19.3.1.1矩形的定义及其性质-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

2-√2. 8.解：(1)证明：：E,F分别是BC,AC的中点， EF是△ABC的中位线， 1 EF∥AB,EF=2AB. 1 又：AB=2AD,即AD=2AB, ∴.AD∥EF,AD=EF, .四边形AEFD是平行四边形， AF与DE互相平分. (2)2√2I 【解析】(2)：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8 BC=12, ∴.AC=√BC-AB2=√W122-8=45. 由(1)知，OA=OF,OD=OE,AF=CF, 0A=AC=5. 在△AOD中，∠DAO=90,AD=2AB=4,O =5, .D0=√AD+OA=√42+(W5)2=√/2I, ∴.DE=2DO=2√2I. 9.解：(1)证明：AB∥CE, .∠CAD=∠ACE,∠ADE=∠CED. ,F是AC的中点， ..AF=CF, .△AFD≌△CFE(AAS), ∴.DF=EF, .四边形ADCE是平行四边形 (2)如图，过点C作CG⊥AB 于点G. ∠CAB=45, .∠CAG=∠GCA=45°， .AG=CG. 在△ACG中，由勾股定理，得AG十CG2=AC2, AG-CG- 2AC-2. :∠B=30°， .BC=2CG=4, ∴.BG=√BC2-CG=23. 由(1)可知，四边形ADCE是平行四边形， ..AE=CD. 又'AE=BD .'BD=CD. CD2-DG2=CG2 ∴.BD2-(23-BD)2=2, ·BD=43 3 AD=AB-BD-BG+AG-BD=2+2 3 10.证明：如图，连接EF ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,AD=BC. .AE=BF, .四边形ABFE是平行四边形，DE=CF, ∴AF与BE互相平分， G是BE的中点 同理可得H是CE的中点， ∴.GH是△BEC的中位线， .GH∥BC. 19.3矩形、菱形、正方形 19.3.1矩形 第1课时矩形的定义及其性质 1.C2.C 3.A【解析】：四边形ABCD是矩形，∠BCD=90°， 0B=0C.∠BC0=∠CB0=2180°-∠B0C)- 20°，∴.∠ACD=∠BCD-∠BCO=70.又：DE⊥ AC,∴.∠CDE=90°-∠ACD=20°. 4.2√5【解析】：四边形ABCD为矩形，∴BC=AD=6, ∠A=90°，AD∥BC,∴.∠AEB=∠FBC.:BE=BC, BE=6,∴.EA=√BE-AB=25.:CF⊥BE, ∴∠BFC=90°=∠A. ∠A=∠BFC, 在△ABE和△FCB中，∠AEB=∠FBC, BE=CB, ∴.△ABE≌△FCB(AAS), ..EA=BF=2/5. 5.解：(1)证明：，四边形ABCD是矩形， .AC=BD,AB∥CD. 又BE∥AC, .四边形ABEC是平行四边形， ..BE=AC, ∴BD=BE. (2),四边形ABCD是矩形， ∴.∠DCB=90°. :∠DBC=30°，CD=4, ∴.BD=2CD=8,BC=4√3 ∴，结合(1)中四边形ABEC是平行四边形，得AB= DC=CE=4,即DE=8. ,BE∥AC,AD与AC相交， ∴AD与BE不平行 AB∥DE, 下册参考答案 25△ .四边形ABED是直角梯形， 1 SmBm=2(AB+DE)·BC=2（4+8)X4V5 =24√3 6.60°6 7.7【解析】，∠ACB=90°，D为AB的中点，CD=7, AB=2CD=14.:E,F分别为AC,BC的中点， 1 EF-2AB=7. 8.D 9.C【解析】连接BD,交AC于点O, 如图. ,四边形ABCD是矩形，，.BD= 0 AC,OB=OC,∴.∠DBC=∠ACB. :BE=AC,∴BD=BE,∴∠BDE=∠E.∠E 70°，∴.∠BDE=70°，∴.∠DBC=180°-∠E-∠BDE =40°，∴.∠ACB=∠DBC=40° 10.75°【解析】：O是BC的中点，∠BAC=∠BDC 1 90,.OB=0C=OA=OD=2BC.又：BC=2AD, 即AD=号BC,OA=OD=AD△0AD是等边 三角形，∴.∠AOD=60°.：O是BC的中点，AB= AC,.AO⊥BC,.∠AOC=90°，.∠COD=90° 1 ∠A0D=30°，∠DCB=2×(180°-∠CO0D) =75° 11.(1)5(2)5+5√2 【解析】(1)，∠MEN=90°，F是BCM 中点，BC=10, EF=BC=5.(2)如图，不妨令 F为BC的中点，连接DF,DE. E N DE≤EF+DF,∴.当D,E,F三点共线时，点D,E 之间的距离最大 ,四边形ABCD是矩形，.∠BCD=90°.，F为BC 的中点BF=CP=2BC=5iDF=VCF+CD =√/5+5=5√2，.DE的最大值=EF+DF=5+ 52」 12.解：(1)证明：四边形ABCD是矩形， ..0A=OC,OB=OD. .'BF=DE. ..OF=OE, .四边形AFCE是平行四边形. (2)BD=号EF. 理由：，四边形ABCD是矩形， ..OB=OD=AO=CO. CE⊥CA,∠EOC=60°， .∠CEF=30°， 426 八年级数学HK版 1 .0C=2OE.0D=2OE. .OF=OE, 0=0r. DE 13.解：(1)证明：AE⊥BD,CF⊥BD, .AE∥CF,∠AEB=∠DFC=90°. 四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD,AB∥CD,∴.