19.3.1.2矩形的判定-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

第2课时 8 要阖梳理 矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形 角是直角的四边形是矩形. 已课内基础闯关 知识点① 矩形的判定 1.已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件 中，不能判定口ABCD为矩形的是( A.∠A=90 B.∠B=∠C C.AC=BD D.AC⊥BD 2.在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是 AB,BC,CD,AD的中点.下列条件中，能使 四边形EFGH成为矩形的是 A.AB⊥BC B.AB=BD C.AC=BD D.AC⊥BD 3.如下图，在四边形ABCD中，∠A=∠B= 90°，O是边AB的中点，∠AOD=∠BOC 求证：四边形ABCD是矩形， 知识点②矩形的性质与判定 4.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交 于点O,且AC=BD,∠OAD=55°，则 ∠OAB的度数为 A.35 B.40° C.459 D.509 B 第4题图 第5题图 八年级数学HK版 矩形的判定 是矩形；(2)对角线相等的平行四边形是矩形；(3)三个 5.(2025楚雄期末)如图，在四边形AOCB中， OA⊥OC,∠A=90°，∠C=30°，AB=3,OC =12,则四边形AOCB的面积是 () A.453 2 B.453C.90√3D.100 6.如图，在△ABC中，BC=8,AC=6,D,E,F 分别是BC,AC,AB的中点，连接DF,EF, CF,DE.若DE=CF,则CF的长为 D 第6题图 第7题图 7.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,点E,F分 别在边BC,AD上，连接EF.将矩形ABCD沿 EF折叠，使点C,D分别落在点C',D处.若 C'E⊥AD,则EF的长为 cm. 8.如下图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中 点，CE∥AD,AE⊥AD,EF⊥AC. (1)求证：四边形ADCE是矩形. B (2)若BC=4,CE=3,求EF的长. 已课外拓展提高 9.已知在四边形ABCD中，AD∥BC,AC= BD,下列说法不正确的是 () A.如果AD=BC,那么四边形ABCD是矩形 B.如果AB=DC,那么四边形ABCD是矩形 C.如果ABDC,那么四边形ABCD是矩形 D.如果∠B=90°，那么四边形ABCD是矩形 10.如图，E,F为矩形ABCD D 内两点，AE⊥EF,CF⊥ EF,垂足分别为E,F.若 AE=1,CF=2,EF=4, 第10题图 则BD的长为 A号 B.5 c D.6 11.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C 30°，AC=48,点D从点C出发沿CA方向 每秒运动4个单位长度，同时点E从点A 出发沿AB方向每秒运动2个单位长度，当 其中一个点到达终点，另一个点也随之停 止运动.设点D,E运动的时间是ts(t> O),过点D作DF⊥BC于点F,连接DE, EF.当四边形BFDE是矩形时，t的值是 :30B 60°入A E 第11题图 第12题图 12.(2025济宁模拟)如图，放置在水平桌面上 的台灯的灯臂AB的长为40，灯罩BC的长 为30，底座厚度为2，灯臂与底座构成的 ∠BAD=60°.使用发现，光线最佳时，灯罩 BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端 C到桌面的高度CE是 综合能力提升 13.推理能力如下图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴、y 轴上.点D在BC上，过点D作DE⊥AD 分别交x轴、y轴于点E,F,过点E作EG ⊥DE交y轴于点G,连接AG,DA=EG. (1)求证：四边形ADEG 是矩形， (2)连接DG交x轴于 点H,已知点B的坐标 为(6,4). ①求OG的长； ②请直接写出点H的坐标. 下册第19章 65△.四边形ABED是直角梯形， 1 SmBm=2(AB+DE)·BC=2（4+8)X4V5 =24√3 6.60°6 7.7【解析】，∠ACB=90°，D为AB的中点，CD=7, AB=2CD=14.:E,F分别为AC,BC的中点， 1 EF-2AB=7. 8.D 9.C【解析】连接BD,交AC于点O, 如图. ,四边形ABCD是矩形，，.BD= 0 AC,OB=OC,∴.∠DBC=∠ACB. :BE=AC,∴BD=BE,∴∠BDE=∠E.∠E 70°，∴.∠BDE=70°，∴.∠DBC=180°-∠E-∠BDE =40°，∴.∠ACB=∠DBC=40° 10.75°【解析】：O是BC的中点，∠BAC=∠BDC 1 90,.OB=0C=OA=OD=2BC.又：BC=2AD, 即AD=号BC,OA=OD=AD△0AD是等边 三角形，∴.∠AOD=60°.：O是BC的中点，AB= AC,.AO⊥BC,.∠AOC=90°，.∠COD=90° 1 ∠A0D=30°，∠DCB=2×(180°-∠CO0D) =75° 11.(1)5(2)5+5√2 【解析】(1)，∠MEN=90°，F是BCM 中点，BC=10, EF=BC=5.(2)如图，不妨令 F为BC的中点，连接DF,DE. E N DE≤EF+DF,∴.当D,E,F三点共线时，点D,E 之间的距离最大 ,四边形ABCD是矩形，.∠BCD=90°.，F为BC 的中点BF=CP=2BC=5iDF=VCF+CD =√/5+5=5√2，.DE的最大值=EF+DF=5+ 52」 12.解：(1)证明：四边形ABCD是矩形， ..0A=OC,OB=OD. .'BF=DE. ..OF=OE, .四边形AFCE是平行四边形. (2)BD=号EF. 