=CD2,.(16-x)2+82 =x2, 解得x=10,即BC=10, ∴.OC=√BC-BO=25. AE⊥EF,O为AC的中点， ∴0E=2AC=0C=25. 12.解：(1)证明：四边形APCD为菱形， ∴.PA=PC,∠APD=∠CPD. 又PE=PE,∴.△AEP≌△CEP(SAS). (2)CF∥BM.证明如下： ∠B=60°，∠APC=60 .∠BAP+∠BPA=180°-∠B=120°， ∠CPM+∠BPA=180°-∠APC=120°， ∴.∠BAP=∠CPM. 由(1)知，△AEP≌△CEP,,∴.∠PAE=∠PCE AP为∠BAG的平分线，∠PAE=∠BAP, ∴.∠PCE=∠CPM,.CF∥BM. (3)如图，在PM上截取PN=AB=2,连接CN,过点 C作CH∥BA交BM于H,连接PF. 由(2)知，∠PAB=∠CPN. 又PA=CP, ∴.△PAB≌△CPN(SAS), .BP=CN,∠B=∠CNP=60. CH∥BA,∴∠CHN=∠B=60°， ∴.△CHN为等边三角形，∴CN CH=HN=BP CF∥BM, .四边形BHCF为平行四边形， .BH=CF.CH=BF,..CN=CH=BF=BP. .PN=PH+HN,HN=BP,..PN=PH+BP= BH=CF=2. :△AEF的周长为3，AE=CE,AE+EF+AF=3, 即CE+EF+AF=3,∴.CF+AF=3. CF=2,AF=1. 'BA=2,..BF BA-AF =1...BF=AF =BP =1, .△BPF为等边三角形，.BF=BP=PF=AF =1, ∴∠BFP=∠BPF=60°，∠FAP=∠FPA. ∠BFP=∠FAP+∠FPA,∴.∠FAP=∠FPA =30°， ∴.∠BPA=∠BPF+∠FPA=90. 在Rt△BPA中，PA=√BA-BP=√5， .菱形APCD的周长=4PA=43.