∠ABE=∠CDF. I∠ABE=∠CDF, 在△ABE和△CDF中，∠AEB=∠CFD, AB=CD. .△ABE≌△CDF(AAS),.AE=CF, .四边形AECF为平行四边形. (2)四边形ABCD是矩形，.AC=2AO,∠ABC =90°. AE⊥BO,BE=EO,∴AO=AB=1,AC=2, ∴.BC=√AC-AB=V√22-1P=√3. 第2课时矩形的判定 1.D2.D 3.证明：O是边AB的中点，.OA=OB. I∠AOD=∠BOC, 在△AOD和△BOC中，3OA=OB, ∠A=∠B, .△AOD≌△BOC(ASA),∴.DA=CB :∠A+∠B=180°，.DA∥CB, .四边形ABCD是平行四边形 又，∠A=90°，.四边形ABCD是矩形. 4.A【解析】在□ABCD中，对角线AC=BD, 四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°. .∠0AD=55°， ∴∠OAB=∠DAB-∠OAD=35°. 5.A【解析】过点B作BH⊥OC于点H,如图. ∠A=90°，OA⊥OC, B ∴.四边形OABH是矩形， ..OH=AB=3. 又.OC=12, .CH=9. :∠C=30°，BH⊥OC, ..BC=2BH. .BH2+HC2=BC2, .BH+92=(2BH)2, .BH=33(负值已舍去)， 四边形A0CB的面积是？×(3+12)×35 =45v3 2 6.5【解析】D,E,F分别是BC,AC,AB的中点，.EF19.3 矩形、菱形、正方形 19.3.1矩形 第1课时矩形的定义及其性质 要恩梳理 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，也就是长方形. 2.矩形的性质：(1)矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质：(2)矩形的四个角都是直角： (3)矩形的对角线相等。 3.矩形性质的推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 课内基础闯关 5.如右图，四边形ABCD是矩形， 0 知识点① 对角线AC,BD相交于点O,BE 矩形的性质 ∥AC交DC的延长线于点E. 1.（(2025大连期未)下列关于矩形叙述正确的 (1)求证：BD=BE 是 (2)若∠DBC=30°，CD=4,求四边形A A.对角线相等且互相垂直 BED的面积. B.对角线互相垂直的平行四边形 C.对角线相等且互相平分的四边形 D.矩形的对角线平分一组对角 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O,∠ABD=60°，AB=2,则AC的 长为 ( A.6 B.5 C.4 D.3 第2题图 第3题图 知识点② 直角三角形斜边上的中线等于斜 3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相 边的一半 交于点O,DE⊥AC于点E,∠BOC=140°， 6.如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD相交 则∠CDE的大小是 于点O,BD=12cm,∠CBD=30°，则 A.20° B.25° ∠AOB= ,CD= cm. C.40 D.65 4.如图，矩形ABCD中，AB=4, AD=6.在边AD上取一点E, 使BE=BC,过点C作CF⊥ 第6题图 第7题图 BE,垂足为F,则BF的长为第4题图 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D,E,F 分别为AB,AC,BC的中点.若CD的长为 7,则EF的长为 162 八年级数学HK版 已课外拓展提高 (1)求证：四边形AFCE是平行四边形. 8.如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB (2)若CE⊥CA,∠EOC=60°，试判断BD 上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重 与EF之间的数量关系，并说明理由 合.若BC=4,则矩形ABCD的面积为 ( E 第8题图 A.65 B.85 C.125 D.16√3 9.如图，点E在矩形ABCD边BC的延长线 上，连接AC,DE,BE=AC.若∠E=70°，则 ∠ACB的度数是 ) A.60° B.50° C.40° D.30 第9题图 第10题图 已综合能力提升 10.如图，在四边形ABCD中，O是BC的中 13.如下图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD 点，∠BAC=∠BDC=90°，AB=AC,连接 相交于点O,分别过点A,C作AE⊥BD于 OA,OD.若BC=2AD,则∠DCB的度数 点E,CF⊥BD于点F,连接AF,CE 为 (1)求证：四边形AECF是平行四边形， 11.如图，∠MEN=90°，矩形 (2)若AB=1,BE=EO,求BC的长. ABCD的顶点B,C分别是 ∠MEN两边上的动点.已 知BC=10,CD=5,请完 E 第11题图 成下列探究： (I)若F是BC的中点，则EF的长为 (2)点D,E之间距离的最大值是 12.(2025信阳平桥区期末)如下图，在矩形 ABCD中，对角线AC与BD交于点O,延 长BD至点E,延长DB至点F,使BF =DE. 下册第19章 63△