理由：，四边形ABCD是矩形， ..OB=OD=AO=CO. CE⊥CA,∠EOC=60°， .∠CEF=30°， 426 八年级数学HK版 1 .0C=2OE.0D=2OE. .OF=OE, 0=0r. DE 13.解：(1)证明：AE⊥BD,CF⊥BD, .AE∥CF,∠AEB=∠DFC=90°. 四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD,AB∥CD,∴.∠ABE=∠CDF. I∠ABE=∠CDF, 在△ABE和△CDF中，∠AEB=∠CFD, AB=CD. .△ABE≌△CDF(AAS),.AE=CF, .四边形AECF为平行四边形. (2)四边形ABCD是矩形，.AC=2AO,∠ABC =90°. AE⊥BO,BE=EO,∴AO=AB=1,AC=2, ∴.BC=√AC-AB=V√22-1P=√3. 第2课时矩形的判定 1.D2.D 3.证明：O是边AB的中点，.OA=OB. I∠AOD=∠BOC, 在△AOD和△BOC中，3OA=OB, ∠A=∠B, .△AOD≌△BOC(ASA),∴.DA=CB :∠A+∠B=180°，.DA∥CB, .四边形ABCD是平行四边形 又，∠A=90°，.四边形ABCD是矩形. 4.A【解析】在□ABCD中，对角线AC=BD, 四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°. .∠0AD=55°， ∴∠OAB=∠DAB-∠OAD=35°. 5.A【解析】过点B作BH⊥OC于点H,如图. ∠A=90°，OA⊥OC, B ∴.四边形OABH是矩形， ..OH=AB=3. 又.OC=12, .CH=9. :∠C=30°，BH⊥OC, ..BC=2BH. .BH2+HC2=BC2, .BH+92=(2BH)2, .BH=33(负值已舍去)， 四边形A0CB的面积是？×(3+12)×35 =45v3 2 6.5【解析】D,E,F分别是BC,AC,AB的中点，.EF /C.FD/AC.CD==,FPD=号AC=3四边 形CEFD是平行四边形.又，DE=CF,∴四边形CEFD 是矩形，.∠CDF=90°，∴.CF=√FD+CD=5. 7.6√2【解析】如图所示，设C'E与 AD交于点G.由折叠的性质及C'E ⊥AD,可得四边形ABEG和四边 形C'D'FG都是矩形，∴.EG=AB= CD=C'D'=FG..AB=6 cm,.'EG=FG=6 cm. Rt△EGF中，EF=√EG+FG=6√2cm. 8.解：(1)证明：在△ABC中，AB=AC,D是BC的 中点， ∴.AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°. CE∥AD,∴.∠ECD=∠ADB=90. AE⊥AD,∴∠EAD=90°， ∴.∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°， .四边形ADCE是矩形. (2)在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，BC =4 BD-CD-7BC-2 由(1)知，四边形ADCE是矩形， ∴.AE=CD=2,∠AEC=90°， .在Rt△AEC中，AC=√AE+CE=√2+3 =√13. EFLACSAR-7AE.CE-TAC.EF. .EF-AE CE_2X3_6 /T3 AC √13 13 9.B 10.B【解析】如图，连接AC,过点A作AG⊥CF,交CF 的延长线于点G,则∠G=90°.：AE⊥EF,CF⊥ EF,.∠AEF=∠EFG=90°=∠G,∴.四边形 AEFG是矩形，..FG=AE=1,AG=EF=4,.CG= CF+FG=2十1=3.在Rt△ACG中，由勾股定理，得 AC=√AG+CG=5.,四边形ABCD为矩形，.BD =AC=5. B 0 11.6【解析】当四边形BFDE是矩形时，BE=DF. ,Rt△ABC中，∠C=30°， AB-ZAC-2X45-21.DF-3CD. 1 1 ..BE=AB-AE=24-2t,DF=21. ∴.24-2t=2t, ∴.t=6. 12.17+20√5【解析】由题意，得AD⊥CE,过点B作 BF⊥CE,BG⊥DA,垂足分别为F,G,如图， ,∴.四边形BFDG为矩形， C ∴.FD=BG. F30 :CF⊥FB,∠CBF=30°， cF=2c=15. 在Rt△ABG中， ∠BAD=60°， ∴.∠ABG=30°， 5AG=2AB=20. .BG=√AB-AG=20√5， ..CE=CF+FD+DE=CF+BG+ED=15+203 +2 =17+20√3， 则此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是17+20√3. 13.解：(1)证明：DE⊥AD,EG⊥DE,∴.AD∥EG. 又DA=EG, ∴.四边形ADEG是平行四边形 DE⊥AD,∴.∠ADE=90°， ∴.四边形ADEG为矩形 (2)①四边形OABC为矩形，点B的坐标为(6,4)， ∴.OA=BC=6,OC=AB=4,OA∥BC,∠B=90°， .∠BDA=∠OAD,∠B=∠EOG=90°. 由(1)知，四边形ADEG是矩形， ∴.AD=GE,AD∥GE, ∴.∠OAD=∠OEG,∴.∠BDA=∠OEG. ∠B=∠EOG, 在△ABD和△GOE中， ∠BDA=∠OEG, AD-GE. ,∴.△ABD≌△GOE(AAS), ..OG=AB=4. 5 ②点H的坐标为(30，【解析】(2)②设BD=, CD=BC-BD=6-t,CG=OC+OG=4+4=8. 在Rt△ABD中，AD2=BD2+AB2=t2+16. 在Rt△OAG中，AG=OA2+OG2=62+4=52. 在Rt△ADG中，DG2=AD2+AG=t+16+52=t +68. 在Rt△CDG中，DG=CD+CG2=(6-t)+64, +68=6-)+61,解得1=8BD=8 由(20知，0E=BD=号AE=0E+0A-+6 :四边形ADEG为矩形，对角线AE,DG交于点H, H=AE=号H=EH-0E-号-8 号点H的坐标为号0) 下册参考答案 27