19.2.2.2平行线等分线段定理和三角形的中住线-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

第2课时平行线等分线段定理和三角形的中位线 香/但图税理 1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也 相等.平行线等分线段定理推论：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边 2.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半， 已课内基础闯关 5.如下图，在四边形ABCD中，AC=BD,AC, 知识点①平行线等分线段定理 BD交于点O,E,F分别是AB,CD的中点， EF分别交AC,BD于点H,G,求证：OG 1.(2025新乡期未)如图，AB∥CD∥EF,AF =OH. 与BE相交于点G.若AG=1,GD=2,DF =3,则下列结论错误的是 BG 1 A/B A.GC2 AG BG 1 C/D B.BE5 E F c BC 1 第1题图 AG1 D.GF5 2.已知AB∥CD∥EF,AF交BE于O,且AO =OD=DF.若BE=60cm,那么BO= cm. 知识点②三角形中位线定理 知识点③ 三角形中位线定理的应用 3.如图，在△ABC中，D,E分别是AC,BC的 6.如图，跷跷板AB的支柱OC经过它的中点O, 中点.若∠A=45°，∠CED=70°，则∠C的 且垂直地面于点C,OC=0.6m.当它的一端A 度数为 着地时，另一端B离地面的高度为() A.45° B.50 A.0.6mB.1m C.1.2mD.1.5m C.60° D.65 C B 第6题图 第7题图 第3题图 第4题图 7.如图，为测量位于一水塘旁的两点A,B间的 4.（2025杭州二模)如图，M是△ABC的边 距离，在地面上确定点P,分别取PA,PB的 BC的中点，AN平分∠BAC,BN⊥AN于 中点D,C.若等边三角形PCD周长为18m, 点N.若AB=8,BC=13,MN=3,则 则A,B之间的距离是 () △ABC的周长等于 A.6m B.12mC.18mD.24m 458 八年级数学HK版 已课外拓展提高 综合能力提升 8.如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°， 11.(1)如图①，在四边形AB AD⊥BC于点D,BD=√6.若E,F分别为 CD中，AD=BC,P是对角 AB,BC的中点，则EF的长为 线BD的中点，M是AB的 图① A.√2 C 中点，N是DC的中点.求 D.√3 3 证：∠PMN=∠PNM. (2)如图②，延长(1)中的线 段AD交MN的延长线于 点E,延长线段BC交MN 第8题图 第9题图 的延长线于点F.在(1)的条 图② 9.(2025成都期中)如图，口ABCD的对角线 件下，求证：∠AEM=∠F AC,BD相交于点O,E是BC的中点.若 (3)如图③，在△ABC BE=3,EO=4,则□ABCD的周长为 中，AC<AB,点D在 ( AC上，AD=BC,M A.14 B.13 C.28 D.19 是AB的中点，N是 图③ 10.(2025保定期末)如下图，等边三角形ABC DC的中点，连接MN并延长，与BC的延 的边长是1，D,E分别为AB,AC的中点， 长线交于点G,连接BD,GD.若∠ANM 延长BC至点F,使CF= 2BC,连接CD 60°，试判断△CGD的形状，并进行证明. 和EF. (1)求证：四边形DCFE是平行四边形 (2)求EF的长. 下册第19章 59△延长线上，点F在DC的延长线上， .AD∥BC,BE∥DF,AB=CD, ∴.∠AGE=∠BHE=∠CHF,∠AEG=∠CFH. ∠AGE=∠CHF, 在△AGE和△CHF中，EG=FH, ∠AEG=∠CFH, △AGE≌△CHF(ASA),.AE=CF, ,∴.AB+AE=CD+CF,即BE=DF, ∴.四边形EBFD是平行四边形. 7.3【解析】设xs时，四边形ADFE是平行四边形.根 据题意，得AE=xcm,CF=2xcm.,CD=9cm, .DF=(9-2x)cm.AB∥CD,.当AE=DF时，四 边形ADFE是平行四边形，x=9-2x,解得x=3. 8.解：(1)证明：.△ABE≌△FCE, .AB=CF,∠BAE=∠CFE, .AB∥DF. ,C为DF的中点， ∴CF=CD=AB, .四边形ABCD是平行四边形. (2)12 【解析】(2)：AD=AF,CD=CF, .AC⊥DF .AB=CD=5.BC=AD=13, .AC=√AD2-CD=√132-5=12. 9.解：(1)证明：，BD是△ABC的角平分线， .∠ABD=∠DBE. ,DE∥AB,∴∠ABD=∠BDE, ∴∠DBE=∠BDE, .BE=DE. .BE=AF,.'.AF=DE. .四边形ADEF是平行四边形. (2)过点D作DG⊥AB于点G,过点 E作EH⊥BD于点H,如图. :∠ABC=60°， ∴·∠ABD=∠DBE=30°， 1 六DG=2BD= ×6=3. BE=DE, ∴.BH=DH=3. 设EH=x,则BE=2x. 由勾股定理，得BE一EH=BH,即(2x)2一x2 3,解得x=√5， .BE=DE=23, .SOADEF=DE DG=23X3=63. 10.解：(1)证明：，△ABC是等边三角形，D是BC边的 中点， .AB=CA,∠B=∠BAC=∠ACB=60°，AD ⊥BC, .∠BAD= 2∠BAC=30°. :△ADE是等边三角形，AD=AE,∠ADE=60°， ∴.∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°. .ED∥CF,./FCB=/EDB=30°， .∠ACF=∠ACB-∠FCB=30°， ∠BAD=∠ACF=30°， ∴.△ABD≌△CAF(ASA),.AD=CF, .ED=CF. 又，ED∥CF, ∴.四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD. (2)成立. 证明：ED∥FC,∴.∠BDE=∠BCF :∠AFC=∠B+∠BCF=6O°+∠BCF,∠BDA= ∠ADE+∠BDE=6O°+∠BDE, ∴.∠BDA=∠AFC. 又∠B=∠FAC,AB=CA, ∴.△ABD≌△CAF(AAS),AD=CF. .AD=ED,..ED=FC. 又.ED∥FC, .四边形EDCF是平行四边形，.EF=DC. 第2课时平行线等分线段定理和三角形的中位线 1.B2.203.D4.35 5.证明：如图，取BC边的中点M,连 接EM,FM. :M,F分别是BC,CD的中点， .MF/BD.MF-BD. 同理，得ME/AC,ME=2AC, .'AC=BD,∴.ME=MF,∴.∠MEF=∠MFE. MF∥BD,∴.∠MFE=∠OGH. 同理，得∠MEF=∠OHG, ∴.∠OGH=∠OHG,.OG=OH. 6.C7.B8.A 9.C【解析】，四边形ABCD为平行四边形， ..OB=OD. OE=4,E为BC边的中点， .DC=20E=8,BC=2BE=6. ∴.CaAD=2(DC+BC)=2X(8+6)=28. 10.解：(1)证明：：D,E分别是AB,AC的中点， ∴DE∥BC,DE=2BC. CF-BC. ∴.DE=CF, ∴.四边形DCFE是平行四边形， (2)在等边三角形ABC中，D是AB的中点， .CDLAB.BD-TAB-X1- 1 sco-/w-BD ,四边形DCEF是平行四边形， 下册参考答案 23 EF-CD- 11.解：(1)证明：P是BD的中点，M是AB的中点，N 是DC的中点， ,.PM是△ABD的中位线，PN是△BDC的中位线， .PM-TAD.PN-BC .AD=BC, ..PM=PN, ∴.∠PMN=∠PNM (2)证明：由(1)可知，PM是△ABD的中位线，PN 是△BDC的中位线， .PM∥AD,PN∥BC, ∴.∠PNM=∠F,∠PMN=∠AEM. :∠PMN=∠PNM, ∴.∠AEM=∠F. (3)△CGD是直角三角形.证明如下： 如图，取BD的中点P,连接PM,PN. M是AB的中点，P是BD 的中点，N是DC的中点， .PM是△ABD的中位线， PN是△BDC的中位线， PM/AD.PM-7AD.PN/BC.PN- BC .AD=BC, ..PM=PN, .∠PMN=∠PNM. PM∥AD, .∠PMN=∠ANM=60°， ∴.∠PNM=∠PMN=60. :PN∥BC, ∴.∠CGN=∠PNM=60. 又，∠CNG=∠ANM=60°， .△CGN是等边三角形， ..CN=GN. N是DC的中点，∴.CN=DN, .DN=GN, .∠NDG=∠NGD=30°， .∠CGD=∠CGN+∠NGD=60°+30°=90°， △CGD是直角三角形 方法技巧专题平行四边形的性质与判定 1.C 2.D【解析】，∠ABC=70°，BE平分∠ABC,∴∠EBF =2∠ABC=35.四边形ABCD是平行四边形 .∠ADC=∠ABC=70°，AD∥BC.又DF∥BE .四边形BFDE是平行四边形，.∠EDF=∠EBF= 35°，.∠CDF=∠ADC-∠EDF=70°-35°=35. 3.解：四边形ABCD是平行四边形，∴.OB=OD,AB //CD. 424 八年级数学HK版 .OE⊥BD,∴.BE=DE.∠CBD=15°，.∠BDE= ∠CBD=15°. ./CDE=15°，∴./BDC=/BDE+/CDE=15°+ 15°=30°. ,AB∥CD,.∠ABD=∠BDC=30°， ∴.∠ABC=∠ABD+∠CBD=30°+15°=45°. 4.解：(1)四边形ABCD是平行四边形， ∴.DC=AB=10,AD=BC=6,DC∥AB, .∠DEA=∠BAE. ,∠BAD的平分线AE交CD于点E, ∠DAE=∠BAE, .∠DAE=∠DEA, .'.DE=AD=6, .CE=10-6=4. (2)四边形ABCD是平行四边形， .∠D=∠B=100°. 由(1)得∠DAE=∠BAE, ·∠DAE=∠BAE=2×(180°-100)=40°， ∴.∠AEC=180°-40°=140°. 5.解：(1)EF⊥MN (2).·四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AD=BC, .∠DBC=∠ADB=40°，∠ADC+∠DCB=180°. :AD=BD, .'BC=BD, .∠BDC=∠BCD, ·∠BCD=2X(180°-∠DBC)=70° 由题意可知，E为线段BC,MN的中点，EF垂直平 分MN, .EF垂直平分BC,.BF=FC, ∴.∠FCB=∠DBC=40°， ∴∠DCF=∠BCD-∠FCB=30°. 6.A【解析】D,E分别是△ABC的边AB,AC上的 中点，AB=10,BC=12.∴DE/BC,DE=号5C=6. BD=号AB=5,∠DFB=∠FBC.:BF平分 ∠ABC,∴.∠DBF=∠FBC,∴∠DFB=∠DBF, .DF=BD=5,.EF=DE-DF=6-5=1. 7.C【解析】如图，过点D作JL边上的高h:,过点K作 AB边上的高h·由题意可知，四边形DJKF,KEIG, FKGH,GIBL均为平行四边形. 设KG=a,则EI=a.:AB=4,E为AB的中点， ∴.AE=BE=2,∴.BI=2-a.S1=S2+Sa,.2h,= :+ha=。S+S=S2%,+a, (2-ah2·。十ah:=（2-ah,解得a=2+ √2（不合题意，舍去），a2=2-√2，.KG的